वर्गमूल: Difference between revisions
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[[File:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|thumb|right|168px| | [[File:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|thumb|right|168px|{{mvar|x}} के (मुख्य) वर्गमूल के लिए अंकन।]] | ||
[[Image:Five Squared.svg|thumb|right|168px<!-- at 160px and 200px lines render with unequal widths -->|उदाहरण के लिए, {{math|{{radic|25}} {{=}} 5}}, जबसे {{math|25 {{=}} 5 ⋅ 5}}, या {{math|5<sup>2</sup>}} (5 वर्ग)।]]गणित में, किसी संख्या {{math|''x''}} का वर्गमूल एक संख्या {{math|''y''}} है जैसे कि {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''}}; दूसरे शब्दों में, एक संख्या {{math|''y''}} जिसका [[वर्ग (बीजगणित)]] (संख्या को उसी से गुणा करने का परिणाम, या {{math|''y''}} ⋅ {{math|''y''}}) {{math|''x''}} | [[Image:Five Squared.svg|thumb|right|168px<!-- at 160px and 200px lines render with unequal widths -->|उदाहरण के लिए, {{math|{{radic|25}} {{=}} 5}}, जबसे {{math|25 {{=}} 5 ⋅ 5}}, या {{math|5<sup>2</sup>}} (5 वर्ग)।]]गणित में, किसी संख्या {{math|''x''}} का वर्गमूल एक संख्या {{math|''y''}} है जैसे कि {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''}}; दूसरे शब्दों में, एक संख्या {{math|''y''}} जिसका [[वर्ग (बीजगणित)]] (संख्या को उसी से गुणा करने का परिणाम, या {{math|''y''}} ⋅ {{math|''y''}}) {{math|''x''}} है।<ref>Gel'fand, [https://books.google.com/books?id=Z9z7iliyFD0C&pg=PA120 p. 120] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160902151740/https://books.google.com/books?id=Z9z7iliyFD0C&pg=PA120 |date=2016-09-02 }} | ||
</ref> उदाहरण के लिए, 4 और -4 16 के वर्गमूल हैं, क्योंकि {{math|1=4<sup>2</sup> = (−4)<sup>2</sup> = 16}}। | </ref> उदाहरण के लिए, 4 और -4 16 के वर्गमूल हैं, क्योंकि {{math|1=4<sup>2</sup> = (−4)<sup>2</sup> = 16}}। | ||
प्रत्येक गैर-ऋणात्मक [[वास्तविक संख्या]] {{math|''x''}} का एक अद्वितीय गैर-ऋणात्मक वर्गमूल होता है, जिसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है, जिसे <math>\sqrt{x}</math> द्वारा निरूपित किया जाता है, जहाँ प्रतीक <math>\sqrt{~^~}</math> को मूल चिह्न<ref>{{Cite web|title=वर्ग और वर्गमूल|url=https://www.mathsisfun.com/square-root.html|access-date=2020-08-28|website=www.mathsisfun.com}}</ref> या मूलांक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, इस तथ्य को व्यक्त करने के लिए कि 9 का मुख्य वर्गमूल 3 है, हम <math>\sqrt{9} = 3</math> लिखते हैं। जिस शब्द (या संख्या) का वर्गमूल माना जा रहा है, उसे रेडिकैंड कहा जाता है। रेडिकैंड मूलांक चिह्न के नीचे की संख्या या अभिव्यक्ति है, इस स्थिति में 9। गैर-ऋणात्मक {{math|''x''}} के लिए , मुख्य वर्गमूल को [[घातांक]] संकेतन में {{math|''x''<sup>1/2</sup>}} के रूप में भी लिखा जा सकता है। | प्रत्येक गैर-ऋणात्मक [[वास्तविक संख्या]] {{math|''x''}} का एक अद्वितीय गैर-ऋणात्मक वर्गमूल होता है, जिसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है, जिसे <math>\sqrt{x}</math> द्वारा निरूपित किया जाता है, जहाँ प्रतीक <math>\sqrt{~^~}</math> को मूल चिह्न<ref>{{Cite web|title=वर्ग और वर्गमूल|url=https://www.mathsisfun.com/square-root.html|access-date=2020-08-28|website=www.mathsisfun.com}}</ref> या मूलांक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, इस तथ्य को व्यक्त करने के लिए कि 9 का मुख्य वर्गमूल 3 है, हम <math>\sqrt{9} = 3</math> लिखते हैं। जिस शब्द (या संख्या) का वर्गमूल माना जा रहा है, उसे रेडिकैंड कहा जाता है। रेडिकैंड मूलांक चिह्न के नीचे की संख्या या अभिव्यक्ति है, इस स्थिति में 9। गैर-ऋणात्मक {{math|''x''}} के लिए, मुख्य वर्गमूल को [[घातांक]] संकेतन में {{math|''x''<sup>1/2</sup>}} के रूप में भी लिखा जा सकता है। | ||
प्रत्येक [[सकारात्मक संख्या|धनात्मक संख्या]] {{math|''x''}} के दो वर्गमूल होते हैं: <math>\sqrt{x}</math> (जो धनात्मक है) और <math>-\sqrt{x}</math> (जो ऋणात्मक है)। <math>\plusmn\sqrt{x}</math> के रूप में धन–ऋण चिह्न ± चिह्न का उपयोग करके दो मूलों को अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है। यद्यपि एक धनात्मक संख्या का मुख्य वर्गमूल उसके दो वर्गमूलों में से मात्र एक होता है, वर्गमूल पद का प्रयोग प्रायः मुख्य वर्गमूल को संदर्भित करने के लिए किया जाता है।<ref>{{cite book |title=अनुप्रयोगों के साथ जटिल विश्लेषण में पहला कोर्स|edition=2nd |first1=Dennis G. |last1=Zill |first2=Patrick |last2=Shanahan |publisher=Jones & Bartlett Learning |year=2008 |isbn=978-0-7637-5772-4 |page=78 |url=https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160901081936/https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C |archive-date=2016-09-01 }} [https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C&pg=PA78 Extract of page 78] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160901091148/https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C&pg=PA78 |date=2016-09-01 }}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=वर्गमूल|url=https://mathworld.wolfram.com/SquareRoot.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> | प्रत्येक [[सकारात्मक संख्या|धनात्मक संख्या]] {{math|''x''}} के दो वर्गमूल होते हैं: <math>\sqrt{x}</math> (जो धनात्मक है) और <math>-\sqrt{x}</math> (जो ऋणात्मक है)। <math>\plusmn\sqrt{x}</math> के रूप में धन–ऋण चिह्न ± चिह्न का उपयोग करके दो मूलों को अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है। यद्यपि एक धनात्मक संख्या का मुख्य वर्गमूल उसके दो वर्गमूलों में से मात्र एक होता है, वर्गमूल पद का प्रयोग प्रायः मुख्य वर्गमूल को संदर्भित करने के लिए किया जाता है।<ref>{{cite book |title=अनुप्रयोगों के साथ जटिल विश्लेषण में पहला कोर्स|edition=2nd |first1=Dennis G. |last1=Zill |first2=Patrick |last2=Shanahan |publisher=Jones & Bartlett Learning |year=2008 |isbn=978-0-7637-5772-4 |page=78 |url=https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160901081936/https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C |archive-date=2016-09-01 }} [https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C&pg=PA78 Extract of page 78] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160901091148/https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C&pg=PA78 |date=2016-09-01 }}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=वर्गमूल|url=https://mathworld.wolfram.com/SquareRoot.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> | ||
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== इतिहास == | == इतिहास == | ||
[[File:Ybc7289-bw.jpg|left|thumb|वाईबीसी 7289 | [[File:Ybc7289-bw.jpg|left|thumb|वाईबीसी 7289 मृत्तिका फलक]][[येल बेबीलोनियन संग्रह]] वाईबीसी 7289 मिट्टी की गोली 1800 ईसा पूर्व और 1600 ईसा पूर्व के बीच बनाया गया था, जिसमें <math>\sqrt{2}</math> तथा <math display="inline">\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}</math> को क्रमशः 1; 24, 51, 10 और 0; 42, 25, 35 [[साठवाँ|आधार 60]] संख्याओं को दो विकर्णों द्वारा पार किए गए वर्ग पर दिखाया गया था।<ref>{{cite web|url=http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/ybc/analysis.html|title=वाईबीसी 7289 का विश्लेषण|work=ubc.ca|access-date=19 January 2015}}</ref> (1;24,51,10) आधार 60 1.41421296 के अनुरूप है, जो 5 दशमलव बिंदुओं (1.41421356...) का संशुद्ध मान है। | ||
द [[रिहंद गणितीय पेपिरस]] 1650 ईसा पूर्व के [[बर्लिन पपीरस 6619]] और अन्य ग्रंथों की एक प्रति है{{snd}}पोस्सिब्ल्य थे [[कहुँ पेपिरस]]{{snd}}यह दर्शाता है कि कैसे मिस्रियों ने व्युत्क्रम अनुपात विधि द्वारा वर्गमूल निकाले।<ref>Anglin, W.S. (1994). ''Mathematics: A Concise History and Philosophy''. New York: Springer-Verlag.</ref> | द [[रिहंद गणितीय पेपिरस]] 1650 ईसा पूर्व के [[बर्लिन पपीरस 6619]] और अन्य ग्रंथों की एक प्रति है{{snd}}पोस्सिब्ल्य थे [[कहुँ पेपिरस]]{{snd}}यह दर्शाता है कि कैसे मिस्रियों ने व्युत्क्रम अनुपात विधि द्वारा वर्गमूल निकाले।<ref>Anglin, W.S. (1994). ''Mathematics: A Concise History and Philosophy''. New York: Springer-Verlag.</ref> | ||
भारत के इतिहास में, वर्ग और वर्गमूल के सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त स्वरूपों का ज्ञान कम से कम उतना ही प्राचीन था जितना कि लगभग 800-500 ईसा पूर्व का [[सुल्ब सूत्र]] (संभवतः बहुत पूर्व)।{{citation needed|date=July 2010|reason=no manuscript dates back that far and reliable secondary sources disagree}} [[बौधायन सुल्बा सूत्र]] में 2 और 3 के वर्गमूलों का बहुत ठीक सन्निकटन ज्ञात करने की | भारत के इतिहास में, वर्ग और वर्गमूल के सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त स्वरूपों का ज्ञान कम से कम उतना ही प्राचीन था जितना कि लगभग 800-500 ईसा पूर्व का [[सुल्ब सूत्र]] (संभवतः बहुत पूर्व)।{{citation needed|date=July 2010|reason=no manuscript dates back that far and reliable secondary sources disagree}} [[बौधायन सुल्बा सूत्र]] में 2 और 3 के वर्गमूलों का बहुत ठीक सन्निकटन ज्ञात करने की विधि दी गई है।<ref>Joseph, ch.8.</ref> [[आर्यभट]] ने [[आर्यभटीय]] (भाग 2.4) में अनेक अंकों वाली संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात करने की विधि दी है। | ||
यह प्राचीन यूनानियों को ज्ञात था कि [[प्राकृतिक संख्या]] के वर्गमूल जो [[वर्ग संख्या]] नहीं हैं, सदैव [[अपरिमेय संख्या]]एँ होती हैं: संख्याएँ दो पूर्णांकों के [[अनुपात]] के रूप में अभिव्यक्त नहीं होती हैं (अर्थात, उन्हें ठीक <math display="inline">\frac{m}{n}</math> के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, जहाँ m और n पूर्णांक हैं)। यह प्रमेय X, 9, है, जो लगभग निश्चित रूप से थेएटेटस (गणितज्ञ) के कारण लगभग 380 ईसा पूर्व का है।<ref>{{cite book | यह प्राचीन यूनानियों को ज्ञात था कि [[प्राकृतिक संख्या]] के वर्गमूल जो [[वर्ग संख्या]] नहीं हैं, सदैव [[अपरिमेय संख्या]]एँ होती हैं: संख्याएँ दो पूर्णांकों के [[अनुपात]] के रूप में अभिव्यक्त नहीं होती हैं (अर्थात, उन्हें ठीक <math display="inline">\frac{m}{n}</math> के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, जहाँ m और n पूर्णांक हैं)। यह प्रमेय X, 9, है, जो लगभग निश्चित रूप से थेएटेटस (गणितज्ञ) के कारण लगभग 380 ईसा पूर्व का है।<ref>{{cite book | ||
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प्रारंभिक हान राजवंश के समय 202 ईसा पूर्व और 186 ईसा पूर्व के बीच लिखे गए चीनी गणितीय कार्य रेकनिंग पर लेखन में, वर्गमूल को एक अतिरिक्त और न्यूनता विधि का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है, जो कहता है कि "... अधिकता और न्यूनता को विभाजक के रूप में संयोजित करें; (लेना) न्यूनता अंश को अतिरिक्त भाजक से गुणा करना और अतिरिक्त अंश को न्यूनता भाजक से गुणा करना, उन्हें लाभांश के रूप में संयोजित करना।"<ref>Dauben (2007), p. 210.</ref> | प्रारंभिक हान राजवंश के समय 202 ईसा पूर्व और 186 ईसा पूर्व के बीच लिखे गए चीनी गणितीय कार्य रेकनिंग पर लेखन में, वर्गमूल को एक अतिरिक्त और न्यूनता विधि का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है, जो कहता है कि "... अधिकता और न्यूनता को विभाजक के रूप में संयोजित करें; (लेना) न्यूनता अंश को अतिरिक्त भाजक से गुणा करना और अतिरिक्त अंश को न्यूनता भाजक से गुणा करना, उन्हें लाभांश के रूप में संयोजित करना।"<ref>Dauben (2007), p. 210.</ref> | ||
वर्गमूल के लिए | वर्गमूल के लिए प्रतीक, जिसे एक विस्तृत R के रूप में लिखा गया है, का आविष्कार [[Regiomontanus|रेजीओमोंटानस]] (1436-1476) द्वारा किया गया था। [[जेरोम कार्डानो]] के एर्स मैग्ना (गेरोलामो कार्डानो) में वर्गमूलों को इंगित करने के लिए मूलांक के लिए एक R का भी उपयोग किया गया था।<ref>{{cite web|url=http://nrich.maths.org/6546|title=बीजगणित का विकास - 2|work=maths.org|access-date=19 January 2015|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20141124102946/http://nrich.maths.org/6546|archive-date=24 November 2014}}</ref> | ||
गणित के इतिहासकार के अनुसार डेविड यूजीन स्मिथ के अनुसार, आर्यभट्ट की वर्गमूल ज्ञात करने की विधि को सबसे पूर्व यूरोप में [[गियाकोमो कैटेनो के पीटर]] द्वारा 1546 में प्रस्तुत किया गया था। | गणित के इतिहासकार के अनुसार डेविड यूजीन स्मिथ के अनुसार, आर्यभट्ट की वर्गमूल ज्ञात करने की विधि को सबसे पूर्व यूरोप में [[गियाकोमो कैटेनो के पीटर]] द्वारा 1546 में प्रस्तुत किया गया था। | ||
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== गुण और उपयोग == | == गुण और उपयोग == | ||
[[Image:Square root 0 25.svg|thumb|400px|फलन | [[Image:Square root 0 25.svg|thumb|400px|फलन f(x) = √x का रेखा-चित्र, एक ऊर्ध्वाधर नियता के साथ आधे [[परवलय]] से बना है]]प्रमुख वर्ग वर्गमूल फलन <math>f(x) = \sqrt{x}</math> (सामान्यतः मात्र वर्ग वर्गमूल फलन के रूप में संदर्भित किया जाता है) एक फलन (गणित) है जो गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] को स्वयं पर प्रतिचित्रित करते है। [[ज्यामिति]] के संदर्भ में, वर्गमूल फलन वर्ग के [[क्षेत्र]]फल को उसकी भुजा की लंबाई से प्रतिचित्रित करते है। | ||
x का वर्गमूल परिमेय है यदि और मात्र यदि x | x का वर्गमूल परिमेय है यदि और मात्र यदि x [[परिमेय संख्या]] है जिसे दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है। (प्रमाण के लिए 2 का वर्गमूल देखें कि यह एक अपरिमेय संख्या है, और सभी गैर-वर्ग प्राकृतिक संख्याओं के प्रमाण के लिए [[द्विघात अपरिमेय]] है।) वर्गमूल फलन परिमेय संख्याओं को [[बीजगणितीय संख्या]]ओं में प्रतिचित्रित करते है, बाद वाला परिमेय संख्याओं का [[सुपरसेट|अधिसमुच्चय]] होता है।)। | ||
सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए, | सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए, | ||
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:<math>\sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \cdots</math> द्वारा दी जाती है, | :<math>\sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \cdots</math> द्वारा दी जाती है, | ||
एक गैर-ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल का उपयोग [[यूक्लिडियन मानदंड]] (और [[यूक्लिडियन दूरी]]) की परिभाषा के साथ-साथ हिल्बर्ट रिक्त समष्टि जैसे सामान्यीकरण में किया जाता है। यह संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में प्रयुक्त [[मानक विचलन]] की एक महत्वपूर्ण अवधारणा को परिभाषित | एक गैर-ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल का उपयोग [[यूक्लिडियन मानदंड]] (और [[यूक्लिडियन दूरी]]) की परिभाषा के साथ-साथ हिल्बर्ट रिक्त समष्टि जैसे सामान्यीकरण में किया जाता है। यह संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में प्रयुक्त [[मानक विचलन]] की एक महत्वपूर्ण अवधारणा को परिभाषित करते है। [[द्विघात समीकरण]] के मूलों के सूत्र में इसका प्रमुख उपयोग है; [[द्विघात क्षेत्र]] और [[द्विघात पूर्णांक]] के वलय, जो वर्गमूल पर आधारित होते हैं, बीजगणित में महत्वपूर्ण होते हैं और ज्यामिति में उपयोग होते हैं। वर्गमूल प्रायः गणितीय सूत्रों के साथ-साथ कई भौतिकी नियमों में भी दिखाई देते हैं। | ||
==धनात्मक पूर्णांकों का वर्गमूल== | ==धनात्मक पूर्णांकों का वर्गमूल== | ||
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एक पूर्णांक के वर्गमूल [[बीजगणितीय पूर्णांक]] होते हैं - विशेष रूप से द्विघात पूर्णांक। | एक पूर्णांक के वर्गमूल [[बीजगणितीय पूर्णांक]] होते हैं - विशेष रूप से द्विघात पूर्णांक। | ||
धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल उसके [[अभाज्य संख्या]] कारकों के मूलों का गुणनफल होता है, क्योंकि किसी गुणनफल का वर्गमूल गुणनखंडों के वर्गमूलों का गुणनफल होता है। <math>\sqrt{p^{2k}} = p^k</math> के बाद से, मात्र उन अभाज्यों की मूल जिनके गुणनखंड में विषम घात होती है, आवश्यक हैं। अधिक यथार्थ रूप से, एक अभाज्य गुणनखंड का वर्गमूल | |||
:<math>\sqrt{p_1^{2e_1+1}\cdots p_k^{2e_k+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_n^{2e_n}}=p_1^{e_1}\dots p_n^{e_n}\sqrt{p_1\dots p_k}</math> है। | :<math>\sqrt{p_1^{2e_1+1}\cdots p_k^{2e_k+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_n^{2e_n}}=p_1^{e_1}\dots p_n^{e_n}\sqrt{p_1\dots p_k}</math> है। | ||
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=== आवधिक [[निरंतर अंश|निरंतर अंशों]] के रूप में === | === आवधिक [[निरंतर अंश|निरंतर अंशों]] के रूप में === | ||
निरंतर भिन्नों के रूप में अपरिमेय संख्याओं के अध्ययन से सबसे रुचिपूर्ण परिणामों में से एक [[जोसेफ लुइस लाग्रेंज]] {{circa}} 1780 द्वारा प्राप्त किया गया था। लैग्रेंज ने पाया कि किसी भी गैर-वर्ग धनात्मक पूर्णांक के वर्गमूल का | निरंतर भिन्नों के रूप में अपरिमेय संख्याओं के अध्ययन से सबसे रुचिपूर्ण परिणामों में से एक [[जोसेफ लुइस लाग्रेंज]] {{circa}} 1780 द्वारा प्राप्त किया गया था। लैग्रेंज ने पाया कि किसी भी गैर-वर्ग धनात्मक पूर्णांक के वर्गमूल का निरंतर अंश के रूप में प्रतिनिधित्व [[आवधिक निरंतर अंश]] है। अर्थात्, आंशिक भाजक का निश्चित प्रतिरूप निरंतर भिन्न में अनिश्चित काल तक दोहराता है। एक अर्थ में ये वर्गमूल सबसे सरल अपरिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि इन्हें पूर्णांकों के सरल दोहराव प्रतिरूप के साथ दर्शाया जा सकता है। | ||
:{| | :{| | ||
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{{Main article|वर्गमूल की गणना की विधियां}} | {{Main article|वर्गमूल की गणना की विधियां}} | ||
धनात्मक संख्याओं के वर्गमूल सामान्य परिमेय संख्याओं में नहीं होते हैं, और इसलिए इन्हें सांत या आवर्ती दशमलव व्यंजक के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। इसलिए सामान्यतः दशमलव रूप में व्यक्त वर्गमूल की गणना करने का कोई भी प्रयास मात्र सन्निकटन प्राप्त कर | धनात्मक संख्याओं के वर्गमूल सामान्य परिमेय संख्याओं में नहीं होते हैं, और इसलिए इन्हें सांत या आवर्ती दशमलव व्यंजक के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। इसलिए सामान्यतः दशमलव रूप में व्यक्त वर्गमूल की गणना करने का कोई भी प्रयास मात्र सन्निकटन प्राप्त कर सकते है, यद्यपि तीव्रता से यथार्थ सन्निकटन का एक क्रम प्राप्त किया जा सकता है। | ||
अधिकांश [[जेब कैलकुलेटर|पॉकेट कैलकुलेटर]] में एक वर्गमूल कुंजी होती है। कंप्यूटर [[स्प्रेडशीट]] और अन्य [[सॉफ़्टवेयर]] भी प्रायः वर्गमूलों की गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं। पॉकेट कैलकुलेटर सामान्यतः | अधिकांश [[जेब कैलकुलेटर|पॉकेट कैलकुलेटर]] में एक वर्गमूल कुंजी होती है। कंप्यूटर [[स्प्रेडशीट]] और अन्य [[सॉफ़्टवेयर]] भी प्रायः वर्गमूलों की गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं। पॉकेट कैलकुलेटर सामान्यतः धनात्मक वास्तविक संख्या के वर्गमूल की गणना करने के लिए न्यूटन की विधि (प्रायः 1 के प्रारंभिक अनुमान के साथ) जैसे कुशल परिच्छेदन को लागू करते हैं।<ref>{{cite book|last=Parkhurst|first=David F.|title=पर्यावरण विज्ञान के लिए अनुप्रयुक्त गणित का परिचय|url=https://archive.org/details/introductiontoap00park_663|url-access=limited|year=2006|publisher=Springer|isbn=9780387342283|pages=[https://archive.org/details/introductiontoap00park_663/page/n249 241]}}</ref><ref>{{cite book|last=Solow|first=Anita E.|title=लर्निंग बाय डिस्कवरी: ए लैब मैनुअल फॉर कैलकुलस|year=1993|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780883850831|pages=[https://archive.org/details/learningbydiscov0001unse/page/48 48]|url=https://archive.org/details/learningbydiscov0001unse/page/48}}</ref> [[सामान्य लघुगणक]] या [[स्लाइड नियम|स्लाइड नियमों]] के साथ वर्गमूल की गणना करते समय, कोई सर्वसमिका | ||
:<math>\sqrt{a} = e^{(\ln a)/2} = 10^{(\log_{10} a)/2}</math> | :<math>\sqrt{a} = e^{(\ln a)/2} = 10^{(\log_{10} a)/2}</math> | ||
का उपयोग कर | का उपयोग कर सकते है, जहां {{math|ln}} तथा {{math|log}}<sub>10</sub> [[प्राकृतिक]] लघुगणक और आधार-10 लघुगणक हैं। | ||
परीक्षण और त्रुटि के द्वारा,<ref>{{cite book |title=जैविक वैज्ञानिकों के लिए गणित|first1=Mike |last1=Aitken |first2=Bill |last2=Broadhurst |first3=Stephen |last3=Hladky |publisher=Garland Science |year=2009 |isbn=978-1-136-84393-8 |page=41 |url=https://books.google.com/books?id=KywWBAAAQBAJ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170301101038/https://books.google.com/books?id=KywWBAAAQBAJ |archive-date=2017-03-01 }} [https://books.google.com/books?id=KywWBAAAQBAJ&pg=PA41 Extract of page 41] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170301100516/https://books.google.com/books?id=KywWBAAAQBAJ&pg=PA41 |date=2017-03-01 }}</ref> कोई <math>\sqrt{a}</math> के लिए | परीक्षण और त्रुटि के द्वारा,<ref>{{cite book |title=जैविक वैज्ञानिकों के लिए गणित|first1=Mike |last1=Aitken |first2=Bill |last2=Broadhurst |first3=Stephen |last3=Hladky |publisher=Garland Science |year=2009 |isbn=978-1-136-84393-8 |page=41 |url=https://books.google.com/books?id=KywWBAAAQBAJ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170301101038/https://books.google.com/books?id=KywWBAAAQBAJ |archive-date=2017-03-01 }} [https://books.google.com/books?id=KywWBAAAQBAJ&pg=PA41 Extract of page 41] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170301100516/https://books.google.com/books?id=KywWBAAAQBAJ&pg=PA41 |date=2017-03-01 }}</ref> कोई <math>\sqrt{a}</math> के लिए अनुमान को वर्गाकार कर सकते है और अनुमान को तब तक बढ़ा या घटा सकते है जब तक कि वह पर्याप्त यथार्थता से सहमत न हो। इस तकनीक के लिए तत्समक | ||
:<math>(x + c)^2 = x^2 + 2xc + c^2</math> | :<math>(x + c)^2 = x^2 + 2xc + c^2</math> | ||
का उपयोग करना विवेकपूर्ण है, क्योंकि यह अनुमान x को कुछ राशि c से समायोजित करने की अनुमति देता है और मूल अनुमान और उसके वर्ग के संदर्भ में समायोजन के वर्ग को मापता है। इसके अतिरिक्त, (x + c)<sup>2 ≈ x<sup>2 + 2xc जब c 0 के निकट है, क्योंकि c = 0 पर x<sup>2 + 2xc + c<sup>2 के | का उपयोग करना विवेकपूर्ण है, क्योंकि यह अनुमान x को कुछ राशि c से समायोजित करने की अनुमति देता है और मूल अनुमान और उसके वर्ग के संदर्भ में समायोजन के वर्ग को मापता है। इसके अतिरिक्त, (x + c)<sup>2 ≈ x<sup>2 + 2xc जब c 0 के निकट है, क्योंकि c = 0 पर x<sup>2 + 2xc + c<sup>2 के रेखा-चित्र की स्पर्श रेखा, अकेले c के कार्य के रूप में, y= 2xc + x<sup>2 है। इस प्रकार, 2xc को a, या c = a/(2x) पर समूहित करके x में छोटे समायोजन की योजना बनाई जा सकती है। | ||
पहली सदी के ग्रीक दार्शनिक [[अलेक्जेंड्रिया के हीरो]] के बाद हाथ से वर्गमूल गणना की सबसे सामान्य पुनरावृत्त विधि को [[बेबीलोनियन विधि]] या हेरॉन की विधि के रूप में जाना जाता है, जिसने पहली बार इसका वर्णन किया था।<ref>{{cite book | पहली सदी के ग्रीक दार्शनिक [[अलेक्जेंड्रिया के हीरो]] के बाद हाथ से वर्गमूल गणना की सबसे सामान्य पुनरावृत्त विधि को [[बेबीलोनियन विधि]] या हेरॉन की विधि के रूप में जाना जाता है, जिसने पहली बार इसका वर्णन किया था।<ref>{{cite book | ||
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|url = https://books.google.com/books?id=g3AlWip4R38C | |url = https://books.google.com/books?id=g3AlWip4R38C | ||
}}, [https://books.google.com/books?id=g3AlWip4R38C&pg=PA92 Chapter 5, p 92] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160901091516/https://books.google.com/books?id=g3AlWip4R38C&pg=PA92 |date=2016-09-01 }} | }}, [https://books.google.com/books?id=g3AlWip4R38C&pg=PA92 Chapter 5, p 92] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160901091516/https://books.google.com/books?id=g3AlWip4R38C&pg=PA92 |date=2016-09-01 }} | ||
</ref> एल्गोरिदम एक साधारण गणना को दोहराना है जिसके परिणामस्वरूप प्रत्येक बार वास्तविक वर्गमूल के निकट एक संख्या होती है जिसे नवीन निवेश के रूप में इसके परिणाम के साथ दोहराया जाता है। प्रेरणा यह है कि यदि x एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या a के वर्गमूल से अधिक है तो a/x एक कम अनुमान होगा और इसलिए इन दोनों संख्याओं का औसत दोनों में से किसी एक से ठीक सन्निकटन है। यद्यपि, [[अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता]] से पता चलता है कि यह औसत सदैव वर्गमूल (जैसा कि नीचे उल्लेख किया गया है) का | </ref> एल्गोरिदम एक साधारण गणना को दोहराना है जिसके परिणामस्वरूप प्रत्येक बार वास्तविक वर्गमूल के निकट एक संख्या होती है जिसे नवीन निवेश के रूप में इसके परिणाम के साथ दोहराया जाता है। प्रेरणा यह है कि यदि x एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या a के वर्गमूल से अधिक है तो a/x एक कम अनुमान होगा और इसलिए इन दोनों संख्याओं का औसत दोनों में से किसी एक से ठीक सन्निकटन है। यद्यपि, [[अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता]] से पता चलता है कि यह औसत सदैव वर्गमूल (जैसा कि नीचे उल्लेख किया गया है) का अधिमूल्यन है, और इसलिए यह नवीन अधिमूल्यांकन के रूप में काम कर सकते है जिसके साथ प्रक्रिया को दोहराया जा सकता है, जो क्रमिक परिणामस्वरूप [[अनुक्रम की सीमा]] और प्रत्येक पुनरावृत्ति के बाद एक दूसरे के निकट होने को कम करके आंकते हैं। X खोजने के लिए: | ||
# | # यादृच्छिक धनात्मक प्रारंभ मान x से प्रारंभ करें। a के वर्गमूल के जितना निकट होगा, वांछित यथार्थता प्राप्त करने के लिए उतने ही कम पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होगी। | ||
# x को औसत (x + a/x) / 2 से x और a/x के बीच बदलें। | # x को औसत (x + a/x) / 2 से x और a/x के बीच बदलें। | ||
# x के नवीन मान के रूप में इस औसत का उपयोग करके चरण 2 से दोहराएं। | # x के नवीन मान के रूप में इस औसत का उपयोग करके चरण 2 से दोहराएं। | ||
यही है, यदि <math>\sqrt{a}</math> के लिए यादृच्छिक अनुमान x<sub>0</sub> है, और {{nowrap|1 = ''x''<sub>''n'' + 1</sub> = (''x<sub>n</sub>'' + ''a''/''x<sub>n</sub>'') / 2}} है, तो प्रत्येक x<sub>n</sub> <math>\sqrt{a}</math> का | यही है, यदि <math>\sqrt{a}</math> के लिए यादृच्छिक अनुमान x<sub>0</sub> है, और {{nowrap|1 = ''x''<sub>''n'' + 1</sub> = (''x<sub>n</sub>'' + ''a''/''x<sub>n</sub>'') / 2}} है, तो प्रत्येक x<sub>n</sub> <math>\sqrt{a}</math> का अनुमान है जो छोटे n के सन्निकटन बड़े n के लिए ठीक है। यदि a धनात्मक है, अभिसरण [[अभिसरण की दर]] है, जिसका अर्थ है कि सीमा तक पहुँचने पर, प्रत्येक अगले पुनरावृत्ति में संशुद्ध अंकों की संख्या साधारणतया दोगुनी हो जाती है। यदि {{nowrap|1 =''a'' = 0}}, अभिसरण मात्र रेखीय होता है। | ||
तत्समक | तत्समक | ||
:<math>\sqrt{a} = 2^{-n}\sqrt{4^n a},</math> | :<math>\sqrt{a} = 2^{-n}\sqrt{4^n a},</math> | ||
का उपयोग करके, धनात्मक संख्या के वर्गमूल की गणना को श्रेणी {{closed-open|1,4}} में किसी संख्या के वर्गमूल तक कम किया जा सकता है। यह पुनरावृत्त विधि के लिए | का उपयोग करके, धनात्मक संख्या के वर्गमूल की गणना को श्रेणी {{closed-open|1,4}} में किसी संख्या के वर्गमूल तक कम किया जा सकता है। यह पुनरावृत्त विधि के लिए प्रारंभ मान खोजने को सरल करते है जो वर्गमूल के निकट है, जिसके लिए बहुपद फलन या टुकड़े-रैखिक [[सन्निकटन सिद्धांत]] का उपयोग किया जा सकता है। | ||
यथार्थता के n अंकों के साथ एक वर्गमूल की गणना के लिए [[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत|संगणनात्मक जटिलता सिद्धांत]] दो n-अंकों की संख्या को गुणा करने के बराबर है। | यथार्थता के n अंकों के साथ एक वर्गमूल की गणना के लिए [[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत|संगणनात्मक जटिलता सिद्धांत]] दो n-अंकों की संख्या को गुणा करने के बराबर है। | ||
वर्गमूल की गणना के लिए | वर्गमूल की गणना के लिए अन्य उपयोगी विधि [[nवें रूट एल्गोरिदम को स्थानांतरित करना|nवें वर्गमूल एल्गोरिदम को समष्टिांतरित करना]] है, जिसे {{nowrap|1= ''n'' = 2}} के लिए लागू किया जाता है। | ||
वर्गमूल [[समारोह (प्रोग्रामिंग)|फलन (प्रोग्रामन)]] का नाम [[प्रोग्रामिंग भाषा|प्रोग्रामन भाषा]] से लेकर प्रोग्रामन भाषा तक भिन्न है, जिसमें <code>sqrt</code><ref>{{cite web |title=समारोह वर्ग|work=CPlusPlus.com |date=2016 |publisher=The C++ Resources Network |url=http://www.cplusplus.com/reference/clibrary/cmath/sqrt/ |access-date=June 24, 2016 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20121122050619/http://www.cplusplus.com/reference/clibrary/cmath/sqrt/ |archive-date=November 22, 2012 }}</ref> (प्रायः उच्चारित धार <ref>{{cite book |title=अधीर के लिए सी ++|first=Brian |last=Overland |page=338 |publisher=Addison-Wesley |date=2013 |isbn=9780133257120 |oclc=850705706 |url=https://books.google.com/books?id=eJFpV-_t4WkC&q=%22squirt%22+sqrt+C%2B%2B&pg=PA338 |access-date=June 24, 2016 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160901082021/https://books.google.com/books?id=eJFpV-_t4WkC&pg=PA338&dq=%22squirt%22+sqrt+C%2B%2B&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwjEwfj04sHNAhUY0GMKHatGDnsQ6AEIKDAC#v=onepage&q=%22squirt%22%20sqrt%20C%2B%2B&f=false |archive-date=September 1, 2016 }}</ref>) सामान्य होता है, C (प्रोग्रामन भाषा), [[C++]], और [[JavaScript|जावास्क्रिप्ट]], [[PHP|पीएचपी]], और पायथन (प्रोग्रामन भाषा) जैसी व्युत्पन्न भाषाओं में उपयोग किया जाता है। | वर्गमूल [[समारोह (प्रोग्रामिंग)|फलन (प्रोग्रामन)]] का नाम [[प्रोग्रामिंग भाषा|प्रोग्रामन भाषा]] से लेकर प्रोग्रामन भाषा तक भिन्न है, जिसमें <code>sqrt</code><ref>{{cite web |title=समारोह वर्ग|work=CPlusPlus.com |date=2016 |publisher=The C++ Resources Network |url=http://www.cplusplus.com/reference/clibrary/cmath/sqrt/ |access-date=June 24, 2016 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20121122050619/http://www.cplusplus.com/reference/clibrary/cmath/sqrt/ |archive-date=November 22, 2012 }}</ref> (प्रायः उच्चारित धार <ref>{{cite book |title=अधीर के लिए सी ++|first=Brian |last=Overland |page=338 |publisher=Addison-Wesley |date=2013 |isbn=9780133257120 |oclc=850705706 |url=https://books.google.com/books?id=eJFpV-_t4WkC&q=%22squirt%22+sqrt+C%2B%2B&pg=PA338 |access-date=June 24, 2016 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160901082021/https://books.google.com/books?id=eJFpV-_t4WkC&pg=PA338&dq=%22squirt%22+sqrt+C%2B%2B&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwjEwfj04sHNAhUY0GMKHatGDnsQ6AEIKDAC#v=onepage&q=%22squirt%22%20sqrt%20C%2B%2B&f=false |archive-date=September 1, 2016 }}</ref>) सामान्य होता है, C (प्रोग्रामन भाषा), [[C++]], और [[JavaScript|जावास्क्रिप्ट]], [[PHP|पीएचपी]], और पायथन (प्रोग्रामन भाषा) जैसी व्युत्पन्न भाषाओं में उपयोग किया जाता है। | ||
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|image3=Riemann surface sqrt.svg |caption3=Using the [[Riemann surface]] of the square root, it is shown how the two leaves fit together | |image3=Riemann surface sqrt.svg |caption3=Using the [[Riemann surface]] of the square root, it is shown how the two leaves fit together | ||
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किसी भी धनात्मक या ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है, और 0 का वर्ग 0 होता है। इसलिए, किसी भी ऋणात्मक संख्या का वास्तविक वर्गमूल नहीं हो | किसी भी धनात्मक या ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है, और 0 का वर्ग 0 होता है। इसलिए, किसी भी ऋणात्मक संख्या का वास्तविक वर्गमूल नहीं हो सकते है। यद्यपि, संख्याओं के अधिक समावेशी समुच्चय के साथ काम करना संभव है, जिसे जटिल संख्याएँ कहा जाता है, जिसमें ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल का हल होता है। यह नवीन संख्या को प्रस्तुत करके किया जाता है, जिसे i (कभी-कभी j, विशेष रूप से [[विद्युत प्रवाह]] के संदर्भ में जहां मैं पारंपरिक रूप से विद्युत प्रवाह का प्रतिनिधित्व करते है) द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे [[काल्पनिक इकाई]] कहा जाता है, जिसे {{nowrap|1=''i''<sup>2</sup> = −1}} के रूप में परिभाषित किया गया है। इस अंकन का उपयोग करके, हम i को -1 का वर्गमूल मान सकते हैं, परन्तु हमारे निकट {{nowrap|1=(−''i'')<sup>2</sup> = ''i''<sup>2</sup> = −1}} भी है और इसलिए -i भी -1 का एक वर्गमूल है। परिपाटी के अनुसार, -1 का मुख्य वर्गमूल i है, या अधिक सामान्यतः, यदि x कोई गैर-ऋणात्मक संख्या है, तो -x का मुख्य वर्गमूल | ||
:<math>\sqrt{-x} = i \sqrt x</math> है। | :<math>\sqrt{-x} = i \sqrt x</math> है। | ||
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=== एक सम्मिश्र संख्या का मूल वर्गमूल === | === एक सम्मिश्र संख्या का मूल वर्गमूल === | ||
{{Visualisation complex number roots}} | {{Visualisation complex number roots}} | ||
वर्गमूल के लिए एक परिभाषा खोजने के लिए जो हमें निरंतर | वर्गमूल के लिए एक परिभाषा खोजने के लिए जो हमें निरंतर मान चुनने की अनुमति देता है, जिसे प्रमुख मान कहा जाता है, हम यह देखकर प्रारम्भ करते हैं कि किसी भी सम्मिश्र संख्या <math>x + i y</math> को समतल में एक बिंदु के रूप में देखा जा सकता है,<math>(x, y),</math> कार्तीय निर्देशांक का उपयोग करके व्यक्त किया गया। जोड़ी <math>(r, \varphi)</math> के रूप में ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करके एक ही बिंदु को दोबारा परिभाषित किया जा सकता है, जहां <math>r \geq 0</math> मूल से बिंदु की दूरी है, और <math>\varphi</math> वह कोण है जो मूल से बिंदु तक की रेखा धनात्मक वास्तविक (<math>x</math>) अक्ष के साथ बनाती है। जटिल विश्लेषण में, इस बिंदु का स्थान पारंपरिक रूप से <math>r e^{i\varphi}</math> लिखा जाता है। यदि | ||
<math display=block>z = r e^{i \varphi} \text{ with } -\pi < \varphi \leq \pi,</math> | <math display=block>z = r e^{i \varphi} \text{ with } -\pi < \varphi \leq \pi,</math> | ||
तो <math>z</math> का {{em|{{visible anchor|मुख्य वर्गमूल}}}} निम्नलिखित के रूप में परिभाषित किया गया है: | तो <math>z</math> का {{em|{{visible anchor|मुख्य वर्गमूल}}}} निम्नलिखित के रूप में परिभाषित किया गया है: | ||
<math display=block>\sqrt{z} = \sqrt{r} e^{i \varphi / 2}.</math> मुख्य वर्ग वर्गमूल फलन इस प्रकार गैर-धनात्मक वास्तविक अक्ष का उपयोग शाखा बिन्दु के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि <math>z</math> गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है (जो तब होता है यदि और मात्र यदि <math>\varphi = 0</math>) तो <math>z</math> का मुख्य वर्गमूल <math>\sqrt{r} e^{i (0) / 2} = \sqrt{r}</math> है; दूसरे शब्दों में, एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या का मुख्य वर्गमूल मात्र सामान्य गैर-ऋणात्मक वर्गमूल होता है। | <math display=block>\sqrt{z} = \sqrt{r} e^{i \varphi / 2}.</math> मुख्य वर्ग वर्गमूल फलन इस प्रकार गैर-धनात्मक वास्तविक अक्ष का उपयोग शाखा बिन्दु के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि <math>z</math> गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है (जो तब होता है यदि और मात्र यदि <math>\varphi = 0</math>) तो <math>z</math> का मुख्य वर्गमूल <math>\sqrt{r} e^{i (0) / 2} = \sqrt{r}</math> है; दूसरे शब्दों में, एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या का मुख्य वर्गमूल मात्र सामान्य गैर-ऋणात्मक वर्गमूल होता है। | ||
यह महत्वपूर्ण है कि <math>-\pi < \varphi \leq \pi</math> क्योंकि यदि, उदाहरण के लिए, <math>z = - 2 i</math> (इसलिए <math>\varphi = -\pi/2</math>) तो मुख्य वर्गमूल <math display=block>\sqrt{-2 i} = \sqrt{2 e^{i\varphi}} = \sqrt{2} e^{i\varphi/2} = \sqrt{2} e^{i(-\pi/4)} = 1 - i</math> है, परन्तु <math>\tilde{\varphi} := \varphi | |||