अर्बेलोस: Difference between revisions

Revision as of 18:41, 24 May 2023

एक अर्बेलोस (ग्रे क्षेत्र)

File:Arbelos sculpture Netherlands 1.jpg

Kaatsheuvel, नीदरलैंड में Arbelos मूर्तिकला

ज्यामिति में, एक अर्बेलोस एक समतल क्षेत्र होता है जो तीन अर्धवृत्तों से घिरा होता है जिसमें तीन शीर्ष होते हैं जैसे कि प्रत्येक अर्धवृत्त का प्रत्येक कोना अन्य में से एक के साथ साझा किया जाता है, सभी एक सीधी रेखा के एक ही तरफ ("आधार रेखा") ) जिसमें उनके व्यास होते हैं।^[1]

इस आंकड़े का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ आर्किमिडीज की नींबू की किताब में है, जहां इसके कुछ गणितीय गुणों को प्रस्ताव 4 से 8 के रूप में बताया गया है।^[2]अर्बेलोस शब्द 'शोमेकर्स नाइफ' के लिए ग्रीक है। यह आंकड़ा पप्पस श्रृंखला से निकटता से संबंधित है।

गुण

मनमाना व्यास के साथ दो अर्धवृत्त आवश्यक रूप से अवतल हैं तीसरा अर्धवृत्त व्यास के साथ है

अर्बेलोस पर कुछ खास बातें।

दो अर्धवृत्त आवश्यक रूप से अवतल होती हैं, मनमाना व्यास $a$ और $b$ के साथ; तीसरा अर्धवृत्त उत्तल होता है, जिसका वक्र $a + b .$ होता है। ^[1]

क्षेत्र

अर्बेलोस का क्षेत्रफल (ज्यामिति) व्यास वाले वृत्त के क्षेत्रफल के समान होता है $HA$ .

सबूत: सबूत के लिए, बिंदुओं के माध्यम से रेखा पर आर्बेलोस को प्रतिबिंबित करें $B$ और $C$ , और देखें कि दो छोटे वृत्तों (व्यास वाले $BA$ , $AC$ ) को बड़े वृत्त के क्षेत्रफल से घटाया जाता है (व्यास के साथ $BC$ ). चूँकि एक वृत्त का क्षेत्रफल व्यास के वर्ग के समानुपाती होता है (यूक्लिड के यूक्लिड के तत्व, पुस्तक XII, प्रस्ताव 2; हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि आनुपातिकता (गणित) है $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/4$ ), यह दिखाने के लिए समस्या कम हो जाती है $2|AH|^{2}=|BC|^{2}-|AC|^{2}-|B|^{2}$ . लंबाई $| BC |$ लंबाई के योग के समान है $| BA |$ और $| AC |$ , इसलिए यह समीकरण बीजगणितीय रूप से उस कथन को सरल करता है $|AH|^{2}=|BA||AC|$ . इस प्रकार दावा है कि खंड की लंबाई $AH$ खंडों की लंबाई का ज्यामितीय माध्य है $BA$ और $AC$ . अब (चित्र देखें) त्रिभुज $BHC$ , अर्धवृत्त में अंकित किया जा रहा है, बिंदु पर एक समकोण है $H$ (यूक्लिड, पुस्तक III, प्रस्ताव 31), और परिणामस्वरूप $| HA |$ वास्तव में बीच का एक समानुपातिक माध्य है $| BA |$ और $| AC |$ (यूक्लिड, पुस्तक VI, प्रस्ताव 8, पोरिज़्म)। यह प्रमाण प्राचीन यूनानी तर्क का अनुमान लगाता है; हेरोल्ड पी. बोस रोजर बी. नेल्सन के एक पेपर का हवाला देते हैं^[3] जिन्होंने इस विचार को बिना शब्दों के निम्नलिखित प्रमाण के रूप में लागू किया। रेफरी>Boas, Harold P. (2006). "अर्बेलोस पर विचार". The American Mathematical Monthly. 113 (3): 236–249. doi:10.2307/27641891. JSTOR 27641891.</ref>

अर्बेलोस का क्षेत्रफल व्यास HA वाले एक वृत्त के क्षेत्रफल के समान है।

उपपत्ति: प्रमाण के लिए, अरबेलों को बिंदु B और C से होकर जाने वाली रेखा पर प्रतिबिंबित करें, और निरीक्षण करें कि दो छोटे वृत्तों (व्यास BA, AC के साथ) के क्षेत्रफलों को घटाए जाने पर arbelos के क्षेत्रफल का दुगुना शेष रह जाता है। बड़े वृत्त का क्षेत्रफल (व्यास BC के साथ)। चूँकि एक वृत्त का क्षेत्रफल व्यास के वर्ग के समानुपाती होता है (यूक्लिड के तत्व, पुस्तक XII, प्रस्ताव 2; हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि आनुपातिकता का स्थिरांक है

आयत

होने देना $D$ और $E$ वे बिंदु हों जहां खंड हों $BH$ और $CH$ अर्धवृत्तों को प्रतिच्छेद करें $AB$ और $AC$ , क्रमश। चतुर्भुज $ADHE$ वास्तव में एक आयत है।

सबूत:

∠BDA

,

∠BHC

, और

∠AEC

समकोण हैं क्योंकि वे अर्धवृत्त (थेल्स के प्रमेय द्वारा) में खुदे हुए हैं। चतुर्भुज

ADHE

इसलिए तीन समकोण हैं, इसलिए यह एक आयत है। Q.E.D.

स्पर्शरेखा

रेखा $DE$ अर्धवृत्त की स्पर्शरेखा है $BA$ पर $D$ और अर्धवृत्त $AC$ पर $E$ .

प्रमाण: चूंकि

∠BDA

एक समकोण है,

∠DBA

समान है

π / 2

ऋण

∠DAB

. हालाँकि,

∠DAH

भी समान है

π / 2

ऋण

∠DAB

(तब से

∠HAB

एक समकोण है)। इसलिए त्रिकोण

DBA

और

DAH

समानता (ज्यामिति) हैं। इसलिए

∠DIA

समान है

∠DOH

, कहाँ

I

का मध्यबिंदु है

BA

और

O

का मध्यबिंदु है

AH

. लेकिन

∠AOH

एक सीधी रेखा है, इसलिए

∠DOH

और

∠DOA

संपूरक कोण हैं। इसलिए का योग

∠DIA

और

∠DOA

पी है।

∠IAO

समकोण है। किसी भी चतुर्भुज में कोणों का योग 2π है, इसलिए चतुर्भुज में

IDOA

,

∠IDO

एक समकोण होना चाहिए। लेकिन

ADHE

एक आयत है, इसलिए मध्यबिंदु

O

का

AH

(आयत का विकर्ण) भी का मध्यबिंदु है

DE

(आयत का अन्य विकर्ण)। जैसा

I

(के मध्य बिंदु के रूप में परिभाषित

BA

) अर्धवृत्त का केंद्र है

BA

, और कोण

∠IDE

तब एक समकोण है

DE

अर्धवृत्त की स्पर्शरेखा है

BA

पर

D

. समान तर्क से

DE

अर्धवृत्त की स्पर्शरेखा है

AC

पर

E

. Q.E.D.

आर्किमिडीज सर्कल

ऊँचाई $AH$ अर्बेलोस को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है, प्रत्येक एक अर्धवृत्त, एक सीधी रेखा खंड और बाहरी अर्धवृत्त के एक चाप से घिरा होता है। इन क्षेत्रों में से प्रत्येक में खुदे हुए वृत्त, जिन्हें आर्बेलोस के आर्किमिडीज़ के वृत्त के रूप में जाना जाता है, का आकार समान है।

विविधताएं और सामान्यीकरण

File:F-belos.svg

एक एफ-बेलोस का उदाहरण

परबेलोस अर्बेलोस के समान एक आकृति है, जो अर्धवृत्त के बजाय परवलय खंडों का उपयोग करता है। एक सामान्यीकरण जिसमें अर्बेलोस और parbelos दोनों शामिल हैं, एफ-बेलोस है, जो एक निश्चित प्रकार के समान भिन्न कार्यों का उपयोग करता है।^[4]

अतिशयोक्तिपूर्ण तल के पोनकारे अर्ध-विमान मॉडल में, एक अर्बेलोस एक आदर्श त्रिभुज का मॉडल करता है।

व्युत्पत्ति

File:Arbelos Shoemakers Knife.jpg

जूता बनाने वाले के चाकू का प्रकार जिसने आकृति को अपना नाम दिया

आर्बेलोस नाम प्राचीन ग्रीक ἡ ἄρβηλος he árbēlos या ἄρβυλος árbylos से आया है, जिसका अर्थ है शूमेकर का चाकू, प्राचीन काल से लेकर आज तक जूते बनाने द्वारा उपयोग किया जाने वाला चाकू, जिसका ब्लेड ज्यामितीय आकृति जैसा दिखता है।

यह भी देखें

आर्किमिडीज की चौपाइयां
बैंकऑफ सर्कल
स्कोक सर्किल
स्कोच लाइन
वू हलकों
पप्पस चेन
सालिनॉन

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "Arbelos". MathWorld.
↑ Thomas Little Heath (1897), The Works of Archimedes. Cambridge University Press. Proposition 4 in the Book of Lemmas. Quote: If AB be the diameter of a semicircle and N any point on AB, and if semicircles be described within the first semicircle and having AN, BN as diameters respectively, the figure included between the circumferences of the three semicircles is "what Archimedes called arbelos"; and its area is equal to the circle on PN as diameter, where PN is perpendicular to AB and meets the original semicircle in P. ("Arbelos - the Shoemaker's Knife")
↑ {{cite journal |last1=Nelsen |first1=R B |title=शब्दों के बिना सबूत: एक अर्बेलोस का क्षेत्र|journal=Math. Mag. |date=2002 |volume=75 |issue=2 |page=144|doi= 10.2307/3219152|jstor=3219152 }
↑ Antonio M. Oller-Marcen: "The f-belos". In: Forum Geometricorum, Volume 13 (2013), pp. 103–111.

ग्रन्थसूची

Johnson, R. A. (1960). Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (reprint of 1929 edition by Houghton Mifflin ed.). New York: Dover Publications. pp. 116–117. ISBN 978-0-486-46237-0.
Ogilvy, C. S. (1990). Excursions in Geometry. Dover. pp. 51–54. ISBN 0-486-26530-7.
Sondow, J. (2013). "The parbelos, a parabolic analog of the arbelos". Amer. Math. Monthly. 120 (10): 929–935. arXiv:1210.2279. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.10.929. S2CID 33402874. American Mathematical Monthly, 120 (2013), 929-935.
Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 5–6. ISBN 0-14-011813-6.

बाहरी संबंध

Media related to अर्बेलोस at Wikimedia Commons
File:Wiktionary-logo-en-v2.svg The dictionary definition of अर्बेलोस at Wiktionary

[wolfram-1] 1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "Arbelos". MathWorld.

[archBLprop4-2] Thomas Little Heath (1897), The Works of Archimedes. Cambridge University Press. Proposition 4 in the Book of Lemmas. Quote: If AB be the diameter of a semicircle and N any point on AB, and if semicircles be described within the first semicircle and having AN, BN as diameters respectively, the figure included between the circumferences of the three semicircles is "what Archimedes called arbelos"; and its area is equal to the circle on PN as diameter, where PN is perpendicular to AB and meets the original semicircle in P. ("Arbelos - the Shoemaker's Knife")

[RBNelsen_2002-3] {{cite journal |last1=Nelsen |first1=R B |title=शब्दों के बिना सबूत: एक अर्बेलोस का क्षेत्र|journal=Math. Mag. |date=2002 |volume=75 |issue=2 |page=144|doi= 10.2307/3219152|jstor=3219152 }

[4] Antonio M. Oller-Marcen: "The f-belos". In: Forum Geometricorum, Volume 13 (2013), pp. 103–111.

[1]

[2]

[3]

[4]

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 {{Short description|Plane region bounded by three semicircles}}
 [[File:Arbelos.svg|right|thumb|320px|एक अर्बेलोस (ग्रे क्षेत्र)]]
-[[File:Arbelos sculpture Netherlands 1.jpg|thumb|[[Kaatsheuvel]], नीदरलैंड में Arbelos मूर्तिकला]][[ज्यामिति]] में, एक अर्बेलोस एक समतल क्षेत्र होता है जो तीन अर्धवृत्तों से घिरा होता है जिसमें तीन शीर्ष होते हैं जैसे कि प्रत्येक अर्धवृत्त का प्रत्येक कोना अन्य (जुड़े) में से एक के साथ साझा किया जाता है, सभी एक सीधी रेखा के एक ही तरफ ("आधार रेखा") ) जिसमें उनके [[व्यास]] होते हैं।<ref name=wolfram/>
+[[File:Arbelos sculpture Netherlands 1.jpg|thumb|[[Kaatsheuvel]], नीदरलैंड में Arbelos मूर्तिकला]][[ज्यामिति]] में, एक अर्बेलोस एक समतल क्षेत्र होता है जो तीन अर्धवृत्तों से घिरा होता है जिसमें तीन शीर्ष होते हैं जैसे कि प्रत्येक अर्धवृत्त का प्रत्येक कोना अन्य में से एक के साथ साझा किया जाता है, सभी एक सीधी रेखा के एक ही तरफ ("आधार रेखा") ) जिसमें उनके [[व्यास]] होते हैं।<ref name=wolfram/>
 इस आंकड़े का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ [[आर्किमिडीज]] की [[नींबू की किताब]] में है, जहां इसके कुछ गणितीय गुणों को प्रस्ताव 4 से 8 के रूप में बताया गया है।<ref name=archBLprop4/>अर्बेलोस शब्द 'शोमेकर्स नाइफ' के लिए ग्रीक है। यह आंकड़ा पप्पस श्रृंखला से निकटता से संबंधित है।
 == गुण ==
-मनमाना व्यास के साथ दो अर्धवृत्त आवश्यक रूप से अवतल हैं {{mvar|a}} और {{mvar|b}}; तीसरा अर्धवृत्त व्यास के साथ [[उत्तल वक्र]] है {{mvar|''a''+''b''.}}<ref name=wolfram/>
+मनमाना व्यास के साथ दो अर्धवृत्त आवश्यक रूप से अवतल हैं  तीसरा अर्धवृत्त व्यास के साथ  है
 [[File:Arbelos diagram with points marked.svg|right|thumb|320px|अर्बेलोस पर कुछ खास बातें।]]
-<!--In the following sections, the corners of the arbelos are labeled {{mvar|A}}, {{mvar|B}}, and {{mvar|C}}, such that the diameter of the outer semicircle is {{mvar|BC}}, assumed to have unit length; and the diameters of the inner semicircles are {{mvar|AB}} and {{mvar|AC}}, assumed to have lengths ''r'' and 1−''r'', respectively.  The letter {{mvar|H}} denotes the point where the outer semicircle intercepts the line that is [[perpendicular]] to the diameter {{mvar|BC}} through the point {{mvar|A}}.-->
+दो अर्धवृत्त आवश्यक रूप से अवतल होती हैं, मनमाना व्यास {{mvar|a}} और {{mvar|b}} के साथ; तीसरा अर्धवृत्त [[उत्तल वक्र|उत्तल होता]] है, जिसका  [[उत्तल वक्र|वक्र]] {{mvar|''a''+''b''.}} होता है। <ref name="wolfram" />
 === क्षेत्र ===
-अर्बेलोस का क्षेत्रफल (ज्यामिति) व्यास वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है {{mvar|{{overline|HA}}}}.
+अर्बेलोस का क्षेत्रफल (ज्यामिति) व्यास वाले वृत्त के क्षेत्रफल के समान होता है {{mvar|{{overline|HA}}}}.
-सबूत: सबूत के लिए, बिंदुओं के माध्यम से रेखा पर आर्बेलोस को प्रतिबिंबित करें {{mvar|B}} और {{mvar|C}}, और देखें कि दो छोटे वृत्तों (व्यास वाले {{mvar|{{overline|BA}}}}, {{mvar|{{overline|AC}}}}) को बड़े वृत्त के क्षेत्रफल से घटाया जाता है (व्यास के साथ {{mvar|{{overline|BC}}}}). चूँकि एक वृत्त का क्षेत्रफल व्यास के वर्ग के समानुपाती होता है ([[यूक्लिड]] के यूक्लिड के तत्व, पुस्तक XII, प्रस्ताव 2; हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि [[आनुपातिकता (गणित)]] है {{math|{{sfrac|{{pi}}|4}}}}), यह दिखाने के लिए समस्या कम हो जाती है <math>2|AH|^2 = |BC|^2 - |AC|^2 - |B|^2</math>. लंबाई {{mvar|{{abs|BC}}}} लंबाई के योग के बराबर है {{mvar|{{abs|BA}}}} और {{mvar|{{abs|AC}}}}, इसलिए यह समीकरण बीजगणितीय रूप से उस कथन को सरल करता है <math>|AH|^2 = |BA||AC|</math>. इस प्रकार दावा है कि खंड की लंबाई {{mvar|{{overline|AH}}}} खंडों की लंबाई का ज्यामितीय माध्य है {{mvar|{{overline|BA}}}} और {{mvar|{{overline|AC}}}}. अब (चित्र देखें) त्रिभुज {{mvar|BHC}}, अर्धवृत्त में अंकित किया जा रहा है, बिंदु पर एक समकोण है {{mvar|H}} (यूक्लिड, पुस्तक III, प्रस्ताव 31), और परिणामस्वरूप {{mvar|{{abs|HA}}}} वास्तव में बीच का एक समानुपातिक माध्य है {{mvar|{{abs|BA}}}} और {{mvar|{{abs|AC}}}} (यूक्लिड, पुस्तक VI, प्रस्ताव 8, पोरिज़्म)। यह प्रमाण प्राचीन यूनानी तर्क का अनुमान लगाता है; हेरोल्ड पी. बोस रोजर बी. नेल्सन के एक पेपर का हवाला देते हैं<ref name="RBNelsen_2002">{{cite journal |last1=Nelsen |first1=R B |title=शब्दों के बिना सबूत: एक अर्बेलोस का क्षेत्र|journal=Math. Mag. |date=2002 |volume=75 |issue=2 |page=144|doi= 10.2307/3219152|jstor=3219152 }</ref> जिन्होंने इस विचार को बिना शब्दों के निम्नलिखित प्रमाण के रूप में लागू किया। रेफरी>{{cite journal| last=Boas | first=Harold P.| author-link1=Harold P. Boas | title=अर्बेलोस पर विचार| journal= [[The American Mathematical Monthly]]| year=2006| volume=113| issue=3| url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/reflections-on-the-arbelos| pages=236–249 | doi=10.2307/27641891| jstor=27641891}}</ref>
+सबूत: सबूत के लिए, बिंदुओं के माध्यम से रेखा पर आर्बेलोस को प्रतिबिंबित करें {{mvar|B}} और {{mvar|C}}, और देखें कि दो छोटे वृत्तों (व्यास वाले {{mvar|{{overline|BA}}}}, {{mvar|{{overline|AC}}}}) को बड़े वृत्त के क्षेत्रफल से घटाया जाता है (व्यास के साथ {{mvar|{{overline|BC}}}}). चूँकि एक वृत्त का क्षेत्रफल व्यास के वर्ग के समानुपाती होता है ([[यूक्लिड]] के यूक्लिड के तत्व, पुस्तक XII, प्रस्ताव 2; हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि [[आनुपातिकता (गणित)]] है {{math|{{sfrac|{{pi}}|4}}}}), यह दिखाने के लिए समस्या कम हो जाती है <math>2|AH|^2 = |BC|^2 - |AC|^2 - |B|^2</math>. लंबाई {{mvar|{{abs|BC}}}} लंबाई के योग के समान है {{mvar|{{abs|BA}}}} और {{mvar|{{abs|AC}}}}, इसलिए यह समीकरण बीजगणितीय रूप से उस कथन को सरल करता है <math>|AH|^2 = |BA||AC|</math>. इस प्रकार दावा है कि खंड की लंबाई {{mvar|{{overline|AH}}}} खंडों की लंबाई का ज्यामितीय माध्य है {{mvar|{{overline|BA}}}} और {{mvar|{{overline|AC}}}}. अब (चित्र देखें) त्रिभुज {{mvar|BHC}}, अर्धवृत्त में अंकित किया जा रहा है, बिंदु पर एक समकोण है {{mvar|H}} (यूक्लिड, पुस्तक III, प्रस्ताव 31), और परिणामस्वरूप {{mvar|{{abs|HA}}}} वास्तव में बीच का एक समानुपातिक माध्य है {{mvar|{{abs|BA}}}} और {{mvar|{{abs|AC}}}} (यूक्लिड, पुस्तक VI, प्रस्ताव 8, पोरिज़्म)। यह प्रमाण प्राचीन यूनानी तर्क का अनुमान लगाता है; हेरोल्ड पी. बोस रोजर बी. नेल्सन के एक पेपर का हवाला देते हैं<ref name="RBNelsen_2002">{{cite journal |last1=Nelsen |first1=R B |title=शब्दों के बिना सबूत: एक अर्बेलोस का क्षेत्र|journal=Math. Mag. |date=2002 |volume=75 |issue=2 |page=144|doi= 10.2307/3219152|jstor=3219152 }</ref> जिन्होंने इस विचार को बिना शब्दों के निम्नलिखित प्रमाण के रूप में लागू किया। रेफरी>{{cite journal| last=Boas | first=Harold P.| author-link1=Harold P. Boas | title=अर्बेलोस पर विचार| journal= [[The American Mathematical Monthly]]| year=2006| volume=113| issue=3| url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/reflections-on-the-arbelos| pages=236–249 | doi=10.2307/27641891| jstor=27641891}}</ref>
-[[File:Arbelos proof2.svg|center]]
+अर्बेलोस का क्षेत्रफल व्यास HA वाले एक वृत्त के क्षेत्रफल के समान है।
+उपपत्ति: प्रमाण के लिए, अरबेलों को बिंदु B और C से होकर जाने वाली रेखा पर प्रतिबिंबित करें, और निरीक्षण करें कि दो छोटे वृत्तों (व्यास BA, AC के साथ) के क्षेत्रफलों को घटाए जाने पर arbelos के क्षेत्रफल का दुगुना शेष रह जाता है। बड़े वृत्त का क्षेत्रफल (व्यास BC के साथ)। चूँकि एक वृत्त का क्षेत्रफल व्यास के वर्ग के समानुपाती होता है (यूक्लिड के तत्व, पुस्तक XII, प्रस्ताव 2; हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि आनुपातिकता का स्थिरांक है[[File:Arbelos proof2.svg|center]]
 === आयत ===
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 === स्पर्शरेखा ===
 रेखा {{mvar|DE}} अर्धवृत्त की स्पर्शरेखा है {{mvar|BA}} पर {{mvar|D}} और अर्धवृत्त {{mvar|AC}} पर {{mvar|E}}.
-: प्रमाण: चूंकि {{mvar|∠BDA}} एक समकोण है, {{mvar|∠DBA}} बराबर है {{math|{{sfrac|π|2}}}} ऋण {{mvar|∠DAB}}. हालाँकि, {{mvar|∠DAH}} भी बराबर है {{math|{{sfrac|π|2}}}} ऋण {{mvar|∠DAB}} (तब से {{mvar|∠HAB}} एक समकोण है)। इसलिए त्रिकोण {{mvar|DBA}} और {{mvar|DAH}} [[समानता (ज्यामिति)]] हैं। इसलिए {{mvar|∠DIA}} बराबर है {{mvar|∠DOH}}, कहाँ {{mvar|I}} का मध्यबिंदु है {{mvar|{{overline|BA}}}} और {{mvar|O}} का मध्यबिंदु है {{mvar|{{overline|AH}}}}. लेकिन {{mvar|∠AOH}} एक सीधी रेखा है, इसलिए {{mvar|∠DOH}} और {{mvar|∠DOA}} संपूरक कोण हैं। इसलिए का योग {{mvar|∠DIA}} और {{mvar|∠DOA}} पी है। {{mvar|∠IAO}} समकोण है। किसी भी चतुर्भुज में कोणों का योग 2π है, इसलिए चतुर्भुज में {{mvar|IDOA}}, {{mvar|∠IDO}} एक समकोण होना चाहिए। लेकिन {{mvar|ADHE}} एक आयत है, इसलिए मध्यबिंदु {{mvar|O}} का {{mvar|{{overline|AH}}}} (आयत का विकर्ण) भी का मध्यबिंदु है {{mvar|{{overline|DE}}}} (आयत का अन्य विकर्ण)। जैसा {{mvar|I}} (के मध्य बिंदु के रूप में परिभाषित {{mvar|{{overline|BA}}}}) अर्धवृत्त का केंद्र है {{mvar|BA}}, और कोण {{mvar|∠IDE}} तब एक समकोण है {{mvar|DE}} अर्धवृत्त की स्पर्शरेखा है {{mvar|BA}} पर {{mvar|D}}. समान तर्क से {{mvar|DE}} अर्धवृत्त की स्पर्शरेखा है {{mvar|AC}} पर {{mvar|E}}. Q.E.D.
+: प्रमाण: चूंकि {{mvar|∠BDA}} एक समकोण है, {{mvar|∠DBA}} समान है {{math|{{sfrac|π|2}}}} ऋण {{mvar|∠DAB}}. हालाँकि, {{mvar|∠DAH}} भी समान है {{math|{{sfrac|π|2}}}} ऋण {{mvar|∠DAB}} (तब से {{mvar|∠HAB}} एक समकोण है)। इसलिए त्रिकोण {{mvar|DBA}} और {{mvar|DAH}} [[समानता (ज्यामिति)]] हैं। इसलिए {{mvar|∠DIA}} समान है {{mvar|∠DOH}}, कहाँ {{mvar|I}} का मध्यबिंदु है {{mvar|{{overline|BA}}}} और {{mvar|O}} का मध्यबिंदु है {{mvar|{{overline|AH}}}}. लेकिन {{mvar|∠AOH}} एक सीधी रेखा है, इसलिए {{mvar|∠DOH}} और {{mvar|∠DOA}} संपूरक कोण हैं। इसलिए का योग {{mvar|∠DIA}} और {{mvar|∠DOA}} पी है। {{mvar|∠IAO}} समकोण है। किसी भी चतुर्भुज में कोणों का योग 2π है, इसलिए चतुर्भुज में {{mvar|IDOA}}, {{mvar|∠IDO}} एक समकोण होना चाहिए। लेकिन {{mvar|ADHE}} एक आयत है, इसलिए मध्यबिंदु {{mvar|O}} का {{mvar|{{overline|AH}}}} (आयत का विकर्ण) भी का मध्यबिंदु है {{mvar|{{overline|DE}}}} (आयत का अन्य विकर्ण)। जैसा {{mvar|I}} (के मध्य बिंदु के रूप में परिभाषित {{mvar|{{overline|BA}}}}) अर्धवृत्त का केंद्र है {{mvar|BA}}, और कोण {{mvar|∠IDE}} तब एक समकोण है {{mvar|DE}} अर्धवृत्त की स्पर्शरेखा है {{mvar|BA}} पर {{mvar|D}}. समान तर्क से {{mvar|DE}} अर्धवृत्त की स्पर्शरेखा है {{mvar|AC}} पर {{mvar|E}}. Q.E.D.
 ===आर्किमिडीज सर्कल ===

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