स्ट्रिंग कंपन

कंपन, एक तार में लहरें खड़ी होना। हार्मोनिक श्रृंखला में मौलिक और पहले 5 अधिस्वर।

स्ट्रिंग (तार) का कंपन एक तरंग है। अनुनाद कंपन स्ट्रिंग का कारण बनता है जो निरंतर आवृत्ति, यानी एक स्थिर पिच के साथ ध्वनि उत्पन्न करता है। यदि तार की लंबाई या तनाव ठीक से समायोजित किया जाता है, तो उत्पन्न ध्वनि संगीतमय स्वर है। वाइब्रेटिंग स्ट्रिंग्स गिटार, सेलोस और पियानो जैसे स्ट्रिंग वाद्य-यंत्र का आधार हैं।

तरंग

स्ट्रिंग ($v$) में तरंग के प्रसार का वेग स्ट्रिंग ($T$) के तनाव के बल के वर्गमूल के आनुपातिक है और स्ट्रिंग के रैखिक घनत्व ($\mu$) के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है:

$v={\sqrt {T \over \mu }}.$

इस संबंध की खोज 1500 के दशक के अंत में विन्सेन्ज़ो गैलीली ने की थी।

व्युत्पत्ति

स्रोत:

मान लीजिए $\Delta x$ स्ट्रिंग के एक टुकड़े की लंबाई , $m$ इसका द्रव्यमान और $\mu$ इसका रैखिक घनत्व है। यदि कोण $\alpha$ और $\beta$ छोटे हैं, तो दोनों ओर तनाव के क्षैतिज घटक दोनों को स्थिर $T$ द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जिसके लिए शुद्ध क्षैतिज बल शून्य है। तदनुसार, छोटे कोण सन्निकटन का उपयोग करते हुए, स्ट्रिंग खंड के दोनों किनारों पर अभिनय करने वाले क्षैतिज तनाव द्वारा दिया जाता है

$T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.$

$T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.$

ऊर्ध्वाधर घटक के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, इस टुकड़े का द्रव्यमान (जो इसके रैखिक घनत्व और लंबाई का गुणनफल है) गुणा इसके त्वरण, $a$, टुकड़े पर कुल बल के बराबर होगा:

$\Sigma F_{y}=T_{1y}-T_{2y}=-T_{2}\sin(\beta )+T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.$

इस व्यंजक को $T$ से विभाजित करने पर और पहले और दूसरे समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है (हम $T$ के लिए या तो पहले या दूसरे समीकरण को चुन सकते हैं, इसलिए हम आसानी से मिलान कोण $\alpha$ और $\beta$ के साथ प्रत्येक को चुनते हैं)

$-{\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}+{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=-\tan(\beta )+\tan(\alpha )={\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.$

छोटे-कोण सन्निकटन के अनुसार, स्ट्रिंग के टुकड़े के सिरों पर कोणों की स्पर्शरेखाएँ सिरों पर ढलानों के बराबर होती हैं, जिसमें $\alpha$ और $\beta$ की परिभाषा के कारण एक अतिरिक्त ऋण चिन्ह होता है। इस तथ्य का प्रयोग और पुनर्व्यवस्थित करना प्रदान करता है

${\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.$

इस सीमा में कि $\Delta x$ शून्य की ओर अग्रसर होता है, बाएँ हाथ की ओर $y$ के दूसरे अवकलज की परिभाषा है:

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{T}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}$