एलपी स्पेस: Difference between revisions

Revision as of 16:43, 26 April 2023

गणित में एलपी स्पेस समारोह का विशेष स्थान हैं जिन्हें सामान्य गत पी साधरणतया प्राकृतिक सामान्यीकरण का उपयोग करके परिभाषित गया है पी परिमित आयामी सदिश के लिए मानदंड है उन्हें कभी-कभी लेबेस्गु स्पेस भी कहा जाता है जिसका नाम हेनरी लेबेस्ग्यू के नाम पर रखा गया है जबकि निकोलस बोरबाकी समूह के बोर बाकी 1927वें सबसे पहले फ्राइजेस रेज्जि द्वारा पेश किए गए। ([[#CITEREF|]]) harv error: no target: CITEREF (help).

एम्बेडिंग

बोलचाल में अगर $1\leq p<q\leq \infty ,$ तब इसमें ऐसे $L^{p}(S,\mu )$ कार्य सम्मिलित हैं जो अधिक स्थानीय रूप से एकवचन हैं जबकि ये तत्व $L^{q}(S,\mu )$ अधिक फैलाया जा सकता है अर्ध रेखा पर लेबेस्गु माप पर विचार करें $(0,\infty ).$ इसमें एक सतत कार्य $L^{1}$ होता है लेकिन अनंत की ओर पर्याप्त तेजी से क्षय होना चाहिए जो दूसरी ओर निरंतर कार्य करता है $L^{\infty }$ को बिल्कुल भी क्षय की आवश्यकता नहीं है लेकिन विस्फोट की अनुमति नहीं है नई तकनीकी परिणाम निम्नलिखित है ^[1] लगता है कि $0<p<q\leq \infty .$ तब

$L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )$ अगर $S$ परिमित के समूह नहीं होते हैं लेकिन मनमाने ढंग से बड़े माप उदाहरण के लिए कोई परिमित माप
$L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )$ अगर और केवल अगर $S$ गैर-शून्य के समूह सम्मिलित नहीं हैं लेकिन मनमाने ढंग से छोटे होते हैं।

माप के साथ वास्तविक रेखा के लिए कोई भी शर्त नहीं है जबकि दोनों स्थितियाँ किसी परिमित समूह पर गिनती माप के लिए हैं दोनों ही जगहों में व्याख्या निरंतर है जिसमें पहचान चालक एक सीमित रैखिक मानचित्र है $L^{q}$ को $L^{p}$ पहले जगहों में और $L^{p}$ को $L^{q}$ क्षण में यह बंद ग्राफ प्रमेय और गुणों का परिणाम है तथा $L^{p}$ रिक्त स्थान अगर डोमेन $S$ परिमित माप है

\ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}

तब

\ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.

उपरोक्त असमानता में दिखाई देने वाला निरंतर इष्टतम है इस अर्थ में कि पहचान का मानदंड

I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )

ठीक है

\|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}

समानता ठीक उसी समय प्राप्त किया जा रहा है

f=1

\mu

सघन उपस्थान

इस पूरे खंड में हम यह मानते हैं $1\leq p<\infty .$ एक माप स्थान बनें एक पूर्णांक सरल कार्य $f$ पर $S$ एक रूप है जो इस प्रकार है

f = \sum_{j = 1}^{n} a_{j}

[1]

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 === एम्बेडिंग ===
-बोलचाल में अगर <math>1 \leq p < q \leq \infty,</math> तब इसमें ऐसे <math>L^p(S, \mu)</math>  कार्य सम्मिलित हैं जो अधिक स्थानीय रूप से एकवचन हैं जबकि ये तत्व <math>L^q(S, \mu)</math> अधिक फैलाया जा सकता है अर्ध रेखा पर लेबेस्गु माप पर विचार करें <math>(0, \infty).</math> इसमें एक सतत कार्य <math>L^1</math> होता है लेकिन अनंत की ओर पर्याप्त तेजी से क्षय होना चाहिए जो दूसरी ओर निरंतर कार्य करता है <math>L^\infty</math> को बिल्कुल भी क्षय की आवश्यकता नहीं है लेकिन विस्फोट की अनुमति नहीं है नई तकनीकी परिणाम निम्नलिखित है।<ref name="VillaniEmbeddings">{{Citation|title=Another note on the inclusion {{math|''L<sup>p</sup>''(''μ'') ⊂ ''L<sup>q</sup>''(''μ'')}}|last=Villani|first=Alfonso|year=1985|journal=Amer. Math. Monthly|volume=92|number=7|pages=485–487|doi=10.2307/2322503|mr=801221|jstor=2322503}}</ref> लगता है कि <math>0 < p < q \leq \infty.</math> तब
+बोलचाल में अगर <math>1 \leq p < q \leq \infty,</math> तब इसमें ऐसे <math>L^p(S, \mu)</math>  कार्य सम्मिलित हैं जो अधिक स्थानीय रूप से एकवचन हैं जबकि ये तत्व <math>L^q(S, \mu)</math> अधिक फैलाया जा सकता है अर्ध रेखा पर लेबेस्गु माप पर विचार करें <math>(0, \infty).</math> इसमें एक सतत कार्य <math>L^1</math> होता है लेकिन अनंत की ओर पर्याप्त तेजी से क्षय होना चाहिए जो दूसरी ओर निरंतर कार्य करता है <math>L^\infty</math> को बिल्कुल भी क्षय की आवश्यकता नहीं है लेकिन विस्फोट की अनुमति नहीं है नई तकनीकी परिणाम निम्नलिखित है <ref name="VillaniEmbeddings">{{Citation|title=Another note on the inclusion {{math|''L<sup>p</sup>''(''μ'') ⊂ ''L<sup>q</sup>''(''μ'')}}|last=Villani|first=Alfonso|year=1985|journal=Amer. Math. Monthly|volume=92|number=7|pages=485–487|doi=10.2307/2322503|mr=801221|jstor=2322503}}</ref> लगता है कि <math>0 < p < q \leq \infty.</math> तब
 #<math>L^q(S, \mu) \subseteq L^p(S, \mu)</math> अगर <math>S</math> परिमित के समूह नहीं होते हैं लेकिन मनमाने ढंग से बड़े माप उदाहरण के लिए कोई परिमित माप
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 <math display="block">\forall f \in L^p \left(\Reals^d\right) : \quad \left\|\tau_t f - f \right\|_p \to 0,\quad \text{as } \Reals^d \ni t \to 0,</math>
 तब
-<math display="block">(\tau_t f)(x) = f(x - t).</math>
+<math display="block">(\tau_t f)(x) = f(x - t).</math>स्थान
@@ Line 41: / Line 41: @@
 =={{math|''L<sup>p</sup>'' (0 < ''p'' < 1)}}==
-एक माप स्थान बनें जहाँ <math>0 < p < 1,</math> तब <math>L^p(\mu)</math> ऊपर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है यह उन औसत दर्जे के कार्यों का भागफल सदिश स्थान है <math>f</math> ऐसा है कि
+एक माप स्थान बनें जहाँ <math>0 < p < 1,</math> तब <math>L^p(\mu)</math> ऊपर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है यह उन औसत दर्जे के कार्यों का भागफल सदिश  है <math>f</math> ऐसा है कि
 <math display="block">N_p(f) = \int_S |f|^p\, d\mu < \infty.</math>
@@ Line 69: / Line 69: @@
 === वेक्टर-मूल्यवान {{math|''L<sup>p</sup>''}} रिक्त स्थान ===
-एक माप स्थान दिया गया <math>(\Omega, \Sigma, \mu)</math> और स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक सदिश स्थान <math>E</math> इसके रिक्त स्थान को परिभाषित करना संभव है <math>p</math>-पूर्ण करने योग्य <math>E</math>-मूल्यवान कार्यों पर <math>\Omega</math> कई तरह से परिभाषित किया जाए <math>L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes_\pi E,</math> और टेन्सर उत्पाद द्वारा निरूपित <math>L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes_\varepsilon E.</math> किया जाता है।
+एक माप स्थान दिया गया <math>(\Omega, \Sigma, \mu)</math> और स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक सदिश स्थान <math>E</math> इसके रिक्त स्थान को परिभाषित करना संभव है <math>p</math>-पूर्ण करने योग्य <math>E</math>-मूल्यवान कार्यों पर <math>\Omega</math> कई तरह से परिभाषित किया जाए <math>L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes_\pi E,</math> और यह टेन्सर उत्पाद द्वारा निरूपित <math>L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes_\varepsilon E.</math> किया जाता है।
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