अक्ष घूर्णन: Difference between revisions

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{{Short description|Transformation of coordinates through an angle}}
{{Short description|Transformation of coordinates through an angle}}
[[File:Rotation of coordinates.svg|thumb|320px|एक कोण के माध्यम से घुमाया गया एक xy-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली <math> \theta </math> एक x′y′-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के लिए]]गणित में, दो आयामों में कुल्हाड़ियों का एक रोटेशन एक ''xy''-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से एक ''x′y′''-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक [[ नक्शा (गणित) ]] है जिसमें [[ मूल (गणित) ]] रखा जाता है स्थिर और ''x′'' और ''y′'' कुल्हाड़ियों को ''x'' और ''y'' कुल्हाड़ियों को एक कोण से वामावर्त घुमाकर प्राप्त किया जाता है <math> \theta </math>. एक बिंदु P में मूल प्रणाली के संबंध में निर्देशांक (x, y) हैं और नई प्रणाली के संबंध में निर्देशांक (x′, y′) हैं।<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=320}}</ref> नई समन्वय प्रणाली में, बिंदु P विपरीत दिशा में घूमता हुआ प्रतीत होगा, अर्थात, कोण के माध्यम से दक्षिणावर्त <math> \theta </math>. दो से अधिक आयामों में अक्षों के घूर्णन को समान रूप से परिभाषित किया गया है।<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=231}}</ref><ref>{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=532}}</ref> कुल्हाड़ियों का एक घूर्णन एक [[ रैखिक नक्शा ]] है<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=247}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=266}}</ref> और एक [[ कठोर परिवर्तन ]]।
[[File:Rotation of coordinates.svg|thumb|320px|एक कोण के माध्यम से घुमाया गया एक xy-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली <math> \theta </math> एक x′y′-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के लिए]]गणित में, दो आयामी अक्षों का परिवर्तन एक चित्रण है जो एक ''xy''-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से एक ''x′y′''-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक [[ नक्शा (गणित) ]] है जिसमें [[ मूल (गणित) ]] रखा जाता है स्थिर और ''x′'' और ''y′'' अक्ष एक कोणाकार दिशा में ''x'' और ''y'' अक्ष को घूमा जाता है। <math> \theta </math>. एक बिंदु P के निर्देशांक (x, y) मूल प्रणाली के संबंध में होते हैं और निर्देशांक (x′, y′) नई प्रणाली के संबंध में होते हैं।<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=320}}</ref> नई समन्वय प्रणाली में, बिंदु P विपरीत दिशा में घूमता हुआ प्रतीत होगा, अर्थात समय की दिशा में, घूमा हुआ दिखाई देगा, जिसमें कोण दिग्गजवार <math> \theta </math>द्वारा होता है। दो से अधिक आयामों में अक्षों के घूर्णन को समान रूप से परिभाषित किया गया है।<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=231}}</ref><ref>{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=532}}</ref> अक्ष का एक घूर्णन एक [[ रैखिक नक्शा ]] है<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=247}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=266}}</ref> और एक [[ कठोर परिवर्तन | कठोर परिवर्तन है]]।


== प्रेरणा ==
== प्रेरणा ==
[[ विश्लेषणात्मक ज्यामिति ]] की विधियों का उपयोग करते हुए [[ वक्र (ज्यामिति) ]] के समीकरणों के अध्ययन के लिए निर्देशांक प्रणालियाँ आवश्यक हैं। निर्देशांक ज्यामिति की विधि का उपयोग करने के लिए, अक्षों को विचाराधीन वक्र के संबंध में सुविधाजनक स्थिति में रखा जाता है। उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त और अति[[ परवलय ]] के समीकरणों का अध्ययन करने के लिए, [[ फोकस (ज्यामिति) ]] आमतौर पर एक अक्ष पर स्थित होते हैं और मूल के संबंध में सममित रूप से स्थित होते हैं। यदि वक्र ([[ अतिशयोक्ति ]], परबोला, दीर्घवृत्त, आदि) कुल्हाड़ियों के संबंध में आसानी से स्थित नहीं है, तो वक्र को सुविधाजनक और परिचित स्थान और अभिविन्यास पर रखने के लिए समन्वय प्रणाली को बदला जाना चाहिए। इस परिवर्तन को करने की प्रक्रिया को कोऑर्डिनेट सिस्टम#ट्रांसफॉर्मेशन कहा जाता है।<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|pp=314–315}}</ref>
[[ विश्लेषणात्मक ज्यामिति ]] की विधियों का उपयोग करते हुए [[ वक्र (ज्यामिति) ]] के समीकरणों के अध्ययन के लिए निर्देशांक प्रणालियाँ आवश्यक हैं। निर्देशांक ज्यामिति की विधि का उपयोग करने के लिए, अक्षों को विचाराधीन वक्र के संबंध में सुविधाजनक स्थिति में रखा जाता है। उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त और अति[[ परवलय ]] के समीकरणों का अध्ययन करने के लिए, [[ फोकस (ज्यामिति) ]] आमतौर पर एक अक्ष पर स्थित होते हैं और मूल के संबंध में सममित रूप से स्थित होते हैं। यदि वक्र ([[ अतिशयोक्ति ]], परबोला, दीर्घवृत्त, आदि) अक्ष के संबंध में आसानी से स्थित नहीं है, तो वक्र को सुविधाजनक और परिचित स्थान और अभिविन्यास पर रखने के लिए समन्वय प्रणाली को बदला जाना चाहिए। इस परिवर्तन को करने की प्रक्रिया को को ऑर्डिनेट सिस्टम ट्रांसफॉर्मेशन कहा जाता है।<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|pp=314–315}}</ref>
 
एक ही मूल से नए अक्षों को प्राप्त करने के लिए निर्देशांक अक्षों को घुमाकर कई समस्याओं के समाधान को सरल बनाया जा सकता है।
एक ही मूल से नए अक्षों को प्राप्त करने के लिए निर्देशांक अक्षों को घुमाकर कई समस्याओं के समाधान को सरल बनाया जा सकता है।


== व्युत्पत्ति ==
== व्युत्पत्ति ==
दो आयामों में परिवर्तन को परिभाषित करने वाले समीकरण, जो xy अक्षों को एक कोण से वामावर्त घुमाते हैं <math> \theta </math> x'y' कुल्हाड़ियों में, निम्नानुसार व्युत्पन्न होते हैं।
दो आयामों में परिवर्तन को परिभाषित करने वाले समीकरण, जो xy अक्षों को एक कोण से वामावर्त घुमाते हैं <math> \theta </math> x'y' अक्ष में, निम्नानुसार व्युत्पन्न होते हैं।


मान लीजिए कि xy प्रणाली में बिंदु P का ध्रुवीय निर्देशांक तंत्र है <math> (r, \alpha) </math>. तब, x'y' निकाय में, P के ध्रुवीय निर्देशांक होंगे <math> (r, \alpha - \theta) </math>.
मान लीजिए कि xy प्रणाली में बिंदु P का ध्रुवीय निर्देशांक तंत्र है <math> (r, \alpha) </math>. तब, x'y' निकाय में, P के ध्रुवीय निर्देशांक होंगे <math> (r, \alpha - \theta) </math>.


त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है
त्रिकोणमिति फ़ंक्शन का उपयोग करके, हमारे पास निम्नलिखित होगा:
{{NumBlk||<math display="block"> x = r \cos \alpha </math>|{{EquationRef|1}}}}
{{NumBlk||<math display="block"> x = r \cos \alpha </math>|{{EquationRef|1}}}}
{{NumBlk||<math display="block"> y = r \sin \alpha </math>|{{EquationRef|2}}}}
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और अंतर के लिए मानक [[ त्रिकोणमितीय सूत्र ]]ों का उपयोग करके, हमारे पास है
और अंतर के लिए मानक [[ त्रिकोणमितीय सूत्र | त्रिकोणमितीय सूत्रों]] का उपयोग करके,हमें निम्नलिखित मिलेगा:
{{NumBlk||<math display="block"> x' = r \cos( \alpha -  \theta ) = r \cos \alpha \cos \theta + r \sin \alpha \sin \theta </math>|{{EquationRef|3}}}}
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प्रतिस्थापन समीकरण ({{EquationNote|1}}) तथा ({{EquationNote|2}}) समीकरणों में ({{EquationNote|3}}) तथा ({{EquationNote|4}}), हमने प्राप्त किया<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|pp=320–321}}</ref>
प्रतिस्थापन समीकरण ({{EquationNote|1}}) तथा ({{EquationNote|2}}) को समीकरणों ({{EquationNote|3}}) तथा ({{EquationNote|4}}),में प्रतिस्थापित करके<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|pp=320–321}}</ref>
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समीकरण ({{EquationNote|5}}) तथा ({{EquationNote|6}}) को मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है:
समीकरण ({{EquationNote|5}}) तथा ({{EquationNote|6}}) को मैट्रिक्स रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:
<math display="block">
<math display="block">
\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
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</math>
</math>
जो दो आयामों में अक्षों के घूर्णन का मानक मैट्रिक्स समीकरण है।<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=230}}</ref>
जो दो आयामों में अक्षों के घूर्णन का मानक मैट्रिक्स समीकरण है।<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=230}}</ref>
उलटा परिवर्तन है<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=320}}</ref>
उलटा परिवर्तन है<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=320}}</ref>
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=== उदाहरण 1 ===
=== उदाहरण 1 ===
बिंदु के निर्देशांक खोजें <math> P_1 = (x, y) = (\sqrt 3, 1) </math> कुल्हाड़ियों को कोण के माध्यम से घुमाए जाने के बाद <math> \theta_1 = \pi / 6 </math>, या 30°.
बिंदु के निर्देशांक खोजें <math> P_1 = (x, y) = (\sqrt 3, 1) </math> अक्ष को कोण के माध्यम से घुमाए जाने के बाद <math> \theta_1 = \pi / 6 </math>, या 30°.


समाधान:
समाधान:
<math display="block"> x' = \sqrt 3 \cos ( \pi / 6 ) + 1 \sin ( \pi / 6 ) = (\sqrt 3)({\sqrt 3}/2) + (1)(1/2) = 2 </math>
<math display="block"> x' = \sqrt 3 \cos ( \pi / 6 ) + 1 \sin ( \pi / 6 ) = (\sqrt 3)({\sqrt 3}/2) + (1)(1/2) = 2 </math>
<math display="block"> y' = 1 \cos ( \pi / 6 ) - \sqrt 3 \sin ( \pi / 6 ) = (1)({\sqrt 3}/2) - (\sqrt 3)(1/2) = 0 .</math>
<math display="block"> y' = 1 \cos ( \pi / 6 ) - \sqrt 3 \sin ( \pi / 6 ) = (1)({\sqrt 3}/2) - (\sqrt 3)(1/2) = 0 .</math>
कुल्हाड़ियों को एक कोण के माध्यम से वामावर्त घुमाया गया है <math> \theta_1 = \pi / 6 </math> और नए निर्देशांक हैं <math> P_1 = (x', y') = (2, 0) </math>. ध्यान दें कि बिंदु को दक्षिणावर्त घुमाया गया प्रतीत होता है <math> \pi / 6 </math> स्थिर अक्षों के संबंध में इसलिए यह अब (नए) x' अक्ष के साथ संपाती है।
अक्ष को एक कोण के माध्यम से वामावर्त घुमाया गया है <math> \theta_1 = \pi / 6 </math> और नए निर्देशांक हैं <math> P_1 = (x', y') = (2, 0) </math>. ध्यान दें कि बिंदु को दक्षिणावर्त घुमाया गया प्रतीत होता है <math> \pi / 6 </math> स्थिर अक्षों के संबंध में इसलिए यह अब (नए) x' अक्ष के साथ संपाती है।


=== उदाहरण 2 ===
=== उदाहरण 2 ===
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\begin{bmatrix} -7 \\ 7 \end{bmatrix}.
\begin{bmatrix} -7 \\ 7 \end{bmatrix}.
</math>
</math>
कुल्हाड़ियों को के कोण से घुमाया गया है <math> \theta_2 = - \pi / 2 </math>, जो दक्षिणावर्त दिशा में है और नए निर्देशांक हैं <math> P_2 = (x', y') = (-7, 7) </math>. दोबारा, ध्यान दें कि ऐसा प्रतीत होता है कि बिंदु वामावर्त के माध्यम से घुमाया गया है <math> \pi / 2 </math> स्थिर कुल्हाड़ियों के संबंध में।
अक्ष को के कोण से घुमाया गया है <math> \theta_2 = - \pi / 2 </math>, जो दक्षिणावर्त दिशा में है और नए निर्देशांक हैं <math> P_2 = (x', y') = (-7, 7) </math>. दोबारा, ध्यान दें कि ऐसा प्रतीत होता है कि बिंदु वामावर्त के माध्यम से घुमाया गया है <math> \pi / 2 </math> स्थिर अक्ष के संबंध में।


== शंकु वर्गों का घूर्णन ==
== शंकु वर्गों का घूर्णन ==
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{{NumBlk||<math display="block"> Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 </math> {{spaces|4}} (<math>A, B, C</math> not all zero).<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=316}}</ref>|{{EquationRef|9}}}}
{{NumBlk||<math display="block"> Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 </math> {{spaces|4}} (<math>A, B, C</math> not all zero).<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=316}}</ref>|{{EquationRef|9}}}}


कोई भी निर्देशांक के परिवर्तन के माध्यम से (कुल्हाड़ियों का एक रोटेशन और [[ कुल्हाड़ियों का अनुवाद ]]), समीकरण ({{EquationNote|9}}) को कार्तीय निर्देशांक में एक शांकव खंड मानक रूपों में रखा जा सकता है, जिसके साथ काम करना आमतौर पर आसान होता है। x′y′ पद को समाप्त करने के लिए निर्देशांकों को एक विशिष्ट कोण पर घुमाना हमेशा संभव होता है। प्रतिस्थापन समीकरण ({{EquationNote|7}}) तथा ({{EquationNote|8}}) समीकरण में ({{EquationNote|9}}), हमने प्राप्त किया
कोई भी निर्देशांक के परिवर्तन के माध्यम से (अक्ष का एक रोटेशन और [[ कुल्हाड़ियों का अनुवाद | अक्ष का अनुवाद]] ), समीकरण ({{EquationNote|9}}) को कार्तीय निर्देशांक में एक शांकव खंड मानक रूपों में रखा जा सकता है, जिसके साथ काम करना आमतौर पर आसान होता है। x′y′ पद को समाप्त करने के लिए निर्देशांकों को एक विशिष्ट कोण पर घुमाना हमेशा संभव होता है। प्रतिस्थापन समीकरण ({{EquationNote|7}}) तथा ({{EquationNote|8}}) समीकरण में ({{EquationNote|9}}), हमने प्राप्त किया
{{NumBlk||<math display="block"> A'x'^2 + B'x'y' + C'y'^2 + D'x' + E'y' + F' = 0 ,</math>|{{EquationRef|10}}}}
{{NumBlk||<math display="block"> A'x'^2 + B'x'y' + C'y'^2 + D'x' + E'y' + F' = 0 ,</math>|{{EquationRef|10}}}}
यहां पे
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* {{citation | first1 = Richard L. | last1 = Burden | first2 = J. Douglas | last2 = Faires | year = 1993 | isbn = 0-534-93219-3 | title = Numerical Analysis | edition = 5th | publisher = [[Prindle, Weber and Schmidt]] | location = Boston | url-access = registration | url = https://archive.org/details/numericalanalysi00burd }}
* {{citation | first1 = Richard L. | last1 = Burden | first2 = J. Douglas | last2 = Faires | year = 1993 | isbn = 0-534-93219-3 | title = Numerical Analysis | edition = 5th | publisher = [[Prindle, Weber and Schmidt]] | location = Boston | url-access = registration | url = https://archive.org/details/numericalanalysi00burd }}
* {{ citation | first1 = Murray H. | last1 = Protter | first2 = Charles B. | last2 = Morrey, Jr. | year = 1970 | lccn = 76087042 | title = College Calculus with Analytic Geometry | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading }}
* {{ citation | first1 = Murray H. | last1 = Protter | first2 = Charles B. | last2 = Morrey, Jr. | year = 1970 | lccn = 76087042 | title = College Calculus with Analytic Geometry | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading }}
{{Authority control}}
 
[[Category: कार्य और मानचित्रण]]
[[Category: कार्य और मानचित्रण]]
[[Category:यूक्लिडियन ज्यामिति]]
[[Category:यूक्लिडियन ज्यामिति]]

Revision as of 18:55, 23 April 2023

एक कोण के माध्यम से घुमाया गया एक xy-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली एक x′y′-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के लिए

गणित में, दो आयामी अक्षों का परिवर्तन एक चित्रण है जो एक xy-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से एक x′y′-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक नक्शा (गणित) है जिसमें मूल (गणित) रखा जाता है स्थिर और x′ और y′ अक्ष एक कोणाकार दिशा में x और y अक्ष को घूमा जाता है। . एक बिंदु P के निर्देशांक (x, y) मूल प्रणाली के संबंध में होते हैं और निर्देशांक (x′, y′) नई प्रणाली के संबंध में होते हैं।[1] नई समन्वय प्रणाली में, बिंदु P विपरीत दिशा में घूमता हुआ प्रतीत होगा, अर्थात समय की दिशा में, घूमा हुआ दिखाई देगा, जिसमें कोण दिग्गजवार द्वारा होता है। दो से अधिक आयामों में अक्षों के घूर्णन को समान रूप से परिभाषित किया गया है।[2][3] अक्ष का एक घूर्णन एक रैखिक नक्शा है[4][5] और एक कठोर परिवर्तन है।

प्रेरणा

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की विधियों का उपयोग करते हुए वक्र (ज्यामिति) के समीकरणों के अध्ययन के लिए निर्देशांक प्रणालियाँ आवश्यक हैं। निर्देशांक ज्यामिति की विधि का उपयोग करने के लिए, अक्षों को विचाराधीन वक्र के संबंध में सुविधाजनक स्थिति में रखा जाता है। उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के समीकरणों का अध्ययन करने के लिए, फोकस (ज्यामिति) आमतौर पर एक अक्ष पर स्थित होते हैं और मूल के संबंध में सममित रूप से स्थित होते हैं। यदि वक्र (अतिशयोक्ति , परबोला, दीर्घवृत्त, आदि) अक्ष के संबंध में आसानी से स्थित नहीं है, तो वक्र को सुविधाजनक और परिचित स्थान और अभिविन्यास पर रखने के लिए समन्वय प्रणाली को बदला जाना चाहिए। इस परिवर्तन को करने की प्रक्रिया को को ऑर्डिनेट सिस्टम ट्रांसफॉर्मेशन कहा जाता है।[6]

एक ही मूल से नए अक्षों को प्राप्त करने के लिए निर्देशांक अक्षों को घुमाकर कई समस्याओं के समाधान को सरल बनाया जा सकता है।

व्युत्पत्ति

दो आयामों में परिवर्तन को परिभाषित करने वाले समीकरण, जो xy अक्षों को एक कोण से वामावर्त घुमाते हैं x'y' अक्ष में, निम्नानुसार व्युत्पन्न होते हैं।

मान लीजिए कि xy प्रणाली में बिंदु P का ध्रुवीय निर्देशांक तंत्र है . तब, x'y' निकाय में, P के ध्रुवीय निर्देशांक होंगे .

त्रिकोणमिति फ़ंक्शन का उपयोग करके, हमारे पास निम्नलिखित होगा:

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

(2)

और अंतर के लिए मानक त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके,हमें निम्नलिखित मिलेगा:

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

(4)

प्रतिस्थापन समीकरण (1) तथा (2) को समीकरणों (3) तथा (4),में प्रतिस्थापित करके[7]

 

 

 

 

(5)