बहुरेखीय रूप: Difference between revisions
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जो अपने प्रत्येक <math>k</math> तर्कों में अलग से <math>K</math>-रैखिक है।<ref>{{MathWorld|title=Multilinear Form|urlname=MultilinearForm}}</ref> अधिक सामान्यतः , [[मॉड्यूल (गणित)]] पर [[ क्रमविनिमेय अंगूठी |क्रमविनिमेय वृत्त]] पर बहु-रेखीय रूपों को परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि, इस लेख के बाकी हिस्से में केवल आयाम (वेक्टर स्पेस) या परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस पर बहुरेखीय रूपों पर विचार किया जाएगा। | जो अपने प्रत्येक <math>k</math> तर्कों में अलग से <math>K</math>-रैखिक है।<ref>{{MathWorld|title=Multilinear Form|urlname=MultilinearForm}}</ref> अधिक सामान्यतः , [[मॉड्यूल (गणित)]] पर [[ क्रमविनिमेय अंगूठी |क्रमविनिमेय वृत्त]] पर बहु-रेखीय रूपों को परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि, इस लेख के बाकी हिस्से में केवल आयाम (वेक्टर स्पेस) या परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस पर बहुरेखीय रूपों पर विचार किया जाएगा। | ||
<math>\R</math> पर <math>V</math> पर | <math>\R</math> पर <math>V</math> पर बहुरेखीय <math>k</math>-रूप को (सहसंयोजक) <math>\boldsymbol{k}</math>-टेंसर कहा जाता है, और ऐसे रूपों के सदिश स्थान को सामान्यतः पर <math>\mathcal{T}^k(V)</math> या <math>\mathcal{L}^k(V)</math>निरूपित किया जाता है|<ref>Many authors use the opposite convention, writing <math>\mathcal{T}^k(V)</math> to denote the contravariant ''k''-tensors on <math>V</math> and <math>\mathcal{T}_k(V)</math> to denote the covariant ''k''-tensors on <math>V</math>.</ref> | ||
== टेंसर उत्पाद == | == टेंसर उत्पाद == | ||
दिए गए <math>k</math>-टेंसर <math>f\in\mathcal{T}^k(V)</math> और | दिए गए <math>k</math>-टेंसर <math>f\in\mathcal{T}^k(V)</math> और <math>\ell</math>-टेंसर <math>g\in\mathcal{T}^\ell(V)</math>, उत्पाद <math>f\otimes g\in\mathcal{T}^{k+\ell}(V)</math>, टेंसर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, जिसे संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है | ||
: <math>(f\otimes g)(v_1,\ldots,v_k,v_{k+1},\ldots, v_{k+\ell})=f(v_1,\ldots,v_k)g(v_{k+1},\ldots, v_{k+\ell}),</math> | : <math>(f\otimes g)(v_1,\ldots,v_k,v_{k+1},\ldots, v_{k+\ell})=f(v_1,\ldots,v_k)g(v_{k+1},\ldots, v_{k+\ell}),</math> | ||
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: <math>(f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h).</math> | : <math>(f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h).</math> | ||
यदि <math>(v_1,\ldots, v_n)</math> | यदि <math>(v_1,\ldots, v_n)</math> <math>n</math>-आयामी सदिश स्थान <math>V</math> के लिए आधार बनाता है और <math>(\phi^1,\ldots,\phi^n)</math> दोहरे स्थान <math>V^*=\mathcal{T}^1(V)</math>,के लिए संगत दोहरा आधार है, तो <math>1\le i_1,\ldots,i_k\le n</math> के साथ उत्पाद <math>\phi^{i_1}\otimes\cdots\otimes\phi^{i_k}</math> के लिए आधार बनाते हैं। परिणामस्वरूप, <math>\mathcal{T}^k(V)</math> में आयाम <math>n^k</math> है | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
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{{main|द्विरेखीय रूप}} | {{main|द्विरेखीय रूप}} | ||
यदि <math>k=2</math> <math>f:V\times V\to K</math> को द्विरेखीय रूप कहा जाता है। | यदि <math>k=2</math> <math>f:V\times V\to K</math> को द्विरेखीय रूप कहा जाता है। (सममित) द्विरेखीय रूप का परिचित और महत्वपूर्ण उदाहरण सदिशों का मानक [[डॉट उत्पाद|आंतरिक उत्पाद]] (डॉट उत्पाद) है। | ||
=== वैकल्पिक बहुरेखीय रूप === | === वैकल्पिक बहुरेखीय रूप === | ||
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: <math>\int_C \omega :=\sum_i n_i\int_{c_i} \omega.</math> | : <math>\int_C \omega :=\sum_i n_i\int_{c_i} \omega.</math> | ||
की उपयुक्त परिभाषा <math>(n-1)</math>-[[चेन (बीजगणितीय टोपोलॉजी)]] <math>\partial C</math> की सीमा के रूप में जाना जाता है <math>C</math>,<ref>The formal definition of the boundary of a chain is somewhat involved and is omitted here (''see {{harvnb|Spivak|1965|pp=98–99}} for a discussion''). Intuitively, if <math>C</math> maps to a square, then <math>\partial C</math> is a linear combination of functions that maps to its edges in a counterclockwise manner. The boundary of a chain is distinct from the notion of a boundary in point-set topology.</ref> हमें स्टोक्स के प्रमेय (स्टोक्स-कार्टन प्रमेय) को सबसेट में जंजीरों के लिए बताने की अनुमति देता है <math>\R^m</math>: <blockquote>यदि <math>\omega</math> चिकना है <math>(n-1)</math>- खुले समुच्चय पर फॉर्म <math>A\subset\R^m</math>और <math>C</math> चिकना है <math>n</math>-श्रृंखला में <math>A</math>, तब<math>\int_C d\omega=\int_{\partial C} \omega</math></blockquote>अधिक परिष्कृत मशीनरी (जैसे, रोगाणु और [[व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)]]) का उपयोग करके, स्पर्शरेखा स्थान <math>T_p M</math> किसी भी चिकनी कई गुना <math>M</math> (जरूरी नहीं कि <math>\R^m</math> में एम्बेडेड) को परिभाषित किया जा सके। समान रूप से, | की उपयुक्त परिभाषा <math>(n-1)</math>-[[चेन (बीजगणितीय टोपोलॉजी)]] <math>\partial C</math> की सीमा के रूप में जाना जाता है <math>C</math>,<ref>The formal definition of the boundary of a chain is somewhat involved and is omitted here (''see {{harvnb|Spivak|1965|pp=98–99}} for a discussion''). Intuitively, if <math>C</math> maps to a square, then <math>\partial C</math> is a linear combination of functions that maps to its edges in a counterclockwise manner. The boundary of a chain is distinct from the notion of a boundary in point-set topology.</ref> हमें स्टोक्स के प्रमेय (स्टोक्स-कार्टन प्रमेय) को सबसेट में जंजीरों के लिए बताने की अनुमति देता है <math>\R^m</math>: <blockquote>यदि <math>\omega</math> चिकना है <math>(n-1)</math>- खुले समुच्चय पर फॉर्म <math>A\subset\R^m</math>और <math>C</math> चिकना है <math>n</math>-श्रृंखला में <math>A</math>, तब<math>\int_C d\omega=\int_{\partial C} \omega</math></blockquote>अधिक परिष्कृत मशीनरी (जैसे, रोगाणु और [[व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)]]) का उपयोग करके, स्पर्शरेखा स्थान <math>T_p M</math> किसी भी चिकनी कई गुना <math>M</math> (जरूरी नहीं कि <math>\R^m</math> में एम्बेडेड) को परिभाषित किया जा सके। समान रूप से, सामान्य चिकने मैनिफोल्ड पर विभेदक रूप <math>\omega\in\Omega^k(M)</math> नक्शा <math>\omega:p\in M\mapsto\omega_p\in \mathcal{A}^k(T_pM)</math> है। स्टोक्स के प्रमेय को और अधिक सामान्यीकृत किया जा सकता है मनमाने ढंग से चिकनी मैनिफोल्ड-साथ-सीमा और यहां तक कि कुछ "रफ" डोमेन (विवरण के लिए स्टोक्स के प्रमेय पर लेख देखें)। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
Revision as of 20:05, 30 April 2023
अमूर्त बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित में, सदिश स्थान पर बहुरेखीय रूप क्षेत्र पर (गणित) मानचित्र (गणित) है
जो अपने प्रत्येक तर्कों में अलग से -रैखिक है।[1] अधिक सामान्यतः , मॉड्यूल (गणित) पर क्रमविनिमेय वृत्त पर बहु-रेखीय रूपों को परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि, इस लेख के बाकी हिस्से में केवल आयाम (वेक्टर स्पेस) या परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस पर बहुरेखीय रूपों पर विचार किया जाएगा।
पर पर बहुरेखीय -रूप को (सहसंयोजक) -टेंसर कहा जाता है, और ऐसे रूपों के सदिश स्थान को सामान्यतः पर या निरूपित किया जाता है|[2]
टेंसर उत्पाद
दिए गए -टेंसर और -टेंसर , उत्पाद , टेंसर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, जिसे संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
सभी के लिए। बहुरेखीय रूपों का टेन्सर उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है; चूँकि यह द्विरेखीय और साहचर्य है:
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और