बहुरेखीय रूप: Difference between revisions

Revision as of 11:53, 29 April 2023

अमूर्त बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित में, सदिश स्थान पर बहुरेखीय रूप $V$ क्षेत्र पर (गणित) $K$ मानचित्र (गणित) है

f\colon V^{k}\to K

जो अपने प्रत्येक $k$ तर्कों में अलग से $K$ -रैखिक है।^[1] अधिक सामान्यतः , मॉड्यूल (गणित) पर क्रमविनिमेय वृत्त पर बहु-रेखीय रूपों को परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि, इस लेख के बाकी हिस्से में केवल आयाम (वेक्टर स्पेस) या परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस पर बहुरेखीय रूपों पर विचार किया जाएगा।

$\mathbb {R}$ पर $V$ पर एक बहुरेखीय $k$ -रूप को (सहसंयोजक) ${\boldsymbol {k}}$ -टेंसर कहा जाता है, और ऐसे रूपों के सदिश स्थान को सामान्यतः पर निरूपित किया जाता है ${\mathcal {T}}^{k}(V)$ या ${\mathcal {L}}^{k}(V)$ .^[2]

टेंसर उत्पाद

दिए गए $k$ -टेंसर $f\in {\mathcal {T}}^{k}(V)$ और एक $\ell$ -टेंसर $g\in {\mathcal {T}}^{\ell }(V)$ , एक उत्पाद $f\otimes g\in {\mathcal {T}}^{k+\ell }(V)$ , टेंसर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, जिसे संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

(f\otimes g)(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell })=f(v_{1},\ldots ,v_{k})g(v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell }),

सभी $v_{1},\ldots ,v_{k+\ell }\in V$ के लिए। बहुरेखीय रूपों का टेन्सर उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है; चूँकि यह द्विरेखीय और साहचर्य है:

f\otimes (ag_{1}+bg_{2})=a(f\otimes g_{1})+b(f\otimes g_{2})

,

(a f_{1} + b f_{2}) \otimes g = a (

[1]

[2]

@@ Line 6: / Line 6: @@
 जो अपने प्रत्येक <math>k</math> तर्कों में अलग से <math>K</math>-रैखिक है।<ref>{{MathWorld|title=Multilinear Form|urlname=MultilinearForm}}</ref> अधिक  सामान्यतः , [[मॉड्यूल (गणित)]] पर [[ क्रमविनिमेय अंगूठी |क्रमविनिमेय वृत्त]] पर बहु-रेखीय रूपों को परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि, इस लेख के बाकी हिस्से में केवल आयाम (वेक्टर स्पेस) या परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस पर बहुरेखीय रूपों पर विचार किया जाएगा।
-बहुरेखीय <math>k</math>-फॉर्म ऑन <math>V</math> ऊपर <math>\R</math> (सहसंयोजक) कहा जाता है <math>\boldsymbol{k}</math>-टेंसर, और ऐसे रूपों के वेक्टर स्थान को सामान्यतः निरूपित किया जाता है <math>\mathcal{T}^k(V)</math> या <math>\mathcal{L}^k(V)</math>.<ref>Many authors use the opposite convention, writing <math>\mathcal{T}^k(V)</math> to denote the contravariant ''k''-tensors on <math>V</math> and <math>\mathcal{T}_k(V)</math> to denote the covariant ''k''-tensors on <math>V</math>.</ref>
+<math>\R</math> पर <math>V</math> पर एक बहुरेखीय <math>k</math>-रूप को (सहसंयोजक) <math>\boldsymbol{k}</math>-टेंसर कहा जाता है, और ऐसे रूपों के सदिश स्थान को सामान्यतः पर निरूपित किया जाता है <math>\mathcal{T}^k(V)</math> या <math>\mathcal{L}^k(V)</math>.<ref>Many authors use the opposite convention, writing <math>\mathcal{T}^k(V)</math> to denote the contravariant ''k''-tensors on <math>V</math> and <math>\mathcal{T}_k(V)</math> to denote the covariant ''k''-tensors on <math>V</math>.</ref>
 == टेंसर उत्पाद ==
-ए दिया <math>k</math>-टेंसर <math>f\in\mathcal{T}^k(V)</math> और <math>\ell</math>-टेंसर <math>g\in\mathcal{T}^\ell(V)</math>, उत्पाद <math>f\otimes g\in\mathcal{T}^{k+\ell}(V)</math>, टेंसर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, जिसे संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
+दिए गए <math>k</math>-टेंसर <math>f\in\mathcal{T}^k(V)</math> और एक <math>\ell</math>-टेंसर <math>g\in\mathcal{T}^\ell(V)</math>, एक उत्पाद <math>f\otimes g\in\mathcal{T}^{k+\ell}(V)</math>, टेंसर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, जिसे संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
 : <math>(f\otimes g)(v_1,\ldots,v_k,v_{k+1},\ldots, v_{k+\ell})=f(v_1,\ldots,v_k)g(v_{k+1},\ldots, v_{k+\ell}),</math>
-सभी के लिए <math>v_1,\ldots,v_{k+\ell}\in V</math>. बहुरेखीय रूपों का टेन्सर उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है; चूँकि यह द्विरेखीय और साहचर्य है:
+सभी <math>v_1,\ldots,v_{k+\ell}\in V</math> के लिए। बहुरेखीय रूपों का टेन्सर उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है; चूँकि यह द्विरेखीय और साहचर्य है:
 : <math>f\otimes(ag_1+bg_2)=a(f\otimes g_1)+b(f\otimes g_2)</math>, <math>(af_1+bf_2)\otimes g=a(f_1\otimes g)+b(f_2\otimes g),</math>
@@ Line 19: / Line 20: @@
 : <math>(f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h).</math>
-यदि <math>(v_1,\ldots, v_n)</math> के लिए आधार बनाता है <math>n</math>-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष <math>V</math> और <math>(\phi^1,\ldots,\phi^n)</math> दोहरे स्थान के लिए संगत दोहरा आधार है <math>V^*=\mathcal{T}^1(V)</math>, फिर उत्पाद <math>\phi^{i_1}\otimes\cdots\otimes\phi^{i_k}</math>, साथ <math>1\le i_1,\ldots,i_k\le n</math> के लिए आधार तैयार करें <math>\mathcal{T}^k(V)</math>. फलस्वरूप, <math>\mathcal{T}^k(V)</math> आयाम है <math>n^k</math>.
+यदि <math>(v_1,\ldots, v_n)</math> एक <math>n</math>-आयामी सदिश स्थान <math>V</math> के लिए एक आधार बनाता है और <math>(\phi^1,\ldots,\phi^n)</math> दोहरे स्थान <math>V^*=\mathcal{T}^1(V)</math>,के लिए संगत दोहरा आधार है, तो <math>1\le i_1,\ldots,i_k\le n</math> के साथ उत्पाद <math>\phi^{i_1}\otimes\cdots\otimes\phi^{i_k}</math> के लिए एक आधार बनाते हैं। परिणामस्वरूप, <math>\mathcal{T}^k(V)</math> में आयाम है <math>n^k</math>.
 == उदाहरण ==
-=== बिलिनियर रूप ===
+=== द्विरेखीय रूप ===
 {{main|द्विरेखीय रूप}}
-यदि <math>k=2</math>, <math>f:V\times V\to K</math> द्विरेखीय रूप कहा जाता है। (सममित) द्विरेखीय रूप का परिचित और महत्वपूर्ण उदाहरण वैक्टर का [[डॉट उत्पाद]] (डॉट उत्पाद) है।
+यदि <math>k=2</math> <math>f:V\times V\to K</math>  को द्विरेखीय रूप कहा जाता है। एक (सममित) द्विरेखीय रूप का एक परिचित और महत्वपूर्ण उदाहरण सदिशों का मानक [[डॉट उत्पाद|आंतरिक उत्पाद]] (डॉट उत्पाद) है।
 === वैकल्पिक बहुरेखीय रूप ===
@@ Line 65: / Line 66: @@
 'अंतर <math>\boldsymbol{k}</math>-फॉर्म ऑन <math>U\subset\R^n</math> कार्य  के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\omega</math> जो प्रत्येक को आवंटित करता है <math>p\in U</math> a <math>k</math>-कोवेक्टोर के स्पर्शरेखा स्थान पर <math>\R^n</math>पर <math>p</math>, सामान्यतः निरूपित <math>\omega_p:=\omega(p)\in\mathcal{A}^k(\R^n_p)</math>. संक्षेप में, अंतर <math>k</math>-रूप है <math>k</math>-वेक्टर क्षेत्र। का स्थान <math>k</math>-फॉर्म चालू है <math>U</math> सामान्यतया निरूपित किया जाता है <math>\Omega^k(U)</math>; इस प्रकार यदि <math>\omega</math> अंतर है <math>k</math>-फॉर्म, हम लिखते हैं <math>\omega\in\Omega^k(U)</math>. कन्वेंशन द्वारा, पर सतत कार्य <math>U</math> अंतर 0-रूप है: <math>f\in C^0(U)=\Omega^0(U)</math>.
-हम पहले 0-रूपों से विभेदक 1-रूपों का निर्माण करते हैं और उनके कुछ मूलभूत गुणों को निकालते हैं। नीचे दी गई चर्चा को सरल बनाने के लिए, हम केवल चिकनेपन से निर्मित [[चिकनाई]] अंतर रूपों पर विचार करेंगे (<math>C^\infty</math>) कार्य करता है। होने देना <math>f:\R^n\to\R</math> सुचारू कार्य हो। हम 1-रूप को परिभाषित करते हैं <math>df</math> पर <math>U</math> के लिए <math>p\in U</math> और <math>v_p\in\R^n_p</math> द्वारा <math>(df)_p(v_p):=Df|_p(v)</math>, कहाँ <math>Df|_p:\R^n\to\R</math> का कुल योग है <math>f</math> पर <math>p</math>. (याद रखें कि कुल व्युत्पन्न रैखिक परिवर्तन है।) विशेष रुचि के प्रक्षेपण मानचित्र हैं (जिन्हें समन्वय कार्यों के रूप में भी जाना जाता है) <math>\pi^i:\R^n\to\R</math>, द्वारा परिभाषित <math>x\mapsto x^i</math>, कहाँ <math>x^i</math> का i मानक निर्देशांक है <math>x\in\R^n</math>. 1-रूप <math>d\pi^i</math> मूलभूत  1-रूपों के रूप में जाने जाते हैं; वे पारंपरिक रूप से निरूपित हैं <math>dx^i</math>. यदि मानक निर्देशांक <math>v_p\in\R^n_p</math> हैं <math>(v^1,\ldots, v^n)</math>, फिर की परिभाषा का अनुप्रयोग <math>df</math> पैदावार <math>dx^i_p(v_p)=v^i</math>, जिससे  <math>dx^i_p((e_j)_p)=\delta_j^i</math>, कहाँ <math>\delta^i_j</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है।<ref>The Kronecker delta is usually denoted by <math>\delta_{ij}=\delta(i,j)</math> and defined as <math display="inline">\delta:X\times X\to\{0,1\},\ (i,j)\mapsto \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases}</math>.  Here, the notation <math>\delta^i_j</math> is used to conform to the tensor calculus convention on the use of upper and lower indices. </ref> इस प्रकार, के लिए मानक आधार के दोहरे के रूप में <math>\R^n_p</math>, <math>(dx^1_p,\ldots,dx^n_p)</math> का आधार बनता है <math>\mathcal{A}^1(\R^n_p)=(\R^n_p)^*</math>. फलस्वरूप यदि <math>\omega</math> 1-फॉर्म ऑन है <math>U</math>, तब <math>\omega</math> रूप में लिखा जा सकता है <math display="inline">\sum a_i\,dx^i</math> सुचारू कार्यों के लिए <math>a_i:U\to\R</math>. इसके अतिरिक्त , हम के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं <math>df</math> कुल अंतर के लिए मौलिक अभिव्यक्ति के साथ मेल खाता है:
+हम पहले 0-रूपों से विभेदक 1-रूपों का निर्माण करते हैं और उनके कुछ मूलभूत गुणों को निकालते हैं। नीचे दी गई चर्चा को सरल बनाने के लिए, हम केवल चिकनेपन से निर्मित [[चिकनाई]] अंतर रूपों पर विचार करेंगे (<math>C^\infty</math>) कार्य करता है। होने देना <math>f:\R^n\to\R</math> सुचारू कार्य हो। हम 1-रूप को परिभाषित करते हैं <math>df</math> पर <math>U</math> के लिए <math>p\in U</math> और <math>v_p\in\R^n_p</math> द्वारा <math>(df)_p(v_p):=Df|_p(v)</math>, कहाँ <math>Df|_p:\R^n\to\R</math> का कुल योग है <math>f</math> पर <math>p</math>. (याद रखें कि कुल व्युत्पन्न रैखिक परिवर्तन है।) विशेष रुचि के प्रक्षेपण मानचित्र हैं (जिन्हें समन्वय कार्यों के रूप में भी जाना जाता है) <math>\pi^i:\R^n\to\R</math>, द्वारा परिभाषित <math>x\mapsto x^i</math>, कहाँ <math>x^i</math> का i मानक निर्देशांक है <math>x\in\R^n</math>. 1-रूप <math>d\pi^i</math> मूलभूत  1-रूपों के रूप में जाने जाते हैं; वे पारंपरिक रूप से निरूपित हैं <math>dx^i</math>. यदि मानक निर्देशांक <math>v_p\in\R^n_p</math> हैं <math>(v^1,\ldots, v^n)</math>, फिर की परिभाषा का अनुप्रयोग <math>df</math> पैदावार <math>dx^i_p(v_p)=v^i</math>, जिससे  <math>dx^i_p((e_j)_p)=\delta_j^i</math>, कहाँ <math>\delta^i_j</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है।<ref>The Kronecker delta is usually denoted by <math>\delta_{ij}=\delta(i,j)</math> and defined as <math display="inline">\delta:X\times X\to\{0,1\},\ (i,j)\mapsto \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases}</math>.  Here, the notation <math>\delta^i_j</math> is used to conform to the tensor calculus convention on the use of upper and lower indices. </ref> इस प्रकार, के लिए मानक आधार के दोहरे के रूप में <math>\R^n_p</math>, <math>(dx^1_p,\ldots,dx^n_p)</math> का आधार बनता है <math>\mathcal{A}^1(\R^n_p)=(\R^n_p)^*</math>. परिणामस्वरूप  यदि <math>\omega</math> 1-फॉर्म ऑन है <math>U</math>, तब <math>\omega</math> रूप में लिखा जा सकता है <math display="inline">\sum a_i\,dx^i</math> सुचारू कार्यों के लिए <math>a_i:U\to\R</math>. इसके अतिरिक्त , हम के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं <math>df</math> कुल अंतर के लिए मौलिक अभिव्यक्ति के साथ मेल खाता है:
 : <math>df=\sum_{i=1}^n D_i f\; dx^i={\partial f\over\partial x^1} \, dx^1+\cdots+{\partial f\over\partial x^n} \, dx^n.</math>

Anonymous

Search

बहुरेखीय रूप: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 11:53, 29 April 2023

Contents

टेंसर उत्पाद