मुक्त बीजगणित

This article is about रिंग सिद्धांत में मुक्त बीजगणित. For सार्वभौमिक बीजगणित में अधिक सामान्य मुक्त बीजगणित, see मुक्त वस्तु.

गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में जिसे अंगूठी सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, मुक्त बीजगणित बहुपद वलय का गैर-अनुवर्ती एनालॉग है क्योंकि इसके तत्वों को गैर-कम्यूटिंग चर के साथ बहुपद के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसी प्रकार, बहुपद वलय को मुक्त क्रमविनिमेय बीजगणित माना जा सकता है।

परिभाषा

R के लिए क्रमविनिमेय वलय, मुक्त (सहयोगी, इकाई बीजगणित) बीजगणित (अंगूठी सिद्धांत) n अनिश्चित (चर) {X₁,...,X_n} पर मुफ्त मॉड्यूल है, जिसका आधार वर्णमाला {X₁,...,X_n} पर सभी शब्द (गणित) (खाली शब्द सहित, जो मुक्त बीजगणित की इकाई है)। यह R-मॉड्यूल बीजगणित (रिंग थ्योरी) बन जाता है। R-बीजगणित गुणन को निम्नानुसार परिभाषित करता है, दो आधार तत्वों का उत्पाद संबंधित शब्दों का संयोजन होता है।

$\left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},$

एवं इस प्रकार दो मनमाना R-मॉड्यूल तत्वों का उत्पाद विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है (क्योंकि R-बीजगणित में गुणन R-बिलिनियर होना चाहिए)। इस R-बीजगणित को R⟨X₁,...,X_n⟩ दर्शाया गया है। इस निर्माण को सरलता से मनमाना उपसमुच्चय X के अनिश्चित उपसमुच्चय के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

संक्षेप में, मनमाना उपसमुच्चय के लिए $X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}$, X पर मुक्त (साहचर्य, इकाई बीजगणित) R-बीजगणित (अंगूठी सिद्धांत) है।

$R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw$

R-बिलिनियर गुणन के साथ जो शब्दों पर संयोजन है, जहां X*X पर मुक्त मोनोइड को दर्शाता है (अर्थात अक्षर X_i पर शब्द), $\oplus$ मॉड्यूल के बाहरी प्रत्यक्ष योग को दर्शाता है, एवं Rw1 तत्व पर मुफ्त Rw मॉड्यूल को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, R⟨X₁,X₂,X₃,X₄⟩, स्केलर α, β, γ, δ ∈ R के लिए, दो तत्वों के उत्पाद का ठोस उदाहरण है।

$(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{X}_1{X}_2^2+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{X}_2{X}_3)\cdot <!--\; \cdot \; -->(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{X}_2{X}_1+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{X}_1^4{X}_4)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{X}_1{X}_2^3{X}_1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{X}_1$