ज्यामितीय जाली: Difference between revisions

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{{Short description|Join-meet algebra on matroid flats}}
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[[matroid|मेटारोइड]] और [[जाली (आदेश)|नेट (आदेश)]] गणित में, ज्यामितीय नेट एक [[परिमित सेट]] एटम (आदेश सिद्धांत) [[अर्ध-मॉड्यूलर जाली|अर्ध-मॉड्यूलर नेट]] है, और एक matroid नेट परिमितता की धारणा के बिना एक परमाणु अर्ध-मॉड्यूलर नेट है। जियोमेट्रिक लैटिस और मैट्रोइड लैटिस, क्रमशः Matroid # Flats के परिमित और अनंत मेटारोइड के लैटिस बनाते हैं, और प्रत्येक ज्यामितीय या matroid नेट इस तरह से matroid से आती है।
[[matroid|मेटारोइड]] और [[जाली (आदेश)|नेट (आदेश)]] गणित में, ज्यामितीय नेट [[परिमित सेट]] एटम (आदेश सिद्धांत) [[अर्ध-मॉड्यूलर जाली|अर्ध-मॉड्यूलर नेट]] है, और matroid नेट परिमितता की धारणा के बिना परमाणु अर्ध-मॉड्यूलर नेट है। जियोमेट्रिक लैटिस और मैट्रोइड लैटिस, क्रमशः Matroid # Flats के परिमित और अनंत मेटारोइड के लैटिस बनाते हैं, और प्रत्येक ज्यामितीय या matroid नेट इस तरह से matroid से आती है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
एक नेट (आदेश) एक [[आंशिक रूप से आदेशित सेट]] है जिसमें कोई भी दो तत्व होते हैं <math>x</math> और <math>y</math> कम से कम ऊपरी सीमा होती है, जिसे ज्वाइन या [[ अंतिम ]] कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है <math>x\vee y</math>, और सबसे बड़ी निचली सीमा, जिसे मीट या [[सबसे कम]] कहा जाता है, द्वारा दर्शाया जाता है <math>x\wedge y</math>.
नेट (आदेश) [[आंशिक रूप से आदेशित सेट]] है जिसमें कोई भी दो तत्व होते हैं <math>x</math> और <math>y</math> कम से कम ऊपरी सीमा होती है, जिसे ज्वाइन या [[ अंतिम |अंतिम]] कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है <math>x\vee y</math>, और सबसे बड़ी निचली सीमा, जिसे मीट या [[सबसे कम]] कहा जाता है, द्वारा दर्शाया जाता है <math>x\wedge y</math>.
: निम्नलिखित परिभाषाएं सामान्य रूप से पॉसेट्स पर लागू होती हैं, केवल लैटिस नहीं, सिवाय जहां अन्यथा कहा गया हो।
: निम्नलिखित परिभाषाएं सामान्य रूप से पॉसेट्स पर लागू होती हैं, केवल लैटिस नहीं, सिवाय जहां अन्यथा कहा गया हो।
* [[न्यूनतम तत्व]] के लिए <math>x</math>, कोई तत्व नहीं है <math>y</math> ऐसा है कि <math>y < x</math>.
* [[न्यूनतम तत्व]] के लिए <math>x</math>, कोई तत्व नहीं है <math>y</math> ऐसा है कि <math>y < x</math>.
* तत्व <math>x</math> अन्य तत्व को कवर करना <math>y</math> (के रूप में लिखा गया है <math>x :> y</math> या <math> y <: x</math>) अगर <math>x > y</math> और कोई तत्व नहीं है <math>z</math> दोनों से अलग <math>x</math> और <math>y</math> ताकि <math>x > z > y</math>.
* तत्व <math>x</math> अन्य तत्व को कवर करना <math>y</math> (के रूप में लिखा गया है <math>x :> y</math> या <math> y <: x</math>) यदि <math>x > y</math> और कोई तत्व नहीं है <math>z</math> दोनों से अलग <math>x</math> और <math>y</math> जिससे कि <math>x > z > y</math>.
* एक न्यूनतम तत्व के आवरण को परमाणु (आदेश सिद्धांत) कहा जाता है।
* न्यूनतम तत्व के आवरण को परमाणु (आदेश सिद्धांत) कहा जाता है।
* एक नेट [[परमाणुवादी (आदेश सिद्धांत)]] है यदि प्रत्येक तत्व परमाणुओं के कुछ सेट का सर्वोच्च है।
* नेट [[परमाणुवादी (आदेश सिद्धांत)]] है यदि प्रत्येक तत्व परमाणुओं के कुछ सेट का सर्वोच्च है।
* एक पोसेट को [[ग्रेडेड पोसेट]] तब कहा जाता है जब उसे रैंक फ़ंक्शन दिया जा सकता है <math>r(x)</math> इसके तत्वों को पूर्णांकों में मैप करना, जैसे कि <math>r(x)>r(y)</math> जब कभी भी <math>x>y</math>, और भी <math>r(x)=r(y)+1</math> जब कभी भी <math>x :> y</math>.
* पोसेट को [[ग्रेडेड पोसेट]] तब कहा जाता है जब उसे रैंक फ़ंक्शन दिया जा सकता है <math>r(x)</math> इसके तत्वों को पूर्णांकों में मैप करना, जैसे कि <math>r(x)>r(y)</math> जब कभी भी <math>x>y</math>, और भी <math>r(x)=r(y)+1</math> जब कभी भी <math>x :> y</math>.
: जब एक वर्गीकृत पोसेट में एक निचला तत्व होता है, तो कोई यह मान सकता है कि व्यापकता को खोए बिना, इसका रैंक शून्य है। इस मामले में, परमाणु रैंक एक वाले तत्व हैं।
: जब वर्गीकृत पोसेट में निचला तत्व होता है, तो कोई यह मान सकता है कि व्यापकता को खोए बिना, इसका रैंक शून्य है। इस स्थिति में, परमाणु रैंक वाले तत्व हैं।
* एक श्रेणीबद्ध जालक अर्ध-मॉड्यूलर जालक होता है, यदि, प्रत्येक के लिए <math>x</math> और <math>y</math>, इसका रैंक फ़ंक्शन पहचान का पालन करता है<ref>{{harvtxt|Birkhoff|1995}}, Theorem 15, p.&nbsp;40. More precisely, Birkhoff's definition reads "We shall call P (upper) semimodular when it satisfies: If ''a''≠''b'' both cover ''c'', then there exists a ''d''∈''P'' which covers both ''a'' and ''b''" (p.39). Theorem 15 states: "A graded lattice of finite length is semimodular if and only if ''r''(''x'')+''r''(''y'')≥''r''(''x''∧''y'')+''r''(''x''∨''y'')".</ref>
* श्रेणीबद्ध जालक अर्ध-मॉड्यूलर जालक होता है, यदि, प्रत्येक के लिए <math>x</math> और <math>y</math>, इसका रैंक फ़ंक्शन पहचान का पालन करता है<ref>{{harvtxt|Birkhoff|1995}}, Theorem 15, p.&nbsp;40. More precisely, Birkhoff's definition reads "We shall call P (upper) semimodular when it satisfies: If ''a''≠''b'' both cover ''c'', then there exists a ''d''∈''P'' which covers both ''a'' and ''b''" (p.39). Theorem 15 states: "A graded lattice of finite length is semimodular if and only if ''r''(''x'')+''r''(''y'')≥''r''(''x''∧''y'')+''r''(''x''∨''y'')".</ref>
:: <math>r(x)+r(y)\ge r(x\wedge y)+r(x\vee y). \, </math>
:: <math>r(x)+r(y)\ge r(x\wedge y)+r(x\vee y). \, </math>
* एक मैट्रॉइड नेट एक नेट है जो परमाणु और अर्ध-मॉड्यूलर दोनों है।<ref>{{citation
* मैट्रॉइड नेट नेट है जो परमाणु और अर्ध-मॉड्यूलर दोनों है।<ref>{{citation
  | last1 = Maeda | first1 = F.
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  | title = Matroid Theory
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  | year = 2010}}.</ref> एक ज्यामितीय नेट एक '' परिमित '' मैट्रॉइड नेट है।<ref name="w10-51">{{harvtxt|Welsh|2010}}, p.&nbsp;51.</ref>
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: कई लेखक केवल परिमित मैट्रॉइड लैटिस पर विचार करते हैं, और दोनों के लिए एक दूसरे के लिए ज्यामितीय नेट और मैट्रोइड लैटिस शब्दों का उपयोग करते हैं।<ref>{{citation|title=Lattice Theory|volume=25|series=Colloquium Publications|publisher=American Mathematical Society|first=Garrett|last=Birkhoff|authorlink=Garrett Birkhoff|edition=3rd|year=1995|isbn=9780821810255|page=80|url=https://books.google.com/books?id=0Y8d-MdtVwkC&pg=PA80}}.</ref>
: कई लेखक केवल परिमित मैट्रॉइड लैटिस पर विचार करते हैं, और दोनों के लिए दूसरे के लिए ज्यामितीय नेट और मैट्रोइड लैटिस शब्दों का उपयोग करते हैं।<ref>{{citation|title=Lattice Theory|volume=25|series=Colloquium Publications|publisher=American Mathematical Society|first=Garrett|last=Birkhoff|authorlink=Garrett Birkhoff|edition=3rd|year=1995|isbn=9780821810255|page=80|url=https://books.google.com/books?id=0Y8d-MdtVwkC&pg=PA80}}.</ref>




== लैटिस बनाम मैट्रोइड्स ==
== लैटिस बनाम मैट्रोइड्स ==
ज्यामितीय नेट (परिमित, सरल) मेटारोइड के बराबर हैं, और matroid lattices परिमितता की धारणा के बिना सरल मेटारोइड के बराबर हैं (अनंत मेटारोइड की उचित परिभाषा के तहत; ऐसी कई परिभाषाएं हैं)। पत्राचार यह है कि मैट्रॉइड के तत्व नेट के परमाणु हैं और नेट का एक तत्व x मैट्रॉइड के फ्लैट से मेल खाता है जिसमें मैट्रॉइड के वे तत्व होते हैं जो परमाणु होते हैं <math>a \leq x.</math>
ज्यामितीय नेट (परिमित, सरल) मेटारोइड के बराबर हैं, और matroid lattices परिमितता की धारणा के बिना सरल मेटारोइड के बराबर हैं (अनंत मेटारोइड की उचित परिभाषा के अनुसार; ऐसी कई परिभाषाएं हैं)। पत्राचार यह है कि मैट्रॉइड के तत्व नेट के परमाणु हैं और नेट का तत्व x मैट्रॉइड के फ्लैट से मेल खाता है जिसमें मैट्रॉइड के वे तत्व होते हैं जो परमाणु होते हैं <math>a \leq x.</math>
एक ज्यामितीय नेट की तरह, एक मैट्रॉइड को [[मैट्रोइड रैंक]] के साथ संपन्न किया जाता है, लेकिन यह फ़ंक्शन मेट्रॉइड तत्वों के एक सेट को एक नेट तत्व को इसके तर्क के रूप में लेने के बजाय एक संख्या में मैप करता है। मैट्रॉइड का रैंक फ़ंक्शन मोनोटोनिक होना चाहिए (एक सेट में एक तत्व जोड़ने से इसकी रैंक कभी कम नहीं हो सकती है) और यह [[सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन]] होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि यह सेमीमॉड्यूलर रैंक वाले लैटिस के समान असमानता का पालन करता है:
ज्यामितीय नेट की तरह, मैट्रॉइड को [[मैट्रोइड रैंक]] के साथ संपन्न किया जाता है, किन्तु यह फ़ंक्शन मेट्रॉइड तत्वों के सेट को नेट तत्व को इसके तर्क के रूप में लेने के अतिरिक्त संख्या में मैप करता है। मैट्रॉइड का रैंक फ़ंक्शन मोनोटोनिक होना चाहिए (सेट में तत्व जोड़ने से इसकी रैंक कभी कम नहीं हो सकती है) और यह [[सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन]] होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि यह सेमीमॉड्यूलर रैंक वाले लैटिस के समान असमानता का पालन करता है:


:<math>r(X)+r(Y)\ge r(X\cap Y)+r(X\cup Y)</math>
:<math>r(X)+r(Y)\ge r(X\cap Y)+r(X\cup Y)</math>
matroid तत्वों के X और Y सेट के लिए।
matroid तत्वों के X और Y सेट के लिए।
किसी दिए गए रैंक के [[अधिकतम तत्व]] सेट को 'फ्लैट्स' कहा जाता है। दो फ्लैटों का चौराहा फिर से एक फ्लैट है, जो फ्लैटों के जोड़े पर सबसे बड़ी निचली बाध्य कार्रवाई को परिभाषित करता है; कोई भी फ्लैटों की एक जोड़ी के कम से कम ऊपरी बाउंड को उनके संघ के (अद्वितीय) अधिकतम सुपरसेट के रूप में परिभाषित कर सकता है जिसमें उनके संघ के समान रैंक है। इस तरह, एक मैट्रॉइड के फ्लैट एक मैट्रोइड नेट बनाते हैं, या (यदि मैट्रॉइड परिमित है) एक ज्यामितीय नेट।<ref name="w10-51"/>
किसी दिए गए रैंक के [[अधिकतम तत्व]] सेट को 'फ्लैट्स' कहा जाता है। दो फ्लैटों का चौराहा फिर से फ्लैट है, जो फ्लैटों के जोड़े पर सबसे बड़ी निचली बाध्य कार्रवाई को परिभाषित करता है; कोई भी फ्लैटों की जोड़ी के कम से कम ऊपरी बाउंड को उनके संघ के (अद्वितीय) अधिकतम सुपरसेट के रूप में परिभाषित कर सकता है जिसमें उनके संघ के समान रैंक है। इस तरह, मैट्रॉइड के फ्लैट मैट्रोइड नेट बनाते हैं, या (यदि मैट्रॉइड परिमित है) ज्यामितीय नेट।<ref name="w10-51"/>


इसके विपरीत यदि <math>L</math> एक मैट्रॉइड नेट है, कोई भी अपने परमाणुओं के सेट पर रैंक फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकता है, परमाणुओं के एक सेट के रैंक को सेट के सबसे बड़े निचले बाउंड के नेट रैंक के रूप में परिभाषित कर सकता है। यह रैंक फ़ंक्शन आवश्यक रूप से मोनोटोनिक और सबमॉड्यूलर है, इसलिए यह एक मैट्रॉइड को परिभाषित करता है। यह मैट्रॉइड आवश्यक रूप से सरल है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक दो-तत्व सेट में रैंक दो है।<ref name="w10-51"/>
इसके विपरीत यदि <math>L</math> मैट्रॉइड नेट है, कोई भी अपने परमाणुओं के सेट पर रैंक फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकता है, परमाणुओं के सेट के रैंक को सेट के सबसे बड़े निचले बाउंड के नेट रैंक के रूप में परिभाषित कर सकता है। यह रैंक फ़ंक्शन आवश्यक रूप से मोनोटोनिक और सबमॉड्यूलर है, इसलिए यह मैट्रॉइड को परिभाषित करता है। यह मैट्रॉइड आवश्यक रूप से सरल है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक दो-तत्व सेट में रैंक दो है।<ref name="w10-51"/>


ये दो निर्माण, एक नेट से एक साधारण मैट्रॉइड और एक मैट्रॉइड से एक नेट के, एक दूसरे के विपरीत होते हैं: एक ज्यामितीय नेट या एक साधारण मैट्रॉइड से शुरू होकर, और एक के बाद एक दोनों निर्माण करते हुए, एक नेट या मैट्रॉइड देता है मूल के लिए आइसोमोर्फिक है।<ref name="w10-51"/>
ये दो निर्माण, नेट से साधारण मैट्रॉइड और मैट्रॉइड से नेट के, दूसरे के विपरीत होते हैं: ज्यामितीय नेट या साधारण मैट्रॉइड से प्रारंभ होकर, और के बाद दोनों निर्माण करते हुए, नेट या मैट्रॉइड देता है मूल के लिए आइसोमोर्फिक है।<ref name="w10-51"/>




== द्वैत ==
== द्वैत ==
ज्यामितीय नेट के लिए द्वैत की दो अलग-अलग प्राकृतिक धारणाएँ हैं <math>L</math>: दोहरी matroid, जो इसके आधार के आधार पर matroid के आधार के [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] सेट करता है <math>L</math>, और [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]], वह नेट जिसमें समान तत्व होते हैं <math>L</math> विपरीत क्रम में। वे समान नहीं हैं, और वास्तव में दोहरी नेट आम तौर पर एक ज्यामितीय नेट नहीं होती है: परमाणु होने की संपत्ति ऑर्डर-रिवर्सल द्वारा संरक्षित नहीं होती है। {{harvtxt|Cheung|1974}} एक ज्यामितीय नेट के आसन्न को परिभाषित करता है <math>L</math> (या इससे परिभाषित मैट्रॉइड) एक न्यूनतम ज्यामितीय नेट है जिसमें दोहरी नेट है <math>L</math> [[ आदेश एम्बेडिंग ]] है|ऑर्डर-एम्बेडेड। कुछ मैट्रोइड्स में संलग्नक नहीं होते हैं; एक उदाहरण वामोस मैट्रोइड है।<ref>{{citation
ज्यामितीय नेट के लिए द्वैत की दो अलग-अलग प्राकृतिक धारणाएँ हैं <math>L</math>: दोहरी matroid, जो इसके आधार के आधार पर matroid के आधार के [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] सेट करता है <math>L</math>, और [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]], वह नेट जिसमें समान तत्व होते हैं <math>L</math> विपरीत क्रम में। वे समान नहीं हैं, और वास्तव में दोहरी नेट सामान्यतः ज्यामितीय नेट नहीं होती है: परमाणु होने की संपत्ति ऑर्डर-रिवर्सल द्वारा संरक्षित नहीं होती है। {{harvtxt|Cheung|1974}} ज्यामितीय नेट के आसन्न को परिभाषित करता है <math>L</math> (या इससे परिभाषित मैट्रॉइड) न्यूनतम ज्यामितीय नेट है जिसमें दोहरी नेट है <math>L</math> [[ आदेश एम्बेडिंग |आदेश एम्बेडिंग]] है|ऑर्डर-एम्बेडेड। कुछ मैट्रोइड्स में संलग्नक नहीं होते हैं; उदाहरण वामोस मैट्रोइड है।<ref>{{citation
  | last = Cheung | first = Alan L. C.
  | last = Cheung | first = Alan L. C.
  | doi = 10.4153/CMB-1974-066-5 | doi-access=free
  | doi = 10.4153/CMB-1974-066-5 | doi-access=free
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== अतिरिक्त गुण ==
== अतिरिक्त गुण ==
एक ज्यामितीय नेट का प्रत्येक अंतराल (दिए गए निचले और ऊपरी बाध्य तत्वों के बीच नेट का सबसेट) स्वयं ज्यामितीय है; एक ज्यामितीय नेट का अंतराल लेना संबंधित मैट्रोइड के एक [[ माथेरॉइड माइनर ]] बनाने के अनुरूप है। ज्यामितीय नेट नेट के पूरक हैं, और अंतराल संपत्ति के कारण वे अपेक्षाकृत पूरक भी हैं।<ref>{{harvtxt|Welsh|2010}}, pp. 55, 65–67.</ref>
ज्यामितीय नेट का प्रत्येक अंतराल (दिए गए निचले और ऊपरी बाध्य तत्वों के बीच नेट का सबसेट) स्वयं ज्यामितीय है; ज्यामितीय नेट का अंतराल लेना संबंधित मैट्रोइड के [[ माथेरॉइड माइनर |माथेरॉइड माइनर]] बनाने के अनुरूप है। ज्यामितीय नेट नेट के पूरक हैं, और अंतराल संपत्ति के कारण वे अपेक्षाकृत पूरक भी हैं।<ref>{{harvtxt|Welsh|2010}}, pp. 55, 65–67.</ref>
प्रत्येक परिमित नेट एक ज्यामितीय नेट का उप-वर्ग है।<ref>{{harvtxt|Welsh|2010}}, p. 58; Welsh credits this result to [[Robert P. Dilworth]], who proved it in 1941–1942, but does not give a specific citation for its original proof.</ref>
प्रत्येक परिमित नेट ज्यामितीय नेट का उप-वर्ग है।<ref>{{harvtxt|Welsh|2010}}, p. 58; Welsh credits this result to [[Robert P. Dilworth]], who proved it in 1941–1942, but does not give a specific citation for its original proof.</ref>




Revision as of 13:10, 2 May 2023

मेटारोइड और नेट (आदेश) गणित में, ज्यामितीय नेट परिमित सेट एटम (आदेश सिद्धांत) अर्ध-मॉड्यूलर नेट है, और matroid नेट परिमितता की धारणा के बिना परमाणु अर्ध-मॉड्यूलर नेट है। जियोमेट्रिक लैटिस और मैट्रोइड लैटिस, क्रमशः Matroid # Flats के परिमित और अनंत मेटारोइड के लैटिस बनाते हैं, और प्रत्येक ज्यामितीय या matroid नेट इस तरह से matroid से आती है।

परिभाषा

नेट (आदेश) आंशिक रूप से आदेशित सेट है जिसमें कोई भी दो तत्व होते हैं और कम से कम ऊपरी सीमा होती है, जिसे ज्वाइन या अंतिम कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है , और सबसे बड़ी निचली सीमा, जिसे मीट या सबसे कम कहा जाता है, द्वारा दर्शाया जाता है .

निम्नलिखित परिभाषाएं सामान्य रूप से पॉसेट्स पर लागू होती हैं, केवल लैटिस नहीं, सिवाय जहां अन्यथा कहा गया हो।
  • न्यूनतम तत्व के लिए , कोई तत्व नहीं है ऐसा है कि .
  • तत्व अन्य तत्व को कवर करना (के रूप में लिखा गया है या ) यदि और कोई तत्व नहीं है दोनों से अलग और जिससे कि .
  • न्यूनतम तत्व के आवरण को परमाणु (आदेश सिद्धांत) कहा जाता है।
  • नेट परमाणुवादी (आदेश सिद्धांत) है यदि प्रत्येक तत्व परमाणुओं के कुछ सेट का सर्वोच्च है।
  • पोसेट को ग्रेडेड पोसेट तब कहा जाता है जब उसे रैंक फ़ंक्शन दिया जा सकता है इसके तत्वों को पूर्णांकों में मैप करना, जैसे कि जब कभी भी , और भी जब कभी भी .
जब वर्गीकृत पोसेट में निचला तत्व होता है, तो कोई यह मान सकता है कि व्यापकता को खोए बिना, इसका रैंक शून्य है। इस स्थिति में, परमाणु रैंक वाले तत्व हैं।
  • श्रेणीबद्ध जालक अर्ध-मॉड्यूलर जालक होता है, यदि, प्रत्येक के लिए और , इसका रैंक फ़ंक्शन पहचान का पालन करता है[1]
  • मैट्रॉइड नेट नेट है जो परमाणु और अर्ध-मॉड्यूलर दोनों है।[2][3] ज्यामितीय नेट परिमित मैट्रॉइड नेट है।[4]
कई लेखक केवल परिमित मैट्रॉइड लैटिस पर विचार करते हैं, और दोनों के लिए दूसरे के लिए ज्यामितीय नेट और मैट्रोइड लैटिस शब्दों का उपयोग करते हैं।[5]


लैटिस बनाम मैट्रोइड्स

ज्यामितीय नेट (परिमित, सरल) मेटारोइड के बराबर हैं, और matroid lattices परिमितता की धारणा के बिना सरल मेटारोइड के बराबर हैं (अनंत मेटारोइड की उचित परिभाषा के अनुसार; ऐसी कई परिभाषाएं हैं)। पत्राचार यह है कि मैट्रॉइड के तत्व नेट के परमाणु हैं और नेट का तत्व x मैट्रॉइड के फ्लैट से मेल खाता है जिसमें मैट्रॉइड के वे तत्व होते हैं जो परमाणु होते हैं ज्यामितीय नेट की तरह, मैट्रॉइड को मैट्रोइड रैंक के साथ संपन्न किया जाता है, किन्तु यह फ़ंक्शन मेट्रॉइड तत्वों के सेट को नेट तत्व को इसके तर्क के रूप में लेने के अतिरिक्त संख्या में मैप करता है। मैट्रॉइड का रैंक फ़ंक्शन मोनोटोनिक होना चाहिए (सेट में तत्व जोड़ने से इसकी रैंक कभी कम नहीं हो सकती है) और यह सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि यह सेमीमॉड्यूलर रैंक वाले लैटिस के समान असमानता का पालन करता है: