जोन्स कैलकुलस

प्रकाशिकी में, ध्रुवीकृत प्रकाश को 1941 में आरसी जोन्स द्वारा खोजे गए जोन्स कैलकुलस का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। ध्रुवीकृत प्रकाश को जोन्स वेक्टर द्वारा दर्शाया गया है, और रैखिक प्रकाशीय तत्वों को जोन्स मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया गया है। जब प्रकाश एक प्रकाशीय तत्व को पार करता है तो प्रकाशीय तत्व के जोन्स मैट्रिक्स और घटना प्रकाश के जोन्स वेक्टर के उत्पाद को लेकर उभरती हुई रोशनी का परिणामी ध्रुवीकरण पाया जाता है। ध्यान दें कि जोन्स कैलकुस केवल उस प्रकाश पर प्रयुक्त होता है जो पहले से ही पूरी तरह से ध्रुवीकृत है। प्रकाश जो अनायास ढंग से ध्रुवीकृत है, आंशिक रूप से ध्रुवीकृत है, या असंगत है, उसे मुलर कैलकुलस का उपयोग करके व्यवहार किया जाना चाहिए।

जोन्स वेक्टर

जोन्स वेक्टर मुक्त स्थान में प्रकाश के ध्रुवीकरण का वर्णन करता है या एक अन्य सजातीय आइसोट्रोपिक गैर-क्षीणन माध्यम जहां प्रकाश को ठीक से अनुप्रस्थ तरंगों के रूप में वर्णित किया जा सकता है। मान लीजिए कि प्रकाश की एक एकवर्णी समतल तरंग धनात्मक z-दिशा में कोणीय आवृत्ति ω और तरंग सदिश'k' = (0,0,k) के साथ यात्रा कर रही है, जहाँ तरंग संख्या k = ω/c है। फिर बिजली और चुंबकीय क्षेत्र ई और एच प्रत्येक बिंदु पर ऑर्थोगोनल हैं; वे दोनों गति की दिशा में "अनुप्रस्थ" तल में स्थित हैं। इसके अतिरिक्त 'H' को 'E' से 90 डिग्री रोटेशन और माध्यम के तरंग प्रतिबाधा के आधार पर एक निश्चित गुणक द्वारा निर्धारित किया जाता है। तो 'E' का अध्ययन करके प्रकाश का ध्रुवीकरण निर्धारित किया जा सकता है। 'E' का जटिल आयाम लिखा गया है

${\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}.$

ध्यान दें कि भौतिक E क्षेत्र इस सदिश का वास्तविक भाग है; जटिल गुणक चरण सूचना का कार्य करता है। यहाँ $i$ $i^{2}=-1$के साथ काल्पनिक इकाई है

जोन्स वेक्टर है

${\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}.$

इस प्रकार, जोन्स वेक्टर x और y दिशाओं में विद्युत क्षेत्र के आयाम और चरण का प्रतिनिधित्व करता है।

जोन्स वैक्टर के दो घटकों के पूर्ण मानो के वर्गों का योग प्रकाश की तीव्रता के समानुपाती होता है। सरलीकरण के लिए गणना के प्रारंभिक बिंदु पर इसे 1 पर सामान्यीकृत करना सामान्य बात है। जोन्स वैक्टर के पहले घटक को वास्तविक संख्या होने के लिए विवश करना भी सामान्य है। यह अन्य बीम के साथ हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) की गणना के लिए आवश्यक समग्र चरण की जानकारी को छोड़ देता है।

ध्यान दें कि इस लेख में सभी जोन्स वैक्टर और मेट्रिसेस उस सम्मेलन को नियोजित करते हैं जिसके द्वारा प्रकाश तरंग का चरण $\phi =kz-\omega t$ दिया जाता है , हेचट द्वारा उपयोग किया जाने वाला एक सम्मेलन। इस सम्मेलन के तहत, $\phi _{x}$ (या $\phi _{y}$) में वृद्धि चरण में मंदता (विलंब) इंगित करता है, जबकि कमी चरण में आगे बढ़ने का संकेत देती है। उदाहरण के लिए, जोन्स वैक्टर का घटक $i$ ($=e^{i\pi /2}$) द्वारा मंदता को इंगित करता है $\pi /2$ (या 90 डिग्री) 1 की तुलना में ($=e^{0}$). जोन्स कन्वेंशन के तहत वर्णित परिपत्र ध्रुवीकरण को कहा जाता है: प्राप्त करने के दृष्टिकोण से। कॉलेट चरण के लिए विपरीत परिभाषा का उपयोग करता है ($\phi =\omega t-kz$). कॉलेट की परिपाटी के अंतर्गत वर्णित वृत्ताकार ध्रुवीकरण कहलाता है : स्रोत की दृष्टि से। जोन्स कैलकुस पर संदर्भों से परामर्श करते समय पाठक को सम्मेलन की पसंद से सावधान रहना चाहिए।

निम्न तालिका सामान्यीकृत जोन्स वैक्टर के 6 सामान्य उदाहरण देती है।

ध्रुवीकरण	जोन्स सदिश	विशिष्ट केट नोटेशन
x दिशा में रैखिक ध्रुवीकरण सामान्यतः "क्षैतिज" कहा जाता है	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	$|H\rangle$
वाई दिशा में रैखिक ध्रुवीकरण सामान्यतः "ऊर्ध्वाधर" कहा जाता है	${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$	$|V\rangle$
x अक्ष से 45 डिग्री पर रैखिक ध्रुवीकरण सामान्यतः "विकर्ण" L+45 कहा जाता है	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$	$|D⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{1}{\sqrt{2}}$