दूरी ज्यामिति

दूरी ज्यामिति गणित की वह शाखा है जो अंकों के बीच की दूरी के दिए गए मानों पर 'केवल' आधारित बिंदुओं के लक्षित वर्णन (गणित) और अध्ययन समुच्चयों (गणित) से संबंधित है। इस प्रकार इससे अधिक संक्षेप में यदि बात करें तो यह अर्धमितीय स्थान और उनके बीच आइसोमेट्री गुणों के अध्ययन के लिए उपयोग की जाती है। इस दृष्टि से इसे सामान्य टोपोलॉजी के अंतर्गत इसके मुख्य विषय के रूप में उपयोग किया जाता है।

ऐतिहासिक रूप से दूरी ज्यामिति में पहला परिणाम पहली शताब्दी ईस्वी में विकसित हीरो सूत्र है। आधुनिक सिद्धांत के प्रारंभ में 19वीं सदी में आर्थर केली के कार्य से प्रारंभ हुई थी, इसके पश्चात 20वीं सदी में कार्ल मेन्जर और अन्य लोगों ने और अधिक व्यापक विकास किए गए थे।

दूरी ज्यामिति की समस्याएँ तब उत्पन्न होती हैं जब किसी को उनके बीच की दूरियों से बिंदुओं के विन्यास (सापेक्ष स्थिति) के आकार का अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है, जैसे जीव विज्ञान में, सूचकों नेटवर्क, सर्वेक्षण, मार्गदर्शन, नक्शानवीसी और भौतिकी इसके उत्तम उदाहरण हैं।

परिचय और परिभाषाएँ

दूरी ज्यामिति की अवधारणाओं को पहले दो विशेष समस्याओं का वर्णन करते हुए समझाया जाता हैं।

अतिशयोक्तिपूर्ण नेविगेशन की समस्या

पहली समस्या: अतिशयोक्तिपूर्ण नेविगेशन

तीन ग्राउंड रेडियो स्टेशनों ए, बी, सी पर विचार करते हैं, जिनके स्थान हमें ज्ञात रहते हैं। इस प्रकार रेडियो के रिसीवर अज्ञात स्थान पर स्थिति रहते हैं। स्टेशनों से रिसीवर तक रेडियो संकेत की यात्रा करने में लगने वाला समय, $t_{A},t_{B},t_{C}$, अज्ञात रहता हैं, किन्तु समय के अंतर, $t_{A}-t_{B}$ और $t_{A}-t_{C}$, ज्ञात रहता हैं। उनसे दूरी के अंतर को $c(t_{A}-t_{B})$ और $c(t_{A}-t_{C})$ से जाना जा सकता है, जिससे रिसीवर की स्थिति का पता लगाया जा सकता है।

दूसरी समस्या: आयाम में कमी

डेटा विश्लेषण में, किसी को अधिकांशतः सदिश के रूप में दर्शाए गए डेटा की एक सूची $\mathbf {v} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ के रूप में दी जाती है, और किसी को यह पता लगाने की आवश्यकता रहती है कि क्या वे कम-आयाम वाले एफ़िन उपस्थान के भीतर उपस्थित रहते हैं। इस प्रकार डेटा के निम्न-आयामी प्रतिनिधित्व के कई लाभ हैं, जैसे भंडारण स्थान की बचत, गणना समय, और डेटा में उत्तम अंतर्दृष्टि प्रदान करना इत्यादि।

परिभाषाएँ

अब हम कुछ परिभाषाओं को औपचारिक रूप देते हैं जो स्वाभाविक रूप से हमारी समस्याओं पर विचार करने से उत्पन्न होती हैं।

अर्धमितीय स्थान

बिंदुओं $R=\{P_{0},\ldots ,P_{n}\}$, $n\geq 0$, की सूची दी गई है, जिसके अनुसार हम इसे अपने तरीकों से बिंदुओं के बीच की दूरी को $d_{ij}>0$, $0\leq i<j\leq n$ सूची द्वारा निर्दिष्ट कर सकते हैं, यह अर्ध मीट्रिक स्थान को परिभाषित करता है: त्रिकोण असमानता के बिना एक मीट्रिक स्थान को प्रदर्शित करता हैं।

स्पष्ट रूप से, हम अर्धमितीय स्थान को एक गैर-रिक्त समुच्चय $R$ के रूप में परिभाषित करते हैं, इसमें सेमीमेट्रिक से लैस $d:R\times R\to [0,\infty )$ का मान इस प्रकार हैं कि, सभी मानों के लिए $x,y\in R$,

1. धनात्मकता: $d(x,y)=0$ हैं, यदि $x=y$
2. समरूपता: $d(x,y)=d(y,x)$

कोई भी मीट्रिक स्थान आर्गुमेंटम फोर्टियोरी सेमीमेट्रिक स्थान होता है। विशेष रूप से $\mathbb {R} ^{k}$, $k$-डायमेंशनल यूक्लिडियन समतल, दूरी ज्यामिती में नियमानुसार फॉर्म मेट्रिक स्थान उपलब्ध रहते हैं।

इस परिभाषा में त्रिभुज असमानता को छोड़ दिया जाता है, क्योंकि हम दूरियों $d_{ij}$ पर अधिक प्रतिबंध लागू नहीं करना चाहते हैं, इस प्रकार केवल आवश्यकता से अधिक का मान धनात्मक रहता हैं।

व्यवहारिक रूप से अर्धमितीय स्थान स्वाभाविक रूप से त्रुटि की माप से उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए तीन अंक दिए गए $A,B,C$ लाइन पर $d_{AB}=1,d_{BC}=1,d_{AC}=2$, के साथ एक गलत माप $d_{AB}=0.99,d_{BC}=0.98,d_{AC}=2.00$ दे सकता है, जिससे त्रिकोण असमानता का उल्लंघन हो जाता हैं।

आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग

दो अर्धमितीय रिक्त स्थान $(R,d),(R',d')$ दिए गए हैं, जिसमें एक आइसोमेट्री से $R$ को $R'$ एक प्रारूप को प्रदर्शित करता है, इसमें $f:R\to R'$ जो सेमीमेट्रिक अर्ताथ सभी के लिए सुरक्षित रखता है, इस प्रकार $x,y\in R$, $d(x,y)=d^{\prime }$