दूरी ज्यामिति: Difference between revisions

'''[[दूरी]] ज्यामिति''' गणित की वह शाखा है जो अंकों के बीच की दूरी के दिए गए मानों पर 'केवल' आधारित बिंदुओं के [[लक्षण वर्णन (गणित)|लक्षित वर्णन (गणित)]] और अध्ययन [[सेट (गणित)|समुच्चयों (गणित)]] से संबंधित है।<ref name="positioning" /><ref name="siam" /><ref name="DGAbook" /> इस प्रकार इससे अधिक संक्षेप में यदि बात करें तो यह [[अर्धमितीय स्थान]] और उनके बीच [[आइसोमेट्री]] गुणों के अध्ययन के लिए उपयोग की जाती है। इस दृष्टि से इसे [[सामान्य टोपोलॉजी]] के अंतर्गत इसके मुख्य विषय के रूप में उपयोग किया जाता है।<ref name="crippen" />

ऐतिहासिक रूप से दूरी ज्यामिति में पहला परिणाम पहली शताब्दी ईस्वी में विकसित '''हीरो सूत्र''' है। आधुनिक सिद्धांत के प्रारंभ में 19वीं सदी में [[आर्थर केली]] के कार्य से प्रारंभ हुई थी, इसके पश्चात 20वीं सदी में [[कार्ल मेन्जर]] और अन्य लोगों ने और अधिक व्यापक विकास किए गए थे।

दूरी ज्यामिति की समस्याएँ तब उत्पन्न होती हैं जब किसी को उनके बीच की दूरियों से बिंदुओं के विन्यास (सापेक्ष स्थिति) के आकार का अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है, जैसे जीव विज्ञान में,<ref name="crippen" /> [[सेंसर नेटवर्क|सूचकों नेटवर्क]],<ref name="sensors" /> सर्वेक्षण, [[ मार्गदर्शन |मार्गदर्शन]], [[ नक्शानवीसी ]] और भौतिकी इसके उत्तम उदाहरण हैं।

दूरी ज्यामिति की अवधारणाओं को पहले दो विशेष समस्याओं का वर्णन करते हुए समझाया जाता हैं।[[File:Hyperbolic_Navigation.svg|thumb|219x219px|अतिशयोक्तिपूर्ण नेविगेशन की समस्या]]

तीन ग्राउंड रेडियो स्टेशनों ए, बी, सी पर विचार करते हैं, जिनके स्थान हमें ज्ञात रहते हैं। इस प्रकार रेडियो के रिसीवर अज्ञात स्थान पर स्थिति रहते हैं। स्टेशनों से रिसीवर तक रेडियो संकेत की यात्रा करने में लगने वाला समय, <math> t_A,t_B,t_C </math>, अज्ञात रहता हैं, किन्तु समय के अंतर, <math>t_A-t_B </math> और <math>t_A-t_C </math>, ज्ञात रहता हैं। उनसे दूरी के अंतर को <math>c(t_A-t_B) </math> और <math>c(t_A-t_C) </math> से जाना जा सकता है, जिससे रिसीवर की स्थिति का पता लगाया जा सकता है।

=== दूसरी समस्या: [[आयामीता में कमी|आयाम में कमी]] ===

[[डेटा विश्लेषण]] में, किसी को अधिकांशतः सदिश के रूप में दर्शाए गए डेटा की एक सूची <math>\mathbf{v} = (x_1, \ldots, x_n)\in \mathbb{R}^n</math> के रूप में दी जाती है, और किसी को यह पता लगाने की आवश्यकता रहती है कि क्या वे कम-आयाम वाले एफ़िन उपस्थान के भीतर उपस्थित रहते हैं। इस प्रकार डेटा के निम्न-आयामी प्रतिनिधित्व के कई लाभ हैं, जैसे भंडारण स्थान की बचत, गणना समय, और डेटा में उत्तम अंतर्दृष्टि प्रदान करना इत्यादि।

बिंदुओं <math>R = \{P_0, \ldots, P_n\}</math>, <math>n \ge 0</math>, की सूची दी गई है, जिसके अनुसार हम इसे अपने तरीकों से बिंदुओं के बीच की दूरी को  <math>d_{ij}> 0</math>, <math>0 \le i < j \le n</math> सूची द्वारा निर्दिष्ट कर सकते हैं, यह [[अर्ध मीट्रिक स्थान]] को परिभाषित करता है: त्रिकोण असमानता के बिना एक मीट्रिक स्थान को प्रदर्शित करता हैं।

स्पष्ट रूप से, हम अर्धमितीय स्थान को एक गैर-रिक्त समुच्चय <math>R</math> के रूप में परिभाषित करते हैं, इसमें सेमीमेट्रिक से लैस <math>d: R\times R \to [0, \infty)</math> का मान इस प्रकार हैं कि, सभी मानों के लिए <math>x, y\in R</math>,

#धनात्मकता: <math>d(x, y) = 0</math> हैं, यदि <math>x = y</math>  

# समरूपता: <math>d(x, y) = d(y, x)</math>

कोई भी मीट्रिक स्थान आर्गुमेंटम फोर्टियोरी सेमीमेट्रिक स्थान होता है। विशेष रूप से <math>\mathbb{R}^k</math>, <math>k</math>-डायमेंशनल [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिडियन समतल]], दूरी ज्यामिती में [[कानूनी फॉर्म|नियमानुसार फॉर्म]] मेट्रिक स्थान उपलब्ध रहते हैं।

इस परिभाषा में त्रिभुज असमानता को छोड़ दिया जाता है, क्योंकि हम दूरियों <math>d_{ij}</math> पर अधिक प्रतिबंध लागू नहीं करना चाहते हैं, इस प्रकार केवल आवश्यकता से अधिक का मान धनात्मक रहता हैं।

व्यवहारिक रूप से अर्धमितीय स्थान स्वाभाविक रूप से त्रुटि की माप से उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए तीन अंक दिए गए <math>A, B, C</math> लाइन पर <math>d_{AB} = 1, d_{BC} = 1, d_{AC} = 2</math>, के साथ एक गलत माप <math>d_{AB} = 0.99, d_{BC} = 0.98, d_{AC} = 2.00</math> दे सकता है, जिससे त्रिकोण असमानता का उल्लंघन हो जाता हैं।

दो अर्धमितीय रिक्त स्थान <math>(R, d), (R', d')</math> दिए गए हैं, जिसमें एक आइसोमेट्री से <math>R</math> को <math>R'</math> एक प्रारूप को प्रदर्शित करता है, इसमें <math>f: R \to R'</math> जो सेमीमेट्रिक अर्ताथ सभी के लिए सुरक्षित रखता है, इस प्रकार <math>x, y\in R</math>, <math>d(x, y) = d'(f(x), f(y))</math> प्राप्त होता हैं।

उदाहरण के लिए, परिमित सेमीमेट्रिक स्थान <math>(R, d)</math> दिया गया है, जिसमें ऊपर दी गई परिभाषा के अनुसार एक आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग को बिंदुओं <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n \in \mathbb R^k</math> द्वारा परिभाषित किया गया है, इसका मान ऐसा है कि <math>d(A_i, A_j) = d_{ij}</math> सभी के लिए <math>0 \le i < j \le n</math> मान प्रदर्शित करता हैं।

बिन्दुओं को देखते हुए <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n \in \mathbb R^k</math>, उन्हें स्वतंत्रता के रूप में परिभाषित किया गया है, यदि वे एक के भीतर फिट नहीं हो सकते हैं <math>

l</math>-आयामी संबंध उप-स्थान <math> \mathbb{R}^k</math>, किसी के लिए <math> \ell < n</math>, यदि <math>n</math>[[संकेतन]] वे फैले हुए हैं, <math>v_n</math>, धनात्मक है <math>n</math>- मात्रा, अर्ताथ <math>\operatorname{Vol}_n(v_n) > 0</math> को प्रदर्शित करता हैं।

सामान्यतः, जब <math>k\ge n </math>, वे घनिष्ठ रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि एक [[सामान्य संपत्ति]] एन-सिम्प्लेक्स नॉनडीजेनरेट है। उदाहरण के लिए, समतल में 3 बिंदु, सामान्य रूप से, समरेख नहीं होते हैं, क्योंकि जिस त्रिभुज पर वे फैले हैं, वह एक रेखा खंड में पतित नहीं होता है। इसी प्रकार समतल में 4 बिंदु, सामान्य रूप से समतलीय नहीं होते हैं, क्योंकि जिस चतुष्फलक का वे विस्तार करते हैं वह समतल त्रिभुज में पतित नहीं होता है।

इसके कारण जब <math> n > k</math> मान होता हैं तब इस स्थिति में उन्हें आत्मीयता से निर्भर हो जाना चाहिए। यह ध्यान देने से देखा जा सकता है कि कोई भी <math>n</math>-सिम्प्लेक्स जो अंदर फिट हो सकता है <math>\mathbb{R}^k</math> समतल होना चाहिए।

{{main|केली-मेंजर निर्धारक}}

 

इस प्रकार <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n</math> एक अर्धमितीय स्थान में n + 1 अंक हो, उनके केली-मेंजर निर्धारक द्वारा परिभाषित किया गया है

यदि <math display="inline"> A_0, A_1,\ldots, A_n \in \mathbb R^k</math>, फिर वे संभवतः डीजेनेरेसी (गणित) एन-सिम्प्लेक्स के शिखर <math>v_n</math> में <math>\mathbb{R}^k</math> बनाते हैं, इस प्रकार यह दिखाया जा सकता है<ref>{{Cite web|url=https://www.mathpages.com/home/kmath664/kmath664.htm|title=Simplex Volumes and the Cayley–Menger Determinant|website=www.mathpages.com|archive-url=https://web.archive.org/web/20190516033847/https://www.mathpages.com/home/kmath664/kmath664.htm|archive-date=16 May 2019|access-date=2019-06-08}}</ref> कि सिम्प्लेक्स का एन-डायमेंशनल वॉल्यूम <math>v_n</math> संतुष्ट हैं।

ध्यान दें कि इन स्थितियोंके लिए <math>n=0</math>, अपने पास <math>\operatorname{Vol}_0(v_0) = 1</math>, जिसका अर्थ है कि 0-सिंप्लेक्स का 0-आयामी आयतन 1 है, अर्थात 0-सिंप्लेक्स में 1 बिंदु है।

<math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n</math> आत्मीयता से स्वतंत्र iff हैं <math>\operatorname{Vol}_n(v_n) > 0</math>, वह <math> (-1)^{n+1} \operatorname{CM}(A_0, \ldots, A_n) > 0</math> है, इस प्रकार केली-मेंजर निर्धारक आत्मीय स्वतंत्रता को सिद्ध  करने के लिए कम्प्यूटरीकृत विधि देते हैं।

   \operatorname{CM}(A_0, \ldots, A_n) = 0</math> केली के 1841 के पेपर ने विशेष स्थितियों <math>

k = 3, n = 4</math> का अध्ययन किया था, अर्ताथ कोई पाँच बिंदु <math>

A_0, \ldots, A_4</math> 3-आयामी समतल <math>

\operatorname{CM}(A_0, \ldots, A_4) = 0</math> में होना चाहिए।

दूरी ज्यामिति में पहला परिणाम हीरो सूत्र है, जो पहली शताब्दी ईस्वी से है, जो त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके 3 शीर्षों के बीच की दूरी से प्रदर्शित करता है। ब्रह्मगुप्त का सूत्र 7वीं शताब्दी ईस्वी से, इसे [[चक्रीय चतुर्भुज|चक्रीय चतुर्भुजों]] के लिए सामान्यीकृत करता है। इस प्रकार निकोलो फोंटाना टार्टाग्लिया 16वीं शताब्दी ईस्वी से इसे निकोलो फोंटाना टार्टाग्लिया वॉल्यूम ऑफ़ टेट्राहेड्रॉन को इसके 4 शीर्षों के बीच की दूरी से देने के लिए सामान्यीकृत किया हैं।

इस प्रकार दूरी ज्यामिति का आधुनिक सिद्धांत आर्थर केली और कार्ल मेन्जर के साथ प्रारंभ हुआ था।<ref>{{Cite journal|last1=Liberti|first1=Leo|last2=Lavor|first2=Carlile|date=2016|title=दूरी ज्यामिति के इतिहास से छह गणितीय रत्न|journal=International Transactions in Operational Research|language=en|volume=23|issue=5|pages=897–920|doi=10.1111/itor.12170|issn=1475-3995|arxiv=1502.02816|s2cid=17299562 }}</ref> केली ने सन् 1841 में केली निर्धारक प्रकाशित किया था,<ref>{{Cite journal|last=Cayley|first=Arthur|date=1841|title=स्थिति की ज्यामिति में एक प्रमेय पर|journal=Cambridge Mathematical Journal|volume=2|pages=267–271}}</ref> जो सामान्य केली मेंजर निर्धारक की विशेष स्थिति को दर्शाता हैं। मेन्जर ने 1928 में सिद्ध किया कि सभी अर्धमितीय स्थानों का लक्षित वर्णन प्रमेय है जो कि एन डायमेंशनल यूक्लिडियन स्थान में आइसोमेट्रिक रूप <math>\mathbb{R}^n</math> से एम्बेड करने योग्य है।<ref>{{Cite journal|last=Menger|first=Karl|date=1928-12-01|title=Untersuchungen über allgemeine Metrik|journal=Mathematische Annalen|language=de|volume=100|issue=1|pages=75–163|doi=10.1007/BF01448840|s2cid=179178149 |issn=1432-1807}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal|last1=Blumenthal|first1=L. M.|last2=Gillam|first2=B. E.|date=1943|title=''एन''-स्पेस में अंकों का वितरण|url=https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00029890.1943.11991349|journal=The American Mathematical Monthly|language=en|volume=50|issue=3|pages=181|doi=10.2307/2302400|jstor=2302400}}</ref> सन् 1931 में, मेन्जर ने यूक्लिडियन ज्यामिति को स्वयं अनसुार नियत करने के लिए दूरस्थ संबंधों का उपयोग किया था।<ref>{{Cite journal|last=Menger|first=Karl|date=1931|title=यूक्लिडियन ज्यामिति का नया फाउंडेशन|journal=American Journal of Mathematics|volume=53|issue=4|pages=721–745|doi=10.2307/2371222|issn=0002-9327|jstor=2371222}}</ref> इस कारण [[लियोनार्ड ब्लूमेंथल]] की किताब<ref name="blumenthal" /> स्नातक स्तर पर दूरी ज्यामिति के लिए सामान्य अवलोकन देता है, जिसका एक बड़ा हिस्सा पहली बार प्रकाशित होने पर अंग्रेजी में व्यवहार किया जाता है।

मेन्जर ने सेमीमेट्रिक रिक्त स्थान के निम्नलिखित लक्षण वर्णन (गणित) को सिद्ध किया हैं:<ref name="siam" /><blockquote>सेमीमेट्रिक स्थान <math>(R, d)</math> सममितीय रूप से में एम्बेड करने योग्य है, जो <math>n</math>-आयामी यूक्लिडियन समतल <math>\mathbb{R}^n</math>के लिए किन्तु अंदर नहीं हैं इसलिए <math>\mathbb{R}^m</math> किसी के लिए <math>0 \le m < n</math>, के अनुसार इस प्रकार हैं:

एक सेमीमेट्रिक स्थान दिया गया है <math>

  (S,d)</math> , साथ <math>S = \{P_0, \ldots, P_n\}</math>, और  <math>d(P_i, P_j) = d_{ij}\ge 0</math>, <math>0 \le i < j \le n</math>, का एक आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग <math>(S, d)</math> में <math>\mathbb{R}^n</math> द्वारा परिभाषित किया गया है <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n \in \mathbb R^n</math>, ऐसा है कि <math>d(A_i, A_j) = d_{ij}</math> सभी के लिए <math>0 \le i < j \le n</math> समान हैं।

इस प्रकार इसका आशय यह हैं कि क्या ऐसा आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग <math>(S,d)</math> उपस्तिथ है।

इस प्रकार आवश्यक शर्त को देखना सरल है: इस प्रकार सभी के लिए <math>k = 1, \ldots, n</math>, होने देना <math>v_k</math> द्वारा गठित के द्वारा सिम्प्लेक्स <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_k</math> बनाने के लिए उपयोगी हैं, इस कारण

मान का अनुगमन करते हैं। अर्ताथ यदि <math>k = 1, \ldots, n</math>, सभी के लिए उपयोगी हैं तो इस प्रकार-

इस स्थिति में एम्बेडिंग को उपस्तिथ करता हैं।

इसके अतिरिक्त, इस प्रकार की एम्बेडिंग आइसोमेट्री <math>\mathbb{R}^n</math> तक अद्वितीय है, इसके अनुसार किसी भी दो आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग द्वारा <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n</math>, और <math display="inline">A'_0, A'_1,\ldots, A'_n</math> को परिभाषित किया गया है, एक (आवश्यक रूप से अद्वितीय नहीं हैं) इस प्रकार <math>T :  \mathbb R^n \to \mathbb R^n</math> आइसोमेट्री इसमें उपस्तिथ रहती हैं, यह मान इस प्रकार हैं कि <math>T(A_k) = A'_k</math> के मान के लिए <math>k = 0, \ldots, n</math> इस प्रकार हैं कि <math>T</math> का मान अद्वितीय है, जिसके लिए यह केवल <math>\operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_n) \neq 0</math> के समान हैं, इस कारण <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n</math> का मान स्वतंत्र हैं।

=== एम्बेडिंग <math>n+2</math> और <math>n+3</math> का मान ===

यदि <math>n+2</math> अंक <math>P_0, \ldots, P_{n+1}</math> में एम्बेड <math>\mathbb{R}^n</math>को किया जाता है,  जैसे <math>A_0, \ldots, A_{n+1}</math> रूप में प्रदर्शित हैं तो उपरोक्त शर्तों के अतिरिक्त इसकी अतिरिक्त आवश्यक शर्त यह है कि <math>(n+1)</math>-सिम्प्लेक्स द्वारा गठित  <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_{n+1}</math> का मान <math>(n+1)</math>-आयामी मात्रा के समान नहीं होना चाहिए। इस प्रकार <math>\operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_n, P_{n+1}) = 0</math> के समान हैं।

इसके अनुसार यदि <math>k = 1, \ldots, n</math>, के समान हैं तो

इस प्रकार <math>n+3</math> में <math>\mathbb{R}^n</math> को इंगित करता है, इसकी आवश्यक और पर्याप्त शर्तें इस प्रकार हैं: