उप-विषमता

गणित में, उप-योगात्मकता एक फलन के गुण है जो सामान्य रूप से बताती है कि प्रक्षेत्र के दो तत्वों के योग के लिए फलन का मूल्यांकन सदैव प्रत्येक अवयव पर फलन के मानों के योग से कुछ कम या समतुल्य देता है। गणित के विभिन्न क्षेत्रों, विशेष रूप से मानदंडों और वर्गमूलों में अवयोज्य फलनों के कई उदाहरण हैं। योगात्मक मानचित्र अवयोज्य फलनों के विशेष स्थिति हैं।

परिभाषाएँ

अवयोज्य फलन एक फलन (गणित) $f\colon A\to B$ है, फलन A का एक प्रक्षेत्र और एक आंशिक क्रमित सह-प्रक्षेत्र B जो कि निम्नलिखित गुण के साथ, दोनों योग संवृत (गणित) हैं:

$$\forall x,y\in A,f(x+y)\leq f(x)+f(y).$$

उदाहरण वर्गमूल फलन है, जिसमें प्रक्षेत्र और सह-प्रक्षेत्र के रूप में गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएं हैं, क्योंकि $\forall x,y\geq 0$ हमारे पास :

$${\sqrt {x+y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.$$

अनुक्रम $\left\{a_{n}\right\},n\geq 1$, को उप-योगात्मक कहा जाता है यदि यह असमानता (गणित) को संतुष्ट करता है

$$a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$$

सभी m और n के लिए यह उप-योगात्मक फलन की एक विशेष स्थिति है, यदि अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर फलन के रूप में व्याख्या किया जाता है।

ध्यान दें कि जबकि एक अवतल अनुक्रम अवयोज्य है, व्युत्क्रम असत्य है। उदाहरण के लिए, अव्यवस्थित रूप से $a_{1},a_{2},...$ को $0.5,1$, में मानों के साथ निर्दिष्ट करें, तब अनुक्रम उप-योगात्मक है लेकिन अवतल नहीं है।

गुण

अनुक्रम

उप-योगात्मक अनुक्रमों से संबंधित एक उपयोगी परिणाम माइकल फेकेट के कारण निम्नलिखित लेम्मा (गणित) है।

Fekete's Subadditive Lemma — For every subadditive sequence ${\left\{a_{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }$, the limit $\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}$ exists and is equal to the infimum $\inf {\frac {a_{n}}{n}}$. (The limit may be $-\infty$.)

Proof

Let $s^{*}:=\inf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}$.

By definition, $\liminf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\geq s^{*}$. So it suffices to show $\limsup _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\leq s^{*}$.

If not, then there exists sequence $(a_{n_{k}})_{k}$ and $\epsilon >0$ such that ${\frac {a_{n_{k}}}{n_{k}}}>s^{*}+\epsilon$ for all $k$. Take $a_{m}$ such that ${\frac {a_{m}}{m}}<s^{*}+\epsilon /2$.

By infinitary pigeonhole principle, we get a subsequence $(a_{n_{k}})_{k}$, whose indices all belong to the same residue class modulo $m$, and so they advance by multiples of $m$. This sequence, continued for long enough, would be forced by subadditivity to dip below the $s^{*}+\epsilon$ slope line, a contradiction.

फेकेट के लेम्मा का एनालॉग उप-योगात्मक अनुक्रमों के लिए भी है, जो $a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}$ है। सीमा तब धनात्मक अनन्तता हो सकती है: अनुक्रम $a_{n}=\log n!$ पर विचार करें।

फेकेटे लेम्मा के ऐसे विस्तार हैं जिन्हें असमानता $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$ सभी m और n के लिए रखने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन, केवल m और n के लिए जैसे कि ${\textstyle {\frac {1}{2}}\leq {\frac {m}{n}}\leq 2}$ प्राप्त है।

Proof

प्रमाण को पहले की तरह जारी रखें, जब तक कि हमने केवल अनंत कोष्ठ सिद्धांत का उपयोग नहीं किया है। अनुक्रम $a_{m},a_{2m},a_{3m},...$ पर विचार करें। चूंकि $2m/m=2$, हमारे पास $a_{2m}\leq 2a_{m}$ है। इसी प्रकार, हमारे पास $a_{3m}\leq a_{2m}+a_{m}\leq 3a_{m}$ आदि हैं।

धारणा के अनुसार, किसी भी $s,t\in \mathbb {N}$, के लिए, हम उन पर उप-योगात्मकता का उपयोग कर सकते हैं यदि

$$\ln(s+t)\in [\ln(1.5s),\ln(3s)]=\ln s+[\ln 1.5,\ln 3]$$

यदि हम निरंतर चर के साथ काम कर रहे थे, तो हम $a_{n_{k}}$ से $a_{n_{k}}+[\ln 1.5,\ln 3]$तक जाने के लिए उप-योगात्मकता का उपयोग कर सकते हैं, उसके बाद $a_{n_{k}}+\ln 1.5+[\ln 1.5,\ln 3]$ और इसी तरह जो पूरे अंतराल $a_{n_{k}}+[\ln 1.5,+\infty )$ को आच्छादित करता है

हालांकि हमारे पास निरंतर चर नहीं हैं, फिर भी हम प्रमाण को पूरा करने के लिए पर्याप्त पूर्णांकों को आच्छादित कर सकते हैं। मान लीजिए कि$n_{k}$ अधिकतम बड़ा है, जैसे कि

$$\ln(2)>\ln(1.5)+\ln \left({\frac {1.5n_{k}+m}{1.5n_{k}}}\right)$$

तब मान लीजिए $n'$ प्रतिच्छेदन में सबसे छोटी संख्या $(n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)])$ है। पर धारणा से, यह देखना आसान है (चित्र बनाएं) कि अंतराल $n_{k}$,और $\ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)]$ and $\ln n'+[\ln(1.5),\ln(3)]$ बीच में स्पर्श करें। इस प्रकार, इस प्रक्रिया को दोहराकर, हम $(n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\infty ])$ की संपूर्णता को आच्छादित कर लेते हैं।

इसके साथ, सभी $a_{n_{k}},a_{n_{k+1}},...$ पूर्व प्रमाण की तरह अनिवार्य हैं।

इसके अतिरिक्त, स्थिति $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$ को निम्न प्रकार $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}+\phi (n+m)$ से दुर्बल किया जा सकता है, उसे $\phi$ प्रदान करता है कि एक बढ़ता हुआ फलन है जैसे कि समाकल${\textstyle \int \phi (t)t^{-2}\,dt}$ (अनंत के पास) अभिसरण करता है।

ऐसे परिणाम भी हैं जो किसी को अभिसरण की दर को उस सीमा तक कम करने की स्वीकृति देते हैं जिसका अस्तित्व फेकेट के लेम्मा में बताया गया है यदि किसी प्रकार की अतियोज्यता और उप-योगात्मकता दोनों सम्मिलित हैं।

इसके अतिरिक्त, फेकेटे के लेम्मा के अनुरूप अवयोज्य वाले वास्तविक मानचित्रों (अतिरिक्त धारणाओं के साथ) के लिए एक सहायक समूह के

और आगे, एक अस्वीकृत करने योग्य वाम-सहायक अर्धसमूह का परिमित उपसमुच्चय से प्रमाणित हुए हैं।।

फलन

प्रमेय: — प्रत्येक मापने योग्य उप-योगात्मक फलन के लिए $f:(0,\infty )\to \mathbb {R} ,$ लिमिट $\lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t}}$ सम्मिलित है और $\inf _{t>0}{\frac {f(t)}{t}}.$ (लिमिट $-\infty$ हो सकती है) के बराबर है

यदि f एक उप-योगात्मक फलन है, और यदि 0 इसके प्रांत में है, तो f(0) ≥ 0. इसे देखने के लिए, असमिका को शीर्ष पर ले जाएँ।

$f(x)\geq f(x+y)-f(y)$ इस तरह $f(0)\geq f(0+y)-f(y)=0$ प्राप्त होता है।

अवतल फलन $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ साथ $f(0)\geq 0$ उपयोगात्मक भी है। इसे देखने के लिए, सबसे पहले यह देखा जाता है कि $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ है। फिर $f(x)$ और $f(y)$, के लिए इस सीमा के योग को देखते हुए, अंत में यह सत्यापित करेगा कि f अवयोज्य है।

अवयोज्य फलन का ऋणात्मक अति-संयोजन है।

विभिन्न प्रक्षेत्र में उदाहरण

एंट्रॉपी

एंट्रॉपी सूचना सिद्धांत और सांख्यिकीय भौतिकी के साथ-साथ वॉन न्यूमैन के कारण सामान्यीकृत सूत्रीकरण में क्वांटम यांत्रिकी में एक मौलिक भूमिका निभाता है। एन्ट्रॉपी सदैव अपने सभी योगों में एक उप-योगात्मक मात्रा के रूप में प्रकट होता है, जिसका अर्थ है कि एक उप-प्रणाली की एन्ट्रापी या यादृच्छिक चर का एक समुच्चय संघ सदैव इसके व्यक्तिगत घटकों के एन्ट्रापी के योग से कम या समतुल्य होता है। इसके अतिरिक्त, भौतिकी में एन्ट्रॉपी उत्कृष्ट सांख्यिकीय यांत्रिकी और इसके क्वांटम एनालॉग में एंट्रॉपी की प्रबल उअवयोज्य जैसी कई और दृढ़ असमानताओं को संतुष्ट करती है।

अर्थव्यवस्था

उप-विघटन कुछ विशेष कीमत वक्र का एक आवश्यक गुण है। प्राकृतिक एकाधिकार के सत्यापन के लिए यह सामान्य रूप से एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। इसका तात्पर्य है कि समान संख्या में दृढ़ता द्वारा मूल मात्रा के एक अंश के उत्पादन की तुलना में केवल एक फर्म से उत्पादन सामाजिक रूप से कम कीमती (औसत कीमत के संदर्भ में) है।

पैमाने की अर्थव्यवस्थाओं को उपयोगात्मक औसत कीमत फलनों द्वारा दर्शाया जाता है।

पूरक वस्तुओं की स्थिति को छोड़कर, वस्तुओं की कीमत (मात्रा के कार्य के रूप में) उप-योगात्मक होनी चाहिए। अन्यथा यदि दो वस्तुओं की कीमत का योग उनमें से दो के बंडल की कीमत से सस्ता है, तो कोई भी कभी भी बंडल को प्रभावी रूप से स्वीकार नहीं करेगा, जिससे बंडल की कीमत दो अलग-अलग वस्तुओ की कीमतों का योग बन जाएगी। इस प्रकार यह प्रमाणित करना कि प्राकृतिक पूर्ण नियंत्रन के लिए यह पर्याप्त स्थिति नहीं है; चूंकि विनिमय की इकाई किसी वस्तु की वास्तविक कीमत नहीं हो सकती है। यह स्थिति राजनीतिक क्षेत्र में हर किसी के लिए परिचित है जहां कुछ अल्पसंख्यक दावा करते हैं कि सरकार के किसी विशेष स्तर पर कुछ विशेष स्वतंत्रता के हानि का तात्पर्य है कि कई सरकारें अपेक्षाकृत अच्छी हैं; जबकि अधिकांश का दावा है कि कीमत की कोई अन्य सही इकाई है।

वित्त

जोखिम प्रबंधन में सुसंगत जोखिम उपायों के वांछनीय गुणों में से एक अवयोज्य है। जोखिम माप उप-विघटन के पीछे आर्थिक अंतर्ज्ञान यह है कि एक पोर्टफोलियो जोखिम अनावरण, कम से कम, पोर्टफोलियो को बनाने वाले व्यक्तिगत पदों के जोखिम अनावरण के योग के समतुल्य होना चाहिए। किसी भी अन्य स्थिति में विविधीकरण के प्रभाव के परिणामस्वरूप एक पोर्टफोलियो जोखिम होगा जो कि व्यक्तिगत जोखिम अनावरण के योग से कम है। उप-योज्यता की कमी VaR मॉडल की मुख्य आलोचनाओं में से एक है जो जोखिम कारकों की सामान्यता की धारणा पर निर्भर नहीं करती है। गॉसियन VaR उप-योज्यता सुनिश्चित करता है: उदाहरण के लिए, $V$ विश्वास्यता स्तर पर $1-p$ पर दो एकात्मक लंबे पदों का पोर्टफोलियो V का गॉसियन VaR यह मान रहा है कि माध्य पोर्टफोलियो मान भिन्नता शून्य है और VaR को एक ऋणात्मक हानि के रूप में परिभाषित किया गया है।

$${\text{VaR}}_{p}\equiv z_{p}\sigma _{\Delta V}=z_{p}{\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}$$

जहाँ $z_{p}$ प्रायिकता स्तर पर सामान्य संचयी बंटन फलन का व्युत्क्रम $p$, $\sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}$ है, अलग अलग स्थिति प्रतिवर्त विचरण हैं और $\rho _{xy}$ दो व्यक्तिगत पदों के प्रतिवर्त के बीच पियर्सन सहसंबंध गुणांक है। चूंकि विचरण सदैव धनात्मक होता है,

$${\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}\leq \sigma _{x}+\sigma _{y}$$

इस प्रकार गाऊसी VaR के किसी भी मान के लिए $\rho _{xy}\in [-1,1]$ अवयोज्य है और, विशेष रूप से, यह व्यक्तिगत जोखिम अनावरण के योग के समतुल्य होता है जब $\rho _{xy}=1$ जो पोर्टफोलियो जोखिम पर कोई विविधीकरण प्रभाव नहीं होने की स्थिति है।

ऊष्मप्रवैगिकी

गैर-आदर्श विलयनो और मिश्रणों के ऊष्मप्रवैगिकी गुणों में उप-योज्यता होती है जैसे कि अतिरिक्त मोल की मात्रा और मिश्रण की ऊष्मा या अतिरिक्त तापीय धारिता होती है।

पदों पर संयोजन

क्रमगुणित औपचारिक भाषा $L$ है जहां एक स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) $L$ में है, तो उस शब्द के सभी कारक $L$ है। पदों पर संयोजन में, एक सामान्य समस्या लंबाई-$n$ शब्दों की संख्या $A(n)$ निर्धारित करने के लिए है। स्पष्ट रूप से $A(m+n)\leq A(m)A(n)$, इसलिए $\log A(n)$ अवयोज्य है, और इसलिए $A(n)$ के विकास का अनुमान लगाने के लिए फेकेटे के लेम्मा का उपयोग किया जा सकता है

प्रत्येक $k\geq 1$ के लिए, वर्णक्रम $1,2,...,k$ पर यादृच्छिक रूप से लंबाई n की दो स्ट्रिंग्स का प्रतिदर्श लें। सबसे लंबी सामान्य अनुक्रम की अपेक्षित लंबाई n का एक अतियोज्यता फलन है, और इस प्रकार एक संख्या $\gamma _{k}\geq 0$, सम्मिलित है, जैसे कि अपेक्षित लंबाई $\sim \gamma _{k}n$ है। स्थिति को $n=1$ से जांचने पर, हमें आसानी से ${\frac {1}{k}}<\gamma _{k}\leq 1$ प्राप्त होता है। सम $\gamma _{2}$का परिशुद्ध मान, हालांकि, केवल 0.788 और 0.827 के बीच ही जाना जाता है।

यह भी देखें

• प्रत्यक्ष मोलीय गुण - एक मिश्रण बनाम एक आदर्श विलयन में पदार्थ के एक मोल के गुणों में अंतर
• चोकेट समाकल
• सुपरएडिटिविटी (अति-योगात्मकता)
• त्रिभुज असमानता - ज्यामिति के गुण, दूरीक समष्टि में "दूरी" की धारणा को सामान्यीकृत करने के लिए भी प्रयोग की जाती है

संदर्भ

• György Pólya and Gábor Szegő. "Problems and theorems in analysis, volume 1". Springer-Verlag, New York (1976). ISBN 0-387-05672-6.
• Einar Hille. "Functional analysis and semi-groups". American Mathematical Society, New York (1948).
• N.H. Bingham, A.J. Ostaszewski. "Generic subadditive functions." Proceedings of American Mathematical Society, vol. 136, no. 12 (2008), pp. 4257–4266.

बाहरी संबंध

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