विभेदक (गणित): Difference between revisions
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{{about| | {{about|अति सूक्ष्म अंतर की ऐतिहासिक अवधारणा से प्राप्त गणितीय धारणा|अधिक सामान्य उपयोग|विभेदक (बहुविकल्पी)}} | ||
गणित में, | |||
गणित में, विभेदक [[ गणना |गणना]] के आरम्भिक दिनों से प्राप्त कई संबंधित धारणाओं को संदर्भित करता है,<ref>{{cite web | |||
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</ref> | </ref> एक परिशुद्ध आधार पर रखें, जैसे कि अत्यणु विभेदक और फलानो के व्युत्पन्न को संदर्भित करता है।<ref>{{cite web|url=http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/american_english/differential|archive-url=https://web.archive.org/web/20140103051034/http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/american_english/differential|url-status=dead|archive-date=January 3, 2014|title=अंतर - ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी द्वारा यूएस अंग्रेजी में अंतर की परिभाषा|website=Oxford Dictionaries - English|access-date=13 April 2018}}</ref> | ||
इस शब्द का प्रयोग गणित की विभिन्न शाखाओं जैसे | |||
इस शब्द का प्रयोग गणित की विभिन्न शाखाओं जैसे गणना,[[ अंतर ज्यामिति | विभेदक ज्यामिति]], [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[बीजगणितीय टोपोलॉजी|बीजगणितीय सांस्थिति]] में किया जाता है। | |||
== परिचय == | == परिचय == | ||
कुछ | अवकलन शब्द का प्रयोग गणना में गैर-कठोर रूप से कुछ परिवर्ती मात्रा में एक अतिसूक्ष्म (असीम रूप से छोटा) परिवर्तन को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि ''x'' एक चर है, तो ''x'' के मान में परिवर्तन को प्रायः Δ''x'' (उच्चारण ''[[डेल्टा (ग्रीक)|डेल्टा]] x'') कहा जाता है। विभेदक ''dx'' चर ''x'' में असीम रूप से छोटे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। असीम रूप से छोटे या असीम रूप से धीमे परिवर्तन का विचार सहज रूप से अत्यंत उपयोगी है, और इस धारणा को गणितीय रूप से सटीक बनाने के कई प्रकार हैं। | ||
गणना का उपयोग करके, व्युत्पन्न का उपयोग करके गणितीय रूप से विभिन्न चरों के असीम रूप से छोटे परिवर्तनों को एक दूसरे से संबंधित करना संभव है। यदि ''y,'' ''x'' का एक फलन है, तो ''y'' का विभेदक ''dy'' सूत्र द्वारा ''dx'' से संबंधित है | |||
<math display=block>dy = \frac{dy}{dx} \,dx,</math> | <math display=block>dy = \frac{dy}{dx} \,dx,</math> | ||
कहाँ <math>\frac{dy}{dx} \,</math>x के संबंध में y के व्युत्पन्न को दर्शाता है। यह सूत्र सहज विचार को सारांशित करता है कि x के संबंध में y का व्युत्पन्न | कहाँ <math>\frac{dy}{dx} \,</math>x के संबंध में y के व्युत्पन्न को दर्शाता है। यह सूत्र सहज विचार को सारांशित करता है कि x के संबंध में y का व्युत्पन्न विभेदक Δy/Δx के अनुपात की सीमा है क्योंकि Δx अत्यल्प हो जाता है। | ||
=== मूलभूत धारणाएं === | === मूलभूत धारणाएं === | ||
* गणना में, विभेदक किसी फलन के रैखिकीकरण में परिवर्तन को दर्शाता है। | |||
* | ** [[कुल अंतर|कुल विभेदक]] कई चर के फलानो के लिए इसका सामान्यीकरण है। | ||
** [[कुल अंतर]] कई चर के | * गणना के पारंपरिक दृष्टिकोण में, विभेदक (जैसे ''dx'', ''dy'', ''dt'', आदि) की व्याख्या अतिसूक्ष्म के रूप में की जाती है। अतिसूक्ष्म को परिशुद्ध से परिभाषित करने के कई प्रकार हैं, लेकिन यह कहना पर्याप्त है कि एक अपरिमेय संख्या किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या की तुलना में निरपेक्ष मान में छोटी होती है, पूर्णतः वैसे ही जैसे एक असीम रूप से बड़ी संख्या किसी भी वास्तविक संख्या से बड़ी होती है। | ||
* | * [[ कुल व्युत्पन्न |विभेदक]] '''R'''<sup>''n''</sup> से '''R'''<sup>''m''</sup> तक एक फलन के आंशिक व्युत्पन्न के[[ जैकबियन मैट्रिक्स | जैकबियन आव्यूह]] का दूसरा नाम है (विशेष रूप से जब इस [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] को एक रैखिक मानचित्र के रूप में देखा जाता है)। | ||
* [[ कुल व्युत्पन्न ]] 'R' | * अधिक सामान्यतः, विभेदक या पुशफॉरवर्ड, [[चिकना कई गुना|सुचारू बहुरूपता]] और इसे परिभाषित पुशफॉरवर्ड संचालन के मध्य मानचित्र के व्युत्पन्न को संदर्भित करता है। [[पुलबैक (अंतर ज्यामिति)|पुलबैक]] की दोहरी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए विभेदक का भी उपयोग किया जाता है। | ||
* अधिक | * [[स्टोचैस्टिक कैलकुलस|प्रसंभाव्य गणना]] [[स्टोचैस्टिक अंतर|प्रसंभाव्य विभेदक]] की धारणा और प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं के लिए संबंधित गणना प्रदान करता है। | ||
* [[स्टोचैस्टिक कैलकुलस]] [[स्टोचैस्टिक अंतर]] की धारणा और | * [[स्टिल्ट्स अभिन्न|स्टील्जे समाकल]] में समाकलक को एक फलन के विभेदक के रूप में दर्शाया गया है। औपचारिक रूप से, समाकल के अंतर्गत दिखाई देने वाला विभेदक यथार्थत: एक विभेदक के रूप में व्यवहार करता है: इस प्रकार, स्टेल्टजेस समाकल के लिए भागों के सूत्रों द्वारा प्रतिस्थापन और एकीकरण द्वारा एकीकरण, क्रमशः [[श्रृंखला नियम]] और विभेदक के लिए [[प्रॉडक्ट नियम|उत्पाद नियम]] के अनुरूप होता है। | ||
* [[स्टिल्ट्स अभिन्न]] | |||
== इतिहास और उपयोग == | == इतिहास और उपयोग == | ||
{{See also| | {{See also|गणना का इतिहास}} | ||
गणना के विकास में अतिसूक्ष्म मात्रा ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। [[आर्किमिडीज]] ने उनका उपयोग किया, यद्यपि वह यह नहीं मानता था कि अतिसूक्ष्म से जुड़े तर्क कठोर थे।<ref>{{Harvnb|Boyer|1991}}.</ref> [[आइजैक न्यूटन]] ने उन्हें प्रवाह के रूप में संदर्भित किया। हालाँकि, यह [[गॉटफ्रीड लीबनिज]] थे जिन्होंने अतिसूक्ष्म मात्राओं के लिए विभेदक शब्द सृष्ट और उनके लिए संकेतन प्रस्तावित किया जो आज भी उपयोग किया जाता है। | |||
लीबनिज के | लीबनिज के संकेतन में, यदि x एक चर मात्रा है, तो dx चर x में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है। इस प्रकार, यदि y, x का एक फलन है, तो x के संबंध में y के व्युत्पन्न को प्रायः dy/dx के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसे अन्यथा (न्यूटन या [[जोसेफ-लुई लाग्रेंज|लाग्रेंज]] के संकेतन में) ẏ या y{{′}} के रूप में निरूपित किया जाएगा। इस रूप में विभेदक के उपयोग ने बहुत आलोचना को आकर्षित किया, उदाहरण के लिए बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट [[विश्लेषक]] में है। फिर भी, संकेतन लोकप्रिय बना हुआ है क्योंकि यह दृढ़ता से इस विचार का सुझाव देता है कि x पर y का व्युत्पन्न [[परिवर्तन की तात्कालिक दर]] है (लेखाचित्र की [[स्पर्श रेखा]] का [[ढलान (गणित)|ढलान]]), जो अनुपात Δy/Δx की [[सीमा (गणित)|सीमा]] लेकर प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि Δx स्वेच्छतः छोटा हो जाता है। विभेदक भी [[आयामी विश्लेषण]] के साथ संगत होते हैं, जहां एक विभेदक जैसे dx के चर x के समान आयाम होते हैं। | ||
17वीं शताब्दी CE के दौरान | 17वीं शताब्दी CE के दौरान गणना गणित की एक अलग शाखा के रूप में विकसित हुआ, हालांकि प्राचीन काल में वापस जाने वाले पूर्ववर्ती थे। उदाहरण के लिए, न्यूटन, लीबनिज की प्रस्तुतियों को विभेदक, [[धाराप्रवाह (गणित)|धाराप्रवाह]] और <nowiki>''</nowiki>असीम रूप से छोटे<nowiki>''</nowiki> जैसे शब्दों की गैर-कठोर परिभाषाओं द्वारा चिह्नित किया गया था। जबकि [[जॉर्ज बर्कले|बिशप बर्कले]] के 1734 विश्लेषक में कई तर्क प्रकृति में धर्मशास्त्रीय हैं, आधुनिक गणितज्ञ विश्लेषक <nowiki>''</nowiki>आवांछित प्रतिबिम्ब के दिवंगत मात्रा<nowiki>''</nowiki> के प्रतिकूल उनके तर्क की वैधता को स्वीकार करते हैं; हालाँकि, आधुनिक दृष्टिकोणों में समान तकनीकी समस्याएँ नहीं हैं। कठोरता की कमी के बावजूद 17वीं और 18वीं शताब्दी में असीम प्रगति हुई।19वीं शताब्दी में, कॉची और अन्य ने धीरे-धीरे एप्सिलॉन, निरंतरता, सीमा और व्युत्पन्न के लिए डेल्टा दृष्टिकोण विकसित किया, जिससे कलन के लिए एक ठोस वैचारिक आधार मिला हैं। | ||
20वीं शताब्दी में, कई नई अवधारणाएँ, जैसे, बहुभिन्नरूपी | 20वीं शताब्दी में, कई नई अवधारणाएँ, जैसे, बहुभिन्नरूपी गणना, विभेदक ज्यामिति, पुराने शब्दों के आशय को समाहित करती प्रतीत हुईं, विशेष रूप से विभेदक; विभेदक और अतिसूक्ष्म दोनों का उपयोग नए, अधिक कठोर, अर्थों के साथ किया जाता है। | ||
विभेदक का उपयोग[[ अभिन्न ]]के लिए संकेतन में भी किया जाता है क्योंकि एक समाकल को अनंत मात्रा के अनंत योग के रूप में माना जा सकता है: एक लेखाचित्र के अंतर्गत क्षेत्र लेखाचित्र को असीम रूप से पतली पट्टियों में उप-विभाजित करके और उनके क्षेत्रों का योग करके प्राप्त किया जाता है। एक अभिव्यक्ति में जैसे | |||
<math display=block>\int f(x) \,dx,</math> | <math display=block>\int f(x) \,dx,</math> | ||
अभिन्न चिह्न (जो एक संशोधित लंबा s है) अनंत | अभिन्न चिह्न (जो एक संशोधित लंबा s है) अनंत योग को दर्शाता है, f(x) एक पतली पट्टी की <nowiki>''ऊंचाई''</nowiki> को दर्शाता है, और विभेदक dx इसकी असीम रूप से पतली चौड़ाई को दर्शाता है। | ||
== दृष्टिकोण == | == दृष्टिकोण == | ||
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गणितीय रूप से अवकलन की धारणा को सटीक बनाने के लिए कई दृष्टिकोण हैं। | गणितीय रूप से अवकलन की धारणा को सटीक बनाने के लिए कई दृष्टिकोण हैं। | ||
# रेखीय नक्शे के रूप में | # रेखीय नक्शे के रूप में विभेदक। यह दृष्टिकोण विभेदक ज्यामिति में कुल व्युत्पन्न और [[बाहरी व्युत्पन्न]] की परिभाषा को रेखांकित करता है।<ref>{{Harvnb|Darling|1994}}.</ref> | ||
# क्रमविनिमेय वलयों के [[ nilpotent ]] तत्वों के रूप में अवकलन। यह दृष्टिकोण बीजगणितीय ज्यामिति में लोकप्रिय है।<ref name="Harris1998">{{Harvnb|Eisenbud|Harris|1998}}.</ref> | # क्रमविनिमेय वलयों के [[ nilpotent ]] तत्वों के रूप में अवकलन। यह दृष्टिकोण बीजगणितीय ज्यामिति में लोकप्रिय है।<ref name="Harris1998">{{Harvnb|Eisenbud|Harris|1998}}.</ref> | ||
# सेट सिद्धांत के चिकने मॉडल में | # सेट सिद्धांत के चिकने मॉडल में विभेदक। इस दृष्टिकोण को [[ सिंथेटिक अंतर ज्यामिति | सिंथेटिक विभेदक ज्यामिति]] या [[चिकना अत्यल्प विश्लेषण|सुचारू अत्यल्प विश्लेषण]] के रूप में जाना जाता है और यह बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, सिवाय इसके कि [[ टोपोस सिद्धांत ]] के विचारों का उपयोग उस तंत्र को छिपाने के लिए किया जाता है जिसके द्वारा निलपोटेंट अतिसूक्ष्म प्रस्तावित किए जाते हैं।<ref>See {{Harvnb|Kock|2006}} and {{Harvnb|Moerdijk|Reyes|1991}}.</ref> | ||
# [[अति वास्तविक संख्या]] सिस्टम में | # [[अति वास्तविक संख्या]] सिस्टम में अतिसूक्ष्म के रूप में विभेदक, जो वास्तविक संख्याओं के विस्तार हैं जिनमें इनवर्टिबल अतिसूक्ष्म और असीम रूप से बड़ी संख्याएं होती हैं। यह [[अब्राहम रॉबिन्सन]] द्वारा प्रतिपादित अमानक विश्लेषण का दृष्टिकोण है।<ref name="nonstd">See {{Harvnb|Robinson|1996}} and {{Harvnb|Keisler|1986}}.</ref> | ||
ये दृष्टिकोण एक-दूसरे से बहुत अलग हैं, लेकिन उनके पास मात्रात्मक होने का विचार आम है, यानी यह नहीं कह रहा है कि एक | ये दृष्टिकोण एक-दूसरे से बहुत अलग हैं, लेकिन उनके पास मात्रात्मक होने का विचार आम है, यानी यह नहीं कह रहा है कि एक विभेदक असीम रूप से छोटा है, लेकिन यह कितना छोटा है। | ||
=== रेखीय नक्शे के रूप में अवकलन === | === रेखीय नक्शे के रूप में अवकलन === | ||
भिन्नताओं की सटीक समझ बनाने का एक सरल तरीका है, पहले वास्तविक रेखा पर उन्हें रैखिक मानचित्रों के रूप में उपयोग करके उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग किया जा सकता है <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{R}^n</math>, एक [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष ]], एक [[बनच स्थान]], या अधिक सामान्यतः, एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]]। वास्तविक रेखा के मामले की व्याख्या करना सबसे आसान है। संदर्भ के आधार पर इस प्रकार के अवकलन को सहपरिवर्ती सदिश या कोटिस्पर्श सदिश के रूप में भी जाना जाता है। | भिन्नताओं की सटीक समझ बनाने का एक सरल तरीका है, पहले वास्तविक रेखा पर उन्हें रैखिक मानचित्रों के रूप में उपयोग करके उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग किया जा सकता है <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{R}^n</math>, एक [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष | हिल्बर्ट विभेदकिक्ष]] , एक [[बनच स्थान]], या अधिक सामान्यतः, एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]]। वास्तविक रेखा के मामले की व्याख्या करना सबसे आसान है। संदर्भ के आधार पर इस प्रकार के अवकलन को सहपरिवर्ती सदिश या कोटिस्पर्श सदिश के रूप में भी जाना जाता है। | ||
==== आर ==== पर रैखिक नक्शे के रूप में | ==== आर ==== पर रैखिक नक्शे के रूप में विभेदक | ||
कल्पना करना <math>f(x)</math> पर एक वास्तविक मूल्यवान | कल्पना करना <math>f(x)</math> पर एक वास्तविक मूल्यवान फलन है <math>\mathbb{R}</math>. हम चर की पुनर्व्याख्या कर सकते हैं <math>x</math> में <math>f(x)</math> एक संख्या के बजाय एक फलन होने के नाते, अर्थात् वास्तविक रेखा पर [[पहचान मानचित्र]], जो वास्तविक संख्या लेता है <math>p</math> खुद को: <math>x(p)=p</math>. तब <math>f(x)</math> का सम्मिश्रण है <math>f</math> साथ <math>x</math>, जिसका मूल्य पर <math>p</math> है <math>f(x(p))=f(p)</math>. विभेदक <math>\operatorname{d}f</math> (जो निश्चित रूप से निर्भर करता है <math>f</math>) तब एक फलन है जिसका मान at <math>p</math> (आमतौर पर निरूपित <math>df_p</math>) एक संख्या नहीं है, बल्कि एक रेखीय मानचित्र है <math>\mathbb{R}</math> को <math>\mathbb{R}</math>. चूंकि एक रेखीय मानचित्र से <math>\mathbb{R}</math> को <math>\mathbb{R}</math> ए द्वारा दिया जाता है <math>1\times 1</math> आव्यूह (गणित), यह अनिवार्य रूप से एक संख्या के समान है, लेकिन दृष्टिकोण में परिवर्तन हमें सोचने की अनुमति देता है <math>df_p</math> एक अतिसूक्ष्म के रूप में और इसकी तुलना मानक अतिसूक्ष्म के साथ करें <math>dx_p</math>, जो फिर से केवल पहचान मानचित्र है <math>\mathbb{R}</math> को <math>\mathbb{R}</math> (ए <math>1\times 1</math> आव्यूह (गणित) प्रविष्टि के साथ <math>1</math>). पहचान मानचित्र में संपत्ति है कि यदि <math>\varepsilon</math> तो बहुत छोटा है <math>dx_p(\varepsilon)</math> बहुत छोटा है, जो हमें इसे अतिसूक्ष्म मानने में सक्षम बनाता है। विभेदक <math>df_p</math> समान गुण है, क्योंकि यह केवल का गुणज है <math>dx_p</math>, और यह गुणक व्युत्पन्न है <math>f'(p)</math> परिभाषा से। इसलिए हम इसे प्राप्त करते हैं <math>df_p=f'(p)\,dx_p</math>, और इसलिए <math>df=f'\,dx</math>. इस प्रकार हम इस विचार को पुनः प्राप्त करते हैं कि <math>f'</math> विभेदकों का अनुपात है <math>df</math> और <math>dx</math>. | ||
यह सिर्फ एक चाल होगी यदि यह इस तथ्य के लिए नहीं है कि: | यह सिर्फ एक चाल होगी यदि यह इस तथ्य के लिए नहीं है कि: | ||
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# इसके कई सामान्यीकरण हैं। | # इसके कई सामान्यीकरण हैं। | ||
==== आर पर रेखीय नक्शे के रूप में | ==== आर पर रेखीय नक्शे के रूप में विभेदक<sup>एन</sup> ==== | ||
अगर <math>f</math> से एक समारोह है <math>\mathbb{R}^n</math> को <math>\mathbb{R}</math>, तो हम कहते हैं <math>f</math> अवकलनीय है<ref>See, for instance, {{Harvnb|Apostol|1967}}.</ref> पर <math>p\in\mathbb{R}^n</math> अगर वहाँ एक रेखीय नक्शा है <math>df_p</math> से <math>\mathbb{R}^n</math> को <math>\mathbb{R}</math> ऐसा कि किसी के लिए <math>\varepsilon>0</math>, एक पड़ोस है (गणित) <math>N</math> का <math>p</math> ऐसा कि के लिए <math>x\in N</math>, | अगर <math>f</math> से एक समारोह है <math>\mathbb{R}^n</math> को <math>\mathbb{R}</math>, तो हम कहते हैं <math>f</math> अवकलनीय है<ref>See, for instance, {{Harvnb|Apostol|1967}}.</ref> पर <math>p\in\mathbb{R}^n</math> अगर वहाँ एक रेखीय नक्शा है <math>df_p</math> से <math>\mathbb{R}^n</math> को <math>\mathbb{R}</math> ऐसा कि किसी के लिए <math>\varepsilon>0</math>, एक पड़ोस है (गणित) <math>N</math> का <math>p</math> ऐसा कि के लिए <math>x\in N</math>, | ||
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अब हम उसी तरकीब का उपयोग कर सकते हैं जैसा कि एक आयामी मामले में और अभिव्यक्ति के बारे में सोचते हैं <math>f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math> के सम्मिश्रण के रूप में <math>f</math> मानक निर्देशांक के साथ <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> पर <math>\mathbb{R}^n</math> (ताकि <math>x_j(p)</math> है <math>j</math>-वाँ घटक <math>p\in\mathbb{R}^n</math>). फिर भेद <math>\left(dx_1\right)_p, \left(dx_2\right)_p, \ldots, \left(dx_n\right)_p</math> एक बिंदु पर <math>p</math> रैखिक मानचित्रों के [[सदिश स्थल]] के लिए एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] बनाएं <math>\mathbb{R}^n</math> को <math>\mathbb{R}</math> और इसलिए, यदि <math>f</math> पर अवकलनीय है <math>p</math>, हम लिख सकते हैं<math>\operatorname{d}f_p</math>इन आधार तत्वों के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में: | अब हम उसी तरकीब का उपयोग कर सकते हैं जैसा कि एक आयामी मामले में और अभिव्यक्ति के बारे में सोचते हैं <math>f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math> के सम्मिश्रण के रूप में <math>f</math> मानक निर्देशांक के साथ <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> पर <math>\mathbb{R}^n</math> (ताकि <math>x_j(p)</math> है <math>j</math>-वाँ घटक <math>p\in\mathbb{R}^n</math>). फिर भेद <math>\left(dx_1\right)_p, \left(dx_2\right)_p, \ldots, \left(dx_n\right)_p</math> एक बिंदु पर <math>p</math> रैखिक मानचित्रों के [[सदिश स्थल]] के लिए एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] बनाएं <math>\mathbb{R}^n</math> को <math>\mathbb{R}</math> और इसलिए, यदि <math>f</math> पर अवकलनीय है <math>p</math>, हम लिख सकते हैं<math>\operatorname{d}f_p</math>इन आधार तत्वों के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में: | ||
<math display=block>df_p = \sum_{j=1}^n D_j f(p) \,(dx_j)_p.</math> | <math display=block>df_p = \sum_{j=1}^n D_j f(p) \,(dx_j)_p.</math> | ||
गुणांक <math>D_j f(p)</math> (परिभाषा के अनुसार) के आंशिक | गुणांक <math>D_j f(p)</math> (परिभाषा के अनुसार) के आंशिक व्युत्पन्न हैं <math>f</math> पर <math>p</math> इसके संबंध में <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math>. इसलिए, अगर <math>f</math> सभी पर अवकलनीय है <math>\mathbb{R}^n</math>, हम और अधिक संक्षेप में लिख सकते हैं: | ||
<math display=block>\operatorname{d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1} \,dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \,dx_2 + \cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n} \,dx_n.</math> | <math display=block>\operatorname{d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1} \,dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \,dx_2 + \cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n} \,dx_n.</math> | ||
एक आयामी मामले में यह बन जाता है | एक आयामी मामले में यह बन जाता है | ||
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पहले जैसा। | पहले जैसा। | ||
यह विचार सीधे तौर पर | यह विचार सीधे तौर पर फलानो से सामान्यीकरण करता है <math>\mathbb{R}^n</math> को <math>\mathbb{R}^m</math>. इसके अलावा, व्युत्पन्न की अन्य परिभाषाओं पर इसका निर्णायक लाभ है कि यह निर्देशांक के परिवर्तन के अंतर्गत [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] है। इसका मतलब यह है कि एक ही विचार का उपयोग चिकने मैनिफोल्ड्स के मध्य चिकने नक्शों के पुशफॉरवर्ड (विभेदक) को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। | ||
एक तरफ: ध्यान दें कि के सभी आंशिक | एक तरफ: ध्यान दें कि के सभी आंशिक व्युत्पन्न का अस्तित्व <math>f(x)</math> पर <math>x</math> एक विभेदक के अस्तित्व के लिए एक [[आवश्यक शर्त]] है <math>x</math>. हालांकि यह पर्याप्त शर्त नहीं है। प्रतिउदाहरणों के लिए, [[ व्युत्पन्न केक ]] देखें। | ||
==== सदिश स्थान पर रेखीय मानचित्र के रूप में अवकलन ==== | ==== सदिश स्थान पर रेखीय मानचित्र के रूप में अवकलन ==== | ||
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परिमित आयाम के महत्वपूर्ण मामले के लिए, कोई भी [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] एक हिल्बर्ट स्थान है, कोई भी मानक सदिश स्थान एक बैनाच स्थान है और कोई भी सामयिक सदिश स्थान पूर्ण है। नतीजतन, आप एक समन्वय प्रणाली को मनमाने ढंग से परिभाषित कर सकते हैं और उसी तकनीक का उपयोग कर सकते हैं <math>\mathbb{R}^n</math>. | परिमित आयाम के महत्वपूर्ण मामले के लिए, कोई भी [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] एक हिल्बर्ट स्थान है, कोई भी मानक सदिश स्थान एक बैनाच स्थान है और कोई भी सामयिक सदिश स्थान पूर्ण है। नतीजतन, आप एक समन्वय प्रणाली को मनमाने ढंग से परिभाषित कर सकते हैं और उसी तकनीक का उपयोग कर सकते हैं <math>\mathbb{R}^n</math>. | ||
=== | === फलानो के कीटाणुओं के रूप में विभेदक === | ||
यह दृष्टिकोण किसी भी अलग-अलग | यह दृष्टिकोण किसी भी अलग-अलग बहुरूपता पर काम करता है। अगर | ||
# {{var|U}} और {{var|V}} युक्त खुले सेट हैं {{var|p}} | # {{var|U}} और {{var|V}} युक्त खुले सेट हैं {{var|p}} | ||
# <math>f\colon U\to \mathbb{R}</math> निरंतर है | # <math>f\colon U\to \mathbb{R}</math> निरंतर है | ||
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तब {{var|f}} के बराबर है {{var|g}} पर {{var|p}}, निरूपित <math>f \sim_p g</math>, अगर और केवल अगर | तब {{var|f}} के बराबर है {{var|g}} पर {{var|p}}, निरूपित <math>f \sim_p g</math>, अगर और केवल अगर | ||
एक खुला है <math>W \subseteq U \cap V</math> युक्त {{var|p}} ऐसा है कि <math>f(x) = g(x)</math> हरएक के लिए {{var|x}} में {{var|W}}. | एक खुला है <math>W \subseteq U \cap V</math> युक्त {{var|p}} ऐसा है कि <math>f(x) = g(x)</math> हरएक के लिए {{var|x}} में {{var|W}}. | ||
का कीटाणु {{var|f}} पर {{var|p}}, निरूपित <math>[f]_p</math>, के समतुल्य सभी वास्तविक सतत फलनों का समुच्चय है {{var|f}} पर {{var|p}}; अगर {{var|f}} पर | का कीटाणु {{var|f}} पर {{var|p}}, निरूपित <math>[f]_p</math>, के समतुल्य सभी वास्तविक सतत फलनों का समुच्चय है {{var|f}} पर {{var|p}}; अगर {{var|f}} पर सुचारू है {{var|p}} तब <math>[f]_p</math> सुचारू रोगाणु है। | ||
अगर | अगर | ||
#<math>U_1</math>, <math>U_2</math> <math>V_1</math> और <math>V_2</math> युक्त खुले सेट हैं {{var|p}} | |||