ध्रुवीय अपघटन: Difference between revisions
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{{Short description|Representation of invertible matrices as unitaries multiplying a Hermitian operator}} | {{Short description|Representation of invertible matrices as unitaries multiplying a Hermitian operator}} | ||
गणित में, | गणित में, वर्ग [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]] [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] का ध्रुवीय अपघटन <math>A</math> प्रपत्र का [[मैट्रिक्स अपघटन|आव्यूह अपघटन]] <math>A = U P</math> है, जहाँ <math>U</math> [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|ऑर्थोगोनल आव्यूह]] है और <math>P</math> सकारात्मक अर्ध-निश्चित सममित आव्यूह है (<math>U</math> [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक आव्यूह]] है और <math>P</math> सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है, जटिल स्थिति में सकारात्मक अर्ध-निश्चित [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]]), वर्ग और समान आकार दोनों है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Section 2.5</ref> | ||
सहज रूप से, यदि | सहज रूप से, यदि वास्तविक <math>n\times n</math> आव्यूह <math>A</math> की व्याख्या <math>n</math>-आयामी [[कार्तीय स्थान]] <math>\mathbb{R}^n</math> के [[रैखिक परिवर्तन]] के रूप में व्याख्या की जाती है, तो ध्रुवीय अपघटन इसे <math>\mathbb{R}^n</math> के घूर्णन (ज्यामिति) या [[प्रतिबिंब (ज्यामिति)]] <math>U</math> में अलग करता है, और <math>n</math> ऑर्थोगोनल अक्षों के समुच्चय के साथ स्पेस का [[स्केलिंग (ज्यामिति)]] करता है। | ||
वर्ग आव्यूह का ध्रुवीय अपघटन <math>A</math> सदैव उपस्थित है। यदि <math>A</math> व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, अपघटन अद्वितीय है, और कारक <math>P</math> [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित आव्यूह]] होगा। उस स्थिति में, <math>A</math> को अद्वितीय रूप से <math>A = U e^X </math> लिखा जा सकता है, जहाँ <math>U</math> एकात्मक है और <math>X</math> आव्यूह <math>P</math> का अद्वितीय स्व-आसन्न लघुगणक है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Theorem 2.17</ref> यह अपघटन (आव्यूह) [[झूठ समूह|लाई समूह]] के [[मौलिक समूह]] की गणना करने में उपयोगी है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Section 13.3</ref> | |||
ध्रुवीय अपघटन को <math>A = P' U</math> के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ <math>P' = U P U^{-1}</math> | ध्रुवीय अपघटन को <math>A = P' U</math> के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ <math>P' = U P U^{-1}</math> सममित धनात्मक-निश्चित आव्यूह है, जो <math>P</math> के समान आइजनवैल्यू के साथ है, लेकिन अलग-अलग आइजनवेक्टर हैं। | ||
आव्यूह के ध्रुवीय अपघटन को जटिल संख्या <math>z</math> के ध्रुवीय रूप के आव्यूह एनालॉग के रूप में <math>z = u r</math> के रूप में देखा जा सकता है, जहाँ <math>r</math> इसका पूर्ण मान है (गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या), और <math>u</math> इकाई मानदंड (वृत्त समूह का तत्व) के साथ सम्मिश्र संख्या है। | |||
परिभाषा <math>A = UP</math> को <math>A\in\mathbb{C}^{m \times n}</math> में <math>U\in\mathbb{C}^{m \times n}</math> | परिभाषा <math>A = UP</math> को <math>A\in\mathbb{C}^{m \times n}</math> में <math>U\in\mathbb{C}^{m \times n}</math> [[ अर्ध-ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स |अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह]] होना और <math>P\in\mathbb{C}^{n \times n}</math> सकारात्मक-अर्ध-परिमित हर्मिटियन आव्यूह होना। अपघटन सदैव उपस्थित रहता है और <math>P</math> सदैव अद्वितीय होता है। आव्यूह <math>U</math> अद्वितीय है यदि और केवल यदि <math>A</math> के पास पूर्ण रैंक है।<ref name="higham1990" /> | ||
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== सहज व्याख्या == | == सहज व्याख्या == | ||
वास्तविक वर्ग <math>m\times m</math> आव्यूह <math>A</math> की व्याख्या <math>\mathbb{R}^m</math> के रैखिक परिवर्तन के रूप में की जा सकती है जो स्तंभ सदिश <math>x</math> को <math>A x</math> तक ले जाता है। फिर, ध्रुवीय अपघटन में <math>A = RP</math>, कारक <math>R</math> एक <math>m\times m</math> वास्तविक ऑर्थोनॉर्मल आव्यूह है। ध्रुवीय अपघटन को <math>A</math> द्वारा परिभाषित रैखिक परिवर्तन को व्यक्त करने के रूप में देखा जा सकता है, जो स्पेस के <math>\mathbb{R}^m</math> स्केलिंग (ज्यामिति) <math>A</math> के प्रत्येक आइजनवेक्टर <math>e_i</math> के साथ पैमाना कारक <math>\sigma_i</math> के स्केलिंग (<math>P</math> की क्रिया) में व्यक्त करता है, जिसके बाद एकल घुमाव या <math>\mathbb{R}^m</math> प्रतिबिंब (<math>R</math> की क्रिया) होता है। | |||
वैकल्पिक रूप से, अपघटन <math>A=P R</math> द्वारा परिभाषित परिवर्तन को | वैकल्पिक रूप से, अपघटन <math>A=P R</math> द्वारा परिभाषित परिवर्तन को <math>A</math> रोटेशन के रूप में (<math>R</math>) स्केलिंग के बाद (<math>P</math>) कुछ ऑर्थोगोनल दिशाओं के साथ व्यक्त करता है। पैमाना कारक समान हैं, लेकिन दिशाएं अलग हैं। | ||
== गुण == | == गुण == | ||
जटिल संयुग्म का ध्रुवीय अपघटन <math>A</math> द्वारा <math>\overline{A} = \overline{U}\overline{P}</math> दिया गया है। ध्यान दें कि<math display="block">\det A = \det U \det P = e^{i\theta} r</math>A के निर्धारक के संगत ध्रुवीय अपघटन देता है, क्योंकि <math>\det U = e^{i\theta}</math> और <math>\det P = r = \left|\det A\right|</math>। विशेष रूप से, यदि <math>A</math> निर्धारक 1 है तो दोनों <math>U</math> और <math>P</math> निर्धारक 1 है। | जटिल संयुग्म का ध्रुवीय अपघटन <math>A</math> द्वारा <math>\overline{A} = \overline{U}\overline{P}</math> दिया गया है। ध्यान दें कि<math display="block">\det A = \det U \det P = e^{i\theta} r</math>A के निर्धारक के संगत ध्रुवीय अपघटन देता है, क्योंकि <math>\det U = e^{i\theta}</math> और <math>\det P = r = \left|\det A\right|</math>। विशेष रूप से, यदि <math>A</math> निर्धारक 1 है तो दोनों <math>U</math> और <math>P</math> निर्धारक 1 है। | ||
सकारात्मक-अर्ध-परिमित आव्यूह P सदैव अद्वितीय होता है, तथापि A एकल आव्यूह हो, और इसे इस रूप में निरूपित किया जाता है<math display="block">P = \left(A^* A\right)^\frac{1}{2},</math>जहाँ <math>A^*</math> के [[संयुग्मी स्थानान्तरण]] को <math>A</math> दर्शाता है। P की विशिष्टता यह सुनिश्चित करती है कि यह अभिव्यक्ति अच्छी तरह से परिभाषित है। विशिष्टता इस तथ्य से सुनिश्चित है कि <math>A^* A</math> | सकारात्मक-अर्ध-परिमित आव्यूह P सदैव अद्वितीय होता है, तथापि A एकल आव्यूह हो, और इसे इस रूप में निरूपित किया जाता है<math display="block">P = \left(A^* A\right)^\frac{1}{2},</math>जहाँ <math>A^*</math> के [[संयुग्मी स्थानान्तरण]] को <math>A</math> दर्शाता है। P की विशिष्टता यह सुनिश्चित करती है कि यह अभिव्यक्ति अच्छी तरह से परिभाषित है। विशिष्टता इस तथ्य से सुनिश्चित है कि <math>A^* A</math> सकारात्मक-अर्ध-सीमित हर्मिटियन आव्यूह है और इसलिए, आव्यूह का अद्वितीय सकारात्मक-अर्ध-अर्ध-सीमित हर्मिटियन वर्गमूल है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Lemma 2.18</ref> यदि A व्युत्क्रमणीय है, तो P धनात्मक-निश्चित है, इस प्रकार भी व्युत्क्रमणीय है और आव्यूह U विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है<math display="block">U = AP^{-1}.</math> | ||
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वर्ग उलटा वास्तविक आव्यूह का ध्रुवीय अपघटन <math>A</math> स्वरूप का है | वर्ग उलटा वास्तविक आव्यूह का ध्रुवीय अपघटन <math>A</math> स्वरूप का है | ||
<math display="block">A = |A|R</math> | <math display="block">A = |A|R</math> | ||
जहाँ <math>|A| = \left(AA^\textsf{T}\right)^\frac{1}{2}</math> | जहाँ <math>|A| = \left(AA^\textsf{T}\right)^\frac{1}{2}</math> [[सकारात्मक-अर्ध-परिमित मैट्रिक्स|सकारात्मक-अर्ध-परिमित आव्यूह]] है। सकारात्मक-निश्चित हर्मिटियन आव्यूह और <math>R = |A|^{-1}A</math> ऑर्थोगोनल आव्यूह है। | ||
=== सामान्य आव्यूह से संबंध === | === सामान्य आव्यूह से संबंध === | ||
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=== सामान्य आव्यूह के लिए व्युत्पत्ति === | === सामान्य आव्यूह के लिए व्युत्पत्ति === | ||
यदि <math>A</math> सामान्य आव्यूह है, तो यह | यदि <math>A</math> सामान्य आव्यूह है, तो यह विकर्ण आव्यूह के समान रूप से <math>A = V\Lambda V^*</math> समतुल्य है: कुछ एकात्मक आव्यूह के लिए <math>V</math> और कुछ विकर्ण आव्यूह के लिए <math>\Lambda</math>। यह इसके ध्रुवीय अपघटन की व्युत्पत्ति को विशेष रूप से सीधा बनाता है, जैसा कि हम तब लिख सकते हैं | ||
<math display="block">A = V\Phi_\Lambda |\Lambda|V^* = \underbrace{\left(V\Phi_\Lambda V^*\right)}_{\equiv U} \underbrace{\left(V |\Lambda| V^*\right)}_{\equiv P},</math> | <math display="block">A = V\Phi_\Lambda |\Lambda|V^* = \underbrace{\left(V\Phi_\Lambda V^*\right)}_{\equiv U} \underbrace{\left(V |\Lambda| V^*\right)}_{\equiv P},</math> | ||
जहाँ <math>\Phi_\Lambda</math> के तत्वों के चरणों से युक्त | जहाँ <math>\Phi_\Lambda</math> के तत्वों के चरणों से युक्त विकर्ण आव्यूह <math>\Lambda</math> है, वह <math>(\Phi_\Lambda)_{ii}\equiv \Lambda_{ii}/ |\Lambda_{ii}|</math> है, जब <math>\Lambda_{ii}\neq 0</math>, और <math>(\Phi_\Lambda)_{ii}=0</math> जब <math>\Lambda_{ii}=0</math>। | ||
ध्रुवीय अपघटन <math>A=UP</math> इस प्रकार है, <math>A</math> के आइजनबेसिस साथ में <math>U</math> और <math>P</math> विकर्ण के साथ और क्रमशः <math>A</math> के चरणों और पूर्ण मानों के बराबर आइजन मान होना। | ध्रुवीय अपघटन <math>A=UP</math> इस प्रकार है, <math>A</math> के आइजनबेसिस साथ में <math>U</math> और <math>P</math> विकर्ण के साथ और क्रमशः <math>A</math> के चरणों और पूर्ण मानों के बराबर आइजन मान होना। | ||
=== व्युत्क्रमणीय आव्यूह के लिए === | === व्युत्क्रमणीय आव्यूह के लिए === | ||
एकल-मान अपघटन से, यह दिखाया जा सकता है कि | एकल-मान अपघटन से, यह दिखाया जा सकता है कि आव्यूह <math>A</math> उलटा है यदि और केवल यदि <math>A^* A</math> (समान रूप से, <math>AA^*</math>) है। इसके अतिरिक्त, यह सच है यदि और केवल यदि <math>A^* A</math> के सभी आइजन मान शून्य नहीं हैं।<ref>Note how this implies, by the positivity of <math>A^* A</math>, that the eigenvalues are all real and strictly positive.</ref> | ||
इस स्थिति में, ध्रुवीय अपघटन सीधे लिखकर प्राप्त किया जाता है | इस स्थिति में, ध्रुवीय अपघटन सीधे लिखकर प्राप्त किया जाता है | ||
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जहाँ पुनः <math>W</math> निर्माण द्वारा एकात्मक है। | जहाँ पुनः <math>W</math> निर्माण द्वारा एकात्मक है। | ||
फिर भी <math>A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}}</math> की इकाई को सीधे दर्शाने की एक और विधि यह ध्यान रखनी है कि, | फिर भी <math>A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}}</math> की इकाई को सीधे दर्शाने की एक और विधि यह ध्यान रखनी है कि, रैंक -1 आव्यूह के संदर्भ में <math>A</math> का एसवीडी <math display="inline">A = \sum_k s_k v_k w_k^*</math> लिखना, जहाँ <math>s_k</math>, <math>A</math> के एकल मान हैं, अपने पास | ||
<math display="block">A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}} | <math display="block">A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}} | ||
= \left(\sum_j \lambda_j v_j w_j^*\right)\left(\sum_k |\lambda_k|^{-1} w_k w_k^*\right) | = \left(\sum_j \lambda_j v_j w_j^*\right)\left(\sum_k |\lambda_k|^{-1} w_k w_k^*\right) | ||
= \sum_k \frac{\lambda_k}{|\lambda_k|} v_k w_k^*,</math> जिसका सीधा तात्पर्य <math>A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}}</math> की एकता से है, क्योंकि | = \sum_k \frac{\lambda_k}{|\lambda_k|} v_k w_k^*,</math> जिसका सीधा तात्पर्य <math>A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}}</math> की एकता से है, क्योंकि आव्यूह एकात्मक है यदि और केवल यदि इसके एकल मानों में एकात्मक निरपेक्ष मान है। | ||
ध्यान दें कि कैसे, उपरोक्त निर्माण से, यह इस प्रकार है कि | ध्यान दें कि कैसे, उपरोक्त निर्माण से, यह इस प्रकार है कि व्युत्क्रमणीय आव्यूह के ध्रुवीय अपघटन में एकात्मक आव्यूह विशिष्ट रूप से परिभाषित है। | ||
=== सामान्य व्युत्पत्ति === | === सामान्य व्युत्पत्ति === | ||
वर्ग आव्यूह <math>A</math> का एसवीडी, <math>A = W D^\frac{1}{2} V^*</math> एकात्मक आव्यूह, <math>W, V</math>, और <math>D</math> के साथ विकर्ण, सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह पढ़ा जाता है। <math>W</math>s या <math>V</math>s की | वर्ग आव्यूह <math>A</math> का एसवीडी, <math>A = W D^\frac{1}{2} V^*</math> एकात्मक आव्यूह, <math>W, V</math>, और <math>D</math> के साथ विकर्ण, सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह पढ़ा जाता है। <math>W</math>s या <math>V</math>s की अतिरिक्त जोड़ी डालने से, हम <math>A</math> के ध्रुवीय अपघटन के दो रूपों को प्राप्त करते हैं :<math display="block"> | ||
A = WD^\frac{1}{2}V^* = | A = WD^\frac{1}{2}V^* = | ||
\underbrace{\left(W D^\frac{1}{2} W^*\right)}_P \underbrace{\left(W V^*\right)}_U = | \underbrace{\left(W D^\frac{1}{2} W^*\right)}_P \underbrace{\left(W V^*\right)}_U = | ||
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</math> आव्यूह है, इसका एसवीडी <math> | </math> आव्यूह है, इसका एसवीडी <math> | ||
A=WD^{1/2}V^* | A=WD^{1/2}V^* | ||
</math> के रूप में लिखा जा सकता है | </math> के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ अब <math> | ||
W | W | ||
</math> और <math> | </math> और <math> | ||
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</math>, और <math> | </math>, और <math> | ||
D | D | ||
</math> आयामों के साथ फिर से | </math> आयामों के साथ फिर से विकर्ण सकारात्मक अर्ध-निश्चित वर्ग आव्यूह <math> | ||
r\times r | r\times r | ||
</math> है। अब हम लिखने के लिए उपरोक्त समीकरण <math> | </math> है। अब हम लिखने के लिए उपरोक्त समीकरण <math> | ||
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</math> को संतुष्ट करता है। यह <math> | </math> को संतुष्ट करता है। यह <math> | ||
U | U | ||
</math>को | </math> को आइसोमेट्री में बनाता है, जब इसकी क्रिया <math> | ||
A | A | ||
</math> के समर्थन पर प्रतिबंधित होती है, अर्थात् इसका अर्थ है की <math> | </math> के समर्थन पर प्रतिबंधित होती है, अर्थात् इसका अर्थ है की <math> | ||
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</math>हमारे पास तब है<math display="block"> | </math>हमारे पास तब है<math display="block"> | ||
WV^\dagger = \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&-1 \\ 0&0\end{pmatrix} | WV^\dagger = \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&-1 \\ 0&0\end{pmatrix} | ||
</math>जो | </math>जो आइसोमेट्री है, लेकिन एकात्मक नहीं है। दूसरी ओर, यदि हम के अपघटन पर विचार करें<math display="block"> | ||
A\equiv \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix} = | A\equiv \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix} = | ||
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} | ||
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=== [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष |हिल्बर्ट स्पेस]] पर बंधे हुए ऑपरेटर === | === [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष |हिल्बर्ट स्पेस]] पर बंधे हुए ऑपरेटर === | ||
जटिल हिल्बर्ट स्पेस स्थान के बीच किसी भी बाध्य रैखिक ऑपरेटर ''A'' का ध्रुवीय अपघटन | जटिल हिल्बर्ट स्पेस स्थान के बीच किसी भी बाध्य रैखिक ऑपरेटर ''A'' का ध्रुवीय अपघटन आंशिक आइसोमेट्री और गैर-नकारात्मक ऑपरेटर के उत्पाद के रूप में विहित कारक है। | ||
आव्यूह के लिए ध्रुवीय अपघटन निम्नानुसार सामान्य करता है: यदि यदि ''A'' | आव्यूह के लिए ध्रुवीय अपघटन निम्नानुसार सामान्य करता है: यदि यदि ''A'' परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर है तो उत्पाद ''A = UP'' के रूप में ''A'' का अद्वितीय गुणनखंडन होता है, जहां ''U'' आंशिक आइसोमेट्री है, ''P'' गैर-नकारात्मक स्व-आसन्न ऑपरेटर है और प्रारंभिक ''U'' का स्थान ''P'' की सीमा का समापन है। | ||
निम्नलिखित उद्देश्यों के कारण ऑपरेटर ''U'' को एकात्मक के अतिरिक्त | निम्नलिखित उद्देश्यों के कारण ऑपरेटर ''U'' को एकात्मक के अतिरिक्त आंशिक आइसोमेट्री के लिए अशक्त होना चाहिए। यदि A, ''l''<sup>2</sup>('''N''') पर [[शिफ्ट ऑपरेटर]] है, तो |''A''| = {''A<sup>*</sup>A''}<sup>1/2</sup> = ''I''। तो यदि ''A'' = ''U'' |''A''|, ''U'' को ''A'' होना चाहिए, जो एकात्मक नहीं है। | ||
ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व डगलस लेम्मा का परिणाम है: | ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व डगलस लेम्मा का परिणाम है: | ||
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{{math theorem|name=Lemma|math_statement= यदि ''A'', ''B'' हिल्बर्ट स्पेस ''H'', और ''A{{sup|*}}A'' ≤ ''B{{sup|*}} B'' पर परिबद्ध ऑपरेटर हैं, तो एक संकुचन ''C'' उपस्थित है जैसे कि ''A = CB''। इसके अतिरिक्त, ''C'' अद्वितीय है यदि ''Ker''(''B{{sup|*}}'') ⊂ ''Ker''(''C'')।}} | {{math theorem|name=Lemma|math_statement= यदि ''A'', ''B'' हिल्बर्ट स्पेस ''H'', और ''A{{sup|*}}A'' ≤ ''B{{sup|*}} B'' पर परिबद्ध ऑपरेटर हैं, तो एक संकुचन ''C'' उपस्थित है जैसे कि ''A = CB''। इसके अतिरिक्त, ''C'' अद्वितीय है यदि ''Ker''(''B{{sup|*}}'') ⊂ ''Ker''(''C'')।}} | ||
ऑपरेटर ''C'' को C(Bh) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है := ''H'' में सभी ''h'' के लिए ''Ah'', Ran(B) के बंद होने तक निरंतरता द्वारा विस्तारित, और सभी ''H'' के ऑर्थोगोनल पूरक पर शून्य द्वारा। लेम्मा तब | ऑपरेटर ''C'' को C(Bh) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है := ''H'' में सभी ''h'' के लिए ''Ah'', Ran(B) के बंद होने तक निरंतरता द्वारा विस्तारित, और सभी ''H'' के ऑर्थोगोनल पूरक पर शून्य द्वारा। लेम्मा तब ''A<sup>*</sup>A'' ≤ ''B<sup>*</sup>B'' का तात्पर्य ''Ker(B) ⊂ Ker(A)'' से है। | ||
विशेष रूप से। यदि ''A<sup>*</sup>A'' = ''B<sup>*</sup>B'', तो ''C'' आंशिक आइसोमेट्री है, जो अद्वितीय है यदि''Ker''(''B<sup>*</sup>'') ⊂ ''Ker''(''C'')। | विशेष रूप से। यदि ''A<sup& | ||