प्रतिलोम वक्र

File:Inverse Curves Parabola Cardioid.svg

बिन्दुदार घेरा में लाल परवलय को उल्टा करके हरा कारडायोड प्राप्त किया जाता है।

प्रतिलोम ज्यामिति में दिए गए वृत्त का प्रतिलोम वृत्त C व्युत्क्रम ज्यामिति संक्रिया को सचालित करने का परिणाम है। विशेष रूप से केंद्र C के साथ एक निश्चित वृत्त O के संबंध में और त्रिज्या k बिंदु Q का व्युत्क्रम बिंदु है। P जिसके लिए किरण OQ पर स्थित है और OP·OQ = k²। वृत्त C का व्युत्क्रम तब P का स्थान है क्योंकि Q, C पर चलता है। बिंदु O इस निर्माण में व्युत्क्रम का केंद्र कहा जाता है। वृत्त को व्युत्क्रम का वृत्त कहा जाता है और k व्युत्क्रम की त्रिज्या है।

एक व्युत्क्रम दो बार संचालित किया गया पहचान परिवर्तन है। इसलिए एक ही वृत्त के संबंध में व्युत्क्रम वृत्त का व्युत्क्रम मूल वृत्त है। व्युत्क्रम के वृत्त पर बिंदु व्युत्क्रम द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इसलिए इसका व्युत्क्रम स्वयं है।

समीकरण

बिंदु (x, y) का उलटा इकाई वृत्त के संबंध में (X, Y) है। जहाँ-

$X={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\qquad Y={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},$

या समकक्ष

$x={\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\qquad y={\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}.$

तो वृत्त का व्युत्क्रम f(x, y) = 0 द्वारा निर्धारित इकाई वृत्त के संबंध में है

$f\left({\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},{\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}\right)=0.$

इससे स्पष्ट है कि n डिग्री के एक बीजगणितीय वृत्त का उलटा होना वृत्त के संबंध में अधिक से अधिक 2n डिग्री का बीजगणितीय वृत्त उत्पन्न करता है।

इसी प्रकार वृत्त के व्युत्क्रम को पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जाता है।

$x=x(t),\qquad y=y(t)$

यूनिट वृत्त के संबंध में पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है।

${\begin{aligned}X=X(t)&={\frac {x(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}},\\Y=Y(t)&={\frac {y(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}}.\end{aligned}}$

इसका अर्थ यह है कि परिमेय वृत्त का वर्तुल व्युत्क्रम भी परिमेय होता है।

अधिक सामान्यतः द्वारा निर्धारित वृत्त का व्युत्क्रम f(x, y) = 0 केंद्र (a, b) वाले वृत्त के संबंध में और त्रिज्या k है।

$f\left(a+{\frac {k^{2}(X-a)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}},b+{\frac {k^{2}(Y-b)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}}\right)=0.$

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित वृत्त का व्युत्क्रम-

$x=x(t),\qquad y=y(t)$

उसी वृत्त के संबंध में पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है।

$\begin{array}{rl}X=X(t)& =a+\frac{k^2(x(t)-<!--\; -\; -->a)}{{(x(t)-<!--\; -\; -->a)}^2+{(y(t}^{}}\end{array}$