प्रतिलोम वक्र: Difference between revisions

Revision as of 07:57, 21 April 2023

धराशायी घेरा में लाल परवलय को उल्टा करके हरा कारडायोड प्राप्त किया जाता है।

प्रतिलोम ज्यामिति में दिए गए वक्र का प्रतिलोम वक्र $C$ व्युत्क्रम ज्यामिति संक्रिया को सचालित करने का परिणाम है। विशेष रूप से केंद्र $C$ के साथ एक निश्चित वृत्त $O$ के संबंध में और त्रिज्या $k$ बिंदु $Q$ का व्युत्क्रम बिंदु है। $P$ जिसके लिए किरण $OQ$ पर स्थित है और $OP \cdot OQ = k 2$ । वक्र C का व्युत्क्रम तब P का स्थान है क्योंकि Q, C पर चलता है। बिंदु $O$ इस निर्माण में व्युत्क्रम का केंद्र कहा जाता है। वृत्त को व्युत्क्रम का वृत्त कहा जाता है और $k$ व्युत्क्रम की त्रिज्या है।

एक व्युत्क्रम दो बार संचालित किया गया पहचान परिवर्तन है। इसलिए एक ही वृत्त के संबंध में व्युत्क्रम वक्र का व्युत्क्रम मूल वक्र है। व्युत्क्रम के वृत्त पर बिंदु व्युत्क्रम द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इसलिए इसका व्युत्क्रम स्वयं है।

समीकरण

बिंदु $(x, y)$ का उलटा इकाई वृत्त के संबंध में $(X, Y)$ है। जहाँ-

X={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\qquad Y={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},

या समकक्ष

x={\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\qquad y={\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}.

तो वक्र का व्युत्क्रम $f (x, y) = 0$ द्वारा निर्धारित इकाई वृत्त के संबंध में है

f\left({\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},{\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}\right)=0.

इससे स्पष्ट है कि $n$ डिग्री के एक बीजगणितीय वक्र का उलटा होना वृत्त के संबंध में अधिक से अधिक $2 n$ डिग्री का बीजगणितीय वक्र उत्पन्न करता है।

इसी प्रकार वक्र के व्युत्क्रम को पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जाता है।

x=x(t),\qquad y=y(t)

यूनिट सर्कल के संबंध में पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है।

{\begin{aligned}X=X(t)&={\frac {x(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}},\\Y=Y(t)&={\frac {y(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}}.\end{aligned}}

इसका अर्थ यह है कि परिमेय वक्र का वर्तुल व्युत्क्रम भी परिमेय होता है।

अधिक सामान्यतः द्वारा निर्धारित वक्र का व्युत्क्रम $f (x, y) = 0$ केंद्र $(a, b)$ वाले वृत्त के संबंध में और त्रिज्या $k$ है।

f\left(a+{\frac {k^{2}(X-a)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}},b+{\frac {k^{2}(Y-b)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}}\right)=0.

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित वक्र का व्युत्क्रम-

x=x(t),\qquad y=y(t)

उसी सर्कल के संबंध में पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है।

\begin{aligned} X = X (t) & = a + \frac{k^{2} (x (t) - a)}{(x (t) -} \end{aligned}

@@ Line 44: / Line 44: @@
 अतः वक्र का प्रतिलोम {{math|''f''(''r'', ''θ'') {{=}} 0}} इसके {{math|''f''({{sfrac|1|''R''}}, ''Θ'') {{=}} 0}} द्वारा निर्धारित किया जाता है और {{math|''r'' {{=}} ''g''(''θ'')}} वक्र का व्युत्क्रम {{math|''r'' {{=}} {{sfrac|1|''g''(''θ'')}}}} है।
-== डिग्री ==
+== डिग्री (कोटि) ==
-जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, डिग्री के वक्र के एक वृत्त के संबंध में व्युत्क्रम {{mvar|n}} के पास अधिकतम डिग्री है {{math|2''n''}}. डिग्री बिल्कुल है {{math|2''n''}} जब तक कि मूल वक्र व्युत्क्रम बिंदु से नहीं गुजरता है या यह वृत्ताकार बीजीय वक्र है, जिसका अर्थ है कि इसमें वृत्ताकार बिंदु हैं, {{math|(1, ±''i'', 0)}}, जब जटिल प्रक्षेपी तल में एक वक्र के रूप में माना जाता है। सामान्य तौर पर, एक मनमाना वक्र के संबंध में व्युत्क्रम आनुपातिक रूप से बड़ी डिग्री के साथ एक बीजगणितीय वक्र उत्पन्न कर सकता है।
+जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है कि {{mvar|n}} डिग्री के वक्र के वृत्त के संबंध में व्युत्क्रम  के पास अधिकतम डिग्री {{math|2''n''}} है। डिग्री {{math|2''n''}} रियल है। जब तक कि मूल वक्र व्युत्क्रम बिंदु से होकर नहीं निकलता है या यह वृत्ताकार बीजीय वक्र है। जिसका अर्थ यह है कि इसमें वृत्ताकार बिंदु हैं। जब जटिल प्रक्षेपी तल में एक वक्र के रूप में माना जाता है। सामान्य तौर पर, एक मनमाना वक्र के संबंध में व्युत्क्रम आनुपातिक रूप से बड़ी डिग्री के साथ एक बीजगणितीय वक्र उत्पन्न कर सकता है।
 विशेष रूप से, अगर {{mvar|C}} है {{mvar|p}}- डिग्री का वृत्त {{mvar|n}}, और यदि व्युत्क्रम का केंद्र क्रम की विलक्षणता है {{mvar|q}} पर {{mvar|C}}, तो व्युत्क्रम वक्र a होगा {{math|(''n'' − ''p'' − ''q'')}}-डिग्री का वृत्ताकार वक्र {{math|2''n'' − 2''p'' − ''q''}} और व्युत्क्रम का केंद्र क्रम की विलक्षणता है {{math|''n'' − 2''p''}} उलटे वक्र पर। यहाँ {{math|''q'' {{=}} 0}} यदि वक्र में व्युत्क्रम का केंद्र नहीं है और {{math|''q'' {{=}} 1}} यदि व्युत्क्रम का केंद्र उस पर एक विलक्षण बिंदु है; इसी प्रकार गोलाकार बिंदु, {{math|(1, ±''i'', 0)}}, क्रम की विलक्षणताएं हैं {{mvar|p}} पर {{mvar|C}}. मूल्य {{mvar|k}} को इन संबंधों से हटाकर यह दिखाया जा सकता है कि का समुच्चय {{mvar|p}}-डिग्री के वृत्ताकार वक्र {{math|''p'' + ''k''}}, कहाँ {{mvar|p}} भिन्न हो सकता है लेकिन {{mvar|k}} एक निश्चित सकारात्मक पूर्णांक है, व्युत्क्रम के तहत अपरिवर्तनीय है।

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