द्विक लोलक

File:Double-Pendulum.svg

एक डबल लंगर में दो लोलक होते हैं जो एक सिरे से दूसरे सिरे तक जुड़े होते हैं।

भौतिकी और गणित में, गतिकीय तन्त्र के क्षेत्र में, द्विक लोलक जिसे अस्तव्यस्तता लोलक के रूप में भी जाना जाता है, जिसके अंत में एक और लोलक जुड़ा होता है, जो सरल भौतिक प्रणाली बनाता है और प्रारंभिक स्थितियों के लिए मजबूत संवेदनशीलता के साथ समृद्ध गतिकीय तन्त्र को प्रदर्शित करता है। द्विक लोलक की गति युग्मित साधारण अंतर समीकरण के सेट द्वारा नियंत्रित होती है और अस्तव्यस्तता है।

विश्लेषण और व्याख्या

द्विक लोलक के कई रूपों पर विचार किया जा सकता है; दो फलक की लंबाई और द्रव्यमान समान या असमान हो सकते हैं, वे साधारण लोलक या पिंड लोलक (जिन्हें सरल लोलक भी कहा जाता है) हो सकते हैं और गति तीन आयामों में हो सकती है या ऊर्ध्वाधर तल तक सीमित हो सकती है। निम्नलिखित विश्लेषण में, फलक को लंबाई l और द्रव्यमान m के समान पिंड लोलक के रूप में लिया जाता है और गति दो आयामों तक सीमित है।

File:Double-compound-pendulum-dimensioned.svg

डबल यौगिक लोलक

दोहरे यौगिक लोलक की गति (गति के समीकरणों के संख्यात्मक एकीकरण से)

पिंड लोलक में, द्रव्यमान उसकी लंबाई के साथ वितरित होता है। यदि द्रव्यमान समान रूप से वितरित किया जाता है, तो प्रत्येक फलक के द्रव्यमान का केंद्र उसके मध्य बिंदु पर होता है, और फलक का जड़त्वाघूर्ण उस बिंदु पर I = 1/12ml² होता है।

प्रणाली के विन्यास स्थान (भौतिकी) को परिभाषित करने वाले सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में प्रत्येक फलक और ऊर्ध्वाधर के बीच के कोणों का उपयोग करना सुविधाजनक है। इन कोणों को θ₁ और θ₂ द्वारा निरूपित किया जाता है। प्रत्येक छड़ के द्रव्यमान केन्द्र की स्थिति को इन दो निर्देशांकों के पदों में लिखा जा सकता है। यदि कार्तीय निर्देशांक तंत्र का उद्गम प्रथम लोलक के निलंबन के बिंदु पर लिया जाता है, तो इस लोलक का द्रव्यमान केंद्र है:

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}$

तथा दूसरे लोलक का द्रव्यमान केन्द्र पर है

${\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}$

लग्रंगियन को लिखने के लिए यह पर्याप्त जानकारी है।

लग्रंगियन

लग्रंगियन यांत्रिकी है

${\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}$

पहला शब्द पिंडों के द्रव्यमान केन्द्र की रैखिक गतिज ऊर्जा है और दूसरा शब्द प्रत्येक छड़ के द्रव्यमान केन्द्र के चारों ओर घूर्णी गतिज ऊर्जा है। अंतिम शब्द समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में पिंडों की संभावित ऊर्जा है। न्यूटन का डॉट-नोटेशन प्रश्न में चर के समय व्युत्पन्न को इंगित करता है।

उपरोक्त निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने और समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है।

$L={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).$

केवल एक संरक्षित मात्रा (ऊर्जा) है, और कोई संरक्षित संवेग नहीं है। दो सामान्यीकृत गति के रूप में लिखा जा सकता है

${\begin{aligned}p_{\theta _{1}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)\\p_{\theta _{2}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right).\end{aligned}}$

इन व्यंजक को प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रमित किया जा सकता है

${\begin{aligned}{{\dot {\theta }}_{1}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}\\{{\dot {\theta }}_{2}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.\end{aligned}}$

गति के शेष समीकरणों को इस प्रकार लिखा जाता है

${\begin{aligned}{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{l}}\sin \theta _{1}\right)\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left(-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{l}}\sin \theta _{2}\right).\end{aligned}}$

मौजूदा स्थिति को देखते हुए ये अंतिम चार समीकरण प्रणाली के समय के विकास के लिए स्पष्ट सूत्र हैं। समय के फलन के रूप में θ₁ और θ₂ के सूत्र प्राप्त करने के लिए, आगे जाकर इन समीकरणों को बंद रूप में एक अभिव्यक्ति में एकीकृत करना संभव नहीं है। चूंकि, रनगे-कुट्टा विधियों या इसी तरह की तकनीकों का उपयोग करके इस एकीकरण को संख्यात्मक रूप से निष्पादित करना संभव है।

अस्तव्यस्तता गति

प्रारंभिक स्थितियों के फलन के रूप में लोलक के पलटने के समय का ग्राफ

अस्तव्यस्तता गति प्रदर्शित करने वाले दोहरे लोलक का लंबा प्रदर्शन (एलईडी के साथ ट्रैक किया गया)

द्विक लोलक अस्तव्यस्तता गति से गुजरता है, और प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता दिखाता है। दाईं ओर की छवि लोलक के पलटने से पहले बीता हुआ समय दिखाती है, जब गतिहीन से अवमुक्त होता है तो प्रारंभिक स्थिति के कार्य के रूप में दिखाती है। यहाँ, θ₁ का प्रारंभिक मान x-दिशा के साथ -3.14 से 3.14 तक है। प्रारंभिक मान θ₂, y-दिशा, -3.14 से 3.14 तक होता है। प्रत्येक पिक्सेल का रंग इंगित करता है कि क्या कोई लोलक भीतर प्रतिवर्न करता है:

• ${\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (काला)
• $10{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (लाल)
• $100{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (हरा)
• $1000{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (नीला) या
• $10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (बैंगनी)।

File:Demonstrating Chaos with a Double Pendulum.gif

लगभग समान प्रारंभिक स्थितियों के साथ तीन द्विक लोलक प्रणाली की अस्तव्यस्तता प्रकृति को प्रदर्शित करते हुए समय के साथ अलग हो जाते हैं।

प्रारंभिक स्थितियाँ जो भीतर प्रतिवर्न की ओर नहीं ले जाती हैं $10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ सफेद प्लॉट किए गए हैं।

मध्य श्वेत क्षेत्र की सीमा को निम्नलिखित वक्र के साथ ऊर्जा संरक्षण द्वारा परिभाषित किया गया है:

$3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.$

इस वक्र द्वारा परिभाषित क्षेत्र के भीतर, अर्थात यदि

$3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,$

तब किसी भी लोलक के लिए प्रतिवर्न करना ऊर्जावान रूप से असंभव है। इस क्षेत्र के बाहर, लोलक प्रतिवर्न कर सकता है, लेकिन यह निर्धारित करना एक जटिल प्रश्न है कि यह कब प्रतिवर्न करता है। वितरित द्रव्यमान के साथ दो छड़ों के अतिरिक्त दो बिंदु द्रव्यमान से बने दोहरे लोलक के लिए समान व्यवहार देखा जाता है।

प्राकृतिक विनिमय पद आवृत्ति की कमी ने इमारतों में ट्यून्ड मास डैम्पर का उपयोग किया है, जहां इमारत ही प्राथमिक व्युत्क्रमित लोलक है, और द्विक लोलक को पूरा करने के लिए एक माध्यमिक द्रव्यमान जुड़ा हुआ है।

यह भी देखें

• डबल व्युत्क्रमित लोलक
• लोलक (यांत्रिकी)
• 20वीं सदी के मध्य की भौतिकी की पाठ्यपुस्तकों में द्विक लोलक शब्द का प्रयोग किया गया है, जिसका अर्थ है कि एक एकल बॉब एक ​​​​स्ट्रिंग से निलंबित है जो बदले में एक वी-आकार के स्ट्रिंग से निलंबित है। इस प्रकार के लोलक, जो लिसाजस वक्र उत्पन्न करते हैं, को अब ब्लैकबर्न लोलक कहा जाता है।

संदर्भ

• Meirovitch, Leonard (1986). Elements of Vibration Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-041342-8.
• Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and "Double Pendulum" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).
• Peter Lynch, Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)
• Northwestern University, Double Pendulum Archived 2007-06-03 at the Wayback Machine, (Java applet simulation.)
• Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).

बाहरी संबंध

• Animations and explanations of a double pendulum and a physical double pendulum (two square plates) by Mike Wheatland (Univ. Sydney)

• Interactive Open Source Physics JavaScript simulation with detailed equations double pendulum
• Interactive Javascript simulation of a double pendulum
• Double pendulum physics simulation from www.myphysicslab.com using open source JavaScript code
• Simulation, equations and explanation of Rott's pendulum
• Comparison videos of a double pendulum with the same initial starting conditions on YouTube
• Double Pendulum Simulator - An open source simulator written in C++ using the Qt toolkit.
• Online Java simulator of the Imaginary exhibition.