पीरियडोग्राम

पीरियडोग्राम सिग्नल के वर्णक्रमीय घनत्व का अनुमान है। यह शब्द 1898 में आर्थर शूस्टर द्वारा गढ़ा गया था। आज, पीरियडोग्राम अधिक परिष्कृत विधियों का घटक है (वर्णक्रमीय अनुमान देखें) फिल्टर के लिए और विंडो के कार्य के आयाम बनाम आवृत्ति विशेषताओं की जांच करने के लिए यह सबसे सामान्य उपकरण है। स्पेकट्रूम विशेष्यग्य को पीरियडोग्राम के समय-अनुक्रम के रूप में भी प्रयुक्त किया जाता है।

परिभाषा

आज कम से कम दो अलग-अलग परिभाषाएँ उपयोग में हैं। उनमें से एक में समय-औसत सम्मिलित है, और एक नहीं। समय-औसत भी अन्य लेखों (बार्टलेट की विधि और वेल्च की विधि) का क्षेत्र है। यह लेख समय-औसत के बारे में नहीं है। यहाँ ब्याज की परिभाषा यह है कि सतत कार्य की शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व, अपने ऑटो-सहसंबंध फलन का फूरियर रूपांतरण है (फूरियर ट्रांसफॉर्म क्रॉस-सहसंबंध प्रमेय क्रॉस-सहसंबंध प्रमेय, स्पेक्ट्रल घनत्व पावर स्पेक्ट्रल घनत्व, और वीनर-खिनचिन प्रमेय देखें)

${\mathcal {F}}\{x(t)\circledast x^{*}(-t)\}=X(f)\cdot X^{*}(f)=\left|X(f)\right|^{2}.$

संगणना

पीरियोडोग्राम विधि द्वारा परिकलित दो साइनसोइडल आधार कार्यों का एक पावर स्पेक्ट्रम (परिमाण-वर्ग)।

दो पावर स्पेक्ट्रा (परिमाण-वर्ग) (आयताकार और हैमिंग विंडो फलन प्लस पृष्ठभूमि शोर), पीरियोडोग्राम विधि द्वारा गणना की गई।

पैरामीटर T, के पर्याप्त छोटे मूल्यों के लिए के लिए क्षेत्र X(f) मनमाना ढंग- सही सन्निकटन क्षेत्र में देखा जा सकता है।$-{\tfrac {1}{2T}}<f<{\tfrac {1}{2T}}$ फलन का:

$X_{1/T}(f)\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k/T\right),$

जो नमूनों x(nT) द्वारा सही रूप से निर्धारित किया जाता है जो x(t) गैर-शून्य अवधि का विस्तार करता है (असतत-समय फूरियर रूपांतरण देखें)

और पैरामीटर N, के पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए $X_{1/T}(f)$ प्रपत्र के योग द्वारा मनमाने ढंग से निकट आवृत्ति पर मूल्यांकन किया जा सकता है।

$X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},$

जहाँ k पूर्णांक है। की आवधिकता $e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}$असतत फूरियर रूपांतरण के संदर्भ में इसे बहुत सरलता से लिखा जा सकता है:

$X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\underbrace {\sum _{n}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},} _{DFT}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)},$

जहाँ $x_{_{N}}$ आवधिक योग है:$x_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].$

जब सभी पूर्णांकों के लिए मूल्यांकन किया जाता है, k,और के बीच 0 N-1, सरणी:

$S\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\left|\sum _{n}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}\right|^{2}$