प्रतिअनुनाद: Difference between revisions

Revision as of 12:17, 1 April 2023

युग्मित दोलक की भौतिकी में प्रतिध्वनि अनुनाद के साथ सादृश्य द्वारा एक विशेष आवृत्ति पर दोलक के आयाम में एक स्पष्ट न्यूनतम है। इसके दोलन चरण (तरंगों) में एक बड़े अचानक बदलाव के साथ इस प्रकार की आवृत्तियों को भौतिक प्रणाली की एंटीरेज़ोनेंट आवृत्तियों के रूप में जाना जाता है। इन आवृत्तियों पर दोलन आयाम लगभग शून्य तक गिर सकता है। एंटीरेसोनेंस विनाशकारी हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) के कारण होता है। एक बाहरी प्रेरक बल और दूसरे दोलक के साथ अंतःक्रिया के बीच का उदाहरण है।

यांत्रिकी, ध्वनिकी, विद्युत चुंबकत्व और क्वांटम यांत्रिकी प्रणालियों सहित सभी प्रकार के युग्मित दोलक प्रणालियों में प्रतिध्वनि उत्पन्न हो सकती है। जटिल युग्मित प्रणालियों के लक्षण वर्णन में उनके महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

समान प्रभाव वाले एकल ऑसिलेटर में अनुनाद के रूप के लिए इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में एंटीरेसोनेंस शब्द का उपयोग किया जाता है।

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में एंटीरेसोनेंस

विद्युत अभियन्त्रण में प्रतिध्वनि वह स्थिति है, जिसके लिए विद्युत प्रतिघात विलुप्त हो जाता है और विद्युत प्रतिबाधा विद्युत परिपथ का मान बहुत अधिक है और इसका मान अनंत तक पहुंच रहा है।

एलसी सर्किट से युक्त एक विद्युत सर्किट में एंटीरेसोनेंस तब होता है, जब प्रत्यावर्ती धारा लाइन वोल्टेज और परिणामी धारा चरण (तरंगों) में होती है।^[1] इन स्थितियों के अनुसार प्रतिध्वनि पर समानांतर सर्किट के उच्च विद्युत प्रतिबाधा के कारण लाइन करंट बहुत छोटा होता है। इसकी शाखा धाराएँ परिमाण में लगभग बराबर और चरण में विपरीत होती हैं।^[2]

युग्मित ऑसिलेटर्स में एंटीरेसोनेंस

आवृत्ति के एक समारोह के रूप में स्थिर-राज्य आयाम और दो युग्मित हार्मोनिक ऑसिलेटर्स का चरण।

सबसे सरल प्रणाली, जिसमें प्रतिध्वनि उत्पन्न होती है, युग्मित हार्मोनिक ऑसिलेटर्स की एक प्रणाली है। उदाहरण के लिए लंगर या आरएलसी सर्किट।

शक्ति G के साथ मिलकर दो हार्मोनिक ऑसीलेटर पर विचार करें और एक ऑसीलेटर बाहरी बल F द्वारा संचालित एक ऑसीलेटर के साथ इस स्थिति को युग्मित सामान्य अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है।

{\begin{aligned}{\ddot {x}}_{1}+2\gamma _{1}{\dot {x}}_{1}-2g\omega _{1}x_{2}+\omega _{1}^{2}x_{1}&=2F\cos \omega t\\{\ddot {x}}_{2}+2\gamma _{2}{\dot {x}}_{2}-2g\omega _{2}x_{1}+\omega _{2}^{2}x_{2}&=0\end{aligned}}

जहां $ω i$ दो ऑसिलेटर्स की अनुनाद आवृत्तियों का प्रतिनिधित्व करता है और $γ i$ उनकी अवमन्‍दक अनुपात दर वैरिएबल को जटिल संख्या पैरामीटर में बदलना:

{\begin{aligned}\alpha _{1}&=\omega _{1}x_{1}+i{\frac {p_{1}}{m_{1}}}\\\alpha _{2}&=\omega _{2}x_{2}+i{\frac {p_{2}}{m_{1}}}\end{aligned}}

हमें इन्हें प्रथम-क्रम समीकरणों के रूप में लिखने की अनुमति देता है:

\begin{aligned} {\dot{α}}_{1} & = i ω_{1} α_{1} - γ_{1} (α_{1} - α_{1}^{*}) - i g \frac{ω_{1}}{ω_{2}} (α_{2} + α_{2}^{*}) + i F (e^{i ω t} + e^{- i ω} \end{aligned}

[1]

[2]

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-युग्मित दोलक की भौतिकी में '''प्रतिध्वनि''', '''प्रतिध्वनि''' के साथ सादृश्य द्वारा एक विशेष [[आवृत्ति]] पर दोलक के [[आयाम]] में एक स्पष्ट न्यूनतम है। इसके दोलन चरण (तरंगों) में एक बड़े अचानक बदलाव के साथ इस प्रकार की आवृत्तियों को भौतिक प्रणाली की एंटीरेज़ोनेंट आवृत्तियों के रूप में जाना जाता है। इन आवृत्तियों पर दोलन आयाम लगभग शून्य तक गिर सकता है। एंटीरेसोनेंस विनाशकारी हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) के कारण होता है। एक बाहरी प्रेरक बल और दूसरे दोलक के साथ अंतःक्रिया के बीच का उदाहरण है।
+युग्मित दोलक की भौतिकी में '''प्रतिध्वनि''' अनुनाद के साथ सादृश्य द्वारा एक विशेष [[आवृत्ति]] पर दोलक के [[आयाम]] में एक स्पष्ट न्यूनतम है। इसके दोलन चरण (तरंगों) में एक बड़े अचानक बदलाव के साथ इस प्रकार की आवृत्तियों को भौतिक प्रणाली की एंटीरेज़ोनेंट आवृत्तियों के रूप में जाना जाता है। इन आवृत्तियों पर दोलन आयाम लगभग शून्य तक गिर सकता है। एंटीरेसोनेंस विनाशकारी हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) के कारण होता है। एक बाहरी प्रेरक बल और दूसरे दोलक के साथ अंतःक्रिया के बीच का उदाहरण है।
 [[यांत्रिकी]], ध्वनिकी, [[विद्युत चुंबकत्व]] और [[क्वांटम यांत्रिकी]] प्रणालियों सहित सभी प्रकार के युग्मित दोलक प्रणालियों में प्रतिध्वनि उत्पन्न हो सकती है। जटिल युग्मित प्रणालियों के लक्षण वर्णन में उनके महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।
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 == इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में एंटीरेसोनेंस ==
 {{main|आरसी सर्किट|आरएलसी सर्किट}}
-[[विद्युत अभियन्त्रण]] में, प्रतिध्वनि वह स्थिति है जिसके लिए विद्युत प्रतिघात गायब हो जाता है और [[विद्युत प्रतिबाधा]]<!-- disambiguation page deliberate --> एक विद्युत परिपथ का मान बहुत अधिक है, अनंत तक पहुंच रहा है।
+[[विद्युत अभियन्त्रण]] में प्रतिध्वनि वह स्थिति है, जिसके लिए विद्युत प्रतिघात विलुप्त हो जाता है और [[विद्युत प्रतिबाधा]]  विद्युत परिपथ का मान बहुत अधिक है और इसका मान अनंत तक पहुंच रहा है।
-एक [[एलसी सर्किट]] से युक्त एक [[विद्युत सर्किट]] में, एंटीरेसोनेंस तब होता है जब [[प्रत्यावर्ती धारा]] लाइन [[वोल्टेज]] और परिणामी धारा चरण (तरंगों) में होती है।<ref>{{cite book |last1=Kinsler |first1=Lawrence E. |display-authors=etal |title=ध्वनिकी की मूल बातें|url=https://archive.org/details/fundamentalsacou00kins_265 |url-access=limited |publisher=Wiley |edition=4th hardcover |ISBN=0-471-84789-5 |year=1999 |page=[https://archive.org/details/fundamentalsacou00kins_265/page/n61 46]}}</ref> इन स्थितियों के तहत प्रतिध्वनि पर समानांतर सर्किट के उच्च विद्युत प्रतिबाधा के कारण लाइन करंट बहुत छोटा होता है। शाखा धाराएँ परिमाण में लगभग बराबर और चरण में विपरीत होती हैं।<ref>{{cite book |last=Balanis |first=Constantine A. |title=Antenna Theory: Analysis and Design |publisher=Wiley Interscience |edition=3rd hardcover |ISBN=0-471-66782-X |year=2005 |page=195}}</ref>
+[[एलसी सर्किट]] से युक्त एक [[विद्युत सर्किट]] में एंटीरेसोनेंस तब होता है, जब [[प्रत्यावर्ती धारा]] लाइन [[वोल्टेज]] और परिणामी धारा चरण (तरंगों) में होती है।<ref>{{cite book |last1=Kinsler |first1=Lawrence E. |display-authors=etal |title=ध्वनिकी की मूल बातें|url=https://archive.org/details/fundamentalsacou00kins_265 |url-access=limited |publisher=Wiley |edition=4th hardcover |ISBN=0-471-84789-5 |year=1999 |page=[https://archive.org/details/fundamentalsacou00kins_265/page/n61 46]}}</ref> इन स्थितियों के अनुसार प्रतिध्वनि पर समानांतर सर्किट के उच्च विद्युत प्रतिबाधा के कारण लाइन करंट बहुत छोटा होता है। इसकी शाखा धाराएँ परिमाण में लगभग बराबर और चरण में विपरीत होती हैं।<ref>{{cite book |last=Balanis |first=Constantine A. |title=Antenna Theory: Analysis and Design |publisher=Wiley Interscience |edition=3rd hardcover |ISBN=0-471-66782-X |year=2005 |page=195}}</ref>
 == युग्मित ऑसिलेटर्स में एंटीरेसोनेंस ==
-[[File:Antires spectra.svg|thumb|right|250px|आवृत्ति के एक समारोह के रूप में स्थिर-राज्य आयाम और दो युग्मित हार्मोनिक ऑसिलेटर्स का चरण।]]सबसे सरल प्रणाली जिसमें प्रतिध्वनि उत्पन्न होती है, युग्मित [[हार्मोनिक ऑसिलेटर्स]] की एक प्रणाली है, उदाहरण के लिए [[ लंगर ]] या [[आरएलसी सर्किट]]।
+[[File:Antires spectra.svg|thumb|right|250px|आवृत्ति के एक समारोह के रूप में स्थिर-राज्य आयाम और दो युग्मित हार्मोनिक ऑसिलेटर्स का चरण।]]सबसे सरल प्रणाली, जिसमें प्रतिध्वनि उत्पन्न होती है, युग्मित [[हार्मोनिक ऑसिलेटर्स]] की एक प्रणाली है। उदाहरण के लिए [[ लंगर |लंगर]] या [[आरएलसी सर्किट]]।
-ताकत के साथ मिलकर दो हार्मोनिक ऑसीलेटर पर विचार करें {{mvar|g}} और एक थरथरानवाला बाहरी बल द्वारा संचालित एक थरथरानवाला के साथ {{mvar|F}}. स्थिति को युग्मित [[साधारण अंतर समीकरण]]ों द्वारा वर्णित किया गया है
+शक्ति G  के साथ मिलकर दो हार्मोनिक ऑसीलेटर पर विचार करें और एक ऑसीलेटर बाहरी बल F द्वारा संचालित एक ऑसीलेटर के साथ इस स्थिति को युग्मित सामान्य अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है।
 :<math>\begin{align}
 \ddot{x}_1 + 2\gamma_1 \dot{x}_1 - 2g \omega_1 x_2 + \omega_1^2 x_1 &= 2F\cos\omega t \\
 \ddot{x}_2 + 2\gamma_2 \dot{x}_2 - 2g \omega_2 x_1 + \omega_2^2 x_2 &= 0
 \end{align}</math>
-जहां {{mvar|ω<sub>i</sub>}} दो ऑसिलेटर्स की अनुनाद आवृत्तियों का प्रतिनिधित्व करता है और {{mvar|γ<sub>i</sub>}} उनकी भिगोना अनुपात दर। वैरिएबल को [[ जटिल संख्या ]] पैरामीटर में बदलना:
+जहां {{mvar|ω<sub>i</sub>}} दो ऑसिलेटर्स की अनुनाद आवृत्तियों का प्रतिनिधित्व करता है और {{mvar|γ<sub>i</sub>}} उनकी अवमन्‍दक अनुपात दर वैरिएबल को [[ जटिल संख्या |जटिल संख्या]] पैरामीटर में बदलना:
 :<math>\begin{align}
 \alpha_1 &= \omega_1 x_1 + i\frac{p_1}{m_1}\\
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 हम ड्राइविंग आवृत्ति पर घूमते हुए एक फ्रेम में बदल जाते हैं
 :<math>\alpha_i \rightarrow \alpha_i e^{-i\omega t}</math>
-उपज
+और
 :<math>\begin{align}
 \dot{\alpha}_1 &= i\Delta_1 \alpha_1 - \gamma_1(\alpha_1 - \alpha_1^* e^{2i\omega t}) - ig\tfrac{\omega_1}{\omega_2}(\alpha_2 + \alpha_2^* e^{2i\omega t}) + iF(1+e^{2i\omega t}) \\
 \dot{\alpha}_2 &= i\Delta_2 \alpha_2 - \gamma_2(\alpha_2 - \alpha_2^* e^{2i\omega t}) - ig\tfrac{\omega_2}{\omega_1}(\alpha_1 + \alpha_1^* e^{2i\omega t})
 \end{align}</math>
-जहां हमने detunings पेश किया है {{math|''Δ<sub>i</sub>'' {{=}} ''ω'' − ''ω<sub>i</sub>''}} ड्राइव और ऑसिलेटर्स की अनुनाद आवृत्तियों के बीच। अंत में, हम एक [[घूर्णन तरंग सन्निकटन]] बनाते हैं, जिसके अनुपात में तेजी से घूमने वाले शब्दों की उपेक्षा करते हैं {{math|''e''<sup>2''iωt''</sup>}}, जो उस समय के औसत से शून्य है, जिसमें हम रुचि रखते हैं (यह सन्निकटन यह मानता है {{math|''ω'' + ''ω<sub>i</sub>'' ≫ ''ω'' − ''ω<sub>i</sub>''}}, जो अनुनादों के आसपास छोटी आवृत्ति श्रेणियों के लिए उचित है)। इस प्रकार हम प्राप्त करते हैं:
+जहां हमने {{math|''Δ<sub>i</sub>'' {{=}} ''ω'' − ''ω<sub>i</sub>''}} ड्राइव और ऑसिलेटर्स की अनुनाद आवृत्तियों के बीच नष्ट करके प्रस्तुत किया है। अंत में हम एक [[घूर्णन तरंग सन्निकटन]] बनाते हैं। जिसके {{math|''e''<sup>2''iωt''</sup>}} अनुपात में तेजी से घूमने वाले शब्दों की उपेक्षा करते हैं। जो उस समय के औसत से शून्य है। जिसमें हम रुचि रखते हैं (यह सन्निकटन यह मानता है {{math|''ω'' + ''ω<sub>i</sub>'' ≫ ''ω'' − ''ω<sub>i</sub>''}}, जो अनुनादों के आसपास छोटी आवृत्ति श्रेणियों के लिए उचित है)। इस प्रकार हम प्राप्त करते हैं:
 :<math>\begin{align}
 \dot{\alpha}_1 &= i (\Delta_1 + i\gamma_1) \alpha_1 - ig\tfrac{\omega_1}{\omega_2}\alpha_2 + iF \\
 \dot{\alpha}_2 &= i (\Delta_2 + i\gamma_2) \alpha_2 - ig\tfrac{\omega_2}{\omega_1}\alpha_1
 \end{align}</math>
-अवमंदन, चालन या युग्मन के बिना, इन समीकरणों के समाधान हैं:
+अवमंदन, चालन या युग्मन के बिना इन समीकरणों के समाधान हैं:
 :<math>\alpha_i(t) = \alpha_i(0) e^{i\Delta t}</math>
-जो परिसर में एक रोटेशन का प्रतिनिधित्व करते हैं {{mvar|α}} [[कोणीय आवृत्ति]] वाला तल {{mvar|Δ}}.
+जो परिसर में {{mvar|α}} [[कोणीय आवृत्ति]] वाला तल {{mvar|Δ}} एक रोटेशन का प्रतिनिधित्व करते हैं।
-[[स्थिर अवस्था]] समाधान सेटिंग द्वारा पाया जा सकता है {{math|''α&#775;''<sub>1</sub> {{=}} ''α&#775;''<sub>2</sub> {{=}} 0}}, जो देता है:
+[[स्थिर अवस्था]] समाधान सेटिंग {{math|''α&#775;''<sub>1</sub> {{=}} ''α&#775;''<sub>2</sub> {{=}} 0}} द्वारा पाया जा सकता है। जो देता है:
 :<math>\begin{align}
 \alpha_{1,ss} &= \frac{-F(\Delta_2 + i\gamma_2)}{(\Delta_1 + i\gamma_1)(\Delta_2 + i\gamma_2)-g^2} \\

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