चौगुना गुणनफल

See also: Vector algebra relations

गणित में, चौगुनी उत्पाद त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में चार वेक्टर (ज्यामितीय) का उत्पाद है। चौगुनी उत्पाद नाम का उपयोग दो अलग-अलग उत्पादों के लिए किया जाता है, अदिश-मूल्यवान अदिश चतुर्भुज उत्पाद और सदिश-मूल्यवान सदिश चौगुना उत्पाद या चार सदिशों का सदिश उत्पाद।

स्केलर चौगुनी उत्पाद

स्केलर चौगुनी उत्पाद को दो क्रॉस उत्पादों के डॉट उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है:

$(\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\ ,$

जहां ए, बी, सी, डी त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वैक्टर हैं। पहचान का उपयोग करके इसका मूल्यांकन किया जा सकता है::$(\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ .$ या निर्धारक का उपयोग करना:

$(\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )={\begin{vmatrix}\mathbf {a\cdot c} &\mathbf {a\cdot d} \\\mathbf {b\cdot c} &\mathbf {b\cdot d} \end{vmatrix}}\ .$

प्रमाण

हम पहले सिद्ध करते हैं

${\begin{aligned}\mathbf {c} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {d} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ).\end{aligned}}$

यह के तत्वों के बीच पत्राचार का उपयोग करके सीधा मैट्रिक्स बीजगणित द्वारा दिखाया जा सकता है $\mathbb {R} ^{3}$ और ${\mathfrak {so}}(3)$, द्वारा दिए गए $\mathbb {R} ^{3}\ni \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\mapsto \mathbf {\hat {a}} \in {\mathfrak {so}}(3)$, कहाँ

${\begin{aligned}\mathbf {\hat {a}} ={\begin{bmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

इसके बाद यह तिरछा-सममित आव्यूहों के गुणों से अनुसरण करता है

${\begin{aligned}\mathbf {c} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {d} =(\mathbf {\hat {c}} \mathbf {\hat {b}} \mathbf {a} )^{\mathrm {T} }\mathbf {d} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {\hat {b}} \mathbf {\hat {c}} \mathbf {d} =(-\mathbf {\hat {b}} \mathbf {a} )^{\mathrm {T} }\mathbf {\hat {c}} \mathbf {d} =(\mathbf {\hat {a}} \mathbf {b} )^{\mathrm {T} }\mathbf {\hat {c}} \mathbf {d} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ).\end{aligned}}$

हम ट्रिपल उत्पाद#वेक्टर ट्रिपल उत्पाद से भी जानते हैं कि

$\begin{array}{r}\mathbf{c}\times <!--\; \times \; -->(\mathbf{b}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{a})=(\mathbf{c}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{a})\mathbf{b}-<!--\; -\; -->(\mathbf{c}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{b})\mathbf{a}.\end{array}$