एकरूपता: Difference between revisions

Revision as of 10:48, 29 March 2023

गणित में, एकरूपता का अर्थ अद्वितीय विधा (सांख्यिकी) रखना है। सामान्यतः, एकरूपता का तात्पर्य है कि किसी गणितीय वस्तु का केवल उच्चतम मूल्य जो परिभाषित है।^[1]

यूनिमोडल संभाव्यता वितरण

File:Normal distribution pdf.svg

चित्रा 1. सामान्य वितरण की संभावना घनत्व समारोह, एकरूप वितरण का उदाहरण है।

File:Bimodal.png

चित्र 2. साधारण द्विपाद वितरण।

File:Bimodal geological.PNG

चित्रा 3. द्विपक्षीय वितरण। ध्यान दें कि केवल सबसे बड़ी चोटी मोड की परिभाषा के सख्त अर्थों में मोड के अनुरूप होगी

आँकड़ों में, एकरूप संभाव्यता वितरण ऐसा वितरण है जिसमें शिखर होता है। इस संदर्भ में मोड शब्द वितरण के किसी भी शिखर को संदर्भित करता है, न कि केवल मोड (सांख्यिकी) को सख्त परिभाषा के लिए जो आंकड़ों में सामान्य है।

यदि एकल बहुलक है, तो वितरण फलन को एकरूपी कहा जाता है। यदि इसके अधिक मोड हैं तो यह बिमोडल (2), ट्राइमोडल (3) आदि, या सामान्य रूप से मल्टीमॉडल है।^[2] चित्र 1 सामान्य बंटनों को प्रदर्शित करता है, जो एकरूपी हैं। एकरूप वितरण के अन्य उदाहरणों में कॉची वितरण, छात्र का टी-वितरण है | छात्र का टी-वितरण, ची-वर्ग वितरण और घातीय वितरण सम्मिलित हैं। असतत वितरणों के मध्य, द्विपद वितरण और प्वासों वितरण को एकरूपी के रूप में देखा जा सकता है, चूँकि कुछ मापदंडों के लिए उनके समीप समान संभावना वाले दो आसन्न मान होते हैं।

चित्रा 2 और चित्रा 3 बिमॉडल वितरण को प्रदर्शित करता है।

अन्य परिभाषाएं

वितरण कार्यों में एकरूपता की अन्य परिभाषाएँ भी सम्मिलित हैं।

निरंतर वितरण में, एकरूपता को संचयी वितरण समारोह (सीडीएफ) के व्यवहार के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।^[3] यदि सीडीएफ x < m के लिए उत्तल फलन और x > m के लिए अवतल फलन है, तो वितरण असमान है, m मोड है। ध्यान दें कि इस परिभाषा के अंतर्गत समान वितरण (सतत) एकरूप है,^[4]कोई भी अन्य वितरण जिसमें मूल्यों की श्रेणी के लिए अधिकतम वितरण प्राप्त किया जाता है, उदहारण ट्रेपेज़ॉइडल वितरण है। सामान्यतः यह परिभाषा मोड में विच्छिन्नता की अनुमति देती है; सामान्यतः सतत वितरण में किसी मूल्य की संभावना शून्य होती है, परन्तु यह परिभाषा मोड में अन्य-शून्य संभावना, या प्रायिकता के परमाणु की अनुमति देती है।

एकरूपता के मानदंड को वितरण के विशिष्ट कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) के^[3]या इसके लाप्लास-स्टील्टजेस रूपांतरण के माध्यम से भी परिभाषित किया जा सकता है।^[5]असमान असतत वितरण को परिभाषित करने का अन्य उपाय संभावनाओं के अंतर के अनुक्रम में संकेत परिवर्तन की घटना है।^[6] संभाव्यता द्रव्यमान समारोह के साथ असतत वितरण, $\{p_{n}:n=\dots ,-1,0,1,\dots \}$ , को अनिमॉडल कहा जाता है यदि अनुक्रम $\dots ,p_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p_{1}-p_{2},\dots$ ठीक संकेत परिवर्तन होता है (जब शून्य की गिनती नहीं होती है)।

उपयोग और परिणाम

वितरण की एकरूपता के महत्व का कारण यह है कि यह कई महत्वपूर्ण परिणामों की अनुमति देता है। नीचे कई असमानताएं (गणित) दी गई हैं जो केवल एकरूपी वितरण के लिए मान्य हैं। इस प्रकार, यह आकलन करना महत्वपूर्ण है कि दिया गया डेटा सेट एकरूप वितरण से आता है या नहीं। बहुविध वितरण पर लेख में एकरूपता के लिए कई परीक्षण दिए गए हैं।

असमानताएं

गॉस की असमानता

प्रथम महत्वपूर्ण परिणाम गॉस की असमानता है।^[7] गॉस की असमानता इस संभावना पर ऊपरी सीमा प्रदान करती है कि कोई मान अपने मोड से किसी भी दूरी से अधिक है। यह असमानता एकरूपता पर निर्भर करती है।

वायसोचान्स्की-पेटुनिन असमानता

सेकंड वैसोचन्स्की–पेटुनिन असमानता,^[8] चेबिशेव असमानता का शोधन है। चेबीशेव असमानता गारंटी देती है कि किसी भी संभाव्यता वितरण में, लगभग सभी मान माध्य मान के करीब हैं। वायसोचन्स्की-पेटुनिन असमानता इसे और भी निकट मूल्यों तक परिष्कृत करती है, बशर्ते कि वितरण कार्य निरंतर और एकरूप है। आगे के परिणाम सेलके और सेलके द्वारा दिखाए गए।^[9]

बहुलक, माध्यिका और माध्य

गॉस ने 1823 में असमान वितरण के लिए भी दिखाया^[10]

\sigma \leq \omega \leq 2\sigma

और

|\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,

जहां माध्य ν है, माध्य μ है और ω मोड से मूल माध्य वर्ग विचलन है।

यह असमान वितरण के लिए प्रदर्शित किया जाता है कि औसत ν और माध्य μ (3/5) के अंदर स्थित है^1/2 ≈ 0.7746 दूसरे के मानक विचलन।^[11] प्रतीकों में,

{\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {\frac {3}{5}}}

जहाँ | . .

2020 में, बर्नार्ड, काज़ी और वंडफेल ने सममित क्वांटाइल औसत के मध्य अधिकतम दूरी प्राप्त करके पिछली असमानता को सामान्यीकृत किया ${\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}$ और तात्पर्य,^[12]

{\frac {\left|{\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}-\mu \right|}{\sigma }}\leq \left\{{\begin{array}{cl}{\frac {{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9(1-\alpha )}}-1}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left[{\frac {5}{6}},1\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}}\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9\alpha }}-1}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left(0,{\frac {1}{6}}\right]\!.\end{array}}\right.

यह ध्यान देने योग्य है कि अधिकतम दूरी कम से कम है $alpha equals 0.5$

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 {{Short description|Property of having a unique mode or maximum value}}
-{{redirect|Unimodal|the company that promotes personal rapid transit|SkyTran}}
+{{redirect|एकरूप|कंपनी जो व्यक्तिगत त्वरित पारगमन को बढ़ावा देती है|स्काईट्रान}}
-गणित में, एकरूपता का अर्थ है अद्वितीय विधा (सांख्यिकी) रखना है। सामान्यतः, एकरूपता का तात्पर्य है कि किसी [[गणितीय वस्तु]] का केवल उच्चतम मूल्य है, किसी तरह परिभाषित है।<ref>{{MathWorld|urlname=Unimodal|title=Unimodal}}</ref>
+गणित में, एकरूपता का अर्थ अद्वितीय विधा (सांख्यिकी) रखना है। सामान्यतः, एकरूपता का तात्पर्य है कि किसी [[गणितीय वस्तु]] का केवल उच्चतम मूल्य जो परिभाषित है।<ref>{{MathWorld|urlname=Unimodal|title=Unimodal}}</ref>
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 [[File:Normal distribution pdf.svg|thumb|चित्रा 1. सामान्य वितरण की संभावना घनत्व समारोह, एकरूप वितरण का उदाहरण है।]]
 [[File:Bimodal.png|thumb|चित्र 2. साधारण द्विपाद वितरण।]]
-[[File:Bimodal geological.PNG|thumb|चित्रा 3. द्विपक्षीय वितरण। ध्यान दें कि केवल सबसे बड़ी चोटी मोड की परिभाषा के सख्त अर्थों में मोड के अनुरूप होगी]]आँकड़ों में, एकरूप संभाव्यता वितरण या एकरूप वितरण संभाव्यता वितरण है जिसमें शिखर होता है। इस संदर्भ में मोड शब्द वितरण के किसी भी शिखर को संदर्भित करता है, न कि केवल मोड (सांख्यिकी) की सख्त परिभाषा के लिए जो आंकड़ों में सामान्य है।
+[[File:Bimodal geological.PNG|thumb|चित्रा 3. द्विपक्षीय वितरण। ध्यान दें कि केवल सबसे बड़ी चोटी मोड की परिभाषा के सख्त अर्थों में मोड के अनुरूप होगी]]आँकड़ों में, एकरूप संभाव्यता वितरण ऐसा वितरण है जिसमें शिखर होता है। इस संदर्भ में मोड शब्द वितरण के किसी भी शिखर को संदर्भित करता है, न कि केवल मोड (सांख्यिकी) को सख्त परिभाषा के लिए जो आंकड़ों में सामान्य है।
-यदि एकल बहुलक है, तो वितरण फलन को एकरूपी कहा जाता है। यदि इसके अधिक मोड हैं तो यह बिमोडल (2), ट्राइमोडल (3) आदि, या सामान्य रूप से मल्टीमॉडल है।<ref>{{MathWorld|urlname=Mode|title=Mode}}</ref> चित्र 1 सामान्य बंटनों को प्रदर्शित करता है, जो एकरूपी हैं। एकरूप वितरण के अन्य उदाहरणों में [[कॉची वितरण]], छात्र का टी-वितरण | छात्र का टी-वितरण, [[ची-वर्ग वितरण]] और घातीय वितरण सम्मिलित हैं। असतत वितरणों के मध्य, [[द्विपद वितरण]] और प्वासों वितरण को एकरूपी के रूप में देखा जा सकता है, चूँकि कुछ मापदंडों के लिए उनके समीप समान संभावना वाले दो आसन्न मान हो सकते हैं।
+यदि एकल बहुलक है, तो वितरण फलन को एकरूपी कहा जाता है। यदि इसके अधिक मोड हैं तो यह बिमोडल (2), ट्राइमोडल (3) आदि, या सामान्य रूप से मल्टीमॉडल है।<ref>{{MathWorld|urlname=Mode|title=Mode}}</ref> चित्र 1 सामान्य बंटनों को प्रदर्शित करता है, जो एकरूपी हैं। एकरूप वितरण के अन्य उदाहरणों में [[कॉची वितरण]], छात्र का टी-वितरण है | छात्र का टी-वितरण, [[ची-वर्ग वितरण]] और घातीय वितरण सम्मिलित हैं। असतत वितरणों के मध्य, [[द्विपद वितरण]] और प्वासों वितरण को एकरूपी के रूप में देखा जा सकता है, चूँकि कुछ मापदंडों के लिए उनके समीप समान संभावना वाले दो आसन्न मान होते हैं।
 चित्रा 2 और चित्रा 3 बिमॉडल वितरण को प्रदर्शित करता है।

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