संयोजन: Difference between revisions

Revision as of 13:59, 6 April 2023

गणित में संयोजन समूह से वस्तुओं का चयन होता है, जिसमें अलग-अलग सदस्य होते हैं, जैसे कि चयन का क्रम मतलब नहीं रखता क्रम परिवर्तन के विपरीत हैं। उदाहरण के लिए, तीन फल दिए गए हैं, जैसे सेब, संतरा और नाशपाती, दो के तीन संयोजन हैं जिन्हें इस समूह से निकाला जा सकता है। सेब और नाशपाती, सेब और संतरा, नाशपाती और संतरा इत्यादि अधिक औपचारिक रूप से, K- समूह (गणित) S का संयोजन S के K विशिष्ट तत्वों का उपसमूह है। इसलिए, दो संयोजन समान हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक संयोजन में समान सदस्य हैं। प्रत्येक समूह में सदस्यों की व्यवस्था कोई मतलब नहीं रखती है। यदि समूह में 'N' तत्व हैं, तो 'K'-संयोजन की संख्या, द्वारा निरूपित $C(n,k)$ या $C_{k}^{n}$ , द्विपद गुणांक के बराबर है।

{\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dotsb (n-k+1)}{k(k-1)\dotsb 1}},

जिसे भाज्य का उपयोग करके

\textstyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}

लिखा जा सकता है। जब कभी भी

k\leq n

और

k>n

कौन सा कब शून्य है। यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त किया जा सकता है कि n सदस्यों के समुच्चय S के प्रत्येक k-संयोजन में है

k!

क्रमपरिवर्तन तो

P_{k}^{n}=C_{k}^{n}\times k!

या

C_{k}^{n}=P_{k}^{n}/k!

^[1] समुच्चय S के सभी k-संयोजनों के समुच्चय को प्राय:

\textstyle {\binom {S}{k}}

द्वारा निरूपित किया जाता है।

संयोजन n चीजों का संयोजन है जिसे बार में अतिरिक्त दोहराव k लिया जाता है। उन संयोजनों को संदर्भित करने के लिए जिनमें पुनरावृत्ति की अनुमति है, पुनरावृत्ति के साथ k-संयोजन, k-बहु समुच्चय,^[2] K-चयन,^[3] अधिकांशतः उपयोग किए जाते हैं।^[4] यदि, उपरोक्त उदाहरण में किसी प्रकार के दो फलों का होना संभव था, दो सेब, दो संतरे, और दो नाशपाती, तो 3 और 2-चयन होंगे।

यद्यपि संयोजनों की पूरी सूची लिखने के लिए तीन फलों का समूह काफी छोटा था। यह अव्यावहारिक हो जाता है क्योंकि समूह का आकार बढ़ जाता है। उदाहरण के लिए, हाथ (पोकर) को 52 कार्ड डेक (n = 52) से कार्ड के 5-संयोजन (k = 5) के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हाथ के 5 कार्ड अलग-अलग हैं और हाथ में कार्ड का क्रम मतलब नहीं रखता हैं। इस प्रकार के 2,598,960 संयोजन हैं और यादृच्छिक रूप से किसी हाथ को खींचने की संभावना 1 / 2,598,960 है।

K-संयोजनों की संख्या

File:Combinations without repetition; 5 choose 3.svg

5-तत्व समूह के 3-तत्व बहुसमूह

N तत्वों के दिए गए समूह एस से K-संयोजनों की संख्या को अधिकांशतः प्राथमिक संयोजक ग्रंथों में दर्शाया जाता है। $C(n,k)$ , भिन्नरूप द्वारा जैसे $C_{k}^{n}$ , ${}_{n}C_{k}$ , ${}^{n}C_{k}$ , $C_{n,k}$ और भी $C_{n}^{k}$ अंतिम रूप फ्रेंच, रोमानियाई, रूसी, चीनी में मानक है^[5]^[6] और पोलिश ग्रंथ। वही संख्या चूंकि कई अन्य गणितीय संदर्भों में होती है, जहां इसे द्वारा निरूपित किया जाता है ${\tbinom {n}{k}}$ अधिकांशतः n चुनें k के रूप में पढ़ा जाता है। विशेष रूप से यह द्विपद सूत्र में गुणांक के रूप में होता है, इसलिए इसका नाम 'द्विपद गुणांक' है।कलन विधि ${\tbinom {n}{k}}$ सभी प्राकृत संख्याओं k के साथ संबंध द्वारा परिभाषित कर सकता है,

(1+X)^{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {n}{k}}X^{k},

जिससे यह स्पष्ट होता है,

{\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1,

और आगे,

{\binom {n}{k}}=0

K > N के लिए इस प्रकार प्रकट कर सकते हैं।

यह देखने के लिए कि ये गुणांक S से K-संयोजनों की गणना करते हैं, पहले N विशिष्ट चर X_s के संग्रह पर विचार कर सकते हैं S के तत्वों द्वारा लेबल किया गया है और S के सभी तत्वों पर गुणन का विस्तार करें।

\prod _{s\in S}(1+X_{s});

इसमें 2ⁿ है S के सभी उपसमुच्चय के अनुरूप विशिष्ट शब्द, प्रत्येक उपसमुच्चय संगत चर X_s का गुणनफल देता है। अब सभी X_s को समूह कर दिया जाता हैं, इसके अतिरिक्त लेबल वाले चर X के बराबर, जिससे कि उत्पाद बन जाए (1 + X)ⁿ, S से प्रत्येक k-संयोजन के लिए शब्द X^k बन जाता है, जिससे कि परिणाम में उस घात का गुणांक ऐसे k-संयोजनों की संख्या के बराबर रहता हैं।

द्विपद गुणांकों की स्पष्ट रूप से विभिन्न विधियों से गणना की जा सकती है। विस्तार के लिए उन सभी को प्राप्त करने के लिए (1 + X)ⁿ, कोई पहले से दिए गए मूलभूत स्थितियों के अतिरिक्त पुनरावर्तन संबंध का उपयोग कर सकता है।

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Line 34: / Line 34: @@
 \binom {n-1}{k-1} \frac nk &\quad \text{if } n, k > 0
 \end{cases}.
-</math>
+</math>साथ में मूलभूत स्थितियों <math>\tbinom n0=1=\tbinom nn</math>, ये क्रमशः समूह पास्कल के त्रिकोण में पंक्ति से संयोजनों की क्रमिक गणना की अनुमति देते हैं, बढ़ते आकारों के समूहों के k-संयोजनों और निश्चित आकार के पूरक {{nowrap|''n'' − ''k''}} के साथ संयोजनों की जाती हैं।
-साथ में मूलभूत स्थितियों <math>\tbinom n0=1=\tbinom nn</math>, ये क्रमशः समूह पास्कल के त्रिकोण में पंक्ति से संयोजनों की क्रमिक गणना की अनुमति देते हैं, बढ़ते आकारों के समूहों के k-संयोजनों और निश्चित आकार के पूरक {{nowrap|''n'' − ''k''}} के साथ संयोजनों की जाती हैं।
 === गिनती संयोजनों का उदाहरण ===
@@ Line 75: / Line 72: @@
 === बहुउपसमुच्चय की गिनती का उदाहरण ===
 उदाहरण के लिए, यदि आपके पास चुनने के लिए मेनू में चार प्रकार के डोनट्स (n = 4) हैं और आप तीन डोनट्स (k = 3) चाहते हैं, तो पुनरावृत्ति के साथ डोनट्स चुनने के विधियों की संख्या की गणना इस प्रकार की जा सकती है।<math display="block">\left(\!\!\binom{4}{3}\!\!\right) = \binom{4+3-1}3 = \binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20.</math>इस परिणाम को समुच्चय S = {1,2,3,4} के सभी 3-बहुसमुच्चयों को सूचीबद्ध करके सत्यापित किया जा सकता है। इसे निम्न तालिका में प्रदर्शित किया गया है।<ref>{{harvnb|Benjamin|Quinn|2003|loc=p. 71}}</ref> दूसरा स्तंभ आपके द्वारा वास्तव में चुने गए डोनट्स को सूचीबद्ध करता है, तीसरा स्तंभ गैर-नकारात्मक पूर्णांक समाधान दिखाता है <math>[x_1,x_2,x_3,x_4]</math> समीकरण का <math>x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3</math> और अंतिम स्तंभ तारों और पट्टियों को समाधान का प्रतिनिधित्व देता है।<ref>{{harvnb|Mazur|2010|loc=p. 10}} where the stars and bars are written as binary numbers, with stars = 0 and bars = 1.</ref>
 {| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border; none"
 |-
@@ Line 127: / Line 123: @@
 से 3 तक की संख्या वाले 3 कार्ड दिए गए हैं, [[खाली सेट|खाली समूह]] सहित 8 अलग-अलग संयोजन उपसमुच्चय हैं।<math display="block">| \{ \{\}  ;  \{1\}  ;  \{2\}  ;  \{1, 2\} ; \{3\}  ;  \{1, 3\}  ;  \{2, 3\}  ;  \{1, 2, 3\} \}| = 2^3 = 8</math>आधार 2 अंकों के रूप में इन उपसमूह (उसी क्रम में) का प्रतिनिधित्व करना।
 *0 - 000
 *1 - 001
@@ Line 143: / Line 138: @@
 == वस्तुओं को डिब्बे में डालने के विधियों की संख्या ==
 संयोजन को वस्तुओं के दो समूहों के चयन के रूप में भी माना जा सकता है। वे जो चुने हुए कोष्ठ में जाते हैं और वे जो अवांछित कोष्ठ में जाते हैं। इसे किसी भी संख्या में डिब्बे के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें यह बाधा है कि प्रत्येक वस्तु को ठीक कोष्ठ में जाना चाहिए। वस्तुओं को डिब्बे में डालने के विधियों की संख्या बहुराष्ट्रीय प्रमेय द्वारा दी गई है वस्तुओं को डिब्बे में डालने के विधि इस प्रकार हैं।<math display="block"> {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!},</math>जहाँ n वस्तुओं की संख्या है, m डिब्बे की संख्या है, और <math>k_i</math> कोष्ठ i में जाने वाली वस्तुओं की संख्या है।

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