संयोजन: Difference between revisions

Revision as of 06:02, 25 March 2023

गणित में संयोजन समूह से वस्तुओं का चयन होता है। जिसमें अलग-अलग सदस्य होते हैं, जैसे कि चयन का क्रम मतलब नहीं रखता क्रम परिवर्तन के विपरीत हैं। उदाहरण के लिए, तीन फल दिए गए हैं, जैसे सेब, संतरा और नाशपाती, दो के तीन संयोजन हैं जिन्हें इस समूह से निकाला जा सकता है। सेब और नाशपाती, सेब और संतरा, नाशपाती और संतरा। अधिक औपचारिक रूप से, K- समूह (गणित) S का संयोजन S के K विशिष्ट तत्वों का उपसमूह है। इसलिए, दो संयोजन समान हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक संयोजन में समान सदस्य हैं। प्रत्येक समूह में सदस्यों की व्यवस्था कोई मतलब नहीं रखती है। यदि समूह में 'N' तत्व हैं, तो 'K'-संयोजन की संख्या, द्वारा निरूपित $C(n,k)$ या $C_{k}^{n}$ , द्विपद गुणांक के बराबर है।

{\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dotsb (n-k+1)}{k(k-1)\dotsb 1}},

जिसे भाज्य का उपयोग करके

\textstyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}

लिखा जा सकता है। जब कभी भी

k\leq n

और कौन सा कब शून्य है

k>n

. यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त किया जा सकता है कि n सदस्यों के समुच्चय S के प्रत्येक k-संयोजन में है

k!

क्रमपरिवर्तन तो

P_{k}^{n}=C_{k}^{n}\times k!

या

C_{k}^{n}=P_{k}^{n}/k!

.^[1] समुच्चय S के सभी k-संयोजनों के समुच्चय को प्राय: निरूपित किया जाता है

\textstyle {\binom {S}{k}}

.

संयोजन n चीजों का संयोजन है जिसे बार में अतिरिक्त दोहराव k लिया जाता है। उन संयोजनों को संदर्भित करने के लिए जिनमें पुनरावृत्ति की अनुमति है, पुनरावृत्ति के साथ k-संयोजन, k-बहु समुच्चय,^[2] या K-चयन,^[3] अधिकांशतः उपयोग किए जाते हैं।^[4] यदि, उपरोक्त उदाहरण में किसी प्रकार के दो फलों का होना संभव था, दो सेब, दो संतरे, और दो नाशपाती, तो 3 और 2-चयन होंगे।

यद्यपि संयोजनों की पूरी सूची लिखने के लिए तीन फलों का समूह काफी छोटा था, यह अव्यावहारिक हो जाता है क्योंकि समूह का आकार बढ़ जाता है। उदाहरण के लिए, हाथ (पोकर) को 52 कार्ड डेक (n = 52) से कार्ड के 5-संयोजन (k = 5) के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हाथ के 5 कार्ड अलग-अलग हैं और हाथ में कार्ड का क्रम मतलब नहीं रखता। इस प्रकार के 2,598,960 संयोजन हैं और यादृच्छिक रूप से किसी हाथ को खींचने की संभावना 1 / 2,598,960 है।

K-संयोजनों की संख्या

5-तत्व समूह के 3-तत्व सबसमूह

N तत्वों के दिए गए समूह एस से K-संयोजनों की संख्या को अधिकांशतः प्राथमिक संयोजक ग्रंथों में दर्शाया जाता है। $C(n,k)$ , भिन्नरूप द्वारा जैसे $C_{k}^{n}$ , ${}_{n}C_{k}$ , ${}^{n}C_{k}$ , $C_{n,k}$ और भी $C_{n}^{k}$ अंतिम रूप फ्रेंच, रोमानियाई, रूसी, चीनी में मानक है^[5]^[6] और पोलिश ग्रंथ। वही संख्या चूंकि कई अन्य गणितीय संदर्भों में होती है, जहां इसे द्वारा निरूपित किया जाता है ${\tbinom {n}{k}}$ अधिकांशतः n चुनें k के रूप में पढ़ा जाता है। विशेष रूप से यह द्विपद सूत्र में गुणांक के रूप में होता है, इसलिए इसका नाम 'द्विपद गुणांक' है। कोई परिभाषित कर सकता है ${\tbinom {n}{k}}$ सभी प्राकृत संख्याओं k के लिए साथ संबंध द्वारा

{(1 + X)}^{}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Line 26: / Line 26: @@
 इसमें 2<sup>n</sup> है S के सभी उपसमुच्चयों के अनुरूप विशिष्ट शब्द, प्रत्येक उपसमुच्चय संगत चर X<sub>''s''</sub> का गुणनफल देता है। अब सभी X<sub>''s''</sub> को समूह कर रहा हूँ अतिरिक्त लेबल वाले चर X के बराबर, जिससे कि उत्पाद बन जाए {{nowrap|(1 + ''X'')<sup>''n''</sup>}}, S से प्रत्येक k-संयोजन के लिए शब्द X<sup>k</sup> बन जाता है, जिससे कि परिणाम में उस घात का गुणांक ऐसे k-संयोजनों की संख्या के बराबर हो।
-द्विपद गुणांकों की स्पष्ट रूप से विभिन्न विधियों से गणना की जा सकती है। विस्तार के लिए उन सभी को प्राप्त करने के लिए {{nowrap|(1 + ''X'')<sup>''n''</sup>}}, कोई पहले से दिए गए बुनियादी मामलों के अलावा) पुनरावर्तन संबंध का उपयोग कर सकता है
+द्विपद गुणांकों की स्पष्ट रूप से विभिन्न विधियों से गणना की जा सकती है। विस्तार के लिए उन सभी को प्राप्त करने के लिए {{nowrap|(1 + ''X'')<sup>''n''</sup>}}, कोई पहले से दिए गए मूलभूत स्थितियों के अतिरिक्त पुनरावर्तन संबंध का उपयोग कर सकता है।
 <math display="block">\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k - 1} + \binom{n - 1}{k},</math>
-<के <N के लिए, जो इस प्रकार है {{nowrap|(1 + ''X'')<sup>''n''</sup> }}={{nowrap| (1 + ''X'')<sup>''n'' − 1</sup>(1 + ''X'')}}; इससे पास्कल के त्रिभुज का निर्माण होता है।
+<K <N के लिए, जो इस प्रकार है {{nowrap|(1 + ''X'')<sup>''n''</sup> }}={{nowrap| (1 + ''X'')<sup>''n'' − 1</sup>(1 + ''X'')}}; इससे पास्कल के त्रिभुज का निर्माण होता है।
 व्यक्तिगत द्विपद गुणांक निर्धारित करने के लिए, सूत्र का उपयोग करना अधिक व्यावहारिक है
 <math display="block">\binom nk = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}.</math>
-अंश n के n|k-क्रमपरिवर्तनों के क्रमचय#k-क्रमपरिवर्तनों की संख्या देता है, अर्थात, S के k विशिष्ट तत्वों के अनुक्रमों की, जबकि हर ऐसे k-क्रमपरिवर्तनों की संख्या देता है जो समान k-संयोजन देते हैं जब आदेश की अनदेखी की जाती है।
+अंश n के n|k-क्रमपरिवर्तनों के क्रमचय k-क्रम परिवर्तनों की संख्या देता है, अर्थात, S के k विशिष्ट तत्वों के अनुक्रमों की है, जबकि प्रत्येक ऐसे k-क्रम परिवर्तनों की संख्या देता है जो समान k-संयोजन देते हैं जब आदेश की अनदेखी की जाती है।
-जब k n/2 से अधिक हो जाता है, तो उपरोक्त सूत्र में अंश और [[भाजक]] के लिए सामान्य गुणक होते हैं, और उन्हें रद्द करने से संबंध प्राप्त होता है
+जब k n/2 से अधिक हो जाता है, तो उपरोक्त सूत्र में अंश और [[भाजक]] के लिए सामान्य गुणक होते हैं और उन्हें निरसित करने से संबंध प्राप्त होता है
 <math display="block"> \binom nk = \binom n{n-k},</math>
 ≤ k ≤ n के लिए। यह  समरूपता व्यक्त करता है जो द्विपद सूत्र से स्पष्ट है, और इस प्रकार के संयोजन के [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (समूह सिद्धांत)]] को ले कर K-संयोजनों के संदर्भ में भी समझा जा सकता है, जो  {{nowrap|(''n'' − ''k'')}}-संयोजन।
-अंत में  सूत्र है जो इस समरूपता को सीधे प्रदर्शित करता है, और याद रखने में आसान होने का गुण है:
+अंत में  सूत्र है जो इस समरूपता को सीधे प्रदर्शित करता है और याद रखने में आसान होने का गुण है।
 <math display="block"> \binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!},</math>
 जहाँ n<nowiki>!</nowiki> n का क्रमगुणन दर्शाता है। यह पिछले सूत्र से भाजक और अंश को गुणा करके प्राप्त किया जाता है {{nowrap|(''n'' − ''k'')}} !, तो यह निश्चित रूप से उस सूत्र से कम्प्यूटेशनल रूप से कम कुशल है।
-अंतिम सूत्र को S के सभी तत्वों के n<nowiki>!</nowiki> क्रमचय पर विचार करके सीधे समझा जा सकता है। ऐसा प्रत्येक क्रमचय अपने पहले k तत्वों का चयन करके  k-संयोजन देता है। कई डुप्लिकेट चयन हैं:  दूसरे के बीच पहले k तत्वों का कोई भी संयुक्त क्रमपरिवर्तन, और  दूसरे के बीच अंतिम (n− k) तत्वों का  ही संयोजन उत्पन्न करता है; यह सूत्र में विभाजन की व्याख्या करता है।
+अंतिम सूत्र को S के सभी तत्वों के n<nowiki>!</nowiki> क्रमचय पर विचार करके सीधे समझा जा सकता है। ऐसा प्रत्येक क्रमचय अपने पहले k तत्वों का चयन करके  k-संयोजन देता है। कई डुप्लिकेट चयन हैं, जो दूसरे के बीच पहले k तत्वों का कोई भी संयुक्त क्रम परिवर्तन और  दूसरे के बीच अंतिम (n− k) तत्वों का  ही संयोजन उत्पन्न करता है। यह सूत्र में विभाजन की व्याख्या करता है।
-उपरोक्त सूत्रों से तीनों दिशाओं में पास्कल के त्रिभुज में सन्निकट संख्याओं के बीच संबंधों का अनुसरण करें:
+उपरोक्त सूत्रों से तीनों दिशाओं में पास्कल के त्रिभुज में सन्निकट संख्याओं के बीच संबंधों का अनुसरण करें।
 <math display="block">
@@ Line 58: / Line 58: @@
 \end{cases}.
 </math>
-साथ में बुनियादी मामले <math>\tbinom n0=1=\tbinom nn</math>, ये क्रमशः  ही समूह (पास्कल के त्रिकोण में  पंक्ति) से संयोजनों की क्रमिक गणना की अनुमति देते हैं, बढ़ते आकारों के समूहों के k-संयोजनों की, और निश्चित आकार के पूरक के साथ संयोजनों की {{nowrap|''n'' − ''k''}}.
+साथ में मूलभूत मामले <math>\tbinom n0=1=\tbinom nn</math>, ये क्रमशः  ही समूह (पास्कल के त्रिकोण में  पंक्ति) से संयोजनों की क्रमिक गणना की अनुमति देते हैं, बढ़ते आकारों के समूहों के k-संयोजनों की, और निश्चित आकार के पूरक के साथ संयोजनों की {{nowrap|''n'' − ''k''}}.
 === गिनती संयोजनों का उदाहरण ===
@@ Line 65: / Line 65: @@
 <math display="block"> {52 \choose 5} = \frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1} = \frac{311{,}875{,}200}{120} =
 {,}598{,}960.</math>
-वैकल्पिक रूप से कोई फैक्टोरियल के संदर्भ में सूत्र का उपयोग कर सकता है और हर में कारकों के हिस्सों के विरुद्ध अंश में कारकों को रद्द कर सकता है, जिसके बाद केवल शेष कारकों का गुणन आवश्यक है:
+वैकल्पिक रूप से कोई फैक्टोरियल के संदर्भ में सूत्र का उपयोग कर सकता है और प्रत्येक में कारकों के हिस्सों के विरुद्ध अंश में कारकों को निरसित कर सकता है, जिसके बाद केवल शेष कारकों का गुणन आवश्यक है:
 <math display="block">\begin{alignat}{2}
    {52 \choose 5}
@@ Line 95: / Line 95: @@
 === K-संयोजनों की [[गणना]] ===
-कोई निश्चित क्रम में n तत्वों के दिए गए समूह S के सभी k-संयोजनों की गणना कर सकता है, जो  अंतराल से  आक्षेप स्थापित करता है <math>\tbinom nk</math> उन K-संयोजनों के समूह के साथ पूर्णांक। यह मानते हुए कि S को स्वयं ऑर्डर किया गया है, उदाहरण के लिए S = { 1, 2, ..., n }, इसके k-संयोजनों को ऑर्डर करने की दो स्वाभाविक संभावनाएँ हैं: पहले उनके सबसे छोटे तत्वों की तुलना करके (जैसा कि ऊपर दिए गए चित्र में है) या तुलना करके उनके सबसे बड़े तत्व पहले। बाद वाले विकल्प का लाभ यह है कि एस में  नया सबसे बड़ा तत्व जोड़ने से गणना के शुरुआती हिस्से में बदलाव नहीं आएगा, लेकिन पिछले वाले के बाद बड़े समूह के नए K-संयोजन जोड़ें। इस प्रक्रिया को दोहराते हुए, कभी भी बड़े समूहों के k-संयोजनों के साथ गणना को अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है। यदि इसके अलावा पूर्णांकों के अंतराल को 0 से शुरू करने के लिए लिया जाता है, तो गणना में किसी दिए गए स्थान i पर k-संयोजन की गणना i से आसानी से की जा सकती है, और इस प्रकार प्राप्त होने वाली आपत्ति [[संयोजन संख्या प्रणाली]] के रूप में जानी जाती है। इसे कम्प्यूटेशनल गणित में रैंक/रैंकिंग और अनरैंकिंग के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{cite web|url=http://www.site.uottawa.ca/~lucia/courses/5165-09/GenCombObj.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www.site.uottawa.ca/~lucia/courses/5165-09/GenCombObj.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live |title=प्राथमिक मिश्रित वस्तुओं का निर्माण|author=Lucia Moura |website=Site.uottawa.ca |access-date=2017-04-10}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.sagemath.org/doc/reference/sage/combinat/subset.html |format=PDF |title=SAGE : Subsets |website=Sagemath.org |access-date=2017-04-10}}</ref>
+कोई निश्चित क्रम में n तत्वों के दिए गए समूह S के सभी k-संयोजनों की गणना कर सकता है, जो  अंतराल से  आक्षेप स्थापित करता है <math>\tbinom nk</math> उन K-संयोजनों के समूह के साथ पूर्णांक। यह मानते हुए कि S को स्वयं ऑर्डर किया गया है, उदाहरण के लिए S = { 1, 2, ..., n }, इसके k-संयोजनों को ऑर्डर करने की दो स्वाभाविक संभावनाएँ हैं: पहले उनके सबसे छोटे तत्वों की तुलना करके (जैसा कि ऊपर दिए गए चित्र में है) या तुलना करके उनके सबसे बड़े तत्व पहले। बाद वाले विकल्प का लाभ यह है कि एस में  नया सबसे बड़ा तत्व जोड़ने से गणना के शुरुआती हिस्से में बदलाव नहीं आएगा, लेकिन पिछले वाले के बाद बड़े समूह के नए K-संयोजन जोड़ें। इस प्रक्रिया को दोहराते हुए, कभी भी बड़े समूहों के k-संयोजनों के साथ गणना को अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है। यदि इसके अतिरिक्त पूर्णांकों के अंतराल को 0 से शुरू करने के लिए लिया जाता है, तो गणना में किसी दिए गए स्थान i पर k-संयोजन की गणना i से आसानी से की जा सकती है, और इस प्रकार प्राप्त होने वाली आपत्ति [[संयोजन संख्या प्रणाली]] के रूप में जानी जाती है। इसे कम्प्यूटेशनल गणित में रैंक/रैंकिंग और अनरैंकिंग के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{cite web|url=http://www.site.uottawa.ca/~lucia/courses/5165-09/GenCombObj.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www.site.uottawa.ca/~lucia/courses/5165-09/GenCombObj.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live |title=प्राथमिक मिश्रित वस्तुओं का निर्माण|author=Lucia Moura |website=Site.uottawa.ca |access-date=2017-04-10}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.sagemath.org/doc/reference/sage/combinat/subset.html |format=PDF |title=SAGE : Subsets |website=Sagemath.org |access-date=2017-04-10}}</ref>
 K संयोजनों की गणना करने के कई तरीके हैं।  तरीका है 2 से कम सभी बाइनरी नंबरों पर जाना<sup>N</sup>. उन संख्याओं को चुनें जिनमें k नॉनज़रो बिट्स हों, हालाँकि यह छोटे n के लिए भी बहुत अक्षम है (उदाहरण के लिए n = 20 को लगभग  मिलियन नंबरों पर जाने की आवश्यकता होगी जबकि k = 10 के लिए अनुमत k संयोजनों की अधिकतम संख्या लगभग 186 हजार है)। ऐसी संख्या में इन 1 बिट्स की स्थिति समूह {1, ..., n} का  विशिष्ट k-संयोजन है।<ref>{{cite web|url=http://rosettacode.org/wiki/Combinations|title=संयोजन - रोसेटा कोड|date=23 October 2022 }}{{ugc|date=April 2017}}</ref>  और सरल, तेज़ तरीका चयनित तत्वों के k इंडेक्स नंबरों को ट्रैक करना है, {0 .. k−1} (शून्य-आधारित) या {1 .. k} (एक-आधारित) से शुरू होकर पहले अनुमत k-संयोजन के रूप में और फिर बार-बार अंतिम अनुक्रमणिका संख्या में वृद्धि करके अगले अनुमत k-संयोजन पर जाना यदि यह n-1 (शून्य-आधारित) या n (एक-आधारित) या अंतिम अनुक्रमणिका संख्या x से कम है जो अनुक्रमणिका संख्या से कम है यदि ऐसा कोई इंडेक्स मौजूद है तो इसके बाद माइनस  और इंडेक्स नंबर को x के बाद {x+1, x+2, ...} पर रीसमूह करना।

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