संयोजन: Difference between revisions

Revision as of 05:36, 25 March 2023

गणित में संयोजन समूह से वस्तुओं का चयन होता है। जिसमें अलग-अलग सदस्य होते हैं, जैसे कि चयन का क्रम मतलब नहीं रखता क्रम परिवर्तन के विपरीत हैं। उदाहरण के लिए, तीन फल दिए गए हैं, जैसे सेब, संतरा और नाशपाती, दो के तीन संयोजन हैं जिन्हें इस समूह से निकाला जा सकता है। सेब और नाशपाती, सेब और संतरा, नाशपाती और संतरा। अधिक औपचारिक रूप से, K- समूह (गणित) S का संयोजन S के K विशिष्ट तत्वों का उपसमूह है। इसलिए, दो संयोजन समान हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक संयोजन में समान सदस्य हैं। प्रत्येक समूह में सदस्यों की व्यवस्था कोई मतलब नहीं रखती है। यदि समूह में 'एन' तत्व हैं, तो 'के'-संयोजन की संख्या, द्वारा निरूपित $C(n,k)$ या $C_{k}^{n}$ , द्विपद गुणांक के बराबर है।

{\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dotsb (n-k+1)}{k(k-1)\dotsb 1}},

जिसे कारख़ाने का का उपयोग करके लिखा जा सकता है

\textstyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}

जब कभी भी

k\leq n

, और कौन सा कब शून्य है

k>n

. यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त किया जा सकता है कि n सदस्यों के समुच्चय S के प्रत्येक k-संयोजन में है

k!

क्रमपरिवर्तन तो

P_{k}^{n}=C_{k}^{n}\times k!

या

C_{k}^{n}=P_{k}^{n}/k!

.^[1] समुच्चय S के सभी k-संयोजनों के समुच्चय को प्राय: निरूपित किया जाता है

\textstyle {\binom {S}{k}}

.

संयोजन n चीजों का संयोजन है जिसे बार में बिना दोहराव के k लिया जाता है। उन संयोजनों को संदर्भित करने के लिए जिनमें पुनरावृत्ति की अनुमति है, पुनरावृत्ति के साथ k-संयोजन, k-multiset,^[2] या के-चयन,^[3] अक्सर उपयोग किए जाते हैं।^[4] यदि, उपरोक्त उदाहरण में, किसी प्रकार के दो फलों का होना संभव था, तो 3 और 2-चयन होंगे: में दो सेब, में दो संतरे, और में दो नाशपाती।

यद्यपि संयोजनों की पूरी सूची लिखने के लिए तीन फलों का समूह काफी छोटा था, यह अव्यावहारिक हो जाता है क्योंकि समूह का आकार बढ़ जाता है। उदाहरण के लिए, हाथ (पोकर) को 52 कार्ड डेक (n = 52) से कार्ड के 5-संयोजन (k = 5) के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हाथ के 5 कार्ड अलग-अलग हैं, और हाथ में कार्ड का क्रम मतलब नहीं रखता। इस तरह के 2,598,960 संयोजन हैं, और यादृच्छिक रूप से किसी हाथ को खींचने की संभावना 1 / 2,598,960 है।

के-संयोजनों की संख्या

5-तत्व समूह के 3-तत्व सबसमूह

एन तत्वों के दिए गए समूह एस से के-संयोजनों की संख्या को अक्सर प्राथमिक संयोजक ग्रंथों में दर्शाया जाता है $C(n,k)$ , या भिन्नरूप द्वारा जैसे $C_{k}^{n}$ , ${}_{n}C_{k}$ , ${}^{n}C_{k}$ , $C_{n,k}$ या और भी $C_{n}^{k}$ (अंतिम रूप फ्रेंच, रोमानियाई, रूसी, चीनी में मानक है^[5]^[6] और पोलिश ग्रंथ^{[citation needed]}). वही संख्या हालांकि कई अन्य गणितीय संदर्भों में होती है, जहां इसे द्वारा निरूपित किया जाता है ${\tbinom {n}{k}}$ (अक्सर n चुनें k के रूप में पढ़ा जाता है); विशेष रूप से यह द्विपद सूत्र में गुणांक के रूप में होता है, इसलिए इसका नाम 'द्विपद गुणांक' है। कोई परिभाषित कर सकता है ${\tbinom {n}{k}}$ सभी प्राकृत संख्याओं k के लिए साथ संबंध द्वारा

(1+X)^{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {n}{k}}X^{k},

जिससे यह स्पष्ट होता है

{\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1,

और आगे,

{\binom {n}{k}}=0

क > एन के लिए।

यह देखने के लिए कि ये गुणांक एस से के-संयोजनों की गणना करते हैं, पहले एन विशिष्ट चर एक्स के संग्रह पर विचार कर सकते हैं_s S के तत्वों द्वारा लेबल किया गया है, और S के सभी तत्वों पर गुणन का विस्तार करें:

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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-गणित में  संयोजन  समूह से वस्तुओं का चयन होता है जिसमें अलग-अलग सदस्य होते हैं, जैसे कि चयन का क्रम मायने नहीं रखता क्रम[[परिवर्तन]] के विपरीत। उदाहरण के लिए, तीन फल दिए गए हैं, जैसे  सेब,  संतरा और  नाशपाती, दो के तीन संयोजन हैं जिन्हें इस समूह से निकाला जा सकता है:  सेब और  नाशपाती;  सेब और  संतरा; या  नाशपाती और  संतरा। अधिक औपचारिक रूप से,  ''के''- [[सेट (गणित)|समूह (गणित)]] ''एस'' का संयोजन ''एस'' के ''के'' विशिष्ट तत्वों का  सबसमूह है। इसलिए, दो संयोजन समान हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक संयोजन में समान सदस्य हैं। (प्रत्येक समूह में सदस्यों की व्यवस्था कोई मायने नहीं रखती है।) यदि समूह में 'एन' तत्व हैं, तो 'के'-संयोजन की संख्या, द्वारा निरूपित <math>C(n,k)</math> या <math>C^n_k</math>, [[द्विपद गुणांक]] के बराबर है
+गणित में  '''संयोजन'''  समूह से वस्तुओं का चयन होता है। जिसमें अलग-अलग सदस्य होते हैं, जैसे कि चयन का क्रम मतलब नहीं रखता क्रम [[परिवर्तन]] के विपरीत हैं। उदाहरण के लिए, तीन फल दिए गए हैं, जैसे  सेब,  संतरा और  नाशपाती, दो के तीन संयोजन हैं जिन्हें इस समूह से निकाला जा सकता है। सेब और  नाशपाती,  सेब और  संतरा,  नाशपाती और  संतरा। अधिक औपचारिक रूप से,  ''K''- [[सेट (गणित)|समूह (गणित)]] ''S'' का संयोजन ''S'' के ''K'' विशिष्ट तत्वों का  उपसमूह है। इसलिए, दो संयोजन समान हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक संयोजन में समान सदस्य हैं। प्रत्येक समूह में सदस्यों की व्यवस्था कोई मतलब नहीं रखती है। यदि समूह में 'एन' तत्व हैं, तो 'के'-संयोजन की संख्या, द्वारा निरूपित <math>C(n,k)</math> या <math>C^n_k</math>, [[द्विपद गुणांक]] के बराबर है।
 <math display="block"> \binom nk = \frac{n(n-1)\dotsb(n-k+1)}{k(k-1)\dotsb1},</math>
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 संयोजन n चीजों का  संयोजन है जिसे  बार में बिना दोहराव के k लिया जाता है। उन संयोजनों को संदर्भित करने के लिए जिनमें पुनरावृत्ति की अनुमति है, पुनरावृत्ति के साथ k-संयोजन, k-[[multiset]],<ref>{{harvnb|Mazur|2010|loc=p. 10}}</ref> या के-चयन,<ref>{{harvnb|Ryser|1963|loc=p. 7}} also referred to as an ''unordered selection''.</ref> अक्सर उपयोग किए जाते हैं।<ref>When the term ''combination'' is used to refer to either situation (as in {{harv|Brualdi|2010}}) care must be taken to clarify whether sets or multisets are being discussed.</ref> यदि, उपरोक्त उदाहरण में, किसी  प्रकार के दो फलों का होना संभव था, तो 3 और 2-चयन होंगे:  में दो सेब,  में दो संतरे, और  में दो नाशपाती।
-यद्यपि संयोजनों की पूरी सूची लिखने के लिए तीन फलों का समूह काफी छोटा था, यह अव्यावहारिक हो जाता है क्योंकि समूह का आकार बढ़ जाता है। उदाहरण के लिए,  [[हाथ (पोकर)]] को 52 कार्ड डेक (n = 52) से कार्ड के 5-संयोजन (k = 5) के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हाथ के 5 कार्ड अलग-अलग हैं, और हाथ में कार्ड का क्रम मायने नहीं रखता। इस तरह के 2,598,960 संयोजन हैं, और यादृच्छिक रूप से किसी  हाथ को खींचने की संभावना 1 / 2,598,960 है।
+यद्यपि संयोजनों की पूरी सूची लिखने के लिए तीन फलों का समूह काफी छोटा था, यह अव्यावहारिक हो जाता है क्योंकि समूह का आकार बढ़ जाता है। उदाहरण के लिए,  [[हाथ (पोकर)]] को 52 कार्ड डेक (n = 52) से कार्ड के 5-संयोजन (k = 5) के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हाथ के 5 कार्ड अलग-अलग हैं, और हाथ में कार्ड का क्रम मतलब नहीं रखता। इस तरह के 2,598,960 संयोजन हैं, और यादृच्छिक रूप से किसी  हाथ को खींचने की संभावना 1 / 2,598,960 है।
 == के-संयोजनों की संख्या ==
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 {{See also|Binomial coefficient#Sum of coefficients row}}
-सभी k के लिए k-संयोजनों की संख्या n तत्वों के  समूह के सबसमूह की संख्या है। यह देखने के कई तरीके हैं कि यह संख्या 2 है<sup>एन</sup>. संयोजनों के संदर्भ में, <math display="inline">\sum_{0\leq{k}\leq{n}}\binom n k = 2^n</math>, जो द्विपद गुणांक की nवीं पंक्ति (0 से गिनती) का योग है # पास्कल के त्रिकोण में गुणांक पंक्ति का योग। इन संयोजनों (उपसमुच्चयों) को 0 से 2 तक गिने जाने वाले [[आधार 2]] संख्याओं के समूह के 1 अंकों द्वारा गिना जाता है<sup>n</sup> − 1, जहां प्रत्येक अंक स्थिति n के समूह से  आइटम है।
+सभी k के लिए k-संयोजनों की संख्या n तत्वों के  समूह के उपसमूह की संख्या है। यह देखने के कई तरीके हैं कि यह संख्या 2 है<sup>एन</sup>. संयोजनों के संदर्भ में, <math display="inline">\sum_{0\leq{k}\leq{n}}\binom n k = 2^n</math>, जो द्विपद गुणांक की nवीं पंक्ति (0 से गिनती) का योग है # पास्कल के त्रिकोण में गुणांक पंक्ति का योग। इन संयोजनों (उपसमुच्चयों) को 0 से 2 तक गिने जाने वाले [[आधार 2]] संख्याओं के समूह के 1 अंकों द्वारा गिना जाता है<sup>n</sup> − 1, जहां प्रत्येक अंक स्थिति n के समूह से  आइटम है।
 से 3 तक की संख्या वाले 3 कार्ड दिए गए हैं, [[खाली सेट|खाली समूह]] सहित 8 अलग-अलग संयोजन (उपसमुच्चय) हैं:
 <math display="block">| \{ \{\}  ;  \{1\}  ;  \{2\}  ;  \{1, 2\} ; \{3\}  ;  \{1, 3\}  ;  \{2, 3\}  ;  \{1, 2, 3\} \}| = 2^3 = 8</math>
-आधार 2 अंकों के रूप में इन सबसमूह (उसी क्रम में) का प्रतिनिधित्व करना:
+आधार 2 अंकों के रूप में इन उपसमूह (उसी क्रम में) का प्रतिनिधित्व करना:
 *0 - 000
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 जहाँ n वस्तुओं की संख्या है, m डिब्बे की संख्या है, और <math>k_i</math> बिन i में जाने वाली वस्तुओं की संख्या है।
-यह देखने का  तरीका है कि यह समीकरण क्यों धारण करता है, पहले वस्तुओं को मनमाने ढंग से 1 से n तक नंबर देना है और वस्तुओं को संख्याओं के साथ रखना है <math>1, 2, \ldots, k_1</math> क्रम में पहले बिन में, वस्तुओं के साथ संख्याएँ <math>k_1+1, k_1+2, \ldots, k_2</math> क्रम में दूसरे बिन में, और इसी तरह। वहाँ हैं <math>n!</math> अलग-अलग नंबरिंग, लेकिन उनमें से कई समतुल्य हैं, क्योंकि बिन में केवल वस्तुओं का समूह मायने रखता है, इसमें उनका क्रम नहीं। प्रत्येक डिब्बे की सामग्री का प्रत्येक संयुक्त क्रमचय वस्तुओं को डिब्बे में डालने का  समान तरीका उत्पन्न करता है। नतीजतन, प्रत्येक समकक्ष वर्ग में शामिल हैं <math>k_1!\, k_2! \cdots k_m!</math> विशिष्ट संख्याएँ, और तुल्यता वर्गों की संख्या है <math>\textstyle\frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}</math>.
+यह देखने का  तरीका है कि यह समीकरण क्यों धारण करता है, पहले वस्तुओं को मनमाने ढंग से 1 से n तक नंबर देना है और वस्तुओं को संख्याओं के साथ रखना है <math>1, 2, \ldots, k_1</math> क्रम में पहले बिन में, वस्तुओं के साथ संख्याएँ <math>k_1+1, k_1+2, \ldots, k_2</math> क्रम में दूसरे बिन में, और इसी तरह। वहाँ हैं <math>n!</math> अलग-अलग नंबरिंग, लेकिन उनमें से कई समतुल्य हैं, क्योंकि बिन में केवल वस्तुओं का समूह मतलब रखता है, इसमें उनका क्रम नहीं। प्रत्येक डिब्बे की सामग्री का प्रत्येक संयुक्त क्रमचय वस्तुओं को डिब्बे में डालने का  समान तरीका उत्पन्न करता है। नतीजतन, प्रत्येक समकक्ष वर्ग में शामिल हैं <math>k_1!\, k_2! \cdots k_m!</math> विशिष्ट संख्याएँ, और तुल्यता वर्गों की संख्या है <math>\textstyle\frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}</math>.
 द्विपद गुणांक वह विशेष मामला है जहां k आइटम चुने गए बिन में जाते हैं और शेष <math>n-k</math> आइटम अनचाहे बिन में जाते हैं:

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