यूलर ईंट

गणित में, एक यूलर ईंट, जिसका नाम लियोनहार्ड यूलर के नाम पर रखा गया है, एक आयताकार घनाभ है जिसके किनारों और फलक विकर्णों की लंबाई पूर्णांक होती है। एक अभाज्य यूलर ईंट एक यूलर ईंट होती है जिसके किनारों की लंबाई सापेक्षतः अभाज्य होती है। एक पूर्ण यूलर ईंट वह है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी एक पूर्णांक हो, लेकिन ऐसी ईंट अभी तक नहीं मिली है।

परिभाषा

ज्यामितीय पदों में यूलर ईंट की परिभाषा डायोफैंटिन समीकरणों की निम्नलिखित पद्धति के समाधान के बराबर है:

${\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}$

जहाँ a, b, c किनारे हैं और d, e, f विकर्ण हैं।

गुण

• यदि (a, b, c) एक समाधान है, तो (ka, kb, kc) भी किसी भी (k)का एक समाधान है। अतः,परिमेय संख्याओं में समाधान पूर्णांक समाधानों के सभी पुनर्विक्रय हैं। किनारे-लंबाई (a, b, c)के साथ एक यूलर ईंट को देखते हुए, त्रिक (bc, ac, ab) भी एक यूलर ईंट बनाता है।

• अभाज्य यूलर ईंट का ठीक एक किनारा और दो फलक विकर्ण विषम होते हैं।

• यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 3 से विभाज्य होते हैं।

• यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 4 से विभाज्य होते हैं।

• यूलर ईंट का कम से कम एक किनारा 11 से विभाज्य है।

उदाहरण

1719 में पॉल हाल्के द्वारा खोजी गई सबसे छोटी यूलर ईंट के किनारे (a, b, c) = (44, 117, 240) और फलक विकर्ण (d, e, f ) = (125, 244, 267) हैं। किनारे (a, b, c) - फलक विकर्ण (d, e, f) के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे प्राथमिक समाधान नीचे हैं:

1000 से कम आयामों वाली सभी पांच अभाज्य यूलर ईंटें

:

(	85,	132,	720	) — (	157,	725,	732	)
(	140,	480,	693	) — (	500,	707,	843	)
(	160,	231,	792	) — (	281,	808,	825	)
(	187,	1020,	1584	) — (	1037,	1595,	1884	)
(	195,	748,	6336	) — (	773,	6339,	6380	)
(	240,	252,	275	) — (	348,	365,	373	)
(	429,	880,	2340	) — (	979,	2379,	2500	)
(	495,	4888,	8160	) — (	4913,	8175,	9512	)
(	528,	5796,	6325	) — (	5820,	6347,	8579	)

सूत्र बनाना

यूलर ने समस्या के कम से कम दो प्राचलिक समाधान खोजे, लेकिन दोनों में से कोई भी सभी समाधान नहीं देता।

सौंडरसन के प्राचलिक सूत्र से यूलर ईंटों की अनंतता उत्पन्न की जा सकती है। मान लीजिए (u, v, w) एक पायथागॉरियन त्रिक है (यानी, u² + v² = w²) तो किनारे

$a=u|4v^{2}-w^{2}|,\quad b=v|4u^{2}-w^{2}|,\quad c=4uvw$

दिया गया फलक विकर्ण

$d=w^{3},\quad e=u(4v^{2}+w^{2}),\quad f=v(4u^{2}+w^{2}).$

कई यूलर ईंटें हैं जो ऊपर की तरह प्राचलीकरण नहीं हैं, उदाहरण के लिए किनारों (a, b, c) = (240, 252, 275) और फलक विकर्ण (d, e, f ) = (348, 365, 373) के साथ यूलर ईंटें।

परिपूर्ण घनाभ

Unsolved problem in mathematics:

Does a perfect cuboid exist?

(more unsolved problems in mathematics)

एक परिपूर्ण घनाभ (जिसे एक पूर्ण यूलर ईंट या परिपूर्ण वर्ग भी कहा जाता है) एक यूलर ईंट है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी पूर्णांक लंबाई का होता है। दूसरे शब्दों में, यूलर ईंट को परिभाषित करने वाले डायोफैंटाइन समीकरणों की पद्धति में निम्नलिखित समीकरण जोड़ा गया है:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2},$

जहाँ g अंतरिक्ष विकर्ण है। As of September 2020, एक परिपूर्ण घनाभ का कोई उदाहरण नहीं मिला था और किसी ने यह सिद्ध नहीं किया है कि कोई अस्तित्व में नहीं है।

किनारों a, b, c और फलक विकर्ण d, e, f के साथ यूलर ईंट

संपूर्ण कंप्यूटर खोजों से पता चलता है कि, यदि एक परिपूर्ण घनाभ मौजूद है,

• विषम किनारा 2.5 × 10¹³ से अधिक होना चाहिए¹³,
• सबसे छोटा किनारा 5×10¹¹ से बड़ा होना चाहिए। *अंतरिक्ष विकर्ण 9 × 10¹⁵ से अधिक होना चाहिए¹⁵.

मापांक अंकगणित के आधार पर, गुणों के बारे में कुछ तथ्यों को जाना जाता है, जो एक अभाज्य पूर्ण घनाभ द्वारा संतुष्ट होना चाहिए, यदि कुछ मौजूद है:

• एक किनारा, दो फलक विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण विषम होना चाहिए, एक किनारा और शेष फलक विकर्ण 4 से विभाज्य होना चाहिए, और शेष किनारा 16 से विभाज्य होना चाहिए।
• दो किनारों की लंबाई 3 से विभाज्य होनी चाहिए और उनमें से कम से कम एक किनारे की लंबाई 9 से विभाज्य होनी चाहिए।
• एक किनारे की लंबाई 5 से विभाज्य होनी चाहिए।
• एक किनारे की लंबाई 7 से विभाज्य होनी चाहिए।
• एक किनारे की लंबाई 11 से विभाज्य होनी चाहिए।
• एक किनारे की लंबाई 19 से विभाज्य होनी चाहिए।
• एक किनारा या अंतरिक्ष विकर्ण 13 से विभाज्य होना चाहिए।
• एक किनारा, फलक विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 17 से विभाज्य होना चाहिए।
• एक किनारा, फलक विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 29 से विभाज्य होना चाहिए।
• एक किनारा, फलक विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 37 से विभाज्य होना चाहिए।

इसके साथ ही:

• अंतरिक्ष विकर्ण न तो एक अभाज्य अगणित संख्या है और न ही दो अभाज्य संख्याओं का गुणन है।
• अंतरिक्ष विकर्ण में केवल अभाज्य विभाजक ≡ 1(mod 4) हो सकते हैं।

यदि एक परिपूर्ण घनाभ मौजूद है और $a,b,c$ उसके किनारे हैं, $d,e,f$ - संगत फलक विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण $g$, फिर

• भुजाओं की लंबाई वाला त्रिभुज $(d^{2},e^{2},f^{2})$ एक हेरोनियन त्रिभुज एक क्षेत्र है, $abcg$ तर्कसंगत कोण द्विभाजक के साथ।
• भुजाओं की लंबाई के साथ न्यूनकोण त्रिभुज $(af,be,cd)$, भुजाओं की लंबाई के साथ अधिककोण त्रिभुज $(bf,ae,gd),(ad,cf,ge),(ce,bd,gf)$ हेरोनियन त्रिभुज हैं, जिनका क्षेत्रफल $\frac{}{}$