सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत: Difference between revisions

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गणित में, सममित समूह का निरूपण सिद्धांत परिमित समूहों के निरूपण सिद्धांत का एक विशेष स्थिति है, जिसके लिए प्रत्यक्ष और विस्तृत सिद्धांत प्राप्त किया जा सकता है। इसमें सममित फलन सिद्धांत से परमाणुओं, अणुओं और ठोस पदार्थों के क्वांटम रसायन अध्ययन तक संभावित अनुप्रयोगों का एक बड़ा क्षेत्र है।^[1]^[2]

सममित समूह S_n का क्रम n! है। इसके संयुग्मन वर्गों को n के विभाजन द्वारा लेबल किया जाता है। इसलिए एक परिमित समूह के निरूपण सिद्धांत के अनुसार, सम्मिश्र संख्याओं के ऊपर असमान अखंडनीय निरूपण की संख्या n के विभाजन की संख्या के समतुल्य है। परिमित समूहों के लिए सामान्य स्थिति के विपरीत, वास्तव में समान समुच्चय द्वारा असमान अखंडनीय निरूपण को पैरामीट्रिज करने का एक प्राकृतिक तरीका है, अर्थात् n के विभाजन या आकार n के समकक्ष यंग आरेखों द्वारा जो संयुग्मन वर्गों को पैरामीट्रिज करता है

इस तरह के प्रत्येक अखंडनीय निरूपण को वास्तव में पूर्णांकों पर सिद्ध किया जा सकता है (प्रत्येक क्रमपरिवर्तन पूर्णांक गुणांक वाले आव्यूह द्वारा कार्य करता है); यंग आरेख द्वारा दिए गए आकार के यंग सारणी द्वारा उत्पन्न समष्टि पर कार्य करने वाले यंग समरूपताओं की गणना करके इसे स्पष्ट रूप से निर्मित किया जा सकता है। आयाम $d_{\lambda }$ जो यंग आरेख $\lambda$ से संबंधित हुक लंबाई सूत्र द्वारा दिया जाता है।

प्रत्येक अखंडनीय निरूपण के लिए ρ हम एक अलघुकरणीय वर्ण, χ^ρ को जोड़ सकते हैं। अतः χ^ρ(π) की गणना करने के लिए जहां π एक क्रमचय है, कोई संयोजी मुर्नाघन-नाकायामा नियम का उपयोग कर सकता है।^{^[3] ध्यान दें कि χρ संयुग्मन वर्गों पर स्थिर है जो सभी क्रमपरिवर्तन σ के लिए χ^ρ(π) = χ^ρ(σ⁻¹πσ) है।}

अन्य क्षेत्रों (गणित) की तुलना में स्थिति और अधिक जटिल हो सकती है। यदि क्षेत्र K के पूर्णाश (बीजगणित) शून्य के समतुल्य या n से अधिक है तो मस्के के प्रमेय द्वारा समूह वलय KS_n अर्धसरल है। इन स्थिति में पूर्णांकों पर परिभाषित (यदि आवश्यक हो तो विशेषताओं को कम करने के बाद) अलघुकरणीय निरूपणों का पूर्ण समुच्चय देते हैं ।

हालाँकि, सममित समूह के अलघुकरणीय निरूपण यादृच्छिक विशेषता में ज्ञात नहीं हैं। इस संदर्भ में निरूपण के अतिरिक्त प्रतिरूपक (गणित) की भाषा का उपयोग करना अधिक सामान्य है। मापांक को कम करके पूर्णांकों पर परिभाषित एक अलघुकरणीय निरूपण से प्राप्त निरूपण सामान्य रूप से अप्रासंगिक नहीं होगा। इस तरह से बनाए गए प्रतिरूपक को स्पेक्ट मॉड्यूल कहा जाता है, और ऐसे प्रतिरूपक के अंदर हर अलघुकरणीय उत्पन्न होता है। अब बहुत कम अलघुकरणीय हैं, और हालांकि उन्हें वर्गीकृत किया जा सकता है लेकिन उन्हें बहुत कम समझा जाता है। उदाहरण के लिए, यहां तक कि उनके आयाम (वेक्टर समष्टि) भी सामान्य रूप से ज्ञात नहीं हैं।

यादृच्छिक क्षेत्र पर सममित समूह के लिए अलघुकरणीय प्रतिरूपक का निर्धारण व्यापक रूप से निरूपण सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण खुली समस्याओं में से एक माना जाता है।

निम्न-आयामी निरूपण

सममित समूह

सममित समूहों के निम्नतम-आयामी निरूपण को स्पष्ट रूप से और यादृच्छिक क्षेत्रों पर वर्णित किया जा सकता है,^[4]^[5]^[6]^{[page needed]} विशेषता शून्य में सबसे छोटी दो प्रकार यहाँ वर्णित हैं:

प्रत्येक सममित समूह का एक आयामी निरूपण होता है जिसे सामान्य निरूपण कहा जाता है, जहां प्रत्येक तत्व एक-एक सर्वसम आव्यूह के रूप में कार्य करता है। n ≥ 2 के लिए, क्रम 1 का एक और अलघुकरणीय निरूपण है, जिसे संकेत निरूपण या प्रत्यावर्ती अंक कहा जाता है, जो क्रमपरिवर्तन के संकेत के आधार पर प्रविष्टि ±1 के साथ एक आव्यूह द्वारा क्रमपरिवर्तन लेता है। ये सममित समूहों के केवल एक आयामी निरूपण हैं, क्योंकि एक आयामी निरूपण एबेलियन हैं, और सममित समूह का एबेलियनकरण C₂ क्रम 2 का चक्रीय समूह है।

सभी n के लिए, क्रम n! के सममित समूह का एक n-आयामी निरूपण है, जिसे 'प्राकृतिक क्रमचय निरूपण' कहा जाता है, जिसमें n निर्देशांकों की स्वीकृति सम्मिलित है। इसमें सामान्य उपनिरूपण है जिसमें वैक्टर सम्मिलित हैं जिनके निर्देशांक सभी समान हैं। लंबकोणीय पूरक में वे वैक्टर होते हैं जिनके निर्देशांक शून्य और जब n ≥ 2 होते हैं, इस उप-समष्टि पर निरूपण (n − 1)-आयामी अलघुकरणीय निरूपण, मानक निरूपण कहा जाता है। एक अन्य (n − 1)-आयामी अलघुकरणीय निरूपण चिह्न निरूपण के साथ प्रदिश द्वारा पाया जाता है। मानक निरूपण $\Lambda ^{k}V$ की एक बाहरी घात $V$ अलघुकरणीय है, यदि $0\leq k\leq n-1$ हो। (फुल्टन एंड हैरिस 2004)

n ≥ 7 के लिए, ये S_n के निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय निरूपण हैं - अन्य सभी अलघुकरणीय निरूपणों का कम से कम n आयाम है। हालांकि n = 4, S₄ से S₃ तक प्रक्षेपण S₄ द्वि-आयामी अलघुकरणीय निरूपण प्राप्त करने के लिए की स्वीकृति देता है। n = 6 के लिए, S₅ का असाधारण संक्रमणीय अंत:स्थापन S₆ में पांच आयामी अलघुकरणीय निरूपण की एक अन्य युग्म का उत्पादन करता है।

$S_{n}$ का अलघुकरणीय निरूपण	आयाम	$n$ आकार का यंग आरेख
सामान्य निरूपण	$1$	$(n)$
संकेत निरूपण	$1$	$(1^{n})=(1,1,\dots ,1)$
मानक निरूपण $V$	$n-1$	$(n-1,1)$
बाहरी घात $\Lambda ^{k}V$	${\binom {n-1}{k}}$	$(n-k,1^{k})$

प्रत्यावर्ती समूह

पाँच चतुष्फलक का मेल, जिस पर A₅ कार्य करता है, एक 3-आयामी प्रतिनिधित्व दे रहा है।

प्रत्यावर्ती समूह का निरूपण सिद्धांत समान है, हालांकि संकेत निरूपण समाप्त हो जाता है। n ≥ 7 के लिए, निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय निरूपण आयाम एक में सामान्य निरूपण हैं, और (n − 1) क्रमचय निरूपण के अन्य योग से आयामी निरूपण, उच्च आयाम वाले अन्य सभी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्वों के साथ, लेकिन छोटे n के लिए असामान्य हैं।

n ≥ 5 के लिए प्रत्यावर्ती समूह में केवल एक आयामी अलघुकरणीय निरूपण है, n = 3, 4 के लिए दो अतिरिक्त एक-आयामी अलघुकरणीय निरूपण हैं, जो 3 क्रम A₃ ≅ C₃ और A₄ → A₄/V ≅ C₃ के चक्रीय समूह के मानचित्रों के अनुरूप हैं।

n ≥ 7 के लिए, पद n − 1 का सिर्फ एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है, और यह गैर-सामान्य अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की सबसे छोटी घात है।
n = 3 के लिए (n - 1)-आयामी प्रतिनिधित्व का स्पष्ट एनालॉग कम हो जाता है क्रमचय प्रतिनिधित्व नियमित प्रतिनिधित्व के साथ समतुल्य होती है, और इस प्रकार तीन एक-आयामी प्रतिनिधित्व में विभाजन हो जाता है, क्योंकि A3 ≅ C3 एबेलियन है; चक्रीय समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए असतत फूरियर रूपांतरण देखें।
n = 4 के लिए, केवल एक n − 1 अलघुकरणीय निरूपण, लेकिन आयाम 1 के असाधारण अलघुकरणीय निरूपण हैं।
N = 5 के लिए, आयाम 3 के दो दोहरे अलघुकरणीय निरूपण हैं, जो कि विंशफलकीय समरूपता के रूप में इसकी क्रिया के अनुरूप है।
N = 6 के लिए, A₅ में A₆ के असाधारण सकर्मक एम्बेडिंग के अनुरूप आयाम 5 का एक अतिरिक्त अखंडनीय निरूपण है।

निरूपण के प्रदिश गुणनफल

क्रोनकर गुणांक

यंग आरेख $S_{n}$ के अनुरूप $\lambda ,\mu$ के दो निरूपणों का टेन्सर गुणनफल $S_{n}$ के अखंडनीय निरूपण का संयोजन है।

V_{\lambda }\otimes V_{\mu }\cong \sum _{\nu }C_{\lambda ,\mu ,\nu }V_{\nu }

गुणांक $C_{\lambda \mu \nu }\in \mathbb {N}$ को सममित समूह के क्रोनेकर गुणांक कहा जाता है। उनकी गणना निरूपण के अंको से की जा सकती है (फुल्टन और हैरिस 2004):

C_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\rho }{\frac {1}{z_{\rho }}}\chi _{\lambda }(C_{\rho })\chi _{\mu }(C_{\rho })\chi _{\nu }(C_{\rho })

योग $n$ के विभाजन $\rho$ से अधिक है, जिसमें $C_{\rho }$ संबंधित संयुग्मन वर्ग है। अंकों के मान $\chi _{\lambda }(C_{\rho })$ की गणना फ्रोबेनियस सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। गुणांक $z_{\rho }$ हैं

z_{\rho }=\prod _{j=0}^{n}j^{i_{j}}i_{j}!={\frac {n!}{|C_{\rho }|}}

जहाँ $i_{j}$ मे $j$ के प्रकट होने की संख्या $\rho$ है, जिससे कि $\sum i_{j}j=n$ .

कुछ उदाहरण, यंग आरेखों के संदर्भ में लिखे गए हैं (हमर्मेश 1989):

(n-1,1)\otimes (n-1,1)\cong (n)+(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)

(n-1,1)\otimes (n-2,2){\underset {n>4}{\cong }}(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)+(n-3,2,1)

(n-1,1)\otimes (n-2,1,1)\cong (n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)

{\begin{aligned}(n-2,2)\otimes (n-2,2)\cong &(n)+(n-1,1)+2(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)\\&+2(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)+(n-4,4)+(n-4,3,1)+(n-4,2,2)\end{aligned}}

किसी भी यंग आरेख के लिए $\lambda$ (हमर्मेश 1989) $(n-1,1)\otimes \lambda$ की गणना करने का एक सरल नियम है : परिणाम उन सभी यंग आरेखों का योग है जो $\lambda$ से प्राप्त किए गए हैं एक बॉक्स को हटाकर और फिर एक बॉक्स को जोड़कर, जहां गुणांक $\lambda$ को छोड़कर एक हैं, जिसका गुणांक $\#\{\lambda _{i}\}-1$ है, अर्थात, विभिन्न पदो की लंबाई की संख्या -1 है।

$V_{\lambda }\otimes V_{\mu }$ के अलघुकरणीय घटकों पर परिवद्ध है (जेम्स और कर्बर 1981)।

C_{\lambda ,\mu ,\nu }>0\implies |d_{\lambda }-d_{\mu }|\leq d_{\nu }\leq d_{\lambda }+d_{\mu }

जहां मध्य $d_{\lambda }=n-\lambda _{1}$ यंग आरेख की संख्या उन बक्सों की संख्या है जो पहले पदों से संबंधित नहीं हैं।

लघुकृत क्रोनकर गुणांक

$\lambda$ के लिए यंग आरेख और $n\geq \lambda _{1}$ , $\lambda [n]=(n-|\lambda |,\lambda )$ आकार $n$ का एक यंग आरेख है, तब $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$ $n$ पर परिबद्ध है, गैर-ह्रासमान फलन है, और

{\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\lim _{n\to \infty }C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}

लघुकृत क्रोनकर गुणांक ^[7] या स्थिर क्रोनकर गुणांक कहा जाता है।^[8] $n$ के मान पर ज्ञात सीमाएँ हैं जहाँ $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$ अपनी सीमा तक पहुँचता है।^[7] लघुकृत क्रोनकर गुणांकों $S_{n}$ के साथ $n\in \mathbb {C} -\mathbb {N}$ के निरूपण की डेलिग्ने श्रेणियों के संरचना स्थिरांक हैं।^[9]

क्रोनकर गुणांकों के विपरीत, लघुकृत क्रोनकर गुणांकों को यंग आरेखों के किसी भी त्रिक के लिए परिभाषित किया गया है, यह आवश्यक नहीं कि समान आकार का हो। यदि $|\nu |=|\lambda |+|\mu |$ , तब ${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }$ लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक के साथ $c_{\lambda ,\mu }^{\nu }$ समतुल्य है। ^[10] लघुकृत क्रोनकर गुणांकों को सममित फलनों के समष्टि में आधारों के परिवर्तन के माध्यम से लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जा सकता है, हालांकि ऐसे पदों को उत्पन्न करता है, जो स्पष्ट रूप से धनात्मक नहीं होते हुए भी प्रत्यक्ष रूप से अभिन्न हैं।^[8] लघुकृत क्रोनकर गुणांक को क्रोनकर और लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक $c_{\alpha \beta \gamma }^{\lambda }$ के संदर्भ में लिटिलवुड के सूत्र के माध्यम से भी लिखा जा सकता है।^[11]^[12]

${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\lambda ',\mu ',\nu ',\alpha ,\beta ,\gamma }C_{\lambda ',\mu ',\nu '}c_{\lambda '\beta \gamma }^{\lambda }c_{\mu '\alpha \gamma }^{\mu }c_{\nu '\alpha \beta }^{\nu }$

इसके विपरीत, लघुकृत क्रोनकर गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में क्रोनकर गुणांकों को पुनर्प्राप्त करना संभव है।^[7]

कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली सेजमैथ में लघुकृत क्रोनकर गुणांक प्रयुक्त किए गए हैं।^[13]^[14]

जटिल निरूपण के आइगेनमान

चक्र-प्ररूप $w\in S_{n}$ का एक तत्व $\mu =(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{k})$ दिया गया है और क्रम $m={\text{lcm}}(\mu _{i})$ , के जटिल निरूपण में $w$ के आइगेनमान $S_{n}$ के साथ $\omega ^{e_{j}}$ प्ररूप के होते हैं जहां $\omega =e^{\frac {2\pi i}{m}}$ पूर्णांक $e_{j}\in {\frac {\mathbb {Z} }{m\mathbb {Z} }}$ निरूपण के संबंध में $w$ के चक्रीय घातांक कहलाते हैं।^[15]

सममित समूह (और आच्छादित उसके गुणनफल) के चक्रीय घातांकों का एक संयोजन विवरण है।

परिभाषित $\left(b_{\mu }(1),\dots ,b_{\mu }(n)\right)=\left({\frac {m}{\mu _{1}}},2{\frac {m}{\mu _{1}}},\dots ,m,{\frac {m}{\mu _{2}}},2{\frac {m}{\mu _{2}}},\dots ,m,\dots \right)$ , मान लीजिए $\mu$ -सूचकांक के मानक यंग सारणी $b_{\mu }$ के सारणी की उत्पत्ति पर ${\text{ind}}_{\mu }(T)=\sum _{k\in \{{\text{descents}}(T)\}}b_{\mu }(k){\bmod {m}}$ मानों का योग है। तब यंग आरेख $S_{n}$ द्वारा वर्णित $\lambda$ के निरूपण के चक्रीय घातांक संगत यंग सारणी के $\mu$ सूचकांक है।^[15]

विशेष रूप से, यदि $w$ क्रम $n$ का है, तब $b_{\mu }(k)=k$ , और ${\text{ind}}_{\mu }(T)$ के प्रमुख सूचकांक $T$ (अवरोही का योग) के साथ समतुल्य होती है। अलघुकरणीय निरूपण $S_{n}$ के चक्रीय घातांक फिर वर्णन करते हैं कि कैसे यह चक्रीय समूह ${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$ के निरूपण में विघटित होता है, और $\omega ^{e_{j}}$ को $e_{j}$ द्वारा चित्रित (एक-आयामी) प्रतिनिधित्व में $w$ की छवि के रूप में व्याख्या किया जा रहा है।

यह भी देखें

प्रत्यावर्ती बहुपद
सममित बहुपद
शूर फलननिर्धारक
रॉबिन्सन-शेंस्टेड संगतता
शूर-वेइल द्वैत
जूसी-मर्फी तत्व
गरनिर संबंध

संदर्भ

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उद्धृत प्रकाशन

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श्रेणी:परिमित समूहों का निरूपण सिद्धांत श्रेणी:क्रमपरिवर्तन श्रेणी:पूर्णांक विभाजन

[1] Philip R. Bunker and Per Jensen (1998) Molecular Symmetry and Spectroscopy, 2nd ed. NRC Research Press,Ottawa [1] pp.198-202.ISBN 9780660196282

[2] R.Pauncz (1995) The Symmetric Group in Quantum Chemistry, CRC Press, Boca Raton, Florida

[3] Richard Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol. 2

[4] Burnside, William (1955), Theory of groups of finite order, New York: Dover Publications, MR 0069818

[5] Rasala, Richard (1977), "On the minimal degrees of characters of Sn", Journal of Algebra, 45 (1): 132–181, doi:10.1016/0021-8693(77)90366-0, ISSN 0021-8693, MR 0427445

[FOOTNOTEJamesKerber1981-6] James & Kerber 1981.

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-गणित में, सममित समूह का निरूपण सिद्धांत परिमित समूहों के निरूपण सिद्धांत का एक विशेष स्थिति है, जिसके लिए एक ठोस और विस्तृत सिद्धांत प्राप्त किया जा सकता है। इसमें सममित कार्य सिद्धांत से परमाणुओं, अणुओं और ठोस पदार्थों के क्वांटम रसायन अध्ययन तक संभावित अनुप्रयोगों का एक बड़ा क्षेत्र है।<ref>Philip R. Bunker and Per Jensen (1998)
+गणित में, '''सममित समूह का निरूपण सिद्धांत''' परिमित समूहों के निरूपण सिद्धांत का एक विशेष स्थिति है, जिसके लिए प्रत्यक्ष और विस्तृत सिद्धांत प्राप्त किया जा सकता है। इसमें सममित फलन सिद्धांत से परमाणुओं, अणुओं और ठोस पदार्थों के क्वांटम रसायन अध्ययन तक संभावित अनुप्रयोगों का एक बड़ा क्षेत्र है।<ref>Philip R. Bunker and Per Jensen (1998)
 ''Molecular Symmetry and Spectroscopy'', 2nd ed.  NRC Research Press,Ottawa
 [https://volumesdirect.com/products/molecular-symmetry-and-spectroscopy?_pos=1&_sid=ed0cc0319&_ss=r]
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 CRC Press, Boca Raton, Florida </ref>
-सममित समूह S<sub>''n''</sub>  का क्रम n! है। इसके संयुग्मन वर्गों को n के विभाजन द्वारा लेबल किया जाता है। इसलिए एक परिमित समूह के निरूपण सिद्धांत के अनुसार, सम्मिश्र संख्याओं के ऊपर असमान अखंडनीय निरूपण की संख्या n के विभाजन की संख्या के समतुल्य है। परिमित समूहों के लिए सामान्य स्थिति के विपरीत, वास्तव में समान समुच्चय द्वारा असमान अखंडनीय निरूपण को पैरामीट्रिज करने का एक प्राकृतिक तरीका है , अर्थात् n के विभाजन या आकार n के समकक्ष यंग आरेखों द्वारा जो संयुग्मन वर्गों को पैरामीट्रिज करता है
+सममित समूह S<sub>''n''</sub> का क्रम n! है। इसके संयुग्मन वर्गों को n के विभाजन द्वारा लेबल किया जाता है। इसलिए एक परिमित समूह के निरूपण सिद्धांत के अनुसार, सम्मिश्र संख्याओं के ऊपर असमान अखंडनीय निरूपण की संख्या n के विभाजन की संख्या के समतुल्य है। परिमित समूहों के लिए सामान्य स्थिति के विपरीत, वास्तव में समान समुच्चय द्वारा असमान अखंडनीय निरूपण को पैरामीट्रिज करने का एक प्राकृतिक तरीका है, अर्थात् n के विभाजन या आकार n के समकक्ष यंग आरेखों द्वारा जो संयुग्मन वर्गों को पैरामीट्रिज करता है
-इस तरह के प्रत्येक अखंडनीय निरूपण को वास्तव में पूर्णांकों पर सिद्ध किया जा सकता है (प्रत्येक क्रमपरिवर्तन पूर्णांक गुणांक वाले आव्यूह द्वारा कार्य करता है); यंग आरेख द्वारा दिए गए आकार के यंग सारणी द्वारा उत्पन्न समष्टि पर कार्य करने वाले [[युवा समरूपता|यंग समरूपता]]ओं की गणना करके इसे स्पष्ट रूप से निर्मित किया जा सकता है। आयाम <math>d_\lambda</math> जो यंग आरेख  <math>\lambda</math> से संबंधित  [[हुक लंबाई सूत्र]] द्वारा दिया जाता है।
+इस तरह के प्रत्येक अखंडनीय निरूपण को वास्तव में पूर्णांकों पर सिद्ध किया जा सकता है (प्रत्येक क्रमपरिवर्तन पूर्णांक गुणांक वाले आव्यूह द्वारा कार्य करता है); यंग आरेख द्वारा दिए गए आकार के यंग सारणी द्वारा उत्पन्न समष्टि पर कार्य करने वाले [[युवा समरूपता|यंग समरूपता]]ओं की गणना करके इसे स्पष्ट रूप से निर्मित किया जा सकता है। आयाम <math>d_\lambda</math> जो यंग आरेख <math>\lambda</math> से संबंधित [[हुक लंबाई सूत्र]] द्वारा दिया जाता है।
 प्रत्येक अखंडनीय निरूपण के लिए ρ हम एक अलघुकरणीय वर्ण, χ<sup>ρ</sup> को जोड़ सकते हैं। अतः χ<sup>ρ</sup>(π) की गणना करने के लिए जहां π एक क्रमचय है, कोई संयोजी मुर्नाघन-नाकायामा नियम का उपयोग कर सकता है।<sup><ref>Richard Stanley, ''Enumerative Combinatorics, Vol. 2''</ref> ध्यान दें कि χρ संयुग्मन वर्गों पर स्थिर है जो सभी क्रमपरिवर्तन σ के लिए χ<sup>ρ</sup>(π) = χ<sup>ρ</sup>(σ<sup>−1</sup>πσ) है।
-अन्य क्षेत्रों (गणित) की तुलना में स्थिति और अधिक सम्मिश्र हो सकती है। यदि क्षेत्र K की [[विशेषता (बीजगणित)]] शून्य के समतुल्य या n से अधिक है तो मस्के के प्रमेय द्वारा समूह वलय KS<sub>''n''</sub> अर्धसरल है। इन स्थिति में पूर्णांकों पर परिभाषित  (यदि आवश्यक हो तो विशेषताओं को कम करने के बाद) अलघुकरणीय निरूपणों का पूर्ण समुच्चय देते हैं ।
+अन्य क्षेत्रों (गणित) की तुलना में स्थिति और अधिक जटिल हो सकती है। यदि क्षेत्र K के [[विशेषता (बीजगणित)|पूर्णाश (बीजगणित)]] शून्य के समतुल्य या n से अधिक है तो मस्के के प्रमेय द्वारा समूह वलय KS<sub>''n''</sub> अर्धसरल है। इन स्थिति में पूर्णांकों पर परिभाषित (यदि आवश्यक हो तो विशेषताओं को कम करने के बाद) अलघुकरणीय निरूपणों का पूर्ण समुच्चय देते हैं ।
 हालाँकि, सममित समूह के अलघुकरणीय निरूपण यादृच्छिक विशेषता में ज्ञात नहीं हैं। इस संदर्भ में निरूपण के अतिरिक्त [[मॉड्यूल (गणित)|प्रतिरूपक (गणित)]] की भाषा का उपयोग करना अधिक सामान्य है। मापांक को कम करके पूर्णांकों पर परिभाषित एक अलघुकरणीय निरूपण से प्राप्त निरूपण सामान्य रूप से अप्रासंगिक नहीं होगा। इस तरह से बनाए गए प्रतिरूपक को स्पेक्ट मॉड्यूल कहा जाता है, और ऐसे प्रतिरूपक के अंदर हर अलघुकरणीय उत्पन्न होता है। अब बहुत कम अलघुकरणीय हैं, और हालांकि उन्हें वर्गीकृत किया जा सकता है लेकिन उन्हें बहुत कम समझा जाता है। उदाहरण के लिए, यहां तक कि उनके आयाम (वेक्टर समष्टि) भी सामान्य रूप से ज्ञात नहीं हैं।
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 प्रत्येक सममित समूह का एक आयामी निरूपण होता है जिसे सामान्य निरूपण कहा जाता है, जहां प्रत्येक तत्व एक-एक सर्वसम आव्यूह के रूप में कार्य करता है। n ≥ 2 के लिए, क्रम 1 का एक और अलघुकरणीय निरूपण है, जिसे संकेत निरूपण या प्रत्यावर्ती अंक कहा जाता है, जो क्रमपरिवर्तन के संकेत के आधार पर प्रविष्टि ±1 के साथ एक आव्यूह द्वारा क्रमपरिवर्तन लेता है। ये सममित समूहों के केवल एक आयामी निरूपण हैं, क्योंकि एक आयामी निरूपण एबेलियन हैं, और सममित समूह का एबेलियनकरण C<sub>2</sub> क्रम 2 का चक्रीय समूह है।
-सभी n के लिए, क्रम n! के सममित समूह का एक n-आयामी निरूपण है, जिसे 'प्राकृतिक क्रमचय निरूपण' कहा जाता है, जिसमें ''n'' निर्देशांकों की स्वीकृति सम्मिलित है। इसमें सामान्य उपनिरूपण है जिसमें वैक्टर सम्मिलित हैं जिनके निर्देशांक सभी समान हैं। लंबकोणीय पूरक में वे वैक्टर होते हैं जिनके निर्देशांक शून्य और जब  {{nowrap|''n'' ≥ 2}} होते हैं, इस उप-समष्टि पर निरूपण  {{nowrap|(''n'' − 1)}}-आयामी अलघुकरणीय निरूपण, मानक निरूपण कहा जाता है। एक अन्य {{nowrap|(''n'' − 1)}}-आयामी अलघुकरणीय निरूपण चिह्न निरूपण के साथ प्रदिश द्वारा पाया जाता है। मानक निरूपण  <math>\Lambda^k V</math> की एक बाहरी घात <math>V</math> अलघुकरणीय है, यदि  <math>0\leq k\leq n-1</math> हो। {{harv|फुल्टन एंड हैरिस 2004}}
+सभी n के लिए, क्रम n! के सममित समूह का एक n-आयामी निरूपण है, जिसे 'प्राकृतिक क्रमचय निरूपण' कहा जाता है, जिसमें ''n'' निर्देशांकों की स्वीकृति सम्मिलित है। इसमें सामान्य उपनिरूपण है जिसमें वैक्टर सम्मिलित हैं जिनके निर्देशांक सभी समान हैं। लंबकोणीय पूरक में वे वैक्टर होते हैं जिनके निर्देशांक शून्य और जब {{nowrap|''n'' ≥ 2}} होते हैं, इस उप-समष्टि पर निरूपण {{nowrap|(''n'' − 1)}}-आयामी अलघुकरणीय निरूपण, मानक निरूपण कहा जाता है। एक अन्य {{nowrap|(''n'' − 1)}}-आयामी अलघुकरणीय निरूपण चिह्न निरूपण के साथ प्रदिश द्वारा पाया जाता है। मानक निरूपण <math>\Lambda^k V</math> की एक बाहरी घात <math>V</math> अलघुकरणीय है, यदि <math>0\leq k\leq n-1</math> हो। {{harv|फुल्टन एंड हैरिस 2004}}
-{{nowrap|''n'' ≥ 7}} के लिए, ये S<sub>''n''</sub> के निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय निरूपण हैं - अन्य सभी अलघुकरणीय निरूपणों का कम से कम n आयाम है। हालांकि  {{nowrap|1=''n'' = 4}} , S<sub>4</sub> से  S<sub>3</sub>  तक प्रक्षेपण S<sub>4</sub>  द्वि-आयामी अलघुकरणीय निरूपण प्राप्त करने के लिए की स्वीकृति देता है।  {{nowrap|1=''n'' = 6}} के लिए, S<sub>5</sub> का असाधारण संक्रमणीय  अंत:स्थापन S<sub>6</sub> में पांच आयामी अलघुकरणीय निरूपण की एक अन्य  युग्म का उत्पादन करता है।
+{{nowrap|''n'' ≥ 7}} के लिए, ये S<sub>''n''</sub> के निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय निरूपण हैं - अन्य सभी अलघुकरणीय निरूपणों का कम से कम n आयाम है। हालांकि {{nowrap|1=''n'' = 4}}, S<sub>4</sub> से S<sub>3</sub> तक प्रक्षेपण S<sub>4</sub> द्वि-आयामी अलघुकरणीय निरूपण प्राप्त करने के लिए की स्वीकृति देता है। {{nowrap|1=''n'' = 6}} के लिए, S<sub>5</sub> का असाधारण संक्रमणीय अंत:स्थापन S<sub>6</sub> में पांच आयामी अलघुकरणीय निरूपण की एक अन्य युग्म का उत्पादन करता है।
 {| class="wikitable" style="font-size:small; text-align:center;"
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 | <math>(n-1, 1)</math>
 |-
-| बाहरी घात  <math>\Lambda^k V</math>
+| बाहरी घात <math>\Lambda^k V</math>
 | <math>\binom{n-1}{k}</math>
 | <math>(n-k, 1^k)</math>
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 === प्रत्यावर्ती समूह ===
-[[File:Compound of five tetrahedra.png|thumb|[[पाँच टेट्राहेड्रा का यौगिक|पाँच चतुष्फलक का मेल]], जिस पर A<sub>5</sub> कार्य करता है, एक 3-आयामी प्रतिनिधित्व दे रहा है।]][[वैकल्पिक समूह|प्रत्यावर्ती समूह]] का निरूपण सिद्धांत समान है, हालांकि संकेत निरूपण समाप्त हो जाता है।  {{nowrap|''n'' ≥ 7}} के लिए, निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय निरूपण आयाम एक में सामान्य निरूपण हैं, और (''n'' − 1) क्रमचय निरूपण के अन्य योग से आयामी निरूपण, उच्च आयाम वाले अन्य सभी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्वों के साथ, लेकिन छोटे n के लिए असामान्य हैं।
+[[File:Compound of five tetrahedra.png|thumb|[[पाँच टेट्राहेड्रा का यौगिक|पाँच चतुष्फलक का मेल]], जिस पर A<sub>5</sub> कार्य करता है, एक 3-आयामी प्रतिनिधित्व दे रहा है।]][[वैकल्पिक समूह|प्रत्यावर्ती समूह]] का निरूपण सिद्धांत समान है, हालांकि संकेत निरूपण समाप्त हो जाता है। {{nowrap|''n'' ≥ 7}} के लिए, निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय निरूपण आयाम एक में सामान्य निरूपण हैं, और (''n'' − 1) क्रमचय निरूपण के अन्य योग से आयामी निरूपण, उच्च आयाम वाले अन्य सभी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्वों के साथ, लेकिन छोटे n के लिए असामान्य हैं।
-{{nowrap|''n'' ≥ 5}} के लिए प्रत्यावर्ती समूह में केवल एक आयामी अलघुकरणीय निरूपण है,  {{nowrap|1=''n'' = 3, 4}} के लिए दो अतिरिक्त एक-आयामी अलघुकरणीय निरूपण हैं, जो  3 क्रम  {{nowrap|A<sub>3</sub> ≅ C<sub>3</sub>}} और {{nowrap|A<sub>4</sub> → A<sub>4</sub>/''V'' ≅ C<sub>3</sub>}} के चक्रीय समूह के मानचित्रों के अनुरूप हैं।
+{{nowrap|''n'' ≥ 5}} के लिए प्रत्यावर्ती समूह में केवल एक आयामी अलघुकरणीय निरूपण है, {{nowrap|1=''n'' = 3, 4}} के लिए दो अतिरिक्त एक-आयामी अलघुकरणीय निरूपण हैं, जो 3 क्रम {{nowrap|A<sub>3</sub> ≅ C<sub>3</sub>}} और {{nowrap|A<sub>4</sub> → A<sub>4</sub>/''V'' ≅ C<sub>3</sub>}} के चक्रीय समूह के मानचित्रों के अनुरूप हैं।
 * {{nowrap|''n'' ≥ 7}} के लिए, पद {{nowrap|''n'' − 1}} का सिर्फ एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है, और यह गैर-सामान्य अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की सबसे छोटी घात है।
-* n = 3 के लिए (n - 1)-आयामी प्रतिनिधित्व का स्पष्ट एनालॉग कम हो जाता है क्रमचय प्रतिनिधित्व नियमित प्रतिनिधित्व के साथ समतुल्य होती है, और इस प्रकार तीन एक-आयामी प्रतिनिधित्व में  विभाजन हो जाता है, क्योंकि A3 ≅ C3 एबेलियन है; चक्रीय समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए असतत फूरियर रूपांतरण देखें।
+* n = 3 के लिए (n - 1)-आयामी प्रतिनिधित्व का स्पष्ट एनालॉग कम हो जाता है क्रमचय प्रतिनिधित्व नियमित प्रतिनिधित्व के साथ समतुल्य होती है, और इस प्रकार तीन एक-आयामी प्रतिनिधित्व में विभाजन हो जाता है, क्योंकि A3 ≅ C3 एबेलियन है; चक्रीय समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए असतत फूरियर रूपांतरण देखें।
 * n = 4 के लिए, केवल एक n − 1 अलघुकरणीय निरूपण, लेकिन आयाम 1 के असाधारण अलघुकरणीय निरूपण हैं।
-* N = 5 के लिए, आयाम  3 के दो दोहरे अलघुकरणीय निरूपण हैं, जो कि विंशफलकीय समरूपता के रूप में इसकी क्रिया के अनुरूप है।
+* N = 5 के लिए, आयाम 3 के दो दोहरे अलघुकरणीय निरूपण हैं, जो कि विंशफलकीय समरूपता के रूप में इसकी क्रिया के अनुरूप है।
-* N = 6 के लिए, ''A''<sub>5</sub> में ''A''<sub>6</sub> के असाधारण सकर्मक एम्बेडिंग के अनुरूप आयाम 5 का एक अतिरिक्त  अखंडनीय निरूपण है।
+* N = 6 के लिए, ''A''<sub>5</sub> में ''A''<sub>6</sub> के असाधारण सकर्मक एम्बेडिंग के अनुरूप आयाम 5 का एक अतिरिक्त अखंडनीय निरूपण है।
-== निरूपण के टेंसर उत्पाद ==
+== निरूपण के प्रदिश गुणनफल ==
 === क्रोनकर गुणांक ===
-यंग आरेख <math>S_n</math>  के अनुरूप <math>\lambda,\mu</math> के दो निरूपणों का टेन्सर गुणनफल <math>S_n</math> के अखंडनीय निरूपण का संयोजन है।
+यंग आरेख <math>S_n</math> के अनुरूप <math>\lambda,\mu</math> के दो निरूपणों का टेन्सर गुणनफल <math>S_n</math> के अखंडनीय निरूपण का संयोजन है।
 :<math>
 V_\lambda\otimes V_\mu \cong \sum_\nu C_{\lambda,\mu,\nu} V_\nu
 </math>
-गुणांक <math>C_{\lambda\mu\nu}\in\mathbb{N}</math> को सममित समूह के क्रोनेकर गुणांक कहा जाता है। उनकी गणना निरूपण के [[चरित्र सिद्धांत|अंको]]  से की जा सकती है {{harv|फुल्टन और हैरिस 2004}}:
+गुणांक <math>C_{\lambda\mu\nu}\in\mathbb{N}</math> को सममित समूह के क्रोनेकर गुणांक कहा जाता है। उनकी गणना निरूपण के [[चरित्र सिद्धांत|अंको]] से की जा सकती है {{harv|फुल्टन और हैरिस 2004}}:
 :<math>
 C_{\lambda,\mu,\nu} = \sum_\rho \frac{1}{z_\rho} \chi_\lambda(C_\rho)\chi_\mu(C_\rho)\chi_\nu(C_\rho)
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 \end{align}
 </math>
-किसी भी यंग आरेख के लिए <math>\lambda</math> {{harv|हमर्मेश 1989}} <math>(n-1,1)\otimes \lambda</math> की गणना करने का एक सरल नियम है : परिणाम उन सभी यंग आरेखों का योग है जो  <math>\lambda</math> से प्राप्त किए गए हैं एक बॉक्स को हटाकर और फिर एक बॉक्स को जोड़कर, जहां  गुणांक  <math>\lambda</math> को छोड़कर एक हैं, जिसका गुणांक  <math>\#\{\lambda_i\}-1</math> है, अर्थात, विभिन्न पदो की लंबाई की संख्या -1 है।
+किसी भी यंग आरेख के लिए <math>\lambda</math> {{harv|हमर्मेश 1989}} <math>(n-1,1)\otimes \lambda</math> की गणना करने का एक सरल नियम है : परिणाम उन सभी यंग आरेखों का योग है जो <math>\lambda</math> से प्राप्त किए गए हैं एक बॉक्स को हटाकर और फिर एक बॉक्स को जोड़कर, जहां गुणांक <math>\lambda</math> को छोड़कर एक हैं, जिसका गुणांक <math>\#\{\lambda_i\}-1</math> है, अर्थात, विभिन्न पदो की लंबाई की संख्या -1 है।
 <math>V_\lambda\otimes V_\mu</math> के अलघुकरणीय घटकों पर परिवद्ध है {{harv|जेम्स और कर्बर 1981}}।
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 जहां मध्य <math>d_\lambda=n-\lambda_1</math> यंग आरेख की संख्या उन बक्सों की संख्या है जो पहले पदों से संबंधित नहीं हैं।
-=== कम क्रोनकर गुणांक ===
+=== लघुकृत क्रोनकर गुणांक ===
-के लिए <math>\lambda</math> एक यंग आरेख और <math>n\geq \lambda_1</math>, <math>\lambda[n]=(n-|\lambda|,\lambda)</math> आकार का एक यंग आरेख है <math>n</math>. तब <math>C_{\lambda[n],\mu[n],\nu[n]}</math> का एक बंधा हुआ, गैर-घटता कार्य है <math>n</math>, और
+<math>\lambda</math> के लिए यंग आरेख और <math>n\geq \lambda_1</math>, <math>\lambda[n]=(n-|\lambda|,\lambda)</math> आकार <math>n</math> का एक यंग आरेख है, तब <math>C_{\lambda[n],\mu[n],\nu[n]}</math> <math>n</math> पर परिबद्ध है, गैर-ह्रासमान फलन है, और
 :<math>
 \bar{C}_{\lambda,\mu,\nu} = \lim_{n\to\infty} C_{\lambda[n],\mu[n],\nu[n]}
 </math>
-एक कम क्रोनकर गुणांक कहा जाता है<ref name="bor09"/>या स्थिर क्रोनकर गुणांक।<ref name="as18"/>के मूल्य पर ज्ञात सीमाएँ हैं <math>n</math> जहाँ <math>C_{\lambda[n],\mu[n],\nu[n]}</math> अपनी सीमा तक पहुँचता है।<ref name="bor09"/>घटे हुए क्रोनकर गुणांकों के निरूपण की Deligne श्रेणियों के संरचना स्थिरांक हैं <math>S_n</math> साथ <math>n\in \mathbb{C}-\mathbb{N}</math>.<ref name="ent14"/>
+लघुकृत क्रोनकर गुणांक <ref name="bor09"/> या स्थिर क्रोनकर गुणांक कहा जाता है।<ref name="as18"/> <math>n</math> के मान पर ज्ञात सीमाएँ हैं जहाँ <math>C_{\lambda[n],\mu[n],\nu[n]}</math> अपनी सीमा तक पहुँचता है।<ref name="bor09"/> लघुकृत क्रोनकर गुणांकों <math>S_n</math> के साथ <math>n\in \mathbb{C}-\mathbb{N}</math> के निरूपण की डेलिग्ने श्रेणियों के संरचना स्थिरांक हैं।<ref name="ent14"/>
-क्रोनकर गुणांकों के विपरीत, घटे हुए क्रोनकर गुणांकों को यंग आरेखों के किसी भी ट्रिपल के लिए परिभाषित किया गया है, जरूरी नहीं कि समान आकार का हो। अगर <math>|\nu|=|\lambda|+|\mu|</math>, तब <math>\bar{C}_{\lambda,\mu,\nu}</math> [[लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक]] के साथ मेल खाता है <math>c_{\lambda,\mu}^\nu</math>.<ref name="Dvir91"/>कम क्रोनकर गुणांकों को सममित कार्यों के स्थान में आधारों के परिवर्तन के माध्यम से लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जा सकता है, जो अभिव्यक्तियों को जन्म देते हैं जो स्पष्ट रूप से अभिन्न हैं, हालांकि प्रकट रूप से सकारात्मक नहीं हैं।<ref name="as18"/>घटे हुए क्रोनकर गुणांकों को क्रोनकर और लिटलवुड-रिचर्डसन गुणांकों के रूप में भी लिखा जा सकता है। <math>c^\lambda_{\alpha\beta\gamma}</math> लिटिलवुड के सूत्र के माध्यम से<ref name="lit58"/><ref name="oz17"/>:<math>
+क्रोनकर गुणांकों के विपरीत, लघुकृत क्रोनकर गुणांकों को यंग आरेखों के किसी भी त्रिक के लिए परिभाषित किया गया है, यह आवश्यक नहीं कि समान आकार का हो। यदि <math>|\nu|=|\lambda|+|\mu|</math>, तब <math>\bar{C}_{\lambda,\mu,\nu}</math> [[लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक]] के साथ <math>c_{\lambda,\mu}^\nu</math> समतुल्य है। <ref name="Dvir91" /> लघुकृत क्रोनकर गुणांकों को सममित फलनों के समष्टि में आधारों के परिवर्तन के माध्यम से लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जा सकता है, हालांकि ऐसे पदों को उत्पन्न करता है, जो स्पष्ट रूप से धनात्मक नहीं होते हुए भी प्रत्यक्ष रूप से अभिन्न हैं।<ref name="as18" /> लघुकृत क्रोनकर गुणांक को क्रोनकर और लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक <math>c^\lambda_{\alpha\beta\gamma}</math> के संदर्भ में लिटिलवुड के सूत्र के माध्यम से भी लिखा जा सकता है।<ref name="lit58" /><ref name="oz17" />
+<math>
 \bar{C}_{\lambda,\mu,\nu} = \sum_{\lambda',\mu',\nu',\alpha,\beta,\gamma} C_{\lambda',\mu',\nu'} c^{\lambda}_{\lambda'\beta\gamma} c^{\mu}_{\mu'\alpha\gamma} c^\nu_{\nu'\alpha\beta}
 </math>
-इसके विपरीत, कम क्रोनकर गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में क्रोनकर गुणांकों को पुनर्प्राप्त करना संभव है।<ref name="bor09"/>
-कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली [[SageMath]] में घटे हुए क्रोनकर गुणांक लागू किए गए हैं।<ref name="oz15"/><ref name="sage"/>
+इसके विपरीत, लघुकृत क्रोनकर गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में क्रोनकर गुणांकों को पुनर्प्राप्त करना संभव है।<ref name="bor09" />
+कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली [[SageMath|सेजमैथ]] में लघुकृत क्रोनकर गुणांक प्रयुक्त किए गए हैं।<ref name="oz15" /><ref name="sage" />
+== जटिल निरूपण के आइगेनमान ==
+चक्र-प्ररूप <math>w\in S_n</math>   का एक तत्व <math>\mu=(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_k)</math> दिया गया है और क्रम <math>m=\text{lcm}(\mu_i)</math>, के जटिल निरूपण में <math>w</math> के आइगेनमान <math>S_n</math> के साथ <math>\omega^{e_j}</math> प्ररूप के होते हैं जहां <math>\omega=e^{\frac{2\pi i}{m}}</math> पूर्णांक <math>e_j\in \frac{\mathbb{Z}}{m\mathbb{Z}}</math>   निरूपण के संबंध में <math>w</math> के चक्रीय घातांक कहलाते हैं।<ref name="ste89"/>
-== सम्मिश्र निरूपण के आइगेनवेल्यू ==
+सममित समूह (और आच्छादित उसके गुणनफल) के चक्रीय घातांकों का एक संयोजन विवरण है।
-एक तत्व दिया <math>w\in S_n</math> चक्र-प्रकार का <math>\mu=(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_k)</math> और आदेश <math>m=\text{lcm}(\mu_i)</math>, के eigenvalues <math>w</math> के एक सम्मिश्र निरूपण में <math>S_n</math> प्रकार के हैं <math>\omega^{e_j}</math> साथ <math>\omega=e^{\frac{2\pi i}{m}}</math>, जहां पूर्णांक <math>e_j\in \frac{\mathbb{Z}}{m\mathbb{Z}}</math> के चक्रीय घातांक कहलाते हैं <math>w</math> निरूपण के संबंध में।<ref name="ste89"/>
+परिभाषित <math>\left(b_\mu(1),\dots,b_\mu(n)\right) = \left(\frac{m}{\mu_1},2\frac{m}{\mu_1},\dots, m, \frac{m}{\mu_2},2\frac{m}{\mu_2},\dots, m,\dots\right)</math>, मान लीजिए <math>\mu</math>-सूचकांक के मानक यंग सारणी <math>b_\mu</math>के सारणी की उत्पत्ति पर <math>\text{ind}_\mu(T) = \sum_{k\in \{\text{descents}(T)\}} b_\mu(k)\bmod m</math> मानों का योग है। तब यंग आरेख <math>S_n</math> द्वारा वर्णित <math>\lambda</math> के निरूपण के चक्रीय घातांक संगत यंग सारणी के <math>\mu</math>   सूचकांक है।<ref name="ste89" />
-सममित समूह (और [[पुष्पांजलि उत्पाद]]ों) के चक्रीय प्रतिपादकों का एक संयोजी विवरण है। परिभाषित <math>\left(b_\mu(1),\dots,b_\mu(n)\right) = \left(\frac{m}{\mu_1},2\frac{m}{\mu_1},\dots, m, \frac{m}{\mu_2},2\frac{m}{\mu_2},\dots, m,\dots\right)</math>, होने दें <math>\mu</math>-इंडेक्स ऑफ ए यंग_टेबलाऊ#टेबलॉक्स के मानों का योग हो <math>b_\mu</math> सारणी के अवतरण पर, <math>\text{ind}_\mu(T) = \sum_{k\in \{\text{descents}(T)\}} b_\mu(k)\bmod m</math>.
+विशेष रूप से, यदि <math> w </math> क्रम <math>n</math> का है, तब <math>b_\mu(k)=k</math>, और <math>\text{ind}_\mu(T)</math> के प्रमुख सूचकांक <math>T</math> (अवरोही का योग) के साथ समतुल्य होती है। अलघुकरणीय निरूपण <math>S_n</math> के चक्रीय घातांक फिर वर्णन करते हैं कि कैसे यह चक्रीय समूह <math> \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}</math> के निरूपण में विघटित होता है, और <math>\omega^{e_j}</math> को <math>e_j</math> द्वारा चित्रित (एक-आयामी) प्रतिनिधित्व में <math>w</math> की छवि के रूप में व्याख्या किया जा रहा है।
-फिर के निरूपण के चक्रीय घातांक <math>S_n</math> यंग आरेख द्वारा वर्णित <math>\lambda</math> हैं <math>\mu</math>इसी यंग सारणी के सूचकांक।<ref name="ste89"/>
-विशेष रूप से, अगर <math> w </math> आदेश का है <math>n</math>, तब <math>b_\mu(k)=k</math>, और <math>\text{ind}_\mu(T)</math> के प्रमुख सूचकांक के साथ मेल खाता है <math>T</math> (अवरोही का योग)। एक अलघुकरणीय निरूपण के चक्रीय घातांक <math>S_n</math> फिर चक्रीय समूह के निरूपण में प्रतिबंधित_प्रतिनिधित्व का वर्णन करें <math> \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}</math>, साथ <math>\omega^{e_j}</math> की छवि के रूप में व्याख्या की जा रही है <math>w</math> द्वारा विशेषता (एक आयामी) निरूपण में <math>e_j</math>.
 == यह भी देखें ==
 * प्रत्यावर्ती बहुपद
 * [[सममित बहुपद]]
-* [[मैं काम कर रहा हूं]]
+* शूर [[मैं काम कर रहा हूं|फलननिर्धारक]]
-*रॉबिन्सन-शेंस्टेड पत्राचार
+*रॉबिन्सन-शेंस्टेड संगतता
 * शूर-वेइल द्वैत
 *जूसी-मर्फी तत्व

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सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत: Difference between revisions

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