माध्य: Difference between revisions

Revision as of 17:33, 2 April 2023

सांख्यिकी गणित में कई प्रकार के माध्य होते हैं प्रत्येक माध्य डेटा के दिए गए समूह को सारांशित करने का कार्य करता है अधिकतर किसी दिए गए डेटा सेट के समग्र मूल्य परिमाण और चिह्न गणित को बेहतर ढंग से समझने के लिए माध्य सांख्यिकी का प्रयोग किया जाता है।

एक डेटा सेट को अंकगणितीय माध्य तथा अंकगणितीय औसत के रूप में भी जाना है संख्याओं के परिमित सेट की केंद्रीय प्रवृत्ति का एक उपाय है विशेष रूप से मानों की संख्या से विभाजित मानों का योग संख्याओं के समूह x का अंकगणितीय माध्य₁ एक्स₂ पर ओवरहेड बार का उपयोग करके दर्शाया जाता है ${\bar {x}}$ कहते हैं^{[note 1]} यदि डेटा सेट एक सांख्यिकीय आबादी से नमूने सांख्यिकी द्वारा प्राप्त टिप्पणियों की एक श्रृंखला पर आधारित थे तो अंकगणितीय माध्य नमूना माध्य है ( ${\bar {x}}$ ) इसे अंतर्निहित वितरण के माध्य या अपेक्षित मान से अलग करने के लिए जनसंख्या माध्य ^[1]संभाव्यता और सांख्यिकी के बाहर माध्य की अन्य धारणाओं की एक विस्तृत श्रृंखला का उपयोग अधिकतर ज्यामिति और गणितीय विश्लेषण में किया जाता है ।

साधनों के प्रकार

पाइथागोरस का अर्थ है

अंकगणितीय माध्य

संख्याओं की सूची का अंकगणितीय माध्य संख्याओं की संख्या से विभाजित सभी संख्याओं का योग है इसी तरह एक नमूने का अर्थ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ इसे x द्वारा निरूपित किया जाता है ${\bar {x}}$ नमूने में आइटमों की संख्या से विभाजित किया जाता है ।

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}

उदाहरण के लिए पाँच मानों का अंकगणितीय माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है

{\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.

ज्यामितीय माध्य (जीएम)

ज्यामितीय माध्य एक औसत है जो सकारात्मक संख्याओं के सेट के लिए उपयोगी होता है जो कि उनके उत्पाद के अनुसार व्याख्या की जाती है और उनकी राशि नहीं होती है ।

{\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}

^[2]

उदाहरण के लिए पाँच मानों का ज्यामितीय माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है

(4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.

अनुकूल माध्य (एचएम)

हार्मोनिक माध्य एक औसत है जो संख्याओं के सेट के लिए उपयोगी होता है जो माप की किसी इकाई के संबंध में परिभाषित होते हैं

{\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}

उदाहरण के लिए, पाँच मानों का हार्मोनिक माध्य 4, 36, 45, 50, 75 है

{\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.

अंकगणित माध्य, ज्यामितीय माध्य और अनुकूल माध्य के बीच संबंध

Template:अंकगणितीय माध्य, ज्यामिति माध्य, अनुकूल माध्य

अंकगणितीय माध्य, ज्यामितिय माध्य और अनुकूल माध्य इन असमानताओं को संतुष्ट करते हैं।

\mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,

समानता तब होती है जब दिए गए नमूने के सभी तत्व समान हों।

सांख्यिकीय स्थान

Error creating thumbnail:

लॉग-नॉर्मल) डिस्ट्रीब्यूशन के अंकगणितीय माध्य, माध्यिका और मोड (सांख्यिकी) की तुलना।

Error creating thumbnail:

मोड का ज्यामितीय विज़ुअलाइज़ेशन, माध्यिका और मनमाना संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का माध्य।^[3]

वर्णनात्मक आंकड़ों में, माध्य को माध्यिका, मोड (सांख्यिकी) या मध्य-श्रेणी के साथ भ्रमित किया जा सकता है, क्योंकि इनमें से किसी को भी गलत तरीके से औसत कहा जा सकता है (औपचारिक रूप से, केंद्रीय प्रवृत्ति का एक उपाय)। प्रेक्षणों के समुच्चय का माध्य मानों का अंकगणितीय औसत है; हालाँकि, तिरछापन के लिए, माध्य आवश्यक रूप से मध्य मान (माध्यिका), या सबसे संभावित मान (मोड) के समान नहीं है। उदाहरण के लिए, औसत आय आम तौर पर बहुत बड़ी आय वाले लोगों की एक छोटी संख्या से ऊपर की ओर तिरछी होती है, ताकि बहुमत की आय औसत से कम हो। इसके विपरीत, औसत आय वह स्तर है जिस पर आधी आबादी नीचे और आधी ऊपर है। मोड आय सबसे अधिक संभाव�

[note 1]

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-गणित में कई प्रकार के माध्य होते हैं, विशेषकर सांख्यिकी में। प्रत्येक माध्य डेटा के दिए गए समूह को सारांशित करने का कार्य करता है, अक्सर किसी दिए गए [[डेटा सेट]] के समग्र मूल्य ([[परिमाण (गणित)]] और चिह्न (गणित)) को बेहतर ढंग से समझने के लिए।
-एक डेटा सेट के लिए, ''अंकगणितीय माध्य'', जिसे अंकगणितीय औसत के रूप में भी जाना [[[[आंकड़े]]]] है, संख्याओं के परिमित सेट की [[केंद्रीय प्रवृत्ति]] का एक उपाय है: विशेष रूप से, मानों की संख्या से विभाजित मानों का योग। संख्याओं के समूह ''x'' का अंकगणितीय माध्य<sub>1</sub>, एक्स<sub>2</sub>, ..., एक्स<sub>n</sub>आमतौर पर [[ओवरहेड बार]] का उपयोग करके दर्शाया जाता है, <math>\bar{x}</math>.{{refn|Pronounced "''x'' bar".|group="note"}} यदि डेटा सेट एक सांख्यिकीय आबादी से नमूने (सांख्यिकी) द्वारा प्राप्त टिप्पणियों की एक श्रृंखला पर आधारित थे, तो अंकगणितीय माध्य [[नमूना माध्य]] है (<math>\bar{x}</math>) इसे अंतर्निहित वितरण के माध्य, या अपेक्षित मान से अलग करने के लिए, जनसंख्या माध्य (निरूपित '<math>\mu</math>या<math>\mu_x</math>{{refn|Greek letter [[Mu (letter)|μ]], for "mean", pronounced /'mjuː/.|group="note"}}).<ref>Underhill, L.G.; Bradfield d. (1998) ''Introstat'', Juta and Company Ltd. {{isbn|0-7021-3838-X}} [https://books.google.com/books?id=f6TlVjrSAsgC&pg=PA181 p. 181]</ref>
+सांख्यिकी गणित में कई प्रकार के माध्य होते हैं प्रत्येक माध्य डेटा के दिए गए समूह को सारांशित करने का कार्य करता है अधिकतर किसी दिए गए [[डेटा सेट]] के समग्र मूल्य [[परिमाण (गणित)|परिमाण]] और चिह्न गणित को बेहतर ढंग से समझने के लिए माध्य सांख्यिकी का प्रयोग किया जाता है।
-संभाव्यता और सांख्यिकी के बाहर, माध्य की अन्य धारणाओं की एक विस्तृत श्रृंखला का उपयोग अक्सर [[ज्यामिति]] और [[गणितीय विश्लेषण]] में किया जाता है; उदाहरण नीचे दिए गए हैं।
+एक डेटा सेट को ''अंकगणितीय माध्य तथा''  अंकगणितीय औसत के रूप में भी जाना है संख्याओं के परिमित सेट की [[केंद्रीय प्रवृत्ति]] का एक उपाय है विशेष रूप से मानों की संख्या से विभाजित मानों का योग संख्याओं के समूह ''x'' का अंकगणितीय माध्य<sub>1</sub> एक्स<sub>2</sub> पर [[ओवरहेड बार]] का उपयोग करके दर्शाया जाता है <math>\bar{x}</math> कहते हैं{{refn|Pronounced "''x'' bar".|group="note"}} यदि डेटा सेट एक सांख्यिकीय आबादी से नमूने सांख्यिकी द्वारा प्राप्त टिप्पणियों की एक श्रृंखला पर आधारित थे तो अंकगणितीय माध्य [[नमूना माध्य]] है (<math>\bar{x}</math>) इसे अंतर्निहित वितरण के माध्य या अपेक्षित मान से अलग करने के लिए जनसंख्या माध्य <ref>Underhill, L.G.; Bradfield d. (1998) ''Introstat'', Juta and Company Ltd. {{isbn|0-7021-3838-X}} [https://books.google.com/books?id=f6TlVjrSAsgC&pg=PA181 p. 181]</ref>संभाव्यता और सांख्यिकी के बाहर माध्य की अन्य धारणाओं की एक विस्तृत श्रृंखला का उपयोग अधिकतर [[ज्यामिति]] और [[गणितीय विश्लेषण]] में किया जाता है ।
 == साधनों के प्रकार ==
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 {{Main|Pythagorean means}}
-==== अंकगणितीय माध्य (AM) ====
+==== अंकगणितीय माध्य ====
-संख्याओं की सूची का अंकगणितीय माध्य (या केवल माध्य), संख्याओं की संख्या से विभाजित सभी संख्याओं का योग है। इसी तरह, एक नमूने का मतलब <math>x_1,x_2,\ldots,x_n</math>, आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\bar{x}</math>, नमूने में आइटमों की संख्या से विभाजित नमूनाकृत मानों का योग है।
+संख्याओं की सूची का अंकगणितीय माध्य संख्याओं की संख्या से विभाजित सभी संख्याओं का योग है इसी तरह एक नमूने का अर्थ <math>x_1,x_2,\ldots,x_n</math> इसे x द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\bar{x}</math> नमूने में आइटमों की संख्या से विभाजित किया जाता है ।
 :<math> \bar{x} = \frac{1}{n}\left (\sum_{i=1}^n{x_i}\right ) = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n} </math>
-उदाहरण के लिए, पाँच मानों का अंकगणितीय माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है:
+उदाहरण के लिए पाँच मानों का अंकगणितीय माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है
 :<math>\frac{4+36+45+50+75}{5} = \frac{210}{5} = 42.</math>
 ==== ज्यामितीय माध्य (जीएम) ====
-ज्यामितीय माध्य एक औसत है जो सकारात्मक संख्याओं के सेट के लिए उपयोगी होता है, जो कि उनके उत्पाद के अनुसार व्याख्या की जाती है (जैसा कि विकास दर के मामले में है) और उनकी राशि नहीं है (जैसा कि अंकगणितीय माध्य के मामले में है):
+ज्यामितीय माध्य एक औसत है जो सकारात्मक संख्याओं के सेट के लिए उपयोगी होता है जो कि उनके उत्पाद के अनुसार व्याख्या की जाती है और उनकी राशि नहीं होती है ।
 :<math>\bar{x} = \left( \prod_{i=1}^n{x_i} \right )^\frac{1}{n} = \left(x_1 x_2 \cdots x_n \right)^\frac{1}{n}</math>  <ref name=":2">{{Cite web|title=Mean {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/mean|access-date=2020-08-21|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref>
-उदाहरण के लिए, पाँच मानों का ज्यामितीय माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है:
+उदाहरण के लिए पाँच मानों का ज्यामितीय माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है
 :<math>(4 \times 36 \times 45 \times 50 \times 75)^\frac{1}{5} = \sqrt[5]{24\;300\;000} = 30.</math>
 ==== [[अनुकूल माध्य]] (एचएम) ====
-हार्मोनिक माध्य एक औसत है जो संख्याओं के सेट के लिए उपयोगी होता है जो माप की किसी इकाई के संबंध में परिभाषित होते हैं, जैसा कि गति के मामले में होता है (यानी, समय की प्रति इकाई दूरी):
+हार्मोनिक माध्य एक औसत है जो संख्याओं के सेट के लिए उपयोगी होता है जो माप की किसी इकाई के संबंध में परिभाषित होते हैं
 :<math> \bar{x} = n \left ( \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \right ) ^{-1}</math>
-उदाहरण के लिए, पाँच मानों का हार्मोनिक माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है
+उदाहरण के लिए, पाँच मानों का हार्मोनिक माध्य 4, 36, 45, 50, 75 है
 :<math>\frac{5}{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{45} + \tfrac{1}{50} + \tfrac{1}{75}} = \frac{5}{\;\tfrac{1}{3}\;} = 15.</math>
-==== AM, GM और HM के बीच संबंध ====
+==== अंकगणित माध्य, ज्यामितीय माध्य और अनुकूल माध्य के बीच संबंध ====
-{{AM_GM_inequality_visual_proof.svg}}
+{{अंकगणितीय माध्य, ज्यामिति माध्य, अनुकूल माध्य}}
 {{Main|Inequality of arithmetic and geometric means}}
-AM, GM और HM इन असमानताओं को संतुष्ट करते हैं:
+अंकगणितीय माध्य, ज्यामितिय माध्य और अनुकूल माध्य इन असमानताओं को संतुष्ट करते हैं।
 :<math> \mathrm{AM} \ge \mathrm{GM} \ge \mathrm{HM} \, </math>

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