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गणित में, एकवचन अभिन्न [[हार्मोनिक विश्लेषण]] के लिए केंद्रीय होते हैं, और आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन से घनिष्ठ रूप से संयुक्त होते हैं। सामान्यतः एकवचन अभिन्न प्राकृतिक संकारक होते है I
गणित में, एकवचन समाकलन [[हार्मोनिक विश्लेषण]] के लिए केंद्रीय होते हैं, और आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन से घनिष्ठ रूप से संयुक्त होते हैं। सामान्यतः एकवचन समाकलन प्राकृतिक संकारक होते है I


: <math>T(f)(x) = \int K(x,y)f(y) \, dy, </math>
: <math>T(f)(x) = \int K(x,y)f(y) \, dy, </math>
जिसका कर्नेल कार्य ''K'' : '''R'''<sup>''n''</sup>×'''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''' विकर्ण x = y के साथ [[गणितीय विलक्षणता]] है। विशेष रूप से, विलक्षणता ऐसी है कि |K(x, y)| आकार का है I |x − y|<sup>−n</sup> असमान रूप से |x − y| के रूप में → 0 होते है I चूंकि इस प्रकार के अभिन्न सामान्य रूप से पूर्णरूपेण समाकलनीय नहीं हो सकते हैं, इसलिए कठोर परिभाषा को उन्हें |y − x| पर अभिन्न की सीमा के रूप में परिभाषित करना चाहिए। > ε ε → 0 के रूप में, किन्तु व्यवहार में यह तकनीकी है। सामान्यतः ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>) पर उनकी बाध्यता से परिणाम प्राप्त करने के लिए आगे की धारणाओं की आवश्यकता होती है I
जिसका कर्नेल कार्य ''K'' : '''R'''<sup>''n''</sup>×'''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''' विकर्ण x = y के साथ [[गणितीय विलक्षणता]] है। विशेष रूप से, विलक्षणता ऐसी है कि |K(x, y)| आकार का है I |x − y|<sup>−n</sup> असमान रूप से |x − y| के रूप में → 0 होते है I चूंकि इस प्रकार के समाकलन सामान्य रूप से पूर्णरूपेण समाकलनीय नहीं हो सकते हैं, इसलिए कठोर परिभाषा को उन्हें |y − x| पर समाकलन की सीमा के रूप में परिभाषित करना चाहिए। > ε ε → 0 के रूप में, किन्तु व्यवहार में यह तकनीकी है। सामान्यतः ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>) पर उनकी बाध्यता से परिणाम प्राप्त करने के लिए आगे की धारणाओं की आवश्यकता होती है I


== हिल्बर्ट रूपांतरण ==
== हिल्बर्ट रूपांतरण ==
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{{main|हिल्बर्ट रूपांतरण}}
{{main|हिल्बर्ट रूपांतरण}}


मूल प्ररूपी एकवचन अभिन्न संचालिका का हिल्बर्ट रूपांतरण H है। यह 'R' में x के लिए कर्नेल K(x) = 1/(πx) के विरुद्ध कनवल्शन द्वारा दिया गया है।  
मूल प्ररूपी एकवचन समाकलन संचालिका का हिल्बर्ट रूपांतरण H है। यह 'R' में x के लिए कर्नेल K(x) = 1/(πx) के विरुद्ध कनवल्शन द्वारा दिया गया है।  


: <math>H(f)(x) = \frac{1}{\pi}\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{|x-y|>\varepsilon} \frac{1}{x-y}f(y) \, dy. </math>
: <math>H(f)(x) = \frac{1}{\pi}\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{|x-y|>\varepsilon} \frac{1}{x-y}f(y) \, dy. </math>
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: <math>K_i(x) = \frac{x_i}{|x|^{n+1}}</math>
: <math>K_i(x) = \frac{x_i}{|x|^{n+1}}</math>
जहां i = 1, …, n और  <math>x_i</math> ''''R'''<sup>''n''</sup>' में x का i-वाँ घटक है I ये सभी ऑपरेटर ''L<sup>p</sup>'' पर जुड़े होते हैं, और (1, 1) अनुमानों को संतुष्ट करते हैं।<ref name=bible>{{cite news | last = Stein | first = Elias | title = हार्मोनिक विश्लेषण| publisher = Princeton University Press| year = 1993 }}</ref>
जहां i = 1, …, n और  <math>x_i</math> ''''R'''<sup>''n''</sup>' में x का i-वाँ घटक है I ये सभी ऑपरेटर ''L<sup>p</sup>'' पर जुड़े होते हैं, और (1, 1) अनुमानों को संतुष्ट करते हैं।<ref name=bible>{{cite news | last = Stein | first = Elias | title = हार्मोनिक विश्लेषण| publisher = Princeton University Press| year = 1993 }}</ref>
== कनवल्शन प्ररूप का एकवचन अभिन्न ==
== कनवल्शन प्ररूप का एकवचन समाकलन ==
{{Main| कनवल्शन प्ररूप का एकवचन अभिन्न ऑपरेटर्स}}
{{Main| कनवल्शन प्ररूप का एकवचन अभिन्न ऑपरेटर्स}}


कनवल्शन प्ररूप का एकवचन अभिन्न ऑपरेटर T है, जिसे कर्नेल K के साथ कनवल्शन द्वारा परिभाषित किया गया है, जो कि '''R'''<sup>''n''</sup>\{0} पर [[स्थानीय रूप से एकीकृत समारोह|स्थानीय रूप से एकीकृत फंक्शन]] है। इस प्रकार हैं:-
कनवल्शन प्ररूप का एकवचन समाकलन ऑपरेटर T है, जिसे कर्नेल K के साथ कनवल्शन द्वारा परिभाषित किया गया है, जो कि '''R'''<sup>''n''</sup>\{0} पर [[स्थानीय रूप से एकीकृत समारोह|स्थानीय रूप से एकीकृत फंक्शन]] है। इस प्रकार हैं:-


{{NumBlk|:|<math>T(f)(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{|y-x|>\varepsilon} K(x-y)f(y) \, dy. </math>|{{EquationRef|1}}}}
{{NumBlk|:|<math>T(f)(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{|y-x|>\varepsilon} K(x-y)f(y) \, dy. </math>|{{EquationRef|1}}}}
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ध्यान दें कि ये स्थिति हिल्बर्ट और रिज़ रूपांतरण के लिए पूर्ण होती हैं, इसलिए यह परिणामों का विस्तार होता है।<ref name = grafakos>{{Citation | last = Grafakos | first = Loukas | title = Classical and Modern Fourier Analysis | chapter = 7 | publisher = Pearson Education, Inc. | place = New Jersey| year = 2004 }}</ref>
ध्यान दें कि ये स्थिति हिल्बर्ट और रिज़ रूपांतरण के लिए पूर्ण होती हैं, इसलिए यह परिणामों का विस्तार होता है।<ref name = grafakos>{{Citation | last = Grafakos | first = Loukas | title = Classical and Modern Fourier Analysis | chapter = 7 | publisher = Pearson Education, Inc. | place = New Jersey| year = 2004 }}</ref>


== अन्य-संकल्प प्ररूप के एकवचन अभिन्न ==
== अन्य-संकल्प प्ररूप के एकवचन समाकलन ==
ये सामान्य ऑपरेटर होते हैं। चूँकि, धारणाएं इतनी अशक्त हैं, इसलिए यह आवश्यक नहीं है कि, ये ऑपरेटर ''L<sup>p</sup>'' पर जुड़े हुए हों I
ये सामान्य ऑपरेटर होते हैं। चूँकि, धारणाएं इतनी अशक्त हैं, इसलिए यह आवश्यक नहीं है कि, ये ऑपरेटर ''L<sup>p</sup>'' पर जुड़े हुए हों I


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:<math>|K(x,y) - K(x,y')| \leq \frac{C |y-y'|^\delta}{\bigl(|x-y| + |x-y'| \bigr)^{n+\delta}}\text{ whenever }|y-y'| \leq \frac{1}{2}\max\bigl(|x-y'|,|x-y|\bigr)</math>
:<math>|K(x,y) - K(x,y')| \leq \frac{C |y-y'|^\delta}{\bigl(|x-y| + |x-y'| \bigr)^{n+\delta}}\text{ whenever }|y-y'| \leq \frac{1}{2}\max\bigl(|x-y'|,|x-y|\bigr)</math>
=== अन्य-संक्रमण प्ररूप के एकवचन अभिन्न ===
=== अन्य-संक्रमण प्ररूप के एकवचन समाकलन ===


T को काल्डेरन-ज़िगमंड कर्नेल K से संबंधित अन्य-कनवल्शन प्ररूप का एकवचन अभिन्न ऑपरेटर कहा जाता है I यदि,
T को काल्डेरन-ज़िगमंड कर्नेल K से संबंधित अन्य-कनवल्शन प्ररूप का एकवचन समाकलन ऑपरेटर कहा जाता है I यदि,


: <math>\int g(x) T(f)(x) \, dx = \iint g(x) K(x,y) f(y) \, dy \, dx,</math>
: <math>\int g(x) T(f)(x) \, dx = \iint g(x) K(x,y) f(y) \, dy \, dx,</math>
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=== काल्डेरन-ज़िगमंड ऑपरेटर्स ===
=== काल्डेरन-ज़िगमंड ऑपरेटर्स ===


काल्डेरन-ज़िगमंड कर्नेल K से जुड़े अन्य-संक्रमण प्ररूप T का विलक्षण अभिन्न अंग काल्डेरन-ज़िगमंड ऑपरेटर कहलाता है, जब यह ''L<sup>p</sup>'' द्वारा घिरा होता है। यदि C > 0 ऐसा है:-
काल्डेरन-ज़िगमंड कर्नेल K से जुड़े अन्य-संक्रमण प्ररूप T का विलक्षण समाकलन अंग काल्डेरन-ज़िगमंड ऑपरेटर कहलाता है, जब यह ''L<sup>p</sup>'' द्वारा घिरा होता है। यदि C > 0 ऐसा है:-


: <math>\|T(f)\|_{L^2} \leq C\|f\|_{L^2},</math>
: <math>\|T(f)\|_{L^2} \leq C\|f\|_{L^2},</math>
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=== टी (बी) प्रमेय ===
=== टी (बी) प्रमेय ===


टी (बी) प्रमेय एकल अभिन्न ऑपरेटर पर काल्डेरॉन-ज़िग्मंड ऑपरेटर होने के लिए पर्याप्त स्थिति प्रदान करती है, जो कि ''L''<sup>2</sup> पर जुड़े होने के लिए काल्डेरॉन-ज़िग्मंड कर्नेल एकवचन अभिन्न ऑपरेटर के लिए है। परिणाम के लिए हमें पहले कुछ शब्दों को परिभाषित करना होगा।
टी (बी) प्रमेय एकल समाकलन ऑपरेटर पर काल्डेरॉन-ज़िग्मंड ऑपरेटर होने के लिए पर्याप्त स्थिति प्रदान करती है, जो कि ''L''<sup>2</sup> पर जुड़े होने के लिए काल्डेरॉन-ज़िग्मंड कर्नेल एकवचन समाकलन ऑपरेटर के लिए है। परिणाम के लिए हमें पहले कुछ शब्दों को परिभाषित करना होगा।


सामान्यीकृत उभार '''R'''<sup>''n''</sup>  पर सरल कार्य φ है, जो त्रिज्या 10 की गेंद में समर्थित है, और मूल बिंदु पर केंद्रित है I जैसे कि |∂<sup>α</sup> φ(x)| ≤ 1, सभी बहु-सूचकांकों के लिए |α| ≤ n + 2. τ, '''R'''<sup>''n''</sup> और  r > 0 में सभी x के लिए (φ)(y) = φ(y - x) और ''φ<sub>r</sub>''(''x'') = ''r''<sup>−''n''</sup>''φ''(''x''/''r'') द्वारा निरूपित करें I ऑपरेटर को अशक्त रूप से बाध्य कहा जाता है, यदि स्थिर ''C'' ऐसा है कि,
सामान्यीकृत उभार '''R'''<sup>''n''</sup>  पर सरल कार्य φ है, जो त्रिज्या 10 की गेंद में समर्थित है, और मूल बिंदु पर केंद्रित है I जैसे कि |∂<sup>α</sup> φ(x)| ≤ 1, सभी बहु-सूचकांकों के लिए |α| ≤ n + 2. τ, '''R'''<sup>''n''</sup> और  r > 0 में सभी x के लिए (φ)(y) = φ(y - x) और ''φ<sub>r</sub>''(''x'') = ''r''<sup>−''n''</sup>''φ''(''x''/''r'') द्वारा निरूपित करें I ऑपरेटर को अशक्त रूप से बाध्य कहा जाता है, यदि स्थिर ''C'' ऐसा है कि,
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सभी सामान्यीकृत उभार के लिए φ और ψ में किसी फ़ंक्शन को अभिवृद्धि कहा जाता है I यदि कोई स्थिरांक c > 0 ऐसा हो कि 'R' में सभी x के लिए Re(b)(x) ≥ c हो। फलन b गुणन द्वारा दिए गए संकारक को ''M<sub>b</sub>'' से निरूपित करते है।       
सभी सामान्यीकृत उभार के लिए φ और ψ में किसी फ़ंक्शन को अभिवृद्धि कहा जाता है I यदि कोई स्थिरांक c > 0 ऐसा हो कि 'R' में सभी x के लिए Re(b)(x) ≥ c हो। फलन b गुणन द्वारा दिए गए संकारक को ''M<sub>b</sub>'' से निरूपित करते है।       


टी (बी) प्रमेय में कहा गया है कि काल्डेरोन-ज़िग्मंड कर्नेल से जुड़ा विलक्षण अभिन्न संचालिका ''T,'' ''L''<sup>2</sup> पर परिबद्ध है I यदि यह कुछ [[परिबद्ध माध्य दोलन]] कार्यों ''b''<sub>1</sub> और ''b''<sub>2</sub> के लिए निम्नलिखित तीन स्थितियों को पूर्ण करता है:<ref>{{cite news | last = David |author3=Journé |author2=Semmes | title = Opérateurs de Calderón&ndash;Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation | publisher = Revista Matemática Iberoamericana | volume = 1 | pages = 1&ndash;56| language = fr | year = 1985 }}</ref>       
टी (बी) प्रमेय में कहा गया है कि काल्डेरोन-ज़िग्मंड कर्नेल से जुड़ा विलक्षण समाकलन संचालिका ''T,'' ''L''<sup>2</sup> पर परिबद्ध है I यदि यह कुछ [[परिबद्ध माध्य दोलन]] कार्यों ''b''<sub>1</sub> और ''b''<sub>2</sub> के लिए निम्नलिखित तीन स्थितियों को पूर्ण करता है:<ref>{{cite news | last = David |author3=Journé |author2=Semmes | title = Opérateurs de Calderón&ndash;Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation | publisher = Revista Matemática Iberoamericana | volume = 1 | pages = 1&ndash;56| language = fr | year = 1985 }}</ref>       


<math>M_{b_2}TM_{b_1}</math>अशक्त रूप से घिरा हुआ है;
<math>M_{b_2}TM_{b_1}</math>अशक्त रूप से घिरा हुआ है;
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== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* क्लोज्ड कर्व्स पर एकवचन अभिन्न ऑपरेटर्स
* क्लोज्ड कर्व्स पर एकवचन समाकलन ऑपरेटर्स


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==

Revision as of 14:19, 27 March 2023

गणित में, एकवचन समाकलन हार्मोनिक विश्लेषण के लिए केंद्रीय होते हैं, और आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन से घनिष्ठ रूप से संयुक्त होते हैं। सामान्यतः एकवचन समाकलन प्राकृतिक संकारक होते है I

जिसका कर्नेल कार्य K : Rn×Rn → R विकर्ण x = y के साथ गणितीय विलक्षणता है। विशेष रूप से, विलक्षणता ऐसी है कि |K(x, y)| आकार का है I |x − y|−n असमान रूप से |x − y| के रूप में → 0 होते है I चूंकि इस प्रकार के समाकलन सामान्य रूप से पूर्णरूपेण समाकलनीय नहीं हो सकते हैं, इसलिए कठोर परिभाषा को उन्हें |y − x| पर समाकलन की सीमा के रूप में परिभाषित करना चाहिए। > ε ε → 0 के रूप में, किन्तु व्यवहार में यह तकनीकी है। सामान्यतः Lp(Rn) पर उनकी बाध्यता से परिणाम प्राप्त करने के लिए आगे की धारणाओं की आवश्यकता होती है I

हिल्बर्ट रूपांतरण

Main article: हिल्बर्ट रूपांतरण

मूल प्ररूपी एकवचन समाकलन संचालिका का हिल्बर्ट रूपांतरण H है। यह 'R' में x के लिए कर्नेल K(x) = 1/(πx) के विरुद्ध कनवल्शन द्वारा दिया गया है।

इनमें से सीधा उच्च आयाम एनालॉग्स रिज्ज़ ट्रांसफॉर्म हैं, जो K(x) = 1/x को प्रतिस्थापित करते हैं:-

जहां i = 1, …, n और 'Rn' में x का i-वाँ घटक है I ये सभी ऑपरेटर Lp पर जुड़े होते हैं, और (1, 1) अनुमानों को संतुष्ट करते हैं।[1]

कनवल्शन प्ररूप का एकवचन समाकलन

Main article: कनवल्शन प्ररूप का एकवचन अभिन्न ऑपरेटर्स

कनवल्शन प्ररूप का एकवचन समाकलन ऑपरेटर T है, जिसे कर्नेल K के साथ कनवल्शन द्वारा परिभाषित किया गया है, जो कि Rn\{0} पर स्थानीय रूप से एकीकृत फंक्शन है। इस प्रकार हैं:-

 

 

 

 

(1)

मान लीजिए कि कर्नेल संतुष्ट करता है:

  1. K के फूरियर रूपांतरण पर आकार की स्थिति इस प्रकार है:-
  2. समतलता की स्थिति: कुछ C > 0 के लिए,