प्रायिकता उपाय: Difference between revisions

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गणित में, प्रायिकता माप एक प्रायिकता स्थान में घटनाओं के एक सेट पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो माप (गणित) गुणों जैसे ''गणनीय योगात्मकता'' को संतुष्ट करता है।<ref>''An introduction to measure-theoretic probability'' by George G. Roussas 2004 {{isbn|0-12-599022-7}} [https://books.google.com/books?id=J8ZRgCNS-wcC&pg=PA47 page 47]</ref> संभाव्यता माप और माप की अधिक सामान्य धारणा (जिसमें [[क्षेत्र]] या [[आयतन]] जैसी अवधारणाएं शामिल हैं) के बीच का अंतर यह है कि एक संभाव्यता माप को संपूर्ण संभाव्यता स्थान के लिए मान 1 निर्दिष्ट करना चाहिए।
गणित में, प्रायिकता माप एक प्रायिकता स्थान में घटनाओं के एक समुच्चय पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो माप (गणित) गुणों जैसे ''गणनीय योगात्मकता'' को संतुष्ट करता है।<ref>''An introduction to measure-theoretic probability'' by George G. Roussas 2004 {{isbn|0-12-599022-7}} [https://books.google.com/books?id=J8ZRgCNS-wcC&pg=PA47 page 47]</ref> संभाव्यता माप और माप की अधिक सामान्य धारणा (जिसमें [[क्षेत्र]] या [[आयतन]] जैसी अवधारणाएं सम्मिलित  हैं) के बीच का अंतर यह है कि एक संभाव्यता माप को संपूर्ण संभाव्यता स्थान के लिए मान 1 निर्दिष्ट करना चाहिए।


सहजता से, एडिटिविटी प्रॉपर्टी का कहना है कि माप द्वारा दो अलग-अलग घटनाओं के संघ को सौंपी गई संभावना घटनाओं की संभावनाओं का योग होना चाहिए; उदाहरण के लिए, एक पासे को फेंकने पर 1 या 2 को दिया गया मान 1 और 2 को दिए गए मानों का योग होना चाहिए।
सहजता से, एडिटिविटी गुण का कहना है कि माप द्वारा दो अलग-अलग घटनाओं के संघ को सौंपी गई संभावना घटनाओं की संभावनाओं का योग होना चाहिए; उदाहरण के लिए, एक पासे को फेंकने पर 1 या 2 को दिया गया मान 1 और 2 को दिए गए मानों का योग होना चाहिए।


संभाव्यता उपायों में भौतिकी से लेकर वित्त और जीव विज्ञान तक विविध क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं।
संभाव्यता मापों में भौतिकी से लेकर वित्त और जीव विज्ञान तक विविध क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
[[File:Probability-measure.svg|thumb|300px|प्रायिकता माप के लिए प्रायिकता स्थान की मैपिंग  <math>2^3</math> [[इकाई अंतराल]] के लिए घटनाएँ।]][[सेट समारोह]] के लिए आवश्यकताएँ <math>\mu</math> प्रायिकता स्थान पर संभाव्यता माप होने के लिए:
[[File:Probability-measure.svg|thumb|300px|प्रायिकता माप के लिए प्रायिकता स्थान की मैपिंग  <math>2^3</math> [[इकाई अंतराल]] के लिए घटनाएँ।]][[सेट समारोह|समुच्चय फलन]] के लिए आवश्यकताएँ <math>\mu</math> प्रायिकता स्थान पर संभाव्यता माप होने के लिए:


* <math>\mu</math> इकाई अंतराल में परिणाम वापस करना चाहिए <math>[0, 1],</math> रिटर्निंग <math>0</math> खाली सेट के लिए और <math>1</math> पूरे अंतरिक्ष के लिए।
* <math>\mu</math> को इकाई अंतराल <math>[0, 1],</math> में खाली सेट के लिए <math>0</math> और पूरे स्थान के लिए <math>1</math> में परिणाम वापस करना चाहिए।
* <math>\mu</math> [[सिग्मा-एडिटिव सेट फंक्शन]] प्रॉपर्टी को संतुष्ट करना चाहिए जो सभी गणना योग्य संग्रहों के लिए है <math>E_1, E_2, \ldots</math> जोड़ो में असंयुक्त सेट की: <math display=block> \mu\left(\bigcup_{i \in \N} E_i\right) = \sum_{i \in \N} \mu(E_i).</math>
* <math>\mu</math> [[सिग्मा-एडिटिव सेट फंक्शन|सिग्मा-एडिटिव समुच्चय फलन]] गुण को संतुष्ट करना चाहिए जो सभी गणना योग्य संग्रहों के लिए <math>E_1, E_2, \ldots</math> जोड़ो में असंयुक्त समुच्चय : <math display=block> \mu\left(\bigcup_{i \in \N} E_i\right) = \sum_{i \in \N} \mu(E_i).</math>
उदाहरण के लिए, संभावनाओं के साथ तीन तत्व 1, 2 और 3 दिए गए हैं <math>1/4, 1/4</math> और <math>1/2,</math> को दिया गया मान <math>\{1, 3\}</math> है <math>1/4 + 1/2 = 3/4,</math> जैसा कि दाईं ओर आरेख में है।
उदाहरण के लिए, <math>1/4, 1/4</math> और <math>1/2,</math> संभावनाओं के साथ तीन तत्व 1, 2 और 3 दिए गए हैं, <math>1/4 + 1/2 = 3/4,</math>को दिया गया मान <math>\{1, 3\}</math> है  जैसा कि दाईं ओर आरेख में है।


घटनाओं के प्रतिच्छेदन पर आधारित [[सशर्त संभाव्यता]] को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
घटनाओं के प्रतिच्छेदन पर आधारित [[सशर्त संभाव्यता]] को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
<math display=block>\mu (B \mid A) = \frac{\mu(A \cap B)}{\mu(A)}.</math>
<math display=block>\mu (B \mid A) = \frac{\mu(A \cap B)}{\mu(A)}.</math>
जब तक संभाव्यता माप आवश्यकताओं को संतुष्ट करता है <math>\mu(A)</math> शून्य नहीं है।<ref>''Probability, Random Processes, and Ergodic Properties'' by Robert M. Gray 2009 {{isbn|1-4419-1089-1}} [https://books.google.com/books?id=x-VbL8mZWl8C&pg=PA163 page 163]</ref>
जब तक संभाव्यता माप आवश्यकताओं को संतुष्ट करता है जब तक  <math>\mu(A)</math> शून्य नहीं है।<ref>''Probability, Random Processes, and Ergodic Properties'' by Robert M. Gray 2009 {{isbn|1-4419-1089-1}} [https://books.google.com/books?id=x-VbL8mZWl8C&pg=PA163 page 163]</ref> संभाव्यता के माप [[फ़ज़ी माप सिद्धांत]] की अधिक सामान्य धारणा से अलग हैं जिसमें कोई आवश्यकता नहीं है कि फ़ज़ी मानों का योग हो <math>1,</math> और योगात्मक संपत्ति को [[सेट समावेशन|समुच्चय समावेशन]] के आधार पर एक आदेश संबंध द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
संभाव्यता के उपाय [[फ़ज़ी माप सिद्धांत]] की अधिक सामान्य धारणा से अलग हैं जिसमें कोई आवश्यकता नहीं है कि फ़ज़ी मानों का योग हो <math>1,</math> और योगात्मक संपत्ति को [[सेट समावेशन]] के आधार पर एक आदेश संबंध द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।


== उदाहरण अनुप्रयोग ==
== उदाहरण अनुप्रयोग ==


[[File:Maxwell-Distr.png|thumb|300px|कई मामलों में, [[सांख्यिकीय भौतिकी]] संभाव्यता उपायों का उपयोग करती है, लेकिन सभी [[माप सिद्धांत]] जो इसका उपयोग करते हैं वे संभाव्यता उपाय नहीं हैं।<ref name="stern">''A course in mathematics for students of physics, Volume 2'' by Paul Bamberg, Shlomo Sternberg 1991 {{isbn|0-521-40650-1}} [https://books.google.com/books?id=eSmC4qQ0SCAC&pg=PA802 page 802]</ref><ref name="gut">''The concept of probability in statistical physics'' by Yair M. Guttmann 1999 {{isbn|0-521-62128-3}} [https://books.google.com/books?id=Q1AUhivGmyUC&pg=PA149 page 149]</ref>]]बाजार उपाय जो वास्तविक बाजार आंदोलनों के आधार पर [[वित्तीय बाजार]] स्थानों को संभावनाएं प्रदान करते हैं, संभाव्यता उपायों के उदाहरण हैं जो [[गणितीय वित्त]] में रुचि रखते हैं; उदाहरण के लिए, वित्तीय डेरिवेटिव के मूल्य निर्धारण में।<ref>''Quantitative methods in derivatives pricing'' by Domingo Tavella 2002 {{isbn|0-471-39447-5}} [https://books.google.com/books?id=dHIMulKy8dYC&pg=PA11 page 11]</ref> उदाहरण के लिए, एक [[जोखिम-तटस्थ उपाय]] एक संभाव्यता उपाय है जो मानता है कि संपत्ति का वर्तमान मूल्य उसी जोखिम तटस्थ माप के संबंध में भविष्य के अदायगी का [[अपेक्षित मूल्य]] है (यानी संबंधित जोखिम तटस्थ घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके गणना की जाती है), और [[जोखिम मुक्त दर]] पर [[छूट]]। यदि बाजार में मूल्य निर्धारण के लिए एक अद्वितीय संभाव्यता माप का उपयोग किया जाना चाहिए, तो बाजार को पूर्ण बाजार कहा जाता है।<ref>''Irreversible decisions under uncertainty'' by Svetlana I. Boyarchenko, Serge Levendorskiĭ 2007 {{isbn|3-540-73745-6}} [https://books.google.com/books?id=lpsrP5mQG_QC&pg=PA11 page 11]</ref>
[[File:Maxwell-Distr.png|thumb|300px|कई मामलों में, [[सांख्यिकीय भौतिकी]] संभाव्यता मापों का उपयोग करती है, लेकिन सभी [[माप सिद्धांत]] जो इसका उपयोग करते हैं वे संभाव्यता माप नहीं हैं।<ref name="stern">''A course in mathematics for students of physics, Volume 2'' by Paul Bamberg, Shlomo Sternberg 1991 {{isbn|0-521-40650-1}} [https://books.google.com/books?id=eSmC4qQ0SCAC&pg=PA802 page 802]</ref><ref name="gut">''The concept of probability in statistical physics'' by Yair M. Guttmann 1999 {{isbn|0-521-62128-3}} [https://books.google.com/books?id=Q1AUhivGmyUC&pg=PA149 page 149]</ref>]]बाजार माप जो वास्तविक बाजार आंदोलनों के आधार पर [[वित्तीय बाजार]] स्थानों को संभावनाएं प्रदान करते हैं, संभाव्यता मापों के उदाहरण हैं जो [[गणितीय वित्त]] में रुचि रखते हैं; उदाहरण के लिए, वित्तीय व्युत्पन्न के मूल्य निर्धारण में।<ref>''Quantitative methods in derivatives pricing'' by Domingo Tavella 2002 {{isbn|0-471-39447-5}} [https://books.google.com/books?id=dHIMulKy8dYC&pg=PA11 page 11]</ref> उदाहरण के लिए, एक [[जोखिम-तटस्थ उपाय|जोखिम-तटस्थ माप]] एक संभाव्यता माप है जो मानता है कि संपत्ति का वर्तमान मूल्य उसी जोखिम तटस्थ माप के संबंध में भविष्य के अदायगी का [[अपेक्षित मूल्य]] है (यानी संबंधित जोखिम तटस्थ घनत्व फलन का उपयोग करके गणना की जाती है), और [[जोखिम मुक्त दर]] पर [[छूट]]। यदि बाजार में मूल्य निर्धारण के लिए एक अद्वितीय संभाव्यता माप का उपयोग किया जाना चाहिए, तो बाजार को पूर्ण बाजार कहा जाता है।<ref>''Irreversible decisions under uncertainty'' by Svetlana I. Boyarchenko, Serge Levendorskiĭ 2007 {{isbn|3-540-73745-6}} [https://books.google.com/books?id=lpsrP5mQG_QC&pg=PA11 page 11]</ref>
सभी उपाय जो सहजता से मौका या संभावना का प्रतिनिधित्व करते हैं, संभाव्यता के उपाय नहीं हैं। उदाहरण के लिए, हालांकि [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में एक प्रणाली की मौलिक अवधारणा एक माप स्थान है, ऐसे उपाय हमेशा संभाव्यता उपाय नहीं होते हैं।<ref name=stern/> सामान्य तौर पर, सांख्यिकीय भौतिकी में, यदि हम फॉर्म के वाक्यों पर विचार करते हैं, तो एक सिस्टम S की प्रायिकता मानते हुए कि A स्थिति p है, सिस्टम की ज्यामिति हमेशा प्रायिकता माप [[सर्वांगसमता संबंध]] की परिभाषा की ओर नहीं ले जाती है, हालाँकि यह ऐसा कर सकती है। स्वतंत्रता की सिर्फ एक डिग्री के साथ सिस्टम का मामला।<ref name=gut/>
सभी माप जो सहजता से मौका या संभावना का प्रतिनिधित्व करते हैं, संभाव्यता के माप नहीं हैं। उदाहरण के लिए, चूँकि [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में एक प्रणाली की मौलिक अवधारणा एक माप स्थान है, ऐसे माप सदैव संभाव्यता माप नहीं होते हैं।<ref name=stern/> सामान्यतः पर, सांख्यिकीय भौतिकी में, यदि हम फॉर्म के वाक्यों पर विचार करते हैं, तो एक प्रणाली S की प्रायिकता मानते हुए कि A स्थिति p है, प्रणाली की ज्यामिति सदैव प्रायिकता माप [[सर्वांगसमता संबंध]] की परिभाषा की ओर नहीं ले जाती है, चूँकि यह ऐसा कर सकती है। स्वतंत्रता की सिर्फ एक डिग्री के साथ प्रणाली का स्थिति है ।<ref name=gut/>


[[गणितीय जीव विज्ञान]] में संभाव्यता उपायों का भी उपयोग किया जाता है।<ref>''Mathematical Methods in Biology'' by J. David Logan, William R. Wolesensky 2009 {{isbn|0-470-52587-8}} [https://books.google.com/books?id=6GGyquH8kLcC&pg=PA195 page 195]</ref> उदाहरण के लिए, तुलनात्मक [[अनुक्रम विश्लेषण]] में एक संभाव्यता माप को इस संभावना के लिए परिभाषित किया जा सकता है कि अनुक्रम में एक [[ एमिनो एसिड ]] के लिए एक संस्करण अनुमेय हो सकता है।<ref>''Discovering biomolecular mechanisms with computational biology'' by Frank Eisenhaber 2006 {{isbn|0-387-34527-2}} [https://books.google.com/books?id=Pygg7cIZTwIC&pg=PA127 page 127]</ref>
[[गणितीय जीव विज्ञान]] में संभाव्यता मापों का भी उपयोग किया जाता है।<ref>''Mathematical Methods in Biology'' by J. David Logan, William R. Wolesensky 2009 {{isbn|0-470-52587-8}} [https://books.google.com/books?id=6GGyquH8kLcC&pg=PA195 page 195]</ref> उदाहरण के लिए, तुलनात्मक [[अनुक्रम विश्लेषण]] में एक संभाव्यता माप को इस संभावना के लिए परिभाषित किया जा सकता है कि अनुक्रम में एक [[ एमिनो एसिड ]] के लिए एक संस्करण अनुमेय हो सकता है।<ref>''Discovering biomolecular mechanisms with computational biology'' by Frank Eisenhaber 2006 {{isbn|0-387-34527-2}} [https://books.google.com/books?id=Pygg7cIZTwIC&pg=PA127 page 127]</ref> [[अल्ट्राफिल्टर]] के रूप में समझा जा सकता है <math>\{0, 1\}</math>-मूल्यवान संभाव्यता मापों, मापों के आधार पर कई सहज प्रमाणों की अनुमति। उदाहरण के लिए, हिंडमैन की प्रमेय | हिंडमैन की प्रमेय को इन मापों की आगे की जांच और विशेष रूप से उनके संकल्प से सिद्ध किया जा सकता है।
[[अल्ट्राफिल्टर]] के रूप में समझा जा सकता है <math>\{0, 1\}</math>-मूल्यवान s


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==


* {{annotated link|Borel measure}}
* {{annotated link|बोरेल माप}}
* {{annotated link|Fuzzy measure}}
* {{annotated link|फजी माप}}
* {{annotated link|Haar measure}}
* {{annotated link|हार माप}}
* {{annotated link|Lebesgue measure}}
* {{annotated link|लेबेस्गु माप}}
* {{annotated link|Martingale measure}}
* {{annotated link|मार्टिंगेल माप}}
* {{annotated link|Set function}}
* {{annotated link|समुच्चय फलन}}


==संदर्भ==
==संदर्भ==

Revision as of 09:14, 29 March 2023

Part of a series on statistics
Probability theory
Standard deviation diagram micro.svg

गणित में, प्रायिकता माप एक प्रायिकता स्थान में घटनाओं के एक समुच्चय पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो माप (गणित) गुणों जैसे गणनीय योगात्मकता को संतुष्ट करता है।[1] संभाव्यता माप और माप की अधिक सामान्य धारणा (जिसमें क्षेत्र या आयतन जैसी अवधारणाएं सम्मिलित हैं) के बीच का अंतर यह है कि एक संभाव्यता माप को संपूर्ण संभाव्यता स्थान के लिए मान 1 निर्दिष्ट करना चाहिए।

सहजता से, एडिटिविटी गुण का कहना है कि माप द्वारा दो अलग-अलग घटनाओं के संघ को सौंपी गई संभावना घटनाओं की संभावनाओं का योग होना चाहिए; उदाहरण के लिए, एक पासे को फेंकने पर 1 या 2 को दिया गया मान 1 और 2 को दिए गए मानों का योग होना चाहिए।

संभाव्यता मापों में भौतिकी से लेकर वित्त और जीव विज्ञान तक विविध क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं।

परिभाषा

प्रायिकता माप के लिए प्रायिकता स्थान की मैपिंग इकाई अंतराल के लिए घटनाएँ।

समुच्चय फलन के लिए आवश्यकताएँ प्रायिकता स्थान पर संभाव्यता माप होने के लिए:

  • को इकाई अंतराल में खाली सेट के लिए और पूरे स्थान के लिए में परिणाम वापस करना चाहिए।
  • सिग्मा-एडिटिव समुच्चय फलन गुण को संतुष्ट करना चाहिए जो सभी गणना योग्य संग्रहों के लिए जोड़ो में असंयुक्त समुच्चय :

उदाहरण के लिए, और संभावनाओं के साथ तीन तत्व 1, 2 और 3 दिए गए हैं, को दिया गया मान है जैसा कि दाईं ओर आरेख में है।

घटनाओं के प्रतिच्छेदन पर आधारित सशर्त संभाव्यता को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: