रैखिक फलन (गणना): Difference between revisions

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[[Image:wiki linear function.png|thumb|right|रैखिक समारोह का ग्राफ: <math>y(x) = -x + 2</math>]]गणित के [[गणना]] और संबंधित क्षेत्रों में, वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक रेखीय फलन ऐसा फलन होता है जिसका ग्राफ ([[कार्तीय निर्देशांक]] में) समतल में गैर-ऊर्ध्वाधर [[रेखा (ज्यामिति)]] होता है।<ref>Stewart 2012, p. 23</ref> रैखिक कार्यों की विशेषता संपत्ति यह है कि जब इनपुट चर को बदल दिया जाता है, तो आउटपुट में परिवर्तन इनपुट में परिवर्तन के लिए [[आनुपातिकता (गणित)]] होता है।
[[Image:wiki linear function.png|thumb|right|रैखिक फंक्शन का ग्राफ: <math>y(x) = -x + 2</math>]]किसी [[गणना]] और उसके संबंधित क्षेत्रों में, वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक रेखीय फलन ऐसा फलन होता है जिसका ग्राफ ([[कार्तीय निर्देशांक]] में) किसी समतल में क्षैतिज [[रेखा (ज्यामिति)]] के अनुक्रम में होता हैं।<ref>Stewart 2012, p. 23</ref> रैखिक फंक्शन की विशेषता यह है कि जब इनपुट वैरियेबल को परिवर्तित किया जाता है, तो आउटपुट में परिवर्तन इनपुट में होने वाले परिवर्तन के लिए [[आनुपातिकता (गणित)]] के कारण होता हैं।


रैखिक फलन रैखिक समीकरणों से संबंधित होते हैं।
रैखिक फलन रैखिक समीकरणों से संबंधित होते हैं।


== गुण ==
== गुण ==
एक रैखिक फलन बहुपद फलन है जिसमें [[चर (गणित)]] {{mvar|x}} के पास अधिकतम डिग्री है:<ref>Stewart 2012, p. 24</ref>
रैखिक फलन ऐसा बहुपद फलन है जिसमें [[चर (गणित)|वैरियेबल (गणित)]] {{mvar|x}} के पास अधिकतम डिग्री रहती है:<ref>Stewart 2012, p. 24</ref>
:<math>f(x)=ax+b</math>.
:<math>f(x)=ax+b</math>
इस तरह के समारोह को रैखिक कहा जाता है क्योंकि इसका फ़ंक्शन का ग्राफ, सभी बिंदुओं का सेट <math>(x,f(x))</math> कार्तीय तल में, रेखा (ज्यामिति) है। गुणांक a को फ़ंक्शन और रेखा का ढलान कहा जाता है (नीचे देखें)।
इस प्रकार के फंक्शन को रैखिक फंक्शन कहा जाता है क्योंकि इस फ़ंक्शन का ग्राफ उपस्थित सभी बिंदुओं के समुच्चय <math>(x,f(x))</math> के लिए कार्तीय तल के रूप में रेखा ज्यामिति को सुशोभित करता है। इसके गुणांक a को फ़ंक्शन और रेखा का ढलान के रूप में निरूपित करते हैं।
   
   
यदि ढलान है <math>a=0</math>, यह निरंतर कार्य है <math>f(x)=b</math> क्षैतिज रेखा को परिभाषित करना, जिसे कुछ लेखक रैखिक कार्यों के वर्ग से बाहर करते हैं।<ref>{{harvnb|Swokowski|1983|loc=p. 34}}</ref> इस परिभाषा के साथ, रैखिक बहुपद की घात ठीक होगी, और इसका ग्राफ़ ऐसी रेखा होगी जो न तो लंबवत है और न ही क्षैतिज। चूँकि, इस लेख में, <math>a\neq 0</math> आवश्यक है, इसलिए स्थिर कार्यों को रैखिक माना जाएगा।
यदि ढलान <math>a=0</math> है, जिसका निरंतर फंक्शन <math>f(x)=b</math> है तो क्षैतिज रेखा को परिभाषित करना इसके रैखिक फंक्शन के वर्ग से बाहर होता हैं।<ref>{{harvnb|Swokowski|1983|loc=p. 34}}</ref> इस परिभाषा के साथ रैखिक बहुपद की घात ठीक होगी, और इसका ग्राफ़ ऐसी रेखा होगी जो न तो लंबवत और न ही क्षैतिज होता है। चूँकि, इस लेख में, <math>a\neq 0</math> होना आवश्यक है, इसलिए स्थिर फंक्शन को रैखिक माना जाता हैं।


यदि <math>b=0</math> तब रैखिक कार्य को सजातीय कहा जाता है। ऐसा फ़ंक्शन रेखा को परिभाषित करता है जो समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति, अर्थात बिंदु से गुजरती है <math>(x,y)=(0,0)</math>. उन्नत गणित ग्रंथों में, रैखिक फ़ंक्शन शब्द अधिकांशतःविशेष रूप से सजातीय रैखिक कार्यों को दर्शाता है, जबकि शब्द affine फ़ंक्शन का उपयोग सामान्य स्थितियोंके लिए किया जाता है, जिसमें सम्मिलित हैं <math>b\neq0</math>.
यदि <math>b=0</math> हो तब इस स्थिति में रैखिक फंक्शन को सजातीय फंक्शन कहा जाता है। यह ऐसा फ़ंक्शन है जो रेखा को परिभाषित करता है तथा समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के कारण यह बिंदु <math>(x,y)=(0,0)</math> से गुजरता है। इस प्रकार उन्नत गणित ग्रंथों में रैखिक फ़ंक्शन शब्द अधिकांशतः विशेष रूप से सजातीय रैखिक फंक्शन को दर्शाते हैं, जबकि शब्द एफाइन फ़ंक्शन का उपयोग सामान्य स्थितियों के लिए किया जाता है, जिसमें <math>b\neq0</math> सम्मिलित हैं।


किसी रैखिक फलन के फलन का प्राकृतिक डोमेन <math>f(x)</math>, के लिए अनुमत इनपुट मानों का सेट {{math|''x''}}, [[वास्तविक संख्या]]ओं का संपूर्ण समुच्चय है, <math>x\in \mathbb R.</math> कोई भी ऐसे कार्यों पर विचार कर सकता है {{math|''x''}} मनमाने [[क्षेत्र (गणित)]] में, गुणांक लेते हुए {{math|''a, b''}} उस क्षेत्र में।
किसी रैखिक फलन के फलन का प्राकृतिक डोमेन <math>f(x)</math>, के लिए अनुमत इनपुट मानों का समुच्चय {{math|''x''}}, [[वास्तविक संख्या]]ओं का संपूर्ण समुच्चय <math>x\in \mathbb R.</math> है,  इस प्रकार किसी भी फंक्शन पर विचार कर सकता है, यहाँ पर {{math|''x''}} [[क्षेत्र (गणित)]] में, गुणांक लेते हुए {{math|''a, b''}} को उस क्षेत्र में संलग्न करते हैं।


लेखाचित्र <math>y=f(x)=ax+b</math> के साथ ठीक चौराहा होने वाली गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा है {{math|''y''}}-अक्ष, इसका {{math|''y''}}-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(0,b).</math> {{math|''y''}}}-अवरोधन मूल्य <math>y=f(0)=b</math> का प्रारंभिक मान भी कहा जाता है <math>f(x).</math> यदि <math>a\neq 0,</math> ग्राफ गैर-क्षैतिज रेखा है जिसमें ठीक चौराहा होता है {{math|''x''}}-अक्ष, द {{math|''x''}}-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(-\tfrac ba,0).</math> {{math|''x''}}}-अवरोधन मूल्य <math>x=-\tfrac ba,</math> समीकरण का हल <math>f(x)=0,</math> के फलन का मूल या शून्य भी कहा जाता है <math>f(x).</math>
मानचित्र <math>y=f(x)=ax+b</math> के साथ ठीक अंतःखण्डित होने वाली गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा {{math|''y''}}-अक्ष पर रहती है, इसका {{math|''y''}}-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(0,b).</math> {{math|''y''}}}-अवरोधन मान <math>y=f(0)=b</math> का प्रारंभिक मान <math>f(x).</math> भी कहा जाता है। इस प्रकार यदि <math>a\neq 0,</math> हो तब इस स्थिति में ग्राफ गैर-क्षैतिज रेखा की ओर प्रदर्शित होता हैं जिसमें निम्न अंतःखण्ड होते है- {{math|''x''}}-अक्ष, {{math|''x''}}-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(-\tfrac ba,0).</math> {{math|''x''}}}-अवरोधन मान <math>x=-\tfrac ba,</math> समीकरण का हल <math>f(x)=0,</math> के फलन <math>f(x).</math> का मूल या शून्य भी कहा जाता है।
== ढलान ==
== ढलान ==
[[File:Slope picture.svg|thumb|right|128px|एक रेखा का ढलान अनुपात है <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> में बदलाव के बीच {{mvar|x}}, निरूपित <math>\Delta x</math>, और इसी में परिवर्तन {{mvar|y}}, निरूपित <math>\Delta y</math>]]एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा का [[ढलान (गणित)]] संख्या है जो यह मापती है कि रेखा कितनी तेजी से झुकी हुई है (राइज़-ओवर-रन)। यदि रेखा रैखिक फलन का आलेख है <math>f(x) = ax + b</math>, यह ढलान स्थिर द्वारा दिया गया है {{mvar|a}}.
[[File:Slope picture.svg|thumb|right|128px|एक रेखा का ढलान अनुपात है <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> में बदलाव के बीच {{mvar|x}}, निरूपित <math>\Delta x</math>, और इसी में परिवर्तन {{mvar|y}}, निरूपित <math>\Delta y</math>]]किसी गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा का [[ढलान (गणित)]] संख्या है जो यह मापती है कि रेखा कितनी झुकी हुई है। यदि रेखा रैखिक फलन का आलेख <math>f(x) = ax + b</math> है, इस स्थिति में ढलान स्थिर {{mvar|a}} द्वारा दिया जाता है।


ढलान के परिवर्तन की निरंतर दर को मापता है <math>f(x)</math> एक्स में प्रति यूनिट परिवर्तन: जब भी इनपुट {{mvar|x}} में इकाई की वृद्धि होती है, तो उत्पादन में परिवर्तन होता है {{mvar|a}} इकाइयां: <math>f(x{+}1)=f(x)+a</math>, और अधिक सामान्यतः <math>f(x{+}\Delta x)=f(x)+a\Delta x</math> किसी भी संख्या के लिए <math>\Delta x</math>. यदि ढलान धनात्मक है, <math>a > 0</math>, फिर समारोह <math>f(x)</math> यह बढ़ रहा है; यदि <math>a < 0</math>, तब <math>f(x)</math> गिरते हुए
ढलान के परिवर्तन की निरंतर दर <math>f(x)</math> को मापता है। x में प्रति यूनिट होने वाला परिवर्तन जब भी इनपुट {{mvar|x}} में इकाई की वृद्धि होती है, तो उत्पादन में परिवर्तन होता है। इस प्रकार {{mvar|a}} इकाइयां: <math>f(x{+}1)=f(x)+a</math>, और अधिक सामान्यतः <math>f(x{+}\Delta x)=f(x)+a\Delta x</math> किसी भी संख्या के लिए <math>\Delta x</math> द्वारा प्रदर्शित होती हैं। इस कारण यदि ढलान धनात्मक होता है तब <math>a > 0</math> होने पर फंक्शन <math>f(x)</math> का मान बढ़ जाता है, यदि <math>a < 0</math>, तब इस स्थिति में <math>f(x)</math> का मान कम होता हैं।


अवकल कलन में, सामान्य फलन का व्युत्पन्न परिवर्तन की दर को मापता है। रैखिक कार्य <math>f(x)=ax+b</math> इसकी ढलान के बराबर परिवर्तन की निरंतर दर है {{mvar|a}}, इसलिए इसका व्युत्पन्न स्थिर फलन है <math>f\,'(x)=a</math>.
अवकल कलन में, सामान्य फलन का व्युत्पन्न परिवर्तन की दर को मापता है। रैखिक फंक्शन <math>f(x)=ax+b</math> के लिए इसकी ढलान के बराबर परिवर्तन की निरंतर दर {{mvar|a}} द्वारा निरूपित करते है, इसलिए इसका व्युत्पन्न स्थिर फलन <math>f\,'(x)=a</math> होता है।


डिफरेंशियल कैलकुलस का मूल विचार यह है कि कोई भी [[अलग करने योग्य समारोह]] फंक्शन होता है <math>f(x)</math> (आवश्यक रूप से रैखिक नहीं) किसी दिए गए बिंदु के निकट निकट [[रैखिक सन्निकटन]] हो सकता है <math>x=c</math> अद्वितीय रैखिक कार्य द्वारा। व्युत्पन्न <math>f\,'(c)</math> इस रैखिक समारोह का ढलान है, और सन्निकटन है: <math>f(x) \approx f\,'(c)(x{-}c)+f(c)</math> के लिए <math>x\approx c</math>. रेखीय सन्निकटन का ग्राफ ग्राफ की [[स्पर्श रेखा]] है <math>y=f(x)</math> बिंदु पर <math>(c,f(c))</math>. व्युत्पन्न ढलान <math>f\,'(c)</math> सामान्यतः बिंदु सी के साथ बदलता रहता है। रैखिक कार्यों को केवल वास्तविक कार्यों के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसका व्युत्पन्न स्थिर है: यदि <math>f\,'(x)=a</math> सभी एक्स के लिए, फिर <math>f(x)=ax+b</math> के लिए <math>b=f(0)</math>.
डिफरेंशियल कैलकुलस का मूल विचार यह है कि कोई भी [[अलग करने योग्य समारोह|अलग करने योग्य फंक्शन]] <math>f(x)</math> होता है। किसी दिए गए बिंदु के निकट निकट [[रैखिक सन्निकटन]] <math>x=c</math> हो सकता है। इस प्रकार अद्वितीय रैखिक फंक्शन द्वारा व्युत्पन्न <math>f\,'(c)</math> को इसका रैखिक फंक्शन का ढलान कहा जाता है, और सन्निकटन फंक्शन को इस प्रकार निरूपित करते हैं : <math>f(x) \approx f\,'(c)(x{-}c)+f(c)</math> के लिए <math>x\approx c</math>. तथा रेखीय सन्निकटन का ग्राफ ग्राफ की [[स्पर्श रेखा]] <math>y=f(x)</math> है, जहाँ बिंदु <math>(c,f(c))</math> पर  व्युत्पन्न ढलान <math>f\,'(c)</math> सामान्यतः बिंदु C के साथ परिवर्तित होती रहती है। रैखिक फंक्शन को केवल वास्तविक फंक्शन के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसका व्युत्पन्न स्थिर है: यदि <math>f\,'(x)=a</math> सभी x के लिए, पुनः <math>f(x)=ax+b</math> के लिए <math>b=f(0)</math> के बराबर होता हैं।


== ढाल-अवरोधन, बिंदु-ढलान, और दो-बिंदु रूप ==
== ढाल-अवरोधन, बिंदु-ढलान, और दो-बिंदु रूप ==
एक दिया गया रैखिक कार्य <math>f(x)</math> इसके विभिन्न गुणों को प्रदर्शित करते हुए कई मानक सूत्रों में लिखा जा सकता है। सबसे सरल ढलान-अवरोधन रूप है:
एक दिया गया रैखिक फंक्शन <math>f(x)</math> इसके विभिन्न गुणों को प्रदर्शित करते हुए कई मानक सूत्रों में लिखा जा सकता है। सबसे सरल ढलान-अवरोधन रूप है:
:<math>f(x)= ax+b</math>,
:<math>f(x)= ax+b</math>,
जिससे कोई तुरंत ढलान a और प्रारंभिक मान देख सकता है <math>f(0)=b</math>, जो ग्राफ का y-अवरोधन है <math>y=f(x)</math>.
जिससे कोई तुरंत ढलान a और प्रारंभिक मान देख सकता है <math>f(0)=b</math>, जो ग्राफ का y-अवरोधन है <math>y=f(x)</math>.
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== रैखिक समीकरणों के साथ संबंध ==
== रैखिक समीकरणों के साथ संबंध ==
[[Image:wiki linearna funkcija eks1.png|thumb|right]]रैखिक फलन सामान्यतः चरों से संबंधित व्यावहारिक समस्याओं से उत्पन्न होते हैं <math>x,y</math> रैखिक संबंध के साथ, अर्थात् रैखिक समीकरण का पालन करना <math>Ax+By=C</math>. यदि <math>B\neq 0</math>, कोई इस समीकरण को y के लिए हल कर सकता है
[[Image:wiki linearna funkcija eks1.png|thumb|right]]रैखिक फलन सामान्यतः चरों से संबंधित व्यावहारिक समस्याओं <math>x,y</math> रैखिक संबंध के साथ से उत्पन्न होते हैं, अर्थात् रैखिक समीकरण <math>Ax+By=C</math> का पालन करता हैं, इस कारण यदि <math>B\neq 0</math> की स्थिति में इस समीकरण को y के लिए हल किया जाता है।
:<math>y = -\tfrac{A}{B}x +\tfrac{C}{B}=ax+b,</math>
:<math>y = -\tfrac{A}{B}x +\tfrac{C}{B}=ax+b,</math>
जहां हम निरूपित करते हैं <math>a=-\tfrac{A}{B}</math> और <math>b=\tfrac{C}{B}</math>. यही है, कोई y को स्वतंत्र चर (इनपुट) x से रैखिक कार्य के माध्यम से प्राप्त आश्रित चर (आउटपुट) के रूप में मान सकता है: <math>y = f(x) = ax+b</math>. xy-निर्देशांक तल में, के संभावित मान <math>(x,y)</math> लाइन, फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं <math>f(x)</math>. यदि <math>B=0</math> मूल समीकरण में, परिणामी रेखा <math>x=\tfrac{C}{A}</math> लंबवत है, और इस रूप में नहीं लिखा जा सकता है <math>y=f(x)</math>.
जहां हम इसे  <math>a=-\tfrac{A}{B}</math> और <math>b=\tfrac{C}{B}</math> द्वारा निरूपित करते हैं। किसी बिन्दु y के लिए स्वतंत्र वैरियेबल को (इनपुट) x से रैखिक फंक्शन के माध्यम से प्राप्त आश्रित वैरियेबल के लिए आउटपुट के रूप में माना जा सकता है: <math>y = f(x) = ax+b</math> में xy-निर्देशांक समतल के संभावित मान <math>(x,y)</math> किसी लाइन के फ़ंक्शन के ग्राफ़ <math>f(x)</math> द्वारा निरूपित होते हैं। इस कारण यदि <math>B=0</math> की स्थिति में मूल समीकरण में, परिणामी रेखा <math>x=\tfrac{C}{A}</math> लंबवत होती है, और इसलिए इसे <math>y=f(x)</math> रूप में नहीं लिखा जा सकता है।


ग्राफ की विशेषताएं <math>y = f(x) = ax+b</math> चर x और y के संदर्भ में व्याख्या की जा सकती है। Y-अवरोधन प्रारंभिक मान है <math>y=f(0)=b</math> पर <math>x=0</math>. स्लोप a इनपुट x में आउटपुट y प्रति यूनिट परिवर्तन के परिवर्तन की दर को मापता है। ग्राफ़ में, इकाई को दाईं ओर ले जाने पर (x को 1 से बढ़ाने पर) y-मान को a से ऊपर ले जाता है: अर्थात, <math>f(x{+}1) = f(x) + a</math>. नकारात्मक ढलान x में प्रत्येक वृद्धि के लिए y में कमी दर्शाता है।
ग्राफ <math>y = f(x) = ax+b</math> की विशेषता वैरियेबल x और y के संदर्भ में व्याख्या की जाती है। इस प्रकार Y-अवरोधन प्रारंभिक मान <math>y=f(0)=b</math> पर <math>x=0</math> है। इस प्रकार स्लोप a इनपुट x में आउटपुट y प्रति यूनिट परिवर्तन के परिवर्तन की दर को मापता है। इस ग्राफ़ में किसी इकाई को दाईं ओर ले जाने पर (x को 1 से बढ़ाने पर) y-मान को a से ऊपर ले जाता है: अर्थात, <math>f(x{+}1) = f(x) + a</math>. ऋणात्मक ढलान x में प्रत्येक वृद्धि के लिए y में कमी को दर्शाता है।


उदाहरण के लिए, रैखिक कार्य <math>y = -2x + 4</math> ढलान है <math>a=-2</math>, वाई-अवरोधन बिंदु <math>(0,b)=(0,4)</math>, और एक्स-अवरोधन बिंदु <math>(2,0)</math>.
उदाहरण के लिए, रैखिक फंक्शन <math>y = -2x + 4</math> ढलान है, तथा बिन्दु <math>a=-2</math> के लिए Y-अवरोधन बिंदु <math>(0,b)=(0,4)</math> हैं और X-अवरोधन बिंदु <math>(2,0)</math> हैं।


=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===
मान लीजिए कि सलामी और सॉसेज की कीमत €6 और €3 प्रति किलोग्राम है, और हम €12 कीमत खरीदना चाहते हैं। हम प्रत्येक की कितनी मात्रा खरीद सकते हैं? यदि x किलोग्राम सलामी और y किलोग्राम सॉसेज की कीमत कुल €12 है, तो €6×x + €3×y = €12। y के लिए हल करने से बिंदु-ढलान रूप मिलता है <math>y = -2x + 4</math>, ऊपरोक्त अनुसार। यही है, यदि हम पहले सलामी एक्स की मात्रा चुनते हैं, तो सॉसेज की मात्रा को फ़ंक्शन के रूप में गणना की जा सकती है <math>y = f(x) = -2x + 4</math>. चूँकि सलामी की कीमत सॉसेज से दुगनी होती है, किलो सलामी जोड़ने से सॉसेज में 2 किलो कमी आ जाती है: <math>f(x{+}1) = f(x) - 2</math>, और ढलान -2 है। Y-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(0,4)</math> केवल 4 किलो सॉसेज खरीदने के बराबर है; जबकि एक्स-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(2,0)</math> केवल 2 किलो सलामी खरीदने के बराबर है।
मान लीजिए कि सलामी और सॉसेज की कीमत €6 और €3 प्रति किलोग्राम है, और हम €12 कीमत खरीदना चाहते हैं। हम प्रत्येक की कितनी मात्रा खरीद सकते हैं? यदि x किलोग्राम सलामी और y किलोग्राम सॉसेज की कीमत कुल €12 है, तो समीकरण €6×x + €3×y = €12 प्राप्त होता हैं। इस प्रकार y के लिए हल करने से बिंदु-ढलान <math>y = -2x + 4</math> रूप मिलता है। उपरोक्त समीकरण के अनुसार यदि हम पहले सलामी X की मात्रा चुनते हैं, तो सॉसेज की मात्रा को फ़ंक्शन <math>y = f(x) = -2x + 4</math> के रूप में गणना की जा सकती है। चूँकि सलामी की कीमत सॉसेज से दुगनी होती है, इस कारण सलामी जोड़ने से सॉसेज में 2 किलो कमी आ जाती है: <math>f(x{+}1) = f(x) - 2</math>, और ढलान -2 हो जाता है। इस प्रकार Y-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(0,4)</math> केवल 4 किलो सॉसेज खरीदने के बराबर होता है; जबकि X-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(2,0)</math> केवल 2 किलो सलामी खरीदने के बराबर होता हैं।


ध्यान दें कि ग्राफ़ में x या y के ऋणात्मक मान वाले बिंदु सम्मिलित हैं, जिनका मूल चर के संदर्भ में कोई अर्थ नहीं है (जब तक कि हम कसाई को मांस बेचने की कल्पना न करें)। इस प्रकार हमें अपने कार्य को सीमित करना चाहिए <math>f(x)</math> डोमेन के लिए <math>0\le x\le 2</math>.
ध्यान दें कि ग्राफ़ में x या y के ऋणात्मक मान वाले बिंदु सम्मिलित हैं, जिनका मूल चर के संदर्भ में कोई अर्थ नहीं है। जब तक कि हम कसाई को मांस बेचने की कल्पना नही कर लेते हैं। इस प्रकार हमें अपने फंक्शन <math>f(x)</math> डोमेन के लिए <math>0\le x\le 2</math> को सीमित करना चाहिए।


इसके अतिरिक्त, हम y को स्वतंत्र चर के रूप में चुन सकते हैं, और व्युत्क्रम फ़ंक्शन रैखिक फ़ंक्शन द्वारा x की गणना कर सकते हैं: <math>x = g(y) = -\tfrac12 y +2</math> डोमेन के ऊपर <math>0\le y \le 4</math>.
इसके अतिरिक्त, हम y को स्वतंत्र वैरियेबल के रूप में चुन सकते हैं, और व्युत्क्रम फ़ंक्शन रैखिक फ़ंक्शन द्वारा x की गणना <math>x = g(y) = -\tfrac12 y +2</math> डोमेन के ऊपर <math>0\le y \le 4</math> के आधार पर कर सकते हैं।


== कार्यों के अन्य वर्गों के साथ संबंध ==
== फंक्शन के अन्य वर्गों के साथ संबंध ==


यदि चर का गुणांक शून्य नहीं है ({{math|''a'' ≠ 0}}), तो रैखिक फलन को [[बहुपद]] 1 बहुपद (जिसे रैखिक बहुपद भी कहा जाता है) की डिग्री द्वारा दर्शाया जाता है, अन्यथा यह स्थिर फलन है - बहुपद फलन भी, किन्तु शून्य अंश का।
यदि वैरियेबल का गुणांक शून्य नहीं है तब ({{math|''a'' ≠ 0}}), तो रैखिक फलन को [[बहुपद]] 1 अर्ताथ जिसे रैखिक बहुपद भी कहा जाता है के लिए उक्त डिग्री द्वारा दर्शाया जाता है, अन्यथा यह स्थिर फलन के रूप में निरूपित होता है - बहुपद फलन भी इसी प्रकार होता हैं किन्तु यह शून्य अंश का आधार माना जाता हैं।


एक सीधी रेखा, जब अलग तरह की समन्वय प्रणाली में खींची जाती है, तो अन्य कार्यों का प्रतिनिधित्व कर सकती है।
इस प्रकार सीधी रेखा के आधार पर जब अलग प्रकार की समन्वय प्रणाली में खींची जाती है, तो अन्य फंक्शन का प्रतिनिधित्व कर सकती है।


उदाहरण के लिए, यह [[घातीय वृद्धि]] का प्रतिनिधित्व कर सकता है जब इसके [[कोडोमेन]] को [[लघुगणकीय पैमाने]] में व्यक्त किया जाता है। इसका मतलब है कि कब {{math|[[logarithm|log]](''g''(''x''))}} का रैखिक कार्य है {{mvar|x}}, कार्यक्रम {{mvar|g}} चरघातांकी है। रैखिक कार्यों के साथ, इकाई द्वारा इनपुट बढ़ाने से आउटपुट निश्चित राशि से बढ़ जाता है, जो कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ का ढलान है। घातीय कार्यों के साथ, इकाई द्वारा इनपुट बढ़ाने से आउटपुट निश्चित गुणक से बढ़ जाता है, जिसे घातीय कार्य के आधार के रूप में जाना जाता है।
उदाहरण के लिए यह [[घातीय वृद्धि]] का प्रतिनिधित्व कर सकता है जब इसके [[कोडोमेन]] को [[लघुगणकीय पैमाने]] पर व्यक्त किया जाता है। इसका आशय यह है कि जब {{math|[[logarithm|log]](''g''(''x''))}} का रैखिक फंक्शन {{mvar|x}} होता हैं, इस प्रकार फंक्शन {{mvar|g}} चरघातांकी होता हैं। इस प्रकार रैखिक फंक्शन के साथ उक्त इकाई द्वारा इनपुट बढ़ाने से आउटपुट निश्चित राशि से बढ़ जाता है, जो कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ के ढलान द्वारा निरूपित होता हैं। घातीय फंक्शन के साथ, इकाई द्वारा इनपुट बढ़ाने से आउटपुट निश्चित गुणक से बढ़ जाता है, जिसे घातीय फंक्शन के आधार के रूप में जाना जाता है।


यदि किसी फ़ंक्शन के डोमेन और फ़ंक्शन के मान दोनों लॉगरिदमिक स्केल में हैं (अर्थात, जब {{math|[[logarithm|log]](''y'')}} का रैखिक कार्य है {{math|[[logarithm|log]](''x'')}}), तो सीधी रेखा शक्ति कानून का प्रतिनिधित्व करती है:
यदि किसी फ़ंक्शन के डोमेन और फ़ंक्शन के मान दोनों लॉगरिदमिक स्केल से प्रदर्शित होता हैं अर्थात जब {{math|[[logarithm|log]](''y'')}} का रैखिक फंक्शन {{math|[[logarithm|log]](''x'')}}) है तो सीधी रेखा शक्ति नियम का प्रतिनिधित्व करती है:
:<math>\log_r y = a \log_r x + b \quad\Rightarrow\quad y = r^b\cdot x^a</math>
:<math>\log_r y = a \log_r x + b \quad\Rightarrow\quad y = r^b\cdot x^a</math>


<nowiki>[[File:Archimedean-Spiral.png|thumb|आर्किमिडीज़ सर्पिल को ध्रुवीय समीकरण r = द्वारा परिभाषित किया गया है {{frac|1|2}θ + 2]]दूसरी ओर, ध्रुवीय निर्देशांक के संदर्भ में रैखिक कार्य का ग्राफ:</nowiki>
आर्किमिडीज़ वक्र को ध्रुवीय समीकरण r = द्वारा परिभाषित किया जाता है, दूसरी ओर, ध्रुवीय निर्देशांक के संदर्भ में रैखिक फंक्शन का ग्राफ इस प्रकार है:
:<math>r =f(\theta ) = a\theta  + b</math>
:<math>r =f(\theta ) = a\theta  + b</math>
एक [[आर्किमिडीयन सर्पिल]] है यदि <math>a \neq 0</math> और चक्र अन्यथा।
यह [[आर्किमिडीयन सर्पिल|आर्किमिडीयन वक्र]] है जिसके लिए <math>a \neq 0</math> स्थिति के आधार पर इस समीकरण को परिभाषित किया जाता हैं।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* Affine नक्शा, सामान्यीकरण
* एफाइन मानचित्र, सामान्यीकरण
* [[अंकगणितीय प्रगति]], पूर्णांक तर्क का रैखिक कार्य
* [[अंकगणितीय प्रगति]], पूर्णांक तर्क का रैखिक फंक्शन


== टिप्पणियाँ ==
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Revision as of 16:44, 26 March 2023

Not to be confused with रैखिक फंक्शन or रैखिक मानचित्र.
रैखिक फंक्शन का ग्राफ:

किसी गणना और उसके संबंधित क्षेत्रों में, वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक रेखीय फलन ऐसा फलन होता है जिसका ग्राफ (कार्तीय निर्देशांक में) किसी समतल में क्षैतिज रेखा (ज्यामिति) के अनुक्रम में होता हैं।[1] रैखिक फंक्शन की विशेषता यह है कि जब इनपुट वैरियेबल को परिवर्तित किया जाता है, तो आउटपुट में परिवर्तन इनपुट में होने वाले परिवर्तन के लिए आनुपातिकता (गणित) के कारण होता हैं।

रैखिक फलन रैखिक समीकरणों से संबंधित होते हैं।

गुण

रैखिक फलन ऐसा बहुपद फलन है जिसमें वैरियेबल (गणित) x के पास अधिकतम डिग्री रहती है:[2]

इस प्रकार के फंक्शन को रैखिक फंक्शन कहा जाता है क्योंकि इस फ़ंक्शन का ग्राफ उपस्थित सभी बिंदुओं के समुच्चय के लिए कार्तीय तल के रूप में रेखा ज्यामिति को सुशोभित करता है। इसके गुणांक a को फ़ंक्शन और रेखा का ढलान के रूप में निरूपित करते हैं।

यदि ढलान है, जिसका निरंतर फंक्शन