वर्सोर: Difference between revisions

Revision as of 14:26, 15 March 2023

गणित में एक वर्सोर आदर्श एक यूनिट (रिंग थ्योरी) का चतुर्भुज है। यह शब्द लैटिन वर्सारे = प्रत्यय -या के साथ क्रिया से संज्ञा बनाने के लिए लिया गया है (अर्थात् वर्सर = टर्नर)। इसे विलियम रोवन हैमिल्टन ने अपने चतुष्कोणीय सिद्धांत के संदर्भ में प्रस्तुत किया था।

प्रत्येक वर्सोर का रूप है:

q=\exp(a\mathbf {r} )=\cos a+\mathbf {r} \sin a,\quad \mathbf {r} ^{2}=-1,\quad a\in [0,\pi ],

जहां r² = -1 स्थिति का अर्थ है कि r एक इकाई-लम्बाई सदिश चतुर्भुज है (अथवा r का पहला घटक शून्य है और r के अंतिम तीन घटक 3 आयामों में एक इकाई सदिश हैं)। संबंधित त्रि-आयामी स्थान 3-आयामी घुमाव में अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व में अक्ष r के बारे में कोण 2a है। यदि a = π/2 (एक समकोण), फिर $q=\mathbf {r}$ और परिणामी इकाई वेक्टर को सही वर्सोर कहा जाता है।

चतुष्कोण गुणन के साथ वर्सोर का संग्रह समूह (गणित) बनाता है और वर्सोर का समूह 4-आयामी चतुष्कोणीय (बीजगणित में) त्रिआयामी-क्षेत्र है।

3 और 2-गोले पर प्रस्तुति

File:Spherical triangle.svg

चाप AB + चाप BC = चाप AC

हैमिल्टन ने प्रतीक Uq द्वारा चतुष्कोण q के वर्सोर को निरूपित किया। जिससे वह ध्रुवीय अपघटन चतुर्धातुक समूह अपघटन में सामान्य चतुष्कोण प्रदर्शित करने में सक्षम था।

q = Tq Uq,

जहां पर Tq, q का मानदंड है। वर्सोर का मानदंड सदैव एक के बराबर होता है। इसलिए वे H में इकाई 3-क्षेत्र पर अपना अधिकार कर लेते हैं। वर्सोर के उदाहरणों में चतुष्कोणीय समूह के आठ तत्व सम्मिलित हैं। विशेष रूप से मौलिक हैमिल्टनियन चतुष्कोण # समकोण वर्सोर हैं, जिनका समकोण | कोण π/2 है। इन वर्सोर में शून्य स्केलर भाग होता है, और इसी तरह लंबाई एक (यूनिट वैक्टर) के यूक्लिडियन वेक्टर होते हैं। दाहिने वर्सोर चतुष्कोणीय बीजगणित में -1|के वर्गमूलों का गोला #1|का चतुर्भुज#वर्गमूल बनाते हैं। जनरेटर i, j, और k राइट वर्सर्स के उदाहरण हैं, साथ ही साथ उनके योगात्मक व्युत्क्रम भी। अन्य वर्सोर में चौबीस हर्विट्ज़ चतुष्कोण सम्मिलित हैं जिनका मानक 1 है और 24-सेल पॉलीकोरोन के शीर्ष बनाते हैं। हैमिल्टन ने चतुष्कोण को दो सदिशों के भागफल के रूप में परिभाषित किया। एक वर्सोर को दो इकाई सदिशों के भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। किसी भी स्थिर समतल (ज्यामिति) के लिए Π में स्थित दो इकाई सदिशों का भागफल केवल उन दोनों के बीच के कोण (निर्देशित) पर निर्भर करता है, वही a जैसा कि इकाई सदिश-कोण प्रतिनिधित्व में ऊपर समझाया गया है। इसलिए संबंधित वर्सोर को निर्देशित चाप (ज्यामिति) के रूप में समझना स्वाभाविक हो सकता है जो इकाई सदिशों के युग्मों को जोड़ते हैं और इकाई गोले के साथ Π के प्रतिच्छेदन द्वारा गठित एक बड़े वृत्त पर स्थित होते हैं, जहाँ समतल Π मूल बिंदु से होकर गुजरता है। समान दिशा और लंबाई के चाप (या, समान, चाप (ज्यामिति) # कांति में एक वृत्त के चाप की लंबाई) तुल्यता संबंध हैं, अर्थात एक ही वर्सोर को परिभाषित करते हैं।

इस तरह का एक चाप, हालांकि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में झूठ बोल रहा है, एक बिंदु के घूर्णन के पथ का प्रतिनिधित्व नहीं करता है जैसा कि सैंडविच वाले उत्पाद के साथ वर्सोर के साथ वर्णित है। वास्तव में, यह चतुष्कोणों पर वर्सोर की बाईं गुणन क्रिया का प्रतिनिधित्व करता है जो विमान Π और 3-वैक्टरों के संबंधित महान चक्र को संरक्षित करता है। वर्सोर द्वारा परिभाषित 3-आयामी घुमाव में चाप के अंतरित कोण का दो गुना कोण होता है, और उसी विमान को संरक्षित करता है। यह संगत सदिश r के परितः घूर्णन है, जो कि Π के लंबवत है।

हैमिल्टन तीन इकाई सदिशों पर लिखता है^[1]

q=\beta :\alpha =OB:OA\

और

q'=\gamma :\beta =OC:OB

मतलब

q'q=\gamma :\alpha =OC:OA.

मानदंड के चतुष्कोणों का गुणन इकाई क्षेत्र पर बड़े वृत्त चापों के (गैर-विनिमेय) जोड़ से मेल खाता है। बड़े वृत्तों का कोई भी युग्म या तो एक ही वृत्त होता है या उसके दो प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं। इसलिए, कोई सदैव बिंदु बी और संबंधित वेक्टर को इनमें से किसी एक बिंदु पर स्थानांतरित कर सकता है जैसे कि दूसरी चाप की शुरुआत पहली चाप के अंत के समान होगी।

एक समीकरण

\exp(c\mathbf {r} )\exp(a\mathbf {s} )=\exp(b\mathbf {t} )\!

निहित रूप से दो संस्करणों के उत्पाद के लिए इकाई वेक्टर-कोण प्रतिनिधित्व को निर्दिष्ट करता है। इसका समाधान लाइ समूह सिद्धांत में सामान्य कैंपबेल-बेकर-हॉसडॉर्फ सूत्र का एक उदाहरण है। वर्सर्स द्वारा प्रतिनिधित्व किए गए 3-गोले के रूप में $\mathbb {H}$ एक 3-पैरामीटर झूठ समूह है, वर्सोर रचनाओं के साथ अभ्यास झूठ सिद्धांत में एक कदम है। स्पष्ट रूप से वर्सोर सदिशों के चतुष्कोणीय उपस्थान में त्रिज्या π की एक गेंद पर लागू घातीय मानचित्र (झूठे सिद्धांत) की छवि हैं।

वर्सर्स पूर्वोक्त वेक्टर आर्क्स के रूप में रचना करते हैं, और हैमिल्टन ने इस समूह (गणित) को आर्क्स के योग के रूप में संदर्भित किया है, लेकिन चतुष्कोणों के रूप में वे बस गुणा करते हैं।

अण्डाकार अंतरिक्ष की ज्यामिति को वर्सोर के स्थान के रूप में वर्णित किया गया है।^[2]

=== SO(3) === का प्रतिनिधित्व तीन आयामों में ओर्थोगोनल समूह, घूर्णन समूह SO(3), अक्सर आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म के माध्यम से वर्सोर के साथ व्याख्या की जाती है $q\mapsto u^{-1}qu$ जहां यू एक वर्सोर है। दरअसल, अगर

u=\exp(ar)

और सदिश s, r के लंबवत है,

तब

u^{- 1} s u = s \cos 2 a + s r \sin

[1]

[2]

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 '''<big>3 और 2-गोले पर प्रस्तुति</big>'''
-[[Image:Spherical triangle.svg|thumb|right|चाप AB + चाप BC = चाप AC]]हैमिल्टन ने प्रतीक U''q'' द्वारा चतुष्कोण ''q'' के वर्सोर को निरूपित किया। वह तब ध्रुवीय अपघटन#[[चतुर्धातुक समूह]] अपघटन में सामान्य चतुष्कोण प्रदर्शित करने में सक्षम था
+[[Image:Spherical triangle.svg|thumb|right|चाप AB + चाप BC = चाप AC]]हैमिल्टन ने प्रतीक U''q'' द्वारा चतुष्कोण ''q'' के वर्सोर को निरूपित किया। जिससे वह ध्रुवीय अपघटन [[चतुर्धातुक समूह]] अपघटन में सामान्य चतुष्कोण प्रदर्शित करने में सक्षम था।
-: ''क्यू'' = टी''क्यू'' यू''क्यू'',
+: ''q'' = '''T'''''q'' '''U'''''q'',
-जहां T''q'' 'q'' का मानदंड है। वर्सोर का मानदंड हमेशा एक के बराबर होता है; इसलिए वे एच में इकाई 3-क्षेत्र पर कब्जा कर लेते हैं। वर्सोर के उदाहरणों में चतुष्कोणीय समूह के आठ तत्व शामिल हैं। विशेष रूप से शास्त्रीय हैमिल्टनियन चतुष्कोण # समकोण वर्सोर हैं, जिनका समकोण | कोण π/2 है। इन वर्सोर में शून्य स्केलर भाग होता है, और इसी तरह लंबाई एक (यूनिट वैक्टर) के [[यूक्लिडियन वेक्टर]] होते हैं। दाहिने वर्सोर चतुष्कोणीय बीजगणित में -1|के वर्गमूलों का गोला #1|का चतुर्भुज#वर्गमूल बनाते हैं। जनरेटर ''i'', ''j'', और ''k'' राइट वर्सर्स के उदाहरण हैं, साथ ही साथ उनके योगात्मक व्युत्क्रम भी। अन्य वर्सोर में चौबीस हर्विट्ज़ चतुष्कोण शामिल हैं जिनका मानक 1 है और 24-सेल पॉलीकोरोन के शीर्ष बनाते हैं।<!-- Only a Hurwitz quaternion that belongs to the quaternion group can be a right versor (follows from the definition in coordinates) -->''
+जहां पर T''q,'' q'' का मानदंड है। वर्सोर का मानदंड सदैव एक के बराबर होता है। इसलिए वे '''H''' में इकाई 3-क्षेत्र पर अपना अधिकार कर लेते हैं। वर्सोर के उदाहरणों में चतुष्कोणीय समूह के आठ तत्व सम्मिलित हैं। विशेष रूप से मौलिक हैमिल्टनियन चतुष्कोण # समकोण वर्सोर हैं, जिनका समकोण | कोण π/2 है। इन वर्सोर में शून्य स्केलर भाग होता है, और इसी तरह लंबाई एक (यूनिट वैक्टर) के [[यूक्लिडियन वेक्टर]] होते हैं। दाहिने वर्सोर चतुष्कोणीय बीजगणित में -1|के वर्गमूलों का गोला #1|का चतुर्भुज#वर्गमूल बनाते हैं। जनरेटर ''i'', ''j'', और ''k'' राइट वर्सर्स के उदाहरण हैं, साथ ही साथ उनके योगात्मक व्युत्क्रम भी। अन्य वर्सोर में चौबीस हर्विट्ज़ चतुष्कोण सम्मिलित हैं जिनका मानक 1 है और 24-सेल पॉलीकोरोन के शीर्ष बनाते हैं।<!-- Only a Hurwitz quaternion that belongs to the quaternion group can be a right versor (follows from the definition in coordinates) -->''
 हैमिल्टन ने चतुष्[[कोण]] को दो सदिशों के भागफल के रूप में परिभाषित किया। एक वर्सोर को दो इकाई सदिशों के भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। किसी भी स्थिर समतल (ज्यामिति) के लिए Π में स्थित दो इकाई सदिशों का भागफल केवल उन दोनों के बीच के कोण (निर्देशित) पर निर्भर करता है, वही a जैसा कि इकाई सदिश-कोण प्रतिनिधित्व में ऊपर समझाया गया है। इसलिए संबंधित वर्सोर को निर्देशित [[चाप (ज्यामिति)]] के रूप में समझना स्वाभाविक हो सकता है <!--(or [[line segment]]s with respect to the [[spherical geometry]])--> जो इकाई सदिशों के युग्मों को जोड़ते हैं और इकाई गोले के साथ Π के प्रतिच्छेदन द्वारा गठित एक बड़े वृत्त पर स्थित होते हैं, जहाँ समतल Π मूल बिंदु से होकर गुजरता है। समान दिशा और लंबाई के चाप (या, समान, चाप (ज्यामिति) # [[ कांति ]] में एक वृत्त के चाप की लंबाई) [[तुल्यता संबंध]] हैं, अर्थात एक ही वर्सोर को परिभाषित करते हैं।
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 मतलब
 : <math> q' q = \gamma:\alpha = OC:OA . </math>
-मानदंड के चतुष्कोणों का गुणन इकाई क्षेत्र पर बड़े वृत्त चापों के (गैर-विनिमेय) जोड़ से मेल खाता है। बड़े वृत्तों का कोई भी युग्म या तो एक ही वृत्त होता है या उसके दो प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं। इसलिए, कोई हमेशा बिंदु बी और संबंधित वेक्टर को इनमें से किसी एक बिंदु पर स्थानांतरित कर सकता है जैसे कि दूसरी चाप की शुरुआत पहली चाप के अंत के समान होगी।
+मानदंड के चतुष्कोणों का गुणन इकाई क्षेत्र पर बड़े वृत्त चापों के (गैर-विनिमेय) जोड़ से मेल खाता है। बड़े वृत्तों का कोई भी युग्म या तो एक ही वृत्त होता है या उसके दो प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं। इसलिए, कोई सदैव बिंदु बी और संबंधित वेक्टर को इनमें से किसी एक बिंदु पर स्थानांतरित कर सकता है जैसे कि दूसरी चाप की शुरुआत पहली चाप के अंत के समान होगी।
 एक समीकरण
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 इसे रूप की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है
 :<math>\exp(ar) = \cosh a + \mathbf{r} \sinh a</math> कहाँ <math> \mathbf{r}^2  = +1.</math>
-ऐसे तत्व [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] के बीजगणित में उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए [[विभाजित-जटिल संख्या]]एं या विभाजन-चतुर्भुज। यह 1848 में [[जेम्स कॉकल (वकील)]] द्वारा खोजे गए टेसरीन का बीजगणित था जिसने सबसे पहले अतिशयोक्तिपूर्ण वर्सोर प्रदान किए। वास्तव में, जेम्स कॉकल ने उपरोक्त समीकरण (के साथ{{math|j}} की जगह{{math|r}}) जब उन्होंने पाया कि टेसरीन में नए प्रकार के काल्पनिक तत्व शामिल हैं।
+ऐसे तत्व [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] के बीजगणित में उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए [[विभाजित-जटिल संख्या]]एं या विभाजन-चतुर्भुज। यह 1848 में [[जेम्स कॉकल (वकील)]] द्वारा खोजे गए टेसरीन का बीजगणित था जिसने सबसे पहले अतिशयोक्तिपूर्ण वर्सोर प्रदान किए। वास्तव में, जेम्स कॉकल ने उपरोक्त समीकरण (के साथ{{math|j}} की जगह{{math|r}}) जब उन्होंने पाया कि टेसरीन में नए प्रकार के काल्पनिक तत्व सम्मिलित हैं।
 इस वर्सोर का उपयोग होमर्शम कॉक्स (गणितज्ञ) (1882/83) द्वारा चतुष्कोण गुणन के संबंध में किया गया था।<ref>{{Cite journal|author=Cox, H.|year=1883|orig-year=1882|title=विभिन्न प्रकार के यूनिफ़ॉर्म स्पेस के लिए क्वाटरनियंस और ग्रासमैन के ऑस्देहनुंगस्लेह्रे के अनुप्रयोग पर|journal=[[Transactions of the Cambridge Philosophical Society]]|volume=13|pages=69–143|url=https://archive.org/details/transactions13camb/page/68}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Cox, H.|year=1883|orig-year=1882|title=विभिन्न प्रकार के यूनिफ़ॉर्म स्पेस के लिए क्वाटरनियंस और ग्रासमैन के ऑस्देहनुंगस्लेह्रे के अनुप्रयोग पर|journal=Proc. Camb. Phil. Soc.|volume=4|pages=194–196|url=https://archive.org/details/proceedingsofcam4188083camb}}</ref> अतिशयोक्तिपूर्ण वर्सोर के प्राथमिक प्रतिपादक [[अलेक्जेंडर मैकफर्लेन]] थे क्योंकि उन्होंने भौतिक विज्ञान की सेवा के लिए चतुष्कोणीय सिद्धांत को आकार देने के लिए काम किया था।<ref>[[Alexander Macfarlane]] (1894) [https://archive.org/details/principlesalgeb01macfgoog Papers on Space Analysis], especially papers #2, 3, & 5, B. Westerman, New York, weblink from [[archive.org]]</ref> उन्होंने स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर प्लेन पर काम करने वाले हाइपरबोलिक वर्सर्स की मॉडलिंग शक्ति को देखा, और 1891 में उन्होंने अवधारणा को 4-स्पेस तक विस्तारित करने के लिए हाइपरबोलिक [[biquaternion]] की शुरुआत की। उस बीजगणित में समस्याओं के कारण 1900 के बाद बाईक्वाटरनियंस का उपयोग हुआ। 1899 की एक व्यापक परिचालित समीक्षा में, मैकफर्लेन ने कहा:
-:...किसी द्विघात समीकरण का मूल वर्सर प्रकृति का या अदिश प्रकृति का हो सकता है। यदि यह प्रकृति में वर्सर है, तो रेडिकल से प्रभावित भाग में संदर्भ के विमान के लंबवत धुरी शामिल है, और यह ऐसा है, चाहे रेडिकल में माइनस एक का वर्गमूल शामिल हो या नहीं। पूर्व मामले में वर्सोर परिपत्र है, बाद के [[अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण]]<ref>[[Science (journal)|Science]], 9:326 (1899)</ref>
+:...किसी द्विघात समीकरण का मूल वर्सर प्रकृति का या अदिश प्रकृति का हो सकता है। यदि यह प्रकृति में वर्सर है, तो रेडिकल से प्रभावित भाग में संदर्भ के विमान के लंबवत धुरी सम्मिलित है, और यह ऐसा है, चाहे रेडिकल में माइनस एक का वर्गमूल सम्मिलित हो या नहीं। पूर्व मामले में वर्सोर परिपत्र है, बाद के [[अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण]]<ref>[[Science (journal)|Science]], 9:326 (1899)</ref>
 आज [[एक-पैरामीटर समूह]] की अवधारणा वर्सोर और अतिपरवलयिक वर्सोर की अवधारणाओं को ग्रहण करती है क्योंकि [[सोफस झूठ]] की शब्दावली ने हैमिल्टन और मैकफर्लेन की शब्दावली को बदल दिया है।
 विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए{{math|r}} ऐसा है कि {{nowrap|'''{{math|r r}}''' {{=}} +1}} या {{nowrap|'''{{math|r r}}''' {{=}} &minus;1}}, मैपिंग <math>a \mapsto \exp(a\,\mathbf{r})</math> वास्तविक रेखा # वास्तविक बीजगणित में अतिशयोक्तिपूर्ण या साधारण वर्सोर के समूह में ले जाता है। सामान्य मामले में, कब{{math|r}} और -{{math|r}} एक गोले पर [[एंटीपोडल बिंदु]] हैं, एक-पैरामीटर समूहों के समान बिंदु हैं लेकिन विपरीत दिशा में निर्देशित हैं। भौतिकी में, घूर्णी सममिति के इस पहलू को द्विक (भौतिकी) कहा जाता है।
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 उपस्थान <math>\{x i + y j + z k: x, y, z \in R \} \subset H </math> वर्सोर के समूह का [[झूठ बीजगणित]] कहा जाता है। कम्यूटेटर उत्पाद <math>[u , v] = uv - vu \ ,</math> बस दो सदिशों के क्रॉस उत्पाद को दोगुना करें, लाई बीजगणित में गुणन बनाता है। SU(1,c) और SO(3,r) के बीच घनिष्ठ संबंध उनके झूठ बीजगणित के समरूपता में स्पष्ट है।<ref name=RG/>
-अतिशयोक्तिपूर्ण वर्सोर वाले झूठे समूहों में [[इकाई अतिपरवलय]] पर समूह और विशेष एकात्मक समूह SU(1,1) शामिल हैं।
+अतिशयोक्तिपूर्ण वर्सोर वाले झूठे समूहों में [[इकाई अतिपरवलय]] पर समूह और विशेष एकात्मक समूह SU(1,1) सम्मिलित हैं।
 == यह भी देखें ==

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