वॉल्यूम फॉर्म

गणित में, वॉल्यूम फॉर्म या टॉप-डायमेंशनल फॉर्म अलग करने योग्य कई गुना डायमेंशन के बराबर डिग्री का विभेदक रूप है। इस प्रकार कई गुना $M$ आयाम का $n$, वॉल्यूम फॉर्म के लिए $n$-प्रपत्र होते हैं। यह लाइन बंडल के अनुभाग (फाइबर बंडल) के स्थान का तत्व $\textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)$ होता हैं, इस रूप में $\Omega ^{n}(M)$ घोषित किया जाता हैं, जिसमें कई गुना होने वाले तत्व की $\Omega ^{n}(M)$ मात्रा के रूप में स्वीकार करता है इस स्थिति में यह उन्मुख रहता है। कुंडा कई गुना होने पर अधिक रूप से कई वॉल्यूम फॉर्म प्राप्त होते हैं, क्योंकि वॉल्यूम फॉर्म को फ़ंक्शन द्वारा गुणा करने से और वॉल्यूम फॉर्म प्राप्त होता है। गैर-उन्मुख कई गुना पर, इसके अतिरिक्त कई गुना पर घनत्व की कमजोर धारणा को परिभाषित किया जा सकता है।

एक वॉल्यूम फॉर्म अलग-अलग कई गुना पर फ़ंक्शन (गणित) के अभिन्न अंग को परिभाषित करने का माध्यम प्रदान करता है। दूसरे शब्दों में, आयतन रूप माप (गणित) को जन्म देता है जिसके संबंध में कार्यों को उपयुक्त लेबेस्ग इंटीग्रल द्वारा एकीकृत किया जाता हैं। वॉल्यूम फॉर्म का पूर्ण मूल्य वॉल्यूम तत्व है, जिसे विभिन्न रूप से मुड़ वॉल्यूम फॉर्म या छद्म-वॉल्यूम फॉर्म के रूप में भी जाना जाता है। यह माप को भी परिभाषित करता है, किन्तु किसी भी अलग-अलग कई गुना, उन्मुख या नहीं पर सम्मिलित रहते हैं।

काहलर मैनिफोल्ड्स, जटिल मैनिफोल्ड्स होने के कारण, स्वाभाविक रूप से उन्मुख होते हैं, और इसलिए उनके पास वॉल्यूम फॉर्म होता है। अधिक सामान्यतः, $n$साहचर्य रूप की बाहय शक्ति पर साहचर्य बहुरूपी मात्रा रूप है। मैनिफोल्ड के कई वर्गों में कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म होते हैं: उनके पास अतिरिक्त संरचना होती है जो पसंदीदा वॉल्यूम फॉर्म की पसंद की अनुमति देती है। ओरिएंटेड स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड में संबंधित कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म है।

अभिविन्यास

निम्नलिखित केवल अलग-अलग मैनिफोल्ड की उन्मुखता के बारे में होगा (यह किसी भी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर परिभाषित अधिक सामान्य धारणा है)।

यह एक मैनिफोल्ड एडजस्टेबल है यदि इसमें समन्वय एटलस का उपयोग करते हैं जिसके सभी संक्रमण कार्यों में धनात्मक जैकोबियन निर्धारक घोषित किया जाता हैं। इस प्रकार अधिकतम ऐसे एटलस का चयन अभिविन्यास $M.$ है। इस मात्रा में $\omega$ पर $M$ समन्वय चार्ट के एटलस के रूप में स्वाभाविक रूप से अभिविन्यास $M$ को जन्म देता है इस प्रकार $\omega$ यूक्लिडियन वॉल्यूम फॉर्म के धनात्मक गुणक के लिए $dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.$का उपयोग करता हैं। यहाँ एक वॉल्यूम फॉर्म चलती फ्रेम के वर्ग के विनिर्देश $M.$ के लिए भी अनुमति देता है, स्पर्शरेखा सदिशों के आधार को $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ दाहिना हाथ काॅल किया जाता हैं।

$$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.$$

सभी दाएं हाथ के फ़्रेमों का संग्रह समूह क्रिया (गणित) $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ द्वारा समूह (गणित) है, इसमें सामान्य रेखीय समूह मैपिंग की $n$ धनात्मक निर्धारक के साथ आयाम के प्रिंसिपल बंडल या प्रिंसिपल $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ बनाते हैं। इसके रैखिक फ्रेम बंडल का उप-बंडल $M,$ और इसलिए वॉल्यूम फॉर्म से जुड़ा ओरिएंटेशन फ्रेम बंडल के कैनोनिकल रिडक्शन $M$ देता है, संरचना समूह के साथ उप-बंडल के लिए $\mathrm {GL} ^{+}(n).$ का तात्पर्य यह है कि आयतन रूप जी-संरचना $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ को जन्म देता है- जिसकी संरचना $M.$ द्वारा प्राप्त की जाती हैं। इन फ़्रेमों पर विचार किया जाता हैं, इन पर विचार करके प्राप्त होने वाली कमियों को स्पष्ट रूप से संभवतः प्राप्त किया जाता है-

$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)=1.$

(1)

इस प्रकार आयतन रूप को $\mathrm {SL} (n)$-संरचना भी जन्म देती है। इसके विपरीत $\mathrm {SL} (n)$-संरचना, कोई थोप कर आयतन रूप को पुनः प्राप्त कर सकता है। इस प्रकार समीकरण (1) विशेष रैखिक फ्रेम के लिए $n$-प्रपत्र $\omega$ अपने तर्कों में एकरूपता की आवश्यकता के द्वारा और फिर आवश्यकता के अनुसार हल करता हैं।

एक मैनिफोल्ड ओरिएंटेबल है अगर और केवल अगर इसमें कहीं नहीं विलुप्त होने वाले वॉल्यूम फॉर्म द्वारा प्रदर्शित होता है। वास्तव में, $\mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)$ के पश्चात विरूपण को $\mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},$ द्वारा वापस किया जाता है, जहां धनात्मक वास्तविकताओं को अदिश आव्यूहों के रूप में सन्निहित किया जाता है। इस प्रकार $\mathrm {GL} ^{+}(n)$-संरचना के लिए कम हो जाती है। जो $\mathrm {SL} (n)$-संरचना, और $\mathrm {GL} ^{+}(n)$-संरचनाएं अभिविन्यास $M.$ के साथ मेल खाती हैं। इसके अधिक संक्षेप में, निर्धारक बंडल की तुच्छता $\Omega ^{n}(M)$