त्वरण: Difference between revisions

Revision as of 23:20, 17 March 2023

यांत्रिकी में, समय के संबंध में किसी ऑब्जेक्ट के वेग में परिवर्तन की दर (गणित) को त्वरण कहते हैं। त्वरण सदिश भौतिक राशियाँ के रूप में होती है, जिसमें उनका परिमाण (गणित) और दिशा (ज्यामिति) के रूप में होती है।^[1]^[2] किसी ऑब्जेक्ट के त्वरण का ओरिएंटेशन उस ऑब्जेक्ट पर कार्य करने वाले शुद्ध बल के ओरिएंटेशन द्वारा दिया जाता है। न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा वर्णित ऑब्जेक्ट के त्वरण का परिमाण,^[3] दो कारणों का संयुक्त प्रभाव के रूप में होता है

उस ऑब्जेक्ट पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का शुद्ध संतुलन परिमाण इस शुद्ध परिणामी बल के लिए स्पष्टतः समानुपातिक रूप में होता है,
उस ऑब्जेक्ट का द्रव्यमान उन पदार्थो पर निर्भर करता है, जिनमें से इसे बनाया गया है, परिमाण ऑब्जेक्ट के द्रव्यमान के लिए व्युत्क्रम समानुपातिक रूप में होता है।

त्वरण के लिए यूनिट की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली मीटर प्रति सेकंड वर्ग (m⋅s⁻², $\mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}}$ ) के रूप में होती है।

उदाहरण के लिए, जब कोई वाहन संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम में स्थिर शून्य वेग से शुरू होता है और बढ़ती गति से एक सीधी रेखा में यात्रा करता है, तो यह यात्रा की दिशा में तेजी ला रहा होता है। यदि वाहन मुड़ता है तो त्वरण नई दिशा की ओर होता है और इसके गति वेक्टर को बदल देता है। गति की अपनी धारा दिशा में वाहन के त्वरण को वृत्ताकार गति के समय एक रैखिक या स्पर्शरेखा कहा जाता है, त्वरणप्रतिक्रिया (भौतिकी) जिसके लिए यात्रियों को एक बल के रूप में अनुभव होता है, यह बल इन्हें अपनी सीटों में वापस धकेलता है। दिशा बदलते समय प्रभावी त्वरण को वृत्ताकार गति त्वरण के समय रेडियल या सेंट्रिपेटल कहा जाता है, जिसकी प्रतिक्रिया यात्रियों को एक केन्द्रापसारक बल के रूप में अनुभव करते हैं। यदि वाहन की गति कम हो जाती है, तो यह गणितीय रूप से नकारात्मक दिशा में त्वरण के रूप में होता है जिसे कभी -कभी मंद होना या मंदबुद्धिता कहा जाता है और यात्रियों को एक जड़त्वीय बल के रूप में गतिहीनता की प्रतिक्रिया का अनुभव होता है। इस तरह के नकारात्मक त्वरण अधिकांशतः अंतरिक्ष यान में रिट्रोरॉकेट जलने से प्राप्त होते हैं।^[4] त्वरण और मंदी दोनों को समान माना जाता है, क्योंकि ये दोनों के वेग में परिवर्तन होते हैं। इनमें से प्रत्येक त्वरण स्पर्शरेखा, रेडियल, डिलेरेशन यात्रियों द्वारा महसूस किया जाता है जब तक उनके सापेक्ष विभेदी वेग को गति में परिवर्तन के कारण त्वरण के संदर्भ में निष्क्रिय रूप में नहीं हो जाते हैं।

परिभाषा और गुण

एक शास्त्रीय कण की काइनेमेटिक मात्रा: द्रव्यमान

m

, स्थान

r

, वेग

v

, त्वरण

a

।

औसत त्वरण

त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है।किसी प्रक्षेपवक्र पर किसी भी बिंदु पर, त्वरण की भयावहता उस बिंदु पर परिमाण और दिशा दोनों में वेग के परिवर्तन की दर से दी जाती है।समय पर सच्चा त्वरण

t

समय अंतराल के रूप में सीमा में पाया जाता है

Δ t \to 0

का

Δ v /Δ t

भौतिकी में समय की अवधि में एक ऑब्जेक्ट का औसत त्वरण वेग $\Delta \mathbf {v}$ ,में इसका परिवर्तन होता है, जिसे अवधि $\Delta t$ । से विभाजित किया जाता है, गणितीय रूप से इस प्रकार दिखाया गया है।

{\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}.

तात्कालिक त्वरण

नीचे से उपर तक:

an acceleration function $a (t)$ ;
the integral of the acceleration is the velocity function $v (t)$ ;
and the integral of the velocity is the distance function $s (t)$ .

इस बीच तात्कालिक त्वरण, समय के एक अतिसूक्ष्म अंतराल पर औसत त्वरण के फलन की सीमा के रूप में होता है। गणना के संदर्भ में, तात्कालिक त्वरण समय के संबंध में वेग सदिश का व्युत्पन्न होता है।

\mathbf {a} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}

जैसा कि त्वरण को वेग

v

के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, समय

t

के संबंध में और वेग को स्थिति

x

के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, समय के संबंध में, त्वरण को

t

: के संबंध में

x

के दूसरे व्युत्पन्न के रूप में माना जा सकता है।

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}

यहाँ और अन्यत्र, यदि गति एक सीधी रेखा में होती है, तो समीकरणों में सदिश राशियों को अदिशों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

कैलकुलस के मौलिक प्रमेय द्वारा यह देखा जा सकता है कि त्वरण फलन $a (t)$ का अभिन्न अंग वेग फलन $v (t)$ के रूप में हैअर्थात्, एक त्वरण बनाम समय के वक्र के अनुसार क्षेत्र $a$ बनाम $t$ ग्राफ वेग के परिवर्तन से मेल खाता है।

\mathbf {\Delta v} =\int \mathbf {a} \,dt

इसी तरह, जर्क (भौतिकी) फलन का अभिन्न अंग

j (t)

, त्वरण फलन के व्युत्पन्न के रूप में होता है, एक निश्चित समय पर त्वरण के परिवर्तन को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है,

\mathbf {\Delta a} =\int \mathbf {j} \,dt

इकाइयाँ

त्वरण में वेग के आयामी (एल/टी) समय से विभाजित होते हैं, अर्थात् एल टी-2 के रूप में विभाजित होते है, त्वरण की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली इकाई मीटर प्रति सेकंड वर्ग (एम एस−2) या मीटर प्रति सेकंड प्रति सेकंड होती है, क्योंकि मीटर प्रति सेकंड में वेग त्वरण मान से प्रति सेकंड बदलता है।

अन्य रूप

एक गोलाकार गति में जाने वाली एक ऑब्जेक्ट - जैसे कि पृथ्वी की परिक्रमा करने वाला एक उपग्रह - गति की दिशा में परिवर्तन के कारण तेज हो रहा है, चूंकि इसकी गति स्थिर हो सकती है।इस स्थिति में कहा जाता है कि यह सेंट्रिपेटल (केंद्र की ओर निर्देशित) त्वरण से गुजर रहा है।

उचित त्वरण , एक मुक्त-पतन स्थिति के सापेक्ष एक शरीर का त्वरण, एक उपकरण द्वारा मापा जाता है जिसे accelerometer कहा जाता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी में, निरंतर द्रव्यमान के साथ एक निकाय के लिए, शरीर के द्रव्यमान के केंद्र का वेक्टर (वेक्टर) त्वरण नेट फोर्स वेक्टर (अर्थात सभी बलों का योग) के लिए आनुपातिक है।दूसरा कानून):

\mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \implies \quad \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}}

कहाँ पे

F

क्या शुद्ध बल शरीर पर अभिनय कर रहा है,

m

शरीर का द्रव्यमान है, और

a

केंद्र-द्रव्यमान त्वरण है।जैसे -जैसे गति प्रकाश की गति तक पहुंचती है, विशेष सापेक्षता तेजी से बड़ी होती जाती है।

स्पर्शरेखा और सेंट्रिपेटल त्वरण

एक दोलन पेंडुलम, वेग और त्वरण के साथ चिह्नित।यह स्पर्शरेखा और सेंट्रिपेटल त्वरण दोनों का अनुभव करता है।

एक घुमावदार गति के लिए त्वरण के घटक।स्पर्शरेखा घटक

a t

ट्रैवर्सल की गति में परिवर्तन के कारण है, और वेग वेक्टर (या विपरीत दिशा में) की दिशा में वक्र के साथ अंक।सामान्य घटक (जिसे परिपत्र गति के लिए सेंट्रिपेटल घटक भी कहा जाता है)

a c

वेग वेक्टर की दिशा में परिवर्तन के कारण है और पथ के वक्रता के केंद्र की ओर इशारा करते हुए, प्रक्षेपवक्र के लिए सामान्य है।

समय के एक फलन (गणित) के रूप में एक घुमावदार पथ पर चलते हुए एक कण का वेग लिखा जा सकता है:

v (t) = v (t) \frac{v (t)}{v (t)} =

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Line 14: / Line 14: @@
 [[File:Acceleration as derivative of velocity along trajectory.svg|right|thumb|त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है।किसी प्रक्षेपवक्र पर किसी भी बिंदु पर, त्वरण की भयावहता उस बिंदु पर परिमाण और दिशा दोनों में वेग के परिवर्तन की दर से दी जाती है।समय पर सच्चा त्वरण {{mvar|t}} [[ समय अंतराल ]] के रूप में सीमा में पाया जाता है {{math|Δ''t'' → 0}} का {{math|Δ'''v'''/Δ''t''}}]]
-[[ भौतिकी में समय ]] की अवधि में एक ऑब्जेक्ट का औसत त्वरण वेग में इसका परिवर्तन है, <math>\Delta \mathbf{v}</math>, अवधि की अवधि से विभाजित, <math>\Delta t</math>।गणितीय रूप से,
+[[ भौतिकी में समय ]] की अवधि में एक ऑब्जेक्ट का औसत त्वरण वेग <math>\Delta \mathbf{v}</math>,में इसका परिवर्तन  होता है, जिसे अवधि <math>\Delta t</math>। से विभाजित किया जाता है, गणितीय रूप से इस प्रकार दिखाया गया है।
 <math display="block">\bar{\mathbf{a}} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}.</math>
 === तात्कालिक त्वरण ===
 [[File:1-D kinematics.svg|thumb|right|नीचे से उपर तक: {{bulleted list
@@ Line 24: / Line 22: @@
   | and the integral of the velocity is the distance function {{math|''s''(''t'')}}.
 }}]]
-तात्कालिक त्वरण, इस बीच, समय के एक अनंत अंतराल पर औसत त्वरण के [[ एक समारोह की सीमा ]] है।[[ गणना ]] के संदर्भ में, तात्कालिक त्वरण समय के संबंध में वेग वेक्टर का व्युत्पन्न है:
+इस बीच तात्कालिक त्वरण, समय के एक अतिसूक्ष्म अंतराल पर औसत त्वरण के [[ एक समारोह की सीमा | फलन की सीमा]] के रूप में होता है। [[ गणना |गणना]] के संदर्भ में, तात्कालिक त्वरण समय के संबंध में वेग सदिश का व्युत्पन्न होता है।
 <math display="block">\mathbf{a} = \lim_{{\Delta t} \to 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac{d\mathbf{v}}{dt}</math>
-जैसा कि त्वरण को वेग के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, {{math|'''v'''}}, समय के संबंध में {{mvar|t}} और वेग को स्थिति के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, {{math|'''x'''}}, समय के संबंध में, त्वरण को दूसरे व्युत्पन्न के रूप में सोचा जा सकता है {{math|'''x'''}} इसके संबंध में {{mvar|t}}:
+जैसा कि त्वरण को वेग {{math|'''v'''}} के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, समय {{mvar|t}} के संबंध में और वेग को स्थिति {{math|'''x'''}} के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, समय के संबंध में, त्वरण को {{mvar|t}}: के संबंध में {{math|'''x'''}} के दूसरे व्युत्पन्न के रूप में माना जा सकता है। <math display="block">\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2}</math>
-<math display="block">\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2}</math>
-(यहाँ और अन्य जगहों पर, यदि [[ वचन -गति ]], यूक्लिडियन वेक्टर मात्रा को समीकरणों में [[ स्केलर (भौतिकी) ]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।)
-कैलकुलस के मौलिक प्रमेय द्वारा, यह देखा जा सकता है कि त्वरण फ़ंक्शन का [[ अभिन्न ]] अंग {{math|''a''(''t'')}} वेग फ़ंक्शन है {{math|''v''(''t'')}};अर्थात्, एक त्वरण बनाम समय के वक्र के अनुसार  क्षेत्र ({{mvar|a}} बनाम {{mvar|t}}) ग्राफ वेग के परिवर्तन से मेल खाता है।
-<math display="block" qid=Q11465>\mathbf{\Delta v} =  \int \mathbf{a} \, dt</math>
-इसी तरह, [[ जर्क (भौतिकी) ]] फ़ंक्शन का अभिन्न अंग {{math|''j''(''t'')}}, त्वरण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न, एक निश्चित समय पर त्वरण के परिवर्तन को खोजने के लिए उपयोग किया जा सकता है:
-<math display="block">\mathbf{\Delta a} =  \int \mathbf{j} \, dt</math>
+यहाँ और अन्यत्र, यदि [[गति एक सीधी]] रेखा में होती है, तो समीकरणों में सदिश राशियों को अदिशों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
+कैलकुलस के मौलिक प्रमेय द्वारा यह देखा जा सकता है कि त्वरण फलन  {{math|''a''(''t'')}} का [[ अभिन्न | अभिन्न]] अंग वेग फलन {{math|''v''(''t'')}} के रूप में हैअर्थात्, एक त्वरण बनाम समय के वक्र के अनुसार  क्षेत्र {{mvar|a}} बनाम {{mvar|t}} ग्राफ वेग के परिवर्तन से मेल खाता है।
+<math display="block" qid="Q11465">\mathbf{\Delta v} =  \int \mathbf{a} \, dt</math>
+इसी तरह, [[ जर्क (भौतिकी) | जर्क (भौतिकी)]] फलन का अभिन्न अंग {{math|''j''(''t'')}}, त्वरण फलन के व्युत्पन्न के रूप में होता है, एक निश्चित समय पर त्वरण के परिवर्तन को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है,
+<math display="block">\mathbf{\Delta a} =  \int \mathbf{j} \, dt</math>
 === इकाइयाँ ===
-त्वरण में [[ समय ]] से विभाजित वेग (एल/टी) का [[ आयामी विश्लेषण ]] होता है, अर्थात् [[ लंबाई ]] का समय<sup>−2 </sup>।एक्सेलेरेशन की यूनिट्स यूनिट की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली मीटर प्रति सेकंड का चुकता है (एम एस)<sup>−2 </sup>);या मीटर प्रति सेकंड, प्रति सेकंड मीटर में वेग के रूप में, त्वरण मूल्य द्वारा प्रति सेकंड परिवर्तन, हर सेकंड।
+त्वरण में वेग के [[ आयामी विश्लेषण |आयामी]] (एल/टी) [[समय]] से विभाजित होते हैं, अर्थात् [[एल टी-2]] के रूप में विभाजित होते है, त्वरण की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली इकाई मीटर प्रति सेकंड वर्ग (एम एस−2) या मीटर प्रति सेकंड प्रति सेकंड होती है, क्योंकि मीटर प्रति सेकंड में वेग त्वरण मान से प्रति सेकंड बदलता है।
 === अन्य रूप ===
@@ Line 52: / Line 49: @@
 [[File:Oscillating pendulum.gif|thumb|left|एक दोलन पेंडुलम, वेग और त्वरण के साथ चिह्नित।यह स्पर्शरेखा और सेंट्रिपेटल त्वरण दोनों का अनुभव करता है।]]
 [[File:Acceleration components.JPG|right|thumb|एक घुमावदार गति के लिए त्वरण के घटक।स्पर्शरेखा घटक {{math|'''a'''<sub>t</sub>}} ट्रैवर्सल की गति में परिवर्तन के कारण है, और वेग वेक्टर (या विपरीत दिशा में) की दिशा में वक्र के साथ अंक।सामान्य घटक (जिसे परिपत्र गति के लिए सेंट्रिपेटल घटक भी कहा जाता है) {{math|'''a'''<sub>c</sub>}} वेग वेक्टर की दिशा में परिवर्तन के कारण है और पथ के वक्रता के केंद्र की ओर इशारा करते हुए, प्रक्षेपवक्र के लिए सामान्य है।]]
-समय के एक [[ समारोह (गणित) ]] के रूप में एक घुमावदार पथ पर चलते हुए एक कण का वेग लिखा जा सकता है:
+समय के एक [[ समारोह (गणित) | फलन (गणित)]] के रूप में एक घुमावदार पथ पर चलते हुए एक कण का वेग लिखा जा सकता है:
 <math display="block">\mathbf{v}(t) = v(t) \frac{\mathbf{v}(t)}{v(t)} = v(t) \mathbf{u}_\mathrm{t}(t) , </math>
 साथ {{math|''v''(''t'')}} पथ के साथ यात्रा की गति के बराबर, और

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