लैगुएरे बहुपद

लैगुएरे बहुपद L n(x) के जटिल रंग प्लॉट को -1 के रूप में विभाजित किया गया 9 और x के रूप में z से 4 की घात -2-2i से 2+2i तक

गणित में, एडमंड लैगुएरे (1834-1886) के नाम पर लैगुएरे बहुपद, मुख्य रूप से लैगुएरे के अंतर समीकरण के मान को प्रदर्शित करता हैं:

$$xy''+(1-x)y'+ny=0,y=y(x)$$

जो द्वितीय कोटि के रेखीय अवकल समीकरण को प्रदर्शित करता हैं। इस प्रकार यदि n गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हो तब इस समीकरण का केवल ऐकक मान होता है। कभी-कभी लैगुएरे बहुपद नाम का उपयोग मान प्राप्त करने के लिए किया जाता है

$$xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0~.$$

जहाँ n गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।

इस प्रकार इन्हें सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद भी नाम दिया गया है, जैसा कि यहाँ पर इसका उपयोग करके दिखाया गया हैं। (वैकल्पिक रूप से जुड़े लैगुएरे बहुपद या, संभवतः ही कभी सोनिन बहुपद उनके आविष्कार के बाद निकोलाई याकोवलेविच सोनिन का उपयोग किया था।

अधिक सामान्य लैगुएरे फ़ंक्शन के कुछ मान होते है, इस प्रकार जब n आवश्यक रूप से गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं होते हैं। तब लैगुएरे बहुपदों का उपयोग गॉसियन चतुर्भुज के रूप में संख्यात्मक रूप से पूर्णांकों की गणना करने के लिए किया जाता है।

$$\int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.$$

ये बहुपद सामान्यतः L₀, L₁, …, बहुपद अनुक्रम द्वारा निरूपित होते हैं जिसे रॉड्रिक्स सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है,

$$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},$$

निम्नलिखित खंड के बंद प्रारूप का कम उपयोग किया जाता हैं। वे आंतरिक उत्पाद के संबंध में ओर्थोगोनल बहुपद को प्रकट करते हैं।

$$\langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.$$

लैगुएरे बहुपदों का क्रम n! L_n शेफ़र अनुक्रम है,

$${\frac {d}{dx}}L_{n}=\left({\frac {d}{dx}}-1\right)L_{n-1}.$$

कॉम्बिनेटरिक्स में किश्ती बहुपद कमोबेश लैगुएरे बहुपद के समान हैं, इस प्रकार वैरियेबल के प्राथमिक परिवर्तन तक इसे आगे के ट्रिकोमी-कार्लिट्ज़ बहुपद के रूप में उपयोग किया जाता हैं।
एक इलेक्ट्रॉन परमाणु के लिए श्रोडिंगर समीकरण के मान के रेडियल भाग में लैगुएरे बहुपद क्वांटम यांत्रिकी में उत्पन्न होते हैं। वे फेज स्पेस सूत्र साधारण हार्मोनिक ऑसिलेटर में ऑसिलेटर प्रणाली के स्टैटिक विग्नर फंक्शन्स को भी वर्णन करते हैं। इस प्रकार मोर्स क्षमता और क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर उदाहरण के क्वांटम यांत्रिकी में प्रवेश करते हैं, जिसे 3 डी आइसोट्रोपिक हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में प्रदर्शित किया जाता हैं। भौतिक विज्ञान कभी-कभी लैगुएरे बहुपदों के लिए परिभाषा का उपयोग करते हैं जो n! के गुणक द्वारा यहां उपयोग की गई परिभाषा से बड़ी होती है। (इसी प्रकार कुछ भौतिक विज्ञान तथाकथित संबंधित लैगुएरे बहुपदों की कुछ भिन्न परिभाषाओं का उपयोग करते हैं।)

पहले कुछ बहुपद

ये पहले कुछ लैगुएरे बहुपद हैं:

n	$L_{n}(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	${\tfrac {1}{2}}(x^{2}-4x+2)\,$
3	${\tfrac {1}{6}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,$
4	${\tfrac {1}{24}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,$
5	$\frac{1}{120}(-<!--\; -\; -->{}^{}$