बानाच समष्टि

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, बानाख समष्टि (उच्चारण [ˈbanax]) एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि मानक सदिश समष्टि है। इस प्रकार, बानाख समष्टि मीट्रिक (गणित) मीट्रिक के साथ एक सदिश समष्टि है जो सदिश लंबाई और सदिशों के बीच की दूरी की गणना की स्वीकृति देता है और इस अर्थ में पूर्ण है कि सदिशों का कॉची अनुक्रम सदैव एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा में अभिसरण करता है जो समष्टि के अंदर है।

बानाख समष्टि का नाम पोलिश गणितज्ञ स्टीफन बानाच के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को प्रस्तुत किया और 1920-1922 में हंस हैन (गणितज्ञ) और एडुआर्ड हेली के साथ व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन किया। मौरिस रेने फ्रेचेट शब्द बानाख समष्टि का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे और बदले में बानाख ने फ्रेचेट समष्टि शब्द नियत किया। बानाख समष्टि मूल रूप से डेविड हिल्बर्ट, मौरिस रेने फ्रेचेट, और फ्रिगियस रिज्ज़ द्वारा शताब्दी में पहले फलन समष्टि के अध्ययन से बाहर हो गए थे। कार्यात्मक विश्लेषण में बानाख समष्टि एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों (गणित) में, अध्ययन के अंतर्गत रिक्त समष्टि प्रायः बानाख समष्टि होते हैं।

परिभाषा

एक बानाख समष्टि एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि मानक समष्टि है और $(X,\|\cdot \|)$ मानक समष्टि युग्म है जिसमे $(X,\|\cdot \|)$ सदिश क्षेत्र $X$ पर $\mathbb {K}$ (जहाँ $\mathbb {K}$ सामान्यतः है $\mathbb {R}$ या $\mathbb {C}$) विशिष्ट वेक्टर समष्टि सम्मिलित है। सामान्य (गणित) $\|\cdot \|:X\to \mathbb {R}$ मानदंडों की तरह, यह मानक अनुवाद अपरिवर्तनीय और दूरी फलन मीट्रिक (गणित) को प्रेरित करता है, जिसे प्रामाणिक या मानक प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है। जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है।

$$d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|$$

सभी वैक्टर के लिए $x,y\in X.$ यह है $X$ एक मीट्रिक समष्टि में $(X,d).$ अनुक्रम $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ बनाता है। $d$-कॉची को कॉची मे $(X,d)$ या $\|\cdot \|$-कॉची में यदि प्रत्येक वास्तविक $r>0,$ वहाँ कुछ सूचकांक $N$ सम्मिलित है जैसे कि

$$d\left(x_{n},x_{m}\right)=\left\|x_{n}-x_{m}\right\|<r$$

जब भी $m$ और $n$ से $N$ अधिक हैं तो प्रामाणिक मीट्रिक $d$ को पूर्ण मेट्रिक कहा जाता है यदि युग्म $(X,d)$ पूर्ण मेट्रिक समष्टि है, जो परिभाषा के अनुसार प्रत्येक $d$-कॉची अनुक्रम $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ में $(X,d)$ के लिए $x\in X$ सम्मिलित है जैसे कि

$$\lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x\right\|=0$$

जहाँ क्योंकि $\left\|x_{n}-x\right\|=d\left(x_{n},x\right),$ इस क्रम का अभिसरण $x$ समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

$$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x\;{\text{ in }}(X,d).$$

परिभाषा के अनुसार, मानक समष्टि $(X,\|\cdot \|)$ बनच समष्टि है, यदि मानक प्रेरित मीट्रिक $d$ एक पूर्ण मीट्रिक है, या अलग तरीके से कहा जाता है, यदि $(X,d)$ एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है। नियम ${\displaystyle$