बानाच समष्टि: Difference between revisions
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=== दोहरी समष्टि === | === दोहरी समष्टि === | ||
{{main|दोहरी समष्टि}} | {{main|दोहरी समष्टि}} | ||
यदि <math>X</math> एक मानक समष्टि है और <math>\mathbb{K}</math> अंतर्निहित [[क्षेत्र (गणित)]] (या तो [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]]), | यदि <math>X</math> एक मानक समष्टि है और <math>\mathbb{K}</math> अंतर्निहित [[क्षेत्र (गणित)]] (या तो [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]]), सतत दोहरी समष्टि निरंतर रैखिक मानचित्र <math>X</math> में <math>\mathbb{K},</math> या सतत रैखिक फलन का समष्टि है। इस लेख में नियतांक दोहरे समष्टि के लिए संकेत<math>X^{\prime} = B(X, \mathbb{K})</math> समष्टि है।<ref>Several books about functional analysis use the notation <math>X^*</math> for the continuous dual, for example {{harvtxt|Carothers|2005}}, {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}}, {{harvtxt|Megginson|1998}}, {{harvtxt|Ryan|2002}}, {{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}.</ref> तब से <math>\mathbb{K}</math> एक बानाख समष्टि है (मानक के रूप में पूर्ण मूल्य का उपयोग करके), दोहरी <math>X^{\prime}</math> प्रत्येक मानक समष्टि के लिए <math>X</math> बानाख समष्टि है। | ||
निरंतर रैखिक क्रियाओं | निरंतर रैखिक क्रियाओं की स्थिति को सिद्ध करने का मुख्य उपकरण हैन-बनाक प्रमेय है। | ||
{{math theorem|name=Hahn–Banach theorem|math_statement=Let <math>X</math> be a [[vector space]] over the field <math>\mathbb{K} = \R, \Complex.</math> Let further | {{math theorem|name=Hahn–Banach theorem|math_statement=Let <math>X</math> be a [[vector space]] over the field <math>\mathbb{K} = \R, \Complex.</math> Let further | ||
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Then, there exists a linear functional <math>F : X \to \mathbb{K}</math> so that <math display=block>F\big\vert_Y = f, \quad \text{ and } \quad \text{ for all } x \in X, \ \ \operatorname{Re}(F(x)) \leq p(x).</math>}} | Then, there exists a linear functional <math>F : X \to \mathbb{K}</math> so that <math display=block>F\big\vert_Y = f, \quad \text{ and } \quad \text{ for all } x \in X, \ \ \operatorname{Re}(F(x)) \leq p(x).</math>}} | ||
विशेष रूप से, कार्यात्मक के मानक को बढ़ाए बिना, | विशेष रूप से, कार्यात्मक के मानक को बढ़ाए बिना, मानक समष्टि के उप-समष्टि पर प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक को निरंतर पूरे समष्टि तक बढ़ाया जा सकता है।<ref>Theorem 1.9.6, p. 75 in {{harvtxt|Megginson|1998}}</ref> एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति निम्नलिखित है: प्रत्येक सदिश के लिए <math>x</math> मानक समष्टि में <math>X,</math> वहाँ <math>f</math> पर <math>X</math> सतत रैखिक कार्यात्मक सम्मिलित है जैसे कि | ||
<math display=block>f(x) = \|x\|_X, \quad \|f\|_{X^{\prime}} \leq 1.</math> | <math display=block>f(x) = \|x\|_X, \quad \|f\|_{X^{\prime}} \leq 1.</math> | ||
जब <math>x</math> के बराबर <math>\mathbf{0}</math> वेक्टर नहीं है कार्यात्मक <math>f</math> मानक एक होना चाहिए, और इसके लिए एक मानक कार्यात्मक <math>x</math> कहा जाता हैह ैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय कहता है कि दो असंयुक्त गैर-रिक्त उत्तल समुच्चय एक वास्तविक बानाच समष्टि में, उनमें से एक विवृत है, एक संवृत [[एफ़िन स्पेस|एफ़िन समष्टि]] द्वारा अलग किया जा सकता है। विवृत उत्तल समुच्चय अधिसमतलके एक तरफ दृढ़ता से स्थित है, दूसरा उत्तल समुच्चय दूसरी तरफ स्थित है लेकिन अधिसमतल को स्पर्श कर सकता है।<ref>see also Theorem 2.2.26, p. 179 in {{harvtxt|Megginson|1998}}</ref> उपसमुच्चय <math>S</math> एक बानाख समष्टि में <math>X</math> पूर्ण है यदि की [[रैखिक अवधि]] <math>S</math> सघन रूप से <math>X</math> स्थापित है उपसमुच्चय <math>S</math> में पूर्ण <math>X</math> ैय दि और केवल यदि एकमात्र निरंतर रैखिक कार्यात्मक जो <math>S</math> पर कार्यात्मक <math>\mathbf{0}</math> है: यह तुल्यता हन-बनाक प्रमेय से आती है। | |||
विवृत उत्तल समुच्चय | |||
उपसमुच्चय <math>S</math> एक बानाख समष्टि में <math>X</math> | |||
यदि <math>X</math> दो संवृत | यदि <math>X</math> दो संवृत <math>M</math> और <math>N</math> रैखिक उपसमष्टियों का प्रत्यक्ष योग है फिर द्वैत <math>X^{\prime}</math> का <math>X</math> के <math>M</math> और<math>N</math> द्वैत के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है।<ref name="Caro19">see p. 19 in {{harvtxt|Carothers|2005}}.</ref> यदि <math>M</math> में एक संवृत <math>X</math> रैखिक उपसमष्टि है लम्बवत <math>M</math> समष्टि जोड़ सकता है, | ||
<math display=block>M^{bot} = \left\{ x^{\prime} \in X : x^{\prime}(m) = 0, \ \text{ for all } m \in M \right\}.</math> | <math display=block>M^{bot} = \left\{ x^{\prime} \in X : x^{\prime}(m) = 0, \ \text{ for all } m \in M \right\}.</math> | ||
लम्बवत<math>M^{\bot}</math> द्वैत की एक संवृत रेखीय उपसमष्टि है। <math>M</math> का द्वैतस <math>X' / M^{\bot}</math> ममितीय रूप से समाकृतिक है <math>X / M</math> का द्वैत सममितीय रूप से <math>M^{\bot}</math> समाकृतिक है।<ref>Theorems 1.10.16, 1.10.17 pp.94–95 in {{harvtxt|Megginson|1998}}</ref> | |||
वियोज्य बानाख समष्टि के द्विक को वियोज्य होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन: | |||
{{math theorem|name=Theorem<ref>Theorem 1.12.11, p. 112 in {{harvtxt|Megginson|1998}}</ref>|math_statement= Let <math>X</math> be a normed space. If <math>X'</math> is [[Separable space|separable]], then <math>X</math> is separable.}} | {{math theorem|name=Theorem<ref>Theorem 1.12.11, p. 112 in {{harvtxt|Megginson|1998}}</ref>|math_statement= Let <math>X</math> be a normed space. If <math>X'</math> is [[Separable space|separable]], then <math>X</math> is separable.}} | ||
जब <math>X'</math> वियोज्य है, समग्रता के लिए उपरोक्त मानक का उपयोग गणना योग्य <math>X</math> कुल उपसमुच्चय की स्थिति को प्रमाणित करने के लिए किया जा सकता है। | |||
==== [[कमजोर टोपोलॉजी|दुर्बल सांस्थिति]] ==== | ==== [[कमजोर टोपोलॉजी|दुर्बल सांस्थिति]] ==== | ||
बानाख समष्टि पर दुर्बल सांस्थिति <math>X</math> पर सांस्थिति की तुलना है <math>X</math> जिसके लिए सभी तत्व <math>x^{\prime}</math> निरंतर दोहरी समष्टि में <math>X^{\prime}</math> निरंतर हैं। | बानाख समष्टि पर दुर्बल सांस्थिति <math>X</math> पर सांस्थिति की तुलना है <math>X</math> जिसके लिए सभी तत्व <math>x^{\prime}</math> निरंतर दोहरी समष्टि में <math>X^{\prime}</math> निरंतर हैं। मानक सांस्थिति इसलिए दुर्बल सांस्थिति की तुलना में सांस्थिति की तुलना है। यह हैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय से अनुसरण करता है कि दुर्बल सांस्थिति हौसडॉर्फ समष्टि है, और यह कि बानाख समष्टि का एक मानक-संवृत उत्तल समुच्चय भी दुर्बल रूप से संवृत है।<ref>Theorem 2.5.16, p. 216 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref> दो बानाख समष्टि के बीच एक मानक-निरंतर रेखीय मानचित्र <math>X</math> और <math>Y</math> भी दुर्बल रूप से निरंतर है, अर्थात <math>X</math> और <math>Y</math> के लिए दुर्बल सांस्थिति से निरंतर है <ref>see II.A.8, p. 29 in {{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}</ref> यदि <math>X</math> अनंत-आयामी है, ऐसे रैखिक मानचित्र सम्मिलित हैं जो निरंतर नहीं हैं। समष्टि <math>X^*</math> से सभी रैखिक मानचित्रों का <math>X</math> अंतर्निहित क्षेत्र के लिए <math>\mathbb{K}</math> (यह समष्टि <math>X^*</math> इसे अलग करने के लिए इसे <math>X^{\prime}</math> बीजगणितीय दोहरी समष्टि कहा जाता है सांस्थिति <math>X</math> को भी प्रेरित करता है जो दुर्बल सांस्थिति की तुलना में [[बेहतर टोपोलॉजी|अधिकतम सांस्थिति]] है, और कार्यात्मक विश्लेषण में बहुत कम प्रयोग किया जाता है। | ||
मानक सांस्थिति इसलिए दुर्बल सांस्थिति की तुलना में सांस्थिति की तुलना है। | |||
यह हैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय से अनुसरण करता है कि दुर्बल सांस्थिति हौसडॉर्फ समष्टि है, और यह कि बानाख समष्टि का एक मानक-संवृत उत्तल समुच्चय भी दुर्बल रूप से संवृत है।<ref>Theorem 2.5.16, p. 216 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref> दो बानाख समष्टि के बीच एक मानक-निरंतर रेखीय मानचित्र <math>X</math> और <math>Y</math> भी दुर्बल रूप से निरंतर है, अर्थात | |||
यदि <math>X</math> अनंत-आयामी है, ऐसे रैखिक मानचित्र सम्मिलित हैं जो निरंतर नहीं हैं। समष्टि <math>X^*</math> से सभी रैखिक मानचित्रों का <math>X</math> अंतर्निहित क्षेत्र के लिए <math>\mathbb{K}</math> (यह समष्टि <math>X^*</math> इसे अलग करने के लिए इसे | |||
दोहरे समष्टि पर <math>X^{\prime},</math> की दुर्बल सांस्थिति की तुलना में दुर्बल सांस्थिति | दोहरे समष्टि पर <math>X^{\prime},</math> की दुर्बल सांस्थिति की तुलना में दुर्बल सांस्थिति <math>X^{\prime}</math>कहा जाता है। यह सबसे सामान्य सांस्थिति <math>X^{\prime}</math>है जिसके लिए सभी मूल्यांकन मानचित्र <math>x^{\prime} \in X^{\prime} \mapsto x^{\prime}(x),</math> जहाँ <math>x</math> से अधिक <math>X</math> नियतांक हैं। इसका महत्व बानाख-अलाग्लू प्रमेय से आता है। | ||
यह सबसे | |||
इसका महत्व बानाख-अलाग्लू प्रमेय से आता है। | |||
{{math theorem|name=[[Banach–Alaoglu theorem]]|math_statement=Let <math>X</math> be a [[normed vector space]]. Then the [[Closed set|closed]] [[Ball (mathematics)|unit ball]] <math>B = \left\{ x \in X : \|x\| \leq 1 \right\}</math> of the dual space is [[Compact space|compact]] in the weak* topology.}} | {{math theorem|name=[[Banach–Alaoglu theorem]]|math_statement=Let <math>X</math> be a [[normed vector space]]. Then the [[Closed set|closed]] [[Ball (mathematics)|unit ball]] <math>B = \left\{ x \in X : \|x\| \leq 1 \right\}</math> of the dual space is [[Compact space|compact]] in the weak* topology.}} | ||
सुसंहत हौसडॉर्फ रिक्त समष्टि के अनंत गुणनफलों के बारे में टायकोनॉफ़ के प्रमेय का उपयोग करके बानाच-अलाग्लु प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है। | सुसंहत हौसडॉर्फ रिक्त समष्टि के अनंत गुणनफलों के बारे में टायकोनॉफ़ के प्रमेय का उपयोग करके बानाच-अलाग्लु प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है। जब <math>X</math> वियोज्य है, इकाई <math>B^{\prime}</math> द्विक दुर्बल * सांस्थिति में [[मेट्रिजेबल स्पेस|दूरीकनीय समष्टि]] सुसंहत है।<ref name="DualBall">see Theorem 2.6.23, p. 231 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref> | ||
==== दोहरे समष्टि के उदाहरण ==== | ==== दोहरे समष्टि के उदाहरण ==== | ||
<math>c_0</math> का द्वैत सममितीय रूप से <math>\ell^1</math> समाकृतिक है: प्रत्येक परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक के लिए <math>f</math> पर <math>c_0,</math> अद्वितीय तत्व <math>y = \left\{ y_n \right\} \in \ell^1</math> है जैसे कि | |||
<math display=block>f(x) = \sum_{n \in \N} x_n y_n, \qquad x = \{x_n\} \in c_0, \ \ \text{and} \ \ \|f\|_{(c_0)'} = \|y\|_{\ell_1}. </math> | <math display=block>f(x) = \sum_{n \in \N} x_n y_n, \qquad x = \{x_n\} \in c_0, \ \ \text{and} \ \ \|f\|_{(c_0)'} = \|y\|_{\ell_1}. </math> | ||
<math>\ell^1</math> का द्वैत सममितीय रूप से <math>\ell^{\infty}</math>समाकृतिक है लेबेस्ग्यू समष्टि <math>L^p([0, 1])</math> सममितीय रूप से <math>L^q([0, 1])</math> समाकृतिक है जब <math>1 \leq p < \infty</math> और <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math> प्रत्येक वेक्टर के लिए <math>y</math> एक हिल्बर्ट समष्टि में <math>H,</math> मानचित्रण | |||
प्रत्येक वेक्टर के लिए <math>y</math> एक हिल्बर्ट समष्टि में <math>H,</math> मानचित्रण | |||
<math display=block>x \in H \to f_y(x) = \langle x, y \rangle</math> | <math display=block>x \in H \to f_y(x) = \langle x, y \rangle</math> | ||
<math>H</math> पर सतत <math>f_y</math> रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है रिज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय के अनुसार प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक पर <math>H</math> का स्वरूप <math>f_y</math> है। विशिष्ट रूप से परिभाषित वेक्टर के लिए <math>y</math> में <math>H</math> मानचित्रण <math>y \in H \to f_y</math> एक गैर-रैखिक मानचित्र सममितीय द्विअंत:क्षेपण है <math>H</math> इसके दोहरे पर <math>H'.</math> जब अदिश वास्तविक होते हैं, तो यह मानचित्र एक सममितीय समाकृतिकता है। | |||
मानचित्रण <math>y \in H \to f_y</math> एक गैर-रैखिक मानचित्र सममितीय | |||
जब <math>K</math> सुसंहत हॉउसडॉर्फ सांंस्थितिक समष्टि है, द्विक <math>M(K)</math> का <math>C(K)</math> बॉरबाकी के अर्थ में रेडॉन माप का समष्टि है।<ref>see N. Bourbaki, (2004), "Integration I", Springer Verlag, {{ISBN|3-540-41129-1}}.</ref> उपसमुच्चय <math>P(K)</math> का <math>M(K)</math> बड़ी संख्या 1 (संभाव्यता माप) के गैर-नकारात्मक मापों से मिलकर इकाई का उत्तल w*-संवृत <math>M(K)</math> के [[चरम बिंदु|अधिकतम बिंदु]] <math>P(K)</math> डिराक माप <math>K</math> उपसमुच्चय है डिराक का समुच्चय <math>K,</math> w * - सांस्थिति से कम <math>K</math> समरूप है। | |||
{{math theorem|name=[[Banach–Stone theorem|Banach–Stone Theorem]]|math_statement=If <math>K</math> and <math>L</math> are compact Hausdorff spaces and if <math>C(K)</math> and <math>C(L)</math> are isometrically isomorphic, then the topological spaces <math>K</math> and <math>L</math> are [[homeomorphic]].<ref name= Eilenberg /><ref>see also {{harvtxt|Banach|1932}}, p. 170 for metrizable <math>K</math> and <math>L.</math></ref>}} | {{math theorem|name=[[Banach–Stone theorem|Banach–Stone Theorem]]|math_statement=If <math>K</math> and <math>L</math> are compact Hausdorff spaces and if <math>C(K)</math> and <math>C(L)</math> are isometrically isomorphic, then the topological spaces <math>K</math> and <math>L</math> are [[homeomorphic]].<ref name= Eilenberg /><ref>see also {{harvtxt|Banach|1932}}, p. 170 for metrizable <math>K</math> and <math>L.</math></ref>}} | ||
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F_X(x) (f) = f(x) & \text{ for all } x \in X, \text{ and for all } f \in X' | F_X(x) (f) = f(x) & \text{ for all } x \in X, \text{ and for all } f \in X' | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
यह परिभाषित करता है <math>F_X(x)</math> एक सतत रैखिक कार्यात्मक के रूप में <math>X^{\prime},</math> वह है, का एक तत्व <math>X^{\prime\prime}.</math> वो मानचित्र <math>F_X : x \to F_X(x)</math> से एक रेखीय मानचित्र है <math>X</math> को <math>X^{\prime\prime}.</math> बानाख समष्टि # दोहरे समष्टि | यह परिभाषित करता है <math>F_X(x)</math> एक सतत रैखिक कार्यात्मक के रूप में <math>X^{\prime},</math> वह है, का एक तत्व <math>X^{\prime\prime}.</math> वो मानचित्र <math>F_X : x \to F_X(x)</math> से एक रेखीय मानचित्र है <math>X</math> को <math>X^{\prime\prime}.</math> बानाख समष्टि # दोहरे समष्टि की स्थिति के परिणामस्वरूप <math>f</math> हरएक के लिए <math>x \in X,</math> यह मानचित्र <math>F_X</math> isometric है, इस प्रकार [[इंजेक्शन]]। | ||
उदाहरण के लिए, की दोहरी <math>X = c_0</math> से पहचाना जाता है <math>\ell^1,</math> और की दोहरी <math>\ell^1</math> से पहचाना जाता है <math>\ell^{\infty},</math> परिबद्ध अदिश अनुक्रमों का समष्टि। | उदाहरण के लिए, की दोहरी <math>X = c_0</math> से पहचाना जाता है <math>\ell^1,</math> और की दोहरी <math>\ell^1</math> से पहचाना जाता है <math>\ell^{\infty},</math> परिबद्ध अदिश अनुक्रमों का समष्टि। | ||
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सममितीय एम्बेडिंग का उपयोग करना <math>F_X,</math> यह एक मानक समष्टि पर विचार करने के लिए प्रथागत है <math>X</math> इसकी बोली के उप-समुच्चय के रूप में। | सममितीय एम्बेडिंग का उपयोग करना <math>F_X,</math> यह एक मानक समष्टि पर विचार करने के लिए प्रथागत है <math>X</math> इसकी बोली के उप-समुच्चय के रूप में। | ||
जब <math>X</math> एक बानाख समष्टि है, इसे एक संवृत रेखीय उप-समष्टि के रूप में देखा जाता है <math>X^{\prime\prime}.</math> यदि <math>X</math> रिफ्लेक्सिव नहीं है, की इकाई बॉल <math>X</math> की इकाई गोले का एक उपयुक्त उपसमुच्चय है <math>X^{\prime\prime}.</math> [[गोल्डस्टाइन प्रमेय]] में कहा गया है कि एक मानक समष्टि की इकाई गोले बोली की इकाई गोले में दुर्बल*-सघन होती है। | |||
दूसरे शब्दों में, प्रत्येक के लिए <math>x''</math> बिडुअल में, एक नेट सम्मिलित है (गणित) <math>\left(x_i\right)_{i \in I}</math> में <math>X</math> ताकि | दूसरे शब्दों में, प्रत्येक के लिए <math>x''</math> बिडुअल में, एक नेट सम्मिलित है (गणित) <math>\left(x_i\right)_{i \in I}</math> में <math>X</math> ताकि | ||
<math display="block>\sup_{i \in I} \left\|x_i\right\| \leq \|x''\|, \ \ x''(f) = \lim_i f\left(x_i\right), \quad f \in X'.</math> | <math display="block>\sup_{i \in I} \left\|x_i\right\| \leq \|x''\|, \ \ x''(f) = \lim_i f\left(x_i\right), \quad f \in X'.</math> | ||
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{{math theorem| math_statement = A Banach space <math>X</math> is reflexive if and only if its unit ball is [[Compact space|compact]] in the [[weak topology]].}} | {{math theorem| math_statement = A Banach space <math>X</math> is reflexive if and only if its unit ball is [[Compact space|compact]] in the [[weak topology]].}} | ||
जब <math>X</math> स्वतुल्य है, यह इस प्रकार है कि सभी संवृत और परिबद्ध उत्तल समुच्चय <math>X</math> दुर्बल रूप से संकुचित हैं। | |||
एक हिल्बर्ट समष्टि में <math>H,</math> इकाई बॉल की दुर्बल सघनता का उपयोग प्रायः निम्नलिखित तरीके से किया जाता है: प्रत्येक बंधे हुए क्रम में <math>H</math> दुर्बल रूप से अभिसारी परिणाम हैं। | एक हिल्बर्ट समष्टि में <math>H,</math> इकाई बॉल की दुर्बल सघनता का उपयोग प्रायः निम्नलिखित तरीके से किया जाता है: प्रत्येक बंधे हुए क्रम में <math>H</math> दुर्बल रूप से अभिसारी परिणाम हैं। | ||
इकाई बॉल की दुर्बल कॉम्पैक्टनेस कुछ [[अनंत-आयामी अनुकूलन]] के लिए रिफ्लेक्सिव रिक्त समष्टि में समाधान खोजने के लिए एक उपकरण प्रदान करती है। | इकाई बॉल की दुर्बल कॉम्पैक्टनेस कुछ [[अनंत-आयामी अनुकूलन]] के लिए रिफ्लेक्सिव रिक्त समष्टि में समाधान खोजने के लिए एक उपकरण प्रदान करती है। | ||
उदाहरण के लिए, प्रत्येक उत्तल इकाई गोले पर निरंतर फलन करता है <math>B</math> एक रिफ्लेक्सिव समष्टि किसी बिंदु पर न्यूनतम हो जाता है <math>B.</math> | उदाहरण के लिए, प्रत्येक उत्तल इकाई गोले पर निरंतर फलन करता है <math>B</math> एक रिफ्लेक्सिव समष्टि किसी बिंदु पर न्यूनतम हो जाता है <math>B.</math> | ||
पूर्ववर्ती परिणाम के एक विशेष स्थिति के रूप में, | पूर्ववर्ती परिणाम के एक विशेष स्थिति के रूप में, जब <math>X</math> एक रिफ्लेक्सिव समष्टि ओवर है <math>\R,</math> प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> में <math>X^{\prime}</math> अधिकतम प्राप्त करता है <math>\|f\|</math> की इकाई बॉल पर <math>X.</math> निम्नलिखित जेम्स प्रमेय|रॉबर्ट सी. जेम्स का प्रमेय एक व्युत्क्रम कथन प्रदान करता है। | ||
{{math theorem| name = James' Theorem | math_statement = For a Banach space the following two properties are equivalent: | {{math theorem| name = James' Theorem | math_statement = For a Banach space the following two properties are equivalent: | ||
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*Every element of the bidual <math>X''</math> is the weak*-limit of a sequence <math>\left\{x_n\right\}</math> in <math>X.</math>}} | *Every element of the bidual <math>X''</math> is the weak*-limit of a sequence <math>\left\{x_n\right\}</math> in <math>X.</math>}} | ||
गोल्डस्टाइन प्रमेय द्वारा, इकाई बॉल का प्रत्येक तत्व <math>B^{\prime\prime}</math> का <math>X^{\prime\prime}</math> दुर्बल है*- की इकाई बॉल में नेट की सीमा <math>X.</math> | गोल्डस्टाइन प्रमेय द्वारा, इकाई बॉल का प्रत्येक तत्व <math>B^{\prime\prime}</math> का <math>X^{\prime\prime}</math> दुर्बल है*- की इकाई बॉल में नेट की सीमा <math>X.</math> जब <math>X</math> सम्मिलित नहीं है <math>\ell^1,</math> का प्रत्येक तत्व <math>B^{\prime\prime}</math> दुर्बल है* - एक की सीमा {{em|sequence}} की इकाई बॉल में <math>X.</math><ref>Odell and Rosenthal, Sublemma p. 378 and Remark p. 379.</ref> | ||
जब बानाख समष्टि <math>X</math> वियोज्य है, दोहरी की इकाई गोले <math>X^{\prime},</math> दुर्बल *-सांस्थिति से लैस, एक दूरीकनीय सुसंहत समष्टि है <math>K,</math><ref name="DualBall" />और प्रत्येक तत्व <math>x^{\prime\prime}</math> बोली में <math>X^{\prime\prime}</math> एक बंधे हुए फलन को परिभाषित करता है <math>K</math>: | जब बानाख समष्टि <math>X</math> वियोज्य है, दोहरी की इकाई गोले <math>X^{\prime},</math> दुर्बल *-सांस्थिति से लैस, एक दूरीकनीय सुसंहत समष्टि है <math>K,</math><ref name="DualBall" />और प्रत्येक तत्व <math>x^{\prime\prime}</math> बोली में <math>X^{\prime\prime}</math> एक बंधे हुए फलन को परिभाषित करता है <math>K</math>: | ||
<math display=block>x' \in K \mapsto x''(x'), \quad \left |x''(x')\right| \leq \left \|x''\right \|.</math> | <math display=block>x' \in K \mapsto x''(x'), \quad \left |x''(x')\right| \leq \left \|x''\right \|.</math> | ||
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==== अनुक्रम, दुर्बल और दुर्बल * कॉम्पैक्टनेस ==== | ==== अनुक्रम, दुर्बल और दुर्बल * कॉम्पैक्टनेस ==== | ||
जब <math>X</math> वियोज्य है, दोहरी की इकाई गोले दुर्बल है * - बानाख-अलाग्लु प्रमेय द्वारा सुसंहत और दुर्बल * सांस्थिति के लिए दूरीकनीय,<ref name="DualBall" />इसलिए दोहरे में प्रत्येक बंधे हुए क्रम में दुर्बल रूप से अभिसारी अनुक्रम होते हैं। | |||
यह वियोज्य रिफ्लेक्सिव रिक्त समष्टि पर प्रयुक्त होता है, लेकिन इस स्थिति में अधिक सत्य है, जैसा कि नीचे बताया गया है। | यह वियोज्य रिफ्लेक्सिव रिक्त समष्टि पर प्रयुक्त होता है, लेकिन इस स्थिति में अधिक सत्य है, जैसा कि नीचे बताया गया है। | ||
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उन्हें बायोरथोगोनल फंक्शंस कहा जाता है। जब आधार वैक्टर का मानक होता है <math>1,</math> समन्वय फलन करता है <math>\left\{e_n^*\right\}</math> मानक है <math>\,\leq 2 C</math> के दोहरे में <math>X.</math> | उन्हें बायोरथोगोनल फंक्शंस कहा जाता है। जब आधार वैक्टर का मानक होता है <math>1,</math> समन्वय फलन करता है <math>\left\{e_n^*\right\}</math> मानक है <math>\,\leq 2 C</math> के दोहरे में <math>X.</math> | ||
अधिकांश उत्कृष्ट वियोज्य समष्टि में स्पष्ट आधार होते हैं। | अधिकांश उत्कृष्ट वियोज्य समष्टि में स्पष्ट आधार होते हैं। | ||
[[ उसकी तरंगिका ]] <math>\left\{ h_n \right\}</math> का आधार है <math>L^p([0, 1]), 1 \leq p < \infty.</math> द स्कॉडर बेसिस#उदाहरण एक आधार है <math>L^p(\mathbf{T})</math> | [[ उसकी तरंगिका ]] <math>\left\{ h_n \right\}</math> का आधार है <math>L^p([0, 1]), 1 \leq p < \infty.</math> द स्कॉडर बेसिस#उदाहरण एक आधार है <math>L^p(\mathbf{T})</math> जब <math>1 < p < \infty.</math> इकाई अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार तरंगिका # हार प्रणाली समष्टि में एक आधार है <math>C([0, 1]).</math><ref>see {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}} p. 3.</ref> डिस्क बीजगणित का सवाल है <math>A(\mathbf{D})</math> एक आधार है<ref>the question appears p. 238, §3 in Banach's book, {{harvtxt|Banach|1932}}.</ref> 1974 में Bočkarev द्वारा दिखाए जाने तक चालीस से अधिक वर्षों तक विवृत रहा <math>A(\mathbf{D})</math> इकाई अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार वेवलेट #हार प्रणाली से निर्मित आधार को स्वीकार करता है।<ref>see S. V. Bočkarev, "Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system". (Russian) Mat. Sb. (N.S.) 95(137) (1974), 3–18, 159.</ref> | ||
चूंकि प्रत्येक वेक्टर <math>x</math> एक बानाख समष्टि में <math>X</math> आधार के साथ की सीमा है <math>P_n(x),</math> साथ <math>P_n</math> परिमित रैंक और समान रूप से घिरा, समष्टि <math>X</math> [[सन्निकटन संपत्ति|सन्निकटन गुण]] को संतुष्ट करता है। | चूंकि प्रत्येक वेक्टर <math>x</math> एक बानाख समष्टि में <math>X</math> आधार के साथ की सीमा है <math>P_n(x),</math> साथ <math>P_n</math> परिमित रैंक और समान रूप से घिरा, समष्टि <math>X</math> [[सन्निकटन संपत्ति|सन्निकटन गुण]] को संतुष्ट करता है। | ||
सन्निकटन गुण को विफल करने वाले समष्टि के [[प्रति एंफ्लो]] द्वारा पहला उदाहरण एक ही समय में एक अलग-अलग बानाच समष्टि का पहला उदाहरण था, जो कि स्कॉडर आधार के बिना था।<ref>see {{cite journal|last1=Enflo|first1=P.|year=1973|title=A counterexample to the approximation property in Banach spaces|journal=Acta Math.|volume=130|pages=309–317| doi=10.1007/bf02392270| s2cid=120530273 | doi-access=free}}</ref> | सन्निकटन गुण को विफल करने वाले समष्टि के [[प्रति एंफ्लो]] द्वारा पहला उदाहरण एक ही समय में एक अलग-अलग बानाच समष्टि का पहला उदाहरण था, जो कि स्कॉडर आधार के बिना था।<ref>see {{cite journal|last1=Enflo|first1=P.|year=1973|title=A counterexample to the approximation property in Banach spaces|journal=Acta Math.|volume=130|pages=309–317| doi=10.1007/bf02392270| s2cid=120530273 | doi-access=free}}</ref> | ||
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ऐसे विभिन्न मानक हैं जिन्हें अंतर्निहित वेक्टर रिक्त समष्टि के टेंसर गुणनफल पर रखा जा सकता है, दूसरों के बीच सांंस्थितिक टेंसर गुणनफल#क्रॉस मानक और बैनच समष्टि के टेंसर गुणनफल और सांंस्थितिक टेंसर गुणनफल#अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा प्रस्तुत किए गए बानाख समष्टि के क्रॉस मानक और टेंसर गुणनफल |ए. 1955 में ग्रोथेंडिक।<ref>see A. Grothendieck, "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Amer. Math. Soc. 1955 (1955), no. 16, 140 pp., and A. Grothendieck, "Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques". Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 1953 1–79.</ref> | ऐसे विभिन्न मानक हैं जिन्हें अंतर्निहित वेक्टर रिक्त समष्टि के टेंसर गुणनफल पर रखा जा सकता है, दूसरों के बीच सांंस्थितिक टेंसर गुणनफल#क्रॉस मानक और बैनच समष्टि के टेंसर गुणनफल और सांंस्थितिक टेंसर गुणनफल#अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा प्रस्तुत किए गए बानाख समष्टि के क्रॉस मानक और टेंसर गुणनफल |ए. 1955 में ग्रोथेंडिक।<ref>see A. Grothendieck, "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Amer. Math. Soc. 1955 (1955), no. 16, 140 pp., and A. Grothendieck, "Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques". Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 1953 1–79.</ref> | ||
सामान्य रूप से, पूर्ण रिक्त समष्टि का टेन्सर गुणनफल फिर से पूर्ण नहीं होता है। बानाख रिक्त समष्टि के साथ काम करते समय, यह कहने की प्रथा है कि प्रक्षेपी टेंसर गुणनफल<ref>see cha | |||