क्लोजर ऑपरेटर: Difference between revisions
From Vigyanwiki
| Line 47: | Line 47: | ||
एन-डायमेंशनल [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में उत्तल हल एक अंतिम क्लोजर ऑपरेटर का एक और उदाहरण है। यह एक्सचेंज विरोधी संपत्ति को संतुष्ट करता है: यदि x {y} और A के संघ के समापन में है, लेकिन {y} के संघ में नहीं है और A के समापन में है, तो y {के संघ के समापन में नहीं है। x} और A इस गुण के साथ फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर एंटीमैट्रोइड्स के वृद्धि करते हैं। | एन-डायमेंशनल [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में उत्तल हल एक अंतिम क्लोजर ऑपरेटर का एक और उदाहरण है। यह एक्सचेंज विरोधी संपत्ति को संतुष्ट करता है: यदि x {y} और A के संघ के समापन में है, लेकिन {y} के संघ में नहीं है और A के समापन में है, तो y {के संघ के समापन में नहीं है। x} और A इस गुण के साथ फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर एंटीमैट्रोइड्स के वृद्धि करते हैं। | ||
बीजगणित में उपयोग किए जाने वाले क्लोजर ऑपरेटर के एक अन्य उदाहरण के रूप में, यदि कुछ बीजगणित में A है और X A के जोड़े का एक सेट है, तो X को X से युक्त सबसे छोटा सर्वांगसम संबंध देने वाला ऑपरेटर A | बीजगणित में उपयोग किए जाने वाले क्लोजर ऑपरेटर के एक अन्य उदाहरण के रूप में, यदि कुछ बीजगणित में A है और X A के जोड़े का एक सेट है, तो X को X से युक्त सबसे छोटा सर्वांगसम संबंध देने वाला ऑपरेटर A x A पर एक परिमित क्लोजर ऑपरेटर है।<ref>Clifford Bergman, ''Universal Algebra'', 2012, | ||
Section 2.4.</ref> | Section 2.4.</ref> | ||
== | == लॉजिक में क्लोजर ऑपरेटर्स == | ||
मान लीजिए कि आपके पास कुछ [[गणितीय तर्क]] हैं जिनमें कुछ नियम हैं जो आपको दिए गए सूत्रों से नए सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। सभी संभावित सूत्रों के सेट F पर विचार करें, और P को F का पावर सेट होने दें, जिसे ⊆ द्वारा आदेशित किया गया है। सूत्रों के एक सेट | मान लीजिए कि आपके पास कुछ [[गणितीय तर्क]] हैं जिनमें कुछ नियम हैं जो आपको दिए गए सूत्रों से नए सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। सभी संभावित सूत्रों के सेट F पर विचार करें, और P को F का पावर सेट होने दें, जिसे ⊆ द्वारा आदेशित किया गया है। सूत्रों के एक सेट ''X'' के लिए, cl(''X'') को ''X'' से प्राप्त किए जा सकने वाले सभी सूत्रों का सेट होने दें। फिर cl ''P'' पर एक क्लोजर ऑपरेटर है। अधिक सटीक रूप से, हम निम्नानुसार सीएल प्राप्त कर सकते हैं। एक ऑपरेटर J को निरंतर कॉल करें, जैसे कि प्रत्येक [[निर्देशित सेट]] वर्ग T के लिए, | ||
: | : ''J''(lim ''T'')= lim ''J''(''T'') | ||
यह निरंतरता की स्थिति जे के लिए एक निश्चित बिंदु प्रमेय के आधार पर है। मोनोटोन तर्क के एक-चरण ऑपरेटर जे पर विचार करें। यह सूत्र के सेट J(X) के सूत्रों के किसी भी सेट X को जोड़ने वाला संकारक है जो या तो तार्किक स्वयंसिद्ध हैं या X में सूत्रों से एक अनुमान नियम द्वारा प्राप्त किए गए हैं या X में हैं। तब ऐसा संकारक निरंतर होता है और हम परिभाषित कर सकते हैं | यह निरंतरता की स्थिति जे के लिए एक निश्चित बिंदु प्रमेय के आधार पर है। मोनोटोन तर्क के एक-चरण ऑपरेटर जे पर विचार करें। यह सूत्र के सेट J(X) के सूत्रों के किसी भी सेट X को जोड़ने वाला संकारक है जो या तो तार्किक स्वयंसिद्ध हैं या X में सूत्रों से एक अनुमान नियम द्वारा प्राप्त किए गए हैं या X में हैं। तब ऐसा संकारक निरंतर होता है और हम परिभाषित कर सकते हैं cl(''X''), ''X'' के बराबर या अधिक जे के लिए कम से कम निश्चित बिंदु के रूप में। इस तरह के दृष्टिकोण के अनुसार, टार्स्की, ब्राउन, सुस्ज़को और अन्य लेखकों ने क्लोजर ऑपरेटर सिद्धांत के आधार पर तर्क के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण प्रस्तावित किया। इसके अलावा, प्रोग्रामिंग लॉजिक (लॉयड 1987 देखें) और [[फजी लॉजिक]] (गेरला 2000 देखें) में ऐसा विचार प्रस्तावित है। | ||
=== परिणाम संचालक === | === परिणाम संचालक === | ||
1930 के आसपास, [[अल्फ्रेड टार्स्की]] ने तार्किक कटौती का एक सार सिद्धांत विकसित किया जो तार्किक गणना के कुछ गुणों को मॉडल करता है। गणितीय रूप से, उन्होंने जो वर्णन किया वह एक सेट (वाक्यों का सेट) पर केवल एक परिमित क्लोजर ऑपरेटर है। | 1930 के आसपास, [[अल्फ्रेड टार्स्की]] ने तार्किक कटौती का एक सार सिद्धांत विकसित किया जो तार्किक गणना के कुछ गुणों को मॉडल करता है। गणितीय रूप से, उन्होंने जो वर्णन किया वह एक सेट (वाक्यों का सेट) पर केवल एक परिमित क्लोजर ऑपरेटर है। भावात्मक बीजगणितीय तर्क में, फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटरों का अभी भी नाम परिणाम ऑपरेटर के तहत अध्ययन किया जाता है, जिसे टार्स्की द्वारा गढ़ा गया था। समुच्चय S वाक्यों के समुच्चय का प्रतिनिधित्व करता है, S सिद्धांत का उपसमुच्चय T, और सिद्धांत से अनुसरण करने वाले सभी वाक्यों का समुच्चय cl(T) है। आजकल यह शब्द बंद करने वाले ऑपरेटरों को संदर्भित कर सकता है, जिनकी आवश्यकता एकरूप नहीं है; फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटरों को तब कभी-कभी 'परिमित परिणाम ऑपरेटर' कहा जाता है। | ||
== बंद सेट == | == बंद सेट == | ||
S पर क्लोजर ऑपरेटर के संबंध में बंद सेट पावर सेट 'P'(S) का एक सबसेट C बनाते हैं। C में सेट का कोई भी चौराहा फिर से C में है। दूसरे शब्दों में, C 'P' (S) का पूर्ण मिलन-उपसमूह है। इसके विपरीत, यदि C ⊆ 'P'(S) मनमाना | S पर क्लोजर ऑपरेटर के संबंध में बंद सेट पावर सेट 'P'(S) का एक सबसेट C बनाते हैं। C में सेट का कोई भी चौराहा फिर से C में है। दूसरे शब्दों में, C 'P' (S) का पूर्ण मिलन-उपसमूह है। इसके विपरीत, यदि C ⊆ 'P'(S) मनमाना प्रतिच्छेदन के तहत बंद है, तो फ़ंक्शन जो S के प्रत्येक सबसेट X को सबसे छोटे सेट Y ∈ C से जोड़ता है, जैसे कि X ⊆ Y एक क्लोजर ऑपरेटर है। | ||
किसी दिए गए क्लोजर ऑपरेटर के सभी बंद सेटों को उत्पन्न करने के लिए एक सरल और स्थिर एल्गोरिथम (कलन विधि) है।<ref>Ganter, Algorithm 1</ref> | |||
एक सेट पर एक क्लोजर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल है अगर और केवल अगर बंद सेट का सेट परिमित यूनियनों के तहत बंद हो जाता है, यानी, सी 'पी' (एस) का एक पूरा-पूरा सबलेटिस है। गैर-टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटरों के लिए भी, सी को जाली की संरचना के रूप में देखा जा सकता है। (दो समुच्चयों X,Y ⊆ 'P'(S) का योग cl(X <math>\cup</math> Y).) लेकिन तब C जाली 'P'(S) का एक उपवर्ग नहीं है। | एक सेट पर एक क्लोजर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल है अगर और केवल अगर बंद सेट का सेट परिमित यूनियनों के तहत बंद हो जाता है, यानी, सी 'पी' (एस) का एक पूरा-पूरा सबलेटिस है। गैर-टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटरों के लिए भी, सी को जाली की संरचना के रूप में देखा जा सकता है। (दो समुच्चयों X,Y ⊆ 'P'(S) का योग cl(X <math>\cup</math> Y).) लेकिन तब C जाली 'P'(S) का एक उपवर्ग नहीं है। | ||
एक सेट पर एक फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर को देखते हुए, परिमित सेट के क्लोजर बंद सेट के सेट सी के बिल्कुल [[कॉम्पैक्ट तत्व]] हैं। इससे पता चलता है कि C एक बीजगणितीय पॉसेट है। | एक सेट पर एक फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर को देखते हुए, परिमित सेट के क्लोजर बंद सेट के सेट सी के बिल्कुल [[कॉम्पैक्ट तत्व]] हैं। इससे पता चलता है कि C एक बीजगणितीय पॉसेट है। | ||
चूँकि C भी एक जाली है, इसे अक्सर इस संदर्भ में बीजगणितीय जाली के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, यदि C एक बीजगणितीय पॉसेट है, तो क्लोजर ऑपरेटर परिमित है। | चूँकि C भी एक जाली है, इसे अक्सर इस संदर्भ में बीजगणितीय जाली के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, यदि C एक बीजगणितीय पॉसेट है, तो क्लोजर ऑपरेटर परिमित है। | ||
=== छद्म बंद सेट === | === छद्म बंद सेट === | ||
एक परिमित सेट S पर प्रत्येक क्लोजर ऑपरेटर अपने छद्म-बंद सेटों की छवियों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।<ref>Ganter, Section 3.2</ref> | एक परिमित सेट S पर प्रत्येक क्लोजर ऑपरेटर अपने छद्म-बंद सेटों की छवियों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।<ref>Ganter, Section 3.2</ref> | ||
इन्हें पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है: एक सेट छद्म-बंद है यदि यह बंद नहीं है और इसके प्रत्येक छद्म-बंद उचित उपसमुच्चय को बंद करना शामिल है। औपचारिक रूप से: ''P'' ⊆ ''S'' स्यूडो-क्लोज्ड है अगर और केवल अगर | इन्हें पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है: एक सेट छद्म-बंद है यदि यह बंद नहीं है और इसके प्रत्येक छद्म-बंद उचित उपसमुच्चय को बंद करना शामिल है। औपचारिक रूप से: ''P'' ⊆ ''S'' स्यूडो-क्लोज्ड है अगर और केवल अगर | ||
* '' | * ''P'' ≠ cl(''P'') और | ||
* अगर ''Q'' | * अगर ''Q'' ⊂ ''P'' स्यूडो-क्लोज्ड है, तो cl(''Q'') ⊆ ''P''। | ||
== आंशिक रूप से | === आंशिक रूप से आदेशित सेटों पर क्लोजर ऑपरेटर === | ||
एक आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट (पॉसेट) एक आंशिक ऑर्डर ≤ के साथ एक सेट है, यानी एक [[द्विआधारी संबंध]] जो रिफ्लेक्सिव है ({{nowrap|''a'' ≤ ''a''}}सकर्मक ({{nowrap|''a'' ≤ ''b'' ≤ ''c''}} तात्पर्य {{nowrap|''a'' ≤ ''c''}}) और [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] ({{nowrap|''a'' ≤ ''b'' ≤ ''a''}} मतलब ए = बी)। प्रत्येक घात समुच्चय 'P'(S) समावेशन ⊆ के साथ आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय है। | एक आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट (पॉसेट) एक आंशिक ऑर्डर ≤ के साथ एक सेट है, यानी एक [[द्विआधारी संबंध]] जो रिफ्लेक्सिव है ({{nowrap|''a'' ≤ ''a''}}सकर्मक ({{nowrap|''a'' ≤ ''b'' ≤ ''c''}} तात्पर्य {{nowrap|''a'' ≤ ''c''}}) और [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] ({{nowrap|''a'' ≤ ''b'' ≤ ''a''}} मतलब ए = बी)। प्रत्येक घात समुच्चय 'P'(S) समावेशन ⊆ के साथ आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय है। | ||
एक फ़ंक्शन | एक फ़ंक्शन cl: ''P'' → ''P'' एक आंशिक क्रम ''P'' से खुद को क्लोजर ऑपरेटर कहा जाता है यदि यह ''P'' में सभी तत्वों ''x'', y के लिए निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। | ||
:{| border="0" | :{| border="0" | ||
|- | |- | ||
| ''x'' ≤ cl(''x'') | | ''x'' ≤ cl(''x'') | ||
| | | cl विस्तृत है | ||
|- | |- | ||
| ''x'' ≤ ''y'' implies cl(''x'') ≤ cl(''y'') | | ''x'' ≤ ''y'' implies cl(''x'') ≤ cl(''y'') | ||
| (cl | | (cl में वृद्धि हो रही है) | ||
|- | |- | ||
| cl(cl(''x'')) = cl(''x'') | | cl(cl(''x'')) = cl(''x'') | ||
| (cl | | (cl वर्गसम है) | ||
|} | |} | ||
अधिक संक्षिप्त विकल्प उपलब्ध हैं: उपरोक्त परिभाषा एकल स्वयंसिद्ध के समतुल्य है | अधिक संक्षिप्त विकल्प उपलब्ध हैं: उपरोक्त परिभाषा एकल स्वयंसिद्ध के समतुल्य है | ||
:x ≤ | :''x'' ≤ cl(''y'') अगर और केवल अगर cl(''x'') ≤ cl(''y'') | ||
P में सभी x, y के लिए। | '''''P में सभी x, y के लिए।''''' | ||
पॉसेट्स के बीच कार्यों पर बिंदुवार क्रम का उपयोग करके, कोई वैकल्पिक रूप से आईडी के रूप में व्यापकता संपत्ति लिख सकता है<sub>''P''</sub> ≤ सीएल, जहां आईडी पहचान कार्य है। एक स्व-नक्शा k जो बढ़ रहा है और उदासीन है, लेकिन व्यापकता संपत्ति के [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] को संतुष्ट करता है, अर्थात k ≤ आईडी<sub>''P''</sub> कर्नेल ऑपरेटर कहा जाता है,<ref>Giertz, p. 26</ref> आंतरिक ऑपरेटर<ref>Erné, p. 2, uses closure (resp. interior) operation</ref> या दोहरी बंद।<ref>Blyth, p. 10</ref> उदाहरण के तौर पर, यदि A समुच्चय B का उपसमुच्चय है, तो B के घात पर स्व-नक्शा μ द्वारा दिया गया है<sub>A</sub>(एक्स) = ए ∪ एक्स एक क्लोजर ऑपरेटर है, जबकि λ<sub>A</sub>(एक्स) = ए ∩ एक्स एक कर्नेल ऑपरेटर है। [[वास्तविक संख्या]]ओं से वास्तविक संख्याओं तक [[छत समारोह]], जो प्रत्येक वास्तविक x को x से छोटा नहीं सबसे छोटा [[पूर्णांक]] प्रदान करता है, क्लोजर ऑपरेटर का एक और उदाहरण है। | पॉसेट्स के बीच कार्यों पर बिंदुवार क्रम का उपयोग करके, कोई वैकल्पिक रूप से आईडी के रूप में व्यापकता संपत्ति लिख सकता है<sub>''P''</sub> ≤ सीएल, जहां आईडी पहचान कार्य है। एक स्व-नक्शा k जो बढ़ रहा है और उदासीन है, लेकिन व्यापकता संपत्ति के [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] को संतुष्ट करता है, अर्थात k ≤ आईडी<sub>''P''</sub> कर्नेल ऑपरेटर कहा जाता है,<ref>Giertz, p. 26</ref> आंतरिक ऑपरेटर<ref>Erné, p. 2, uses closure (resp. interior) operation</ref> या दोहरी बंद।<ref>Blyth, p. 10</ref> उदाहरण के तौर पर, यदि A समुच्चय B का उपसमुच्चय है, तो B के घात पर स्व-नक्शा μ द्वारा दिया गया है<sub>A</sub>(एक्स) = ए ∪ एक्स एक क्लोजर ऑपरेटर है, जबकि λ<sub>A</sub>(एक्स) = ए ∩ एक्स एक कर्नेल ऑपरेटर है। [[वास्तविक संख्या]]ओं से वास्तविक संख्याओं तक [[छत समारोह]], जो प्रत्येक वास्तविक x को x से छोटा नहीं सबसे छोटा [[पूर्णांक]] प्रदान करता है, क्लोजर ऑपरेटर का एक और उदाहरण है। | ||
Revision as of 10:05, 21 February 2023
गणित में, एक सेट (गणित) S पर एक क्लोजर ऑपरेटर एक फंक्शन (गणित) है S के घात समुच्चय से स्वयं तक जो सभी समुच्चयों के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है
(cl विस्तृत है), (cl में वृद्धि हो रही है), (cl वर्गसम है).
क्लोजर ऑपरेटर्स को उनके बंद सेटों द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात, फॉर्म cl(X) के सेट के बाद से सेट एक्स का क्लोजर cl(X) X युक्त सबसे छोटा बंद सेट है। "बंद सेट" के ऐसे परिवारों को कभी-कभी क्लोजर कहा जाता है। सिस्टम या "मूर परिवार" [1] उस पर एक क्लोजर ऑपरेटर के साथ एक सेट को कभी-कभी क्लोजर स्पेस कहा जाता है। क्लोजर ऑपरेटरों को "हल ऑपरेटर्स" भी कहा जाता है, जो टोपोलॉजी में अध्ययन किए गए "क्लोजर ऑपरेटरों" के साथ भ्रम को रोकता है।