औसत चलन

गतिमान औसत (लाल वक्र) के साथ एक कोलाहलपूर्ण द्विज्या (नीला वक्र) का चौरसाई।

आंकड़ों में, एक गतिमान माध्य (दोलन माध्य या धावी माध्य) पूर्ण आँकड़ा समुच्चय के विभिन्न उपसमूहों की औसत की एक श्रृंखला बनाकर आंकड़े बिंदुओं का विश्लेषण करने के लिए एक गणना है। इसे गतिमान औसत (एमएम) भी कहा जाता है या दोलन माध्य और परिमित आवेग प्रतिक्रिया निस्यंदक का एक प्रकार है। विविधताओं में निम्न सम्मिलित हैं: सरल गतिमान माध्य, संचयी गतिमान माध्य, या भारित गतिमान माध्य रूप (नीचे वर्णित)।

संख्याओं की एक श्रृंखला और एक निश्चित उपसमुच्चय आकार को देखते हुए, गतिमान औसत का पहला तत्व संख्या श्रृंखला के प्रारंभिक निश्चित उपसमुच्चय का औसत लेकर प्राप्त किया जाता है। फिर उपसमुच्चय को आगे स्थानांतरित करके संशोधित किया जाता है; अर्थात्, श्रृंखला की पहली संख्या को छोड़कर और उपसमुच्चय में अगले मान को सम्मिलित किया जाता है।

गतिमान औसत का उपयोग सामान्यतः समय श्रृंखला आंकड़ों के साथ अल्पकालिक उतार-चढ़ाव को सुचारू करने और लंबी अवधि के रुझानों या चक्रों को उजागर करने के लिए किया जाता है। अल्पावधि और दीर्घकालिक के बीच की सीमा आवेदन पर निर्भर करती है, और गतिमान माध्य के मापदण्ड तदनुसार समुच्चय किए जाएंगे। इसका उपयोग अर्थशास्त्र में सकल घरेलू उत्पाद, रोजगार या अन्य व्यापक आर्थिक समय श्रृंखला की जांच के लिए भी किया जाता है। गणितीय रूप से, गतिमान माध्य एक प्रकार का संवलन है और इसलिए इसे संकेत संसाधन में उपयोग किए जाने वाले निम्नपारक निस्यंदक के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है। जब गैर-समय श्रृंखला आंकड़ों के साथ प्रयोग किया जाता है, तो गतिमान औसत समय के किसी विशिष्ट संयोजन के बिना उच्च आवृत्ति घटकों को निस्यंदक करती है, हालांकि सामान्यतः किसी प्रकार का क्रमीकरण निहित होता है। सरलता से देखा जाए तो इसे आंकड़ों को समरेखण करने के रूप में माना जा सकता है।

साधारण गतिमान माध्य

वित्तीय अनुप्रयोगों में एक साधारण गतिमान माध्य (SMA) पिछले का अनभारित अंकगणितीय माध्य $k$ आँकड़ा अंक है। हालांकि, विज्ञान और इंजीनियरिंग में, औसत सामान्यतः एक केंद्रीय मूल्य के दोनों ओर आंकड़ों की समान संख्या से लिया जाता है। यह सुनिश्चित करता है कि समय में बदलाव के स्थान पर माध्य में भिन्नता आंकड़ों में भिन्नता के साथ संरेखित हो। सरल समान रूप से भारित चलने वाले माध्य का एक उदाहरण अंतिम से अधिक माध्य $k$ युक्त आँकड़ा-समुच्चय की प्रविष्टियाँ $n$ प्रविष्टियाँ है। उन आंकड़े-बिंदुओं को $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$ रहने दें। यह किसी शेयर की क्लोजिंग कीमत हो सकती है। पिछले k आंकड़े-बिंदुओं (इस उदाहरण में दिन) के माध्य को SMA के रूप में दर्शाया गया है और इसकी गणना निम्नानुसार की जाती है:

$${\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k}&={\frac {p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\cdots +p_{n}}{k}}\\&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+1}^{n}p_{i}\end{aligned}}$$

अगले माध्य ${\textit {SMA}}_{k,next}$ की गणना करते समय समान प्रतिदर्शकरण चौड़ाई $k$ के साथ सीमा $n-k+2$ से $n+1$ को माना जाता है। एक नया मूल्य $p_{n+1}$ योग मान में आता है और$p_{n-k+1}$ बाहर निकल जाता है। यह पिछले माध्य ${\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}$ का पुन: उपयोग करके गणना को सरल करता है।

$$\begin{array}{rl}{\mathit{\text{SMA}}}_{k,\text{next}}& =\frac{1}{k}\underset{i=n-<!--\; -\; -->k+2}{\overset{n+1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{p}_i\\ & =\frac{1}{k}(\underset{\underset{i=n-<!--\; -\; -->k+2}{\overset{n+1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{p}_i}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{p_{n-<!--\; -\; -->k+2}+p_{n-<!--\; -\; -->k+3}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+p_n+p_{n+1}}}+\underset{=0}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{p_{n-<!--\; -\; -->k+1}-<!--\; -\; -->p_{n-<!--\; -\; -->k+1}}})\\ & =\underset{={\mathit{\text{SMA}}}_{k,\text{prev}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\frac{1}{k}(p_{n-<!--\; -\; -->k+1}+p_{n-<!--\; -\; -->k+2}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+p_n)}}-<!--\; -\; -->\frac{p_{n-<!--\; -\; -->k+1}}{k}+\frac{p_{n+1}}{k}\\ & ={\mathit{\text{SMA}}}_{k,\text{prev}}+\frac{1}{k}(p_{n+1}-<!--\; -\; -->{}_{}\end{array}$$