हेटिंग बीजगणित: Difference between revisions

Revision as of 16:31, 23 February 2023

गणित में, हेयटिंग बीजगणित (जिसे स्यूडो-बूलियन बीजगणित के रूप में भी जाना जाता है^[1]) बंधी हुई जाली है (जॉइन और मीट ऑपरेशंस लिखित ∨ और ∧ के साथ और कम से कम तत्व 0 और सबसे बड़ा तत्व 1 के साथ) बाइनरी ऑपरेशन a → b से सुसज्जित है,निहितार्थ इस प्रकार है कि (c ∧ a) ≤ b, c ≤ (a → b) के समतुल्य है। तार्किक दृष्टिकोण से, ए → बी इस परिभाषा के अनुसार सबसे कमजोर तर्कवाक्य है जिसके लिए मॉडस पोनेन्स, अनुमान नियम ए → बी, ए ⊢ बी, ध्वनि है।बूलियन बीजगणित की तरह, हेटिंग बीजगणित कई समीकरणों के साथ स्वयंसिद्ध भिन्नताएं बनाते हैं। अन्तर्ज्ञानवादी तर्क को औपचारिक बनाने के लिए हेटिंग अलजेब्रा की शुरुआत अरेंड्ट हैटिंग (1930) द्वारा की गई थी।

जाली के रूप में, हेटिंग बीजगणित वितरण कर रहे हैं प्रत्येक बूलियन बीजगणित हेटिंग बीजगणित है जब a → b को ¬a ∨ b के रूप में परिभाषित किया जाता है,जैसा कि प्रत्येक पूर्ण वितरण जाली एक तरफा अनंत वितरण नियम को संतुष्ट करता है जब a → b है सभी c के समुच्चय का सर्वोच्च माना जाता है जिसके लिए c ∧ a ≤ b। सीमित स्थितियों में, प्रत्येक गैर-खाली वितरण जाली, विशेष रूप से प्रत्येक गैर-खाली सीमित कुल आदेशया चेन्स, स्वचालित रूप से पूर्ण और पूरी तरह से वितरण योग्य है, और इसलिए विषम बीजगणित है।

यह परिभाषा से अनुसरण करता है कि 1 ≤ 0 → ए, अंतर्ज्ञान के अनुरूप है कि कोई भी प्रस्ताव विरोधाभास 0 से निहित है। चूंकि नकारात्मक ऑपरेशन ¬a परिभाषा का हिस्सा नहीं है, यह → 0 के रूप में परिभाषित है। सहज ज्ञान युक्त ¬a की सामग्री वह प्रस्ताव है जो मान लेने से विरोधाभास हो जाएगा। परिभाषा का तात्पर्य है कि ∧ ¬a = 0. आगे यह दिखाया जा सकता है कि ≤ ¬¬a, चूंकि इसका विलोम, ¬¬a ≤ a, सामान्य रूप से सत्य नहीं है, अर्थात, दोहरा निषेध उन्मूलन सामान्य रूप से मान्य नहीं है हेटिंग बीजगणित में।

हेटिंग बीजगणित बूलियन बीजगणित का सामान्यीकरण इस अर्थ में करते हैं कि बूलियन बीजगणित निश्चित रूप से हेटिंग बीजगणित हैं जो ∨ ¬a = 1 (मध्य को छोड़कर), समकक्ष ¬¬a = a को संतुष्ट करते हैं। हेटिंग बीजगणित एच के फॉर्म ¬ए के वे तत्व बूलियन जाली सम्मिलित करते हैं, किन्तु सामान्यतः यह एच का उपबीजगणित नहीं है (देखें या नियमित और पूरक तत्व)।

हेटिंग बीजगणित उसी तरह से प्रस्तावपरक अंतर्ज्ञानवादी तर्क के बीजगणितीय मॉडल के रूप में काम करते हैं जैसे बूलियन बीजगणित मॉडल प्रस्तावपरक मौलिक तर्क। प्राथमिक टोपोस का आंतरिक तर्क टर्मिनल वस्तु 1 के उप-वस्तु के हेटिंग बीजगणित पर आधारित होता है, जो समावेशन द्वारा आदेशित होता है, समकक्ष रूप से 1 से उपवस्तु वर्गीकरणकर्ता Ω तक।

किसी भी संस्थानिक स्पेस के खुले सेट पूर्ण हेटिंग बीजगणित बनाते हैं। पूर्ण हेटिंग बीजगणित इस प्रकार व्यर्थ टोपोलॉजी में अध्ययन का केंद्रीय उद्देश्य बन जाता है।

प्रत्येक हेटिंग बीजगणित जिसके गैर-महानतम तत्वों के सेट में सबसे बड़ा तत्व होता है (और और हेटिंग बीजगणित बनाता है) उप-प्रत्यक्ष रूप से अलघुकरणीय बीजगणित होता है, जहां से प्रत्येक हेटिंग बीजगणित को नए महानतम तत्व से जोड़कर उप-प्रत्यक्ष रूप से अलघुकरणीय बनाया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि सीमित हेटिंग बीजगणितों में भी असीम रूप से कई ऐसे उपस्थित हैं जो उप-प्रत्यक्ष रूप से अलघुकरणीय हैं, जिनमें से दो में समान समीकरण सिद्धांत नहीं है। इसलिए सीमित हेटिंग बीजगणित का कोई सीमित समुच्चय हेटिंग बीजगणित के गैर-नियमों के लिए सभी प्रतिउदाहरणों की आपूर्ति नहीं कर सकता है। यह बूलियन बीजगणित के बिल्कुल विपरीत है, जिसका एकमात्र उप-प्रत्यक्ष रूप से अप्रासंगिक दो-तत्व वाला है, जो अपने दम पर बूलियन बीजगणित के गैर-नियमों के लिए सभी प्रति-उदाहरणों के लिए पर्याप्त है, जो सरल सत्य तालिका निर्णय पद्धति का आधार है। फिर भी, यह निर्णायकता (तर्क) है कि क्या समीकरण सभी हेटिंग बीजगणितों को धारण करता है।^[2]

हेयटिंग बीजगणित को अधिकांशतः छद्म-बूलियन बीजगणित कहा जाता है,^[3] या यहां तक कि ब्रोवर जाली,^[4] चूंकि बाद वाला शब्द दोहरी परिभाषा को निरूपित कर सकता है,^[5] या थोड़ा और सामान्य अर्थ है।^[6]

औपचारिक परिभाषा

हेटिंग बीजगणित एच जाली (आदेश) या आंशिक रूप से आदेशित सेट के रूप में है कि एच में सभी ए और बी के लिए एच का सबसे बड़ा तत्व एक्स है जैसे कि

a\wedge x\leq b.

यह तत्व बी के संबंध में ए का सापेक्ष छद्म-पूरक है, और इसे ए→बी के रूप में दर्शाया गया है। हम क्रमशः H के सबसे बड़े और सबसे छोटे अवयव के लिए 1 और 0 लिखते हैं।

किसी भी हेटिंग बीजगणित में, कोई व्यक्ति ¬a = (a→0) सेट करके किसी भी तत्व a के छद्म-पूरक ¬a को परिभाषित करता है। परिभाषा से, $a\wedge \lnot a=0$ , और ¬a इस गुण वाला सबसे बड़ा तत्व है। चूँकि, यह सामान्य रूप से सच नहीं है $a\vee \lnot a=1$ , इस प्रकार ¬ केवल छद्म पूरक है, वास्तविक पूरक (सेट सिद्धांत) नहीं है, जैसा कि बूलियन बीजगणित में होता है।

पूर्ण हेटिंग बीजगणित हेटिंग बीजगणित है जो पूर्ण जाली है।

एक हेटिंग बीजगणित H का उपलजगणित उपसमुच्चय H है₁ H का जिसमें 0 और 1 है और संचालन ∧, ∨ और → के अनुसार बंद है। यह इस प्रकार है कि यह भी ¬ के अनुसार बंद है। प्रेरित संक्रियाओं द्वारा उपबीजगणित को हेयटिंग बीजगणित में बनाया जाता है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषा

हेटिंग बीजगणित $H$ बंधी हुई जाली है जिसमें सभी घातीय वस्तुएँ हैं।

जाली $H$ श्रेणी (गणित) के रूप में माना जाता है जहाँ

मिलना, $\wedge$ , उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) है। घातीय स्थिति का अर्थ है कि किसी भी वस्तु के लिए $Y$ और $Z$ में

[1]

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@@ Line 203: / Line 203: @@
 एक सूत्र दिया <math>F(A_1, A_2,\ldots, A_n)</math> प्रस्तावक गणना (चरों के अतिरिक्त, संयोजकों का उपयोग करके <math>\land, \lor, \lnot, \to</math>, और स्थिरांक 0 और 1), यह तथ्य है, हेटिंग बीजगणित के किसी भी अध्ययन में जल्दी सिद्ध हुआ, कि निम्नलिखित दो स्थितियाँ समतुल्य हैं:
 # फॉर्मूला एफ अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावक गणना में अधिक हद तक सही है।
-# पहचान <math>F(a_1, a_2,\ldots, a_n) = 1</math> किसी भी हेटिंग बीजगणित H और किसी भी तत्व के लिए सत्य है <math>a_1, a_2,\ldots, a_n \in H</math>.
+# पहचान <math>F(a_1, a_2,\ldots, a_n) = 1</math> किसी भी हेटिंग बीजगणित H और किसी भी तत्व <math>a_1, a_2,\ldots, a_n \in H</math> के लिए सत्य है|
 मेटानिहितार्थ {{nowrap|1 ⇒ 2}} अत्यंत उपयोगी है और हेयटिंग बीजगणित में सर्वसमिका सिद्ध करने का प्रमुख व्यावहारिक विधि है। व्यवहार में, ऐसे प्रमाणों में अधिकांशतः [[कटौती प्रमेय]] का उपयोग किया जाता है।
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 ⇒ 2 यह भी सिद्ध करने के लिए विधि प्रदान करता है कि मौलिक तर्क में [[टॉटोलॉजी (तर्क)]] के अतिरिक्त कुछ तर्कवाक्य सूत्र, अंतर्ज्ञानवादी तर्कवाक्य तर्क में सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं। किसी सूत्र को सिद्ध करने के लिए <math>F(A_1, A_2,\ldots, A_n)</math> साध्य नहीं है, यह हेटिंग बीजगणित एच और तत्वों को प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त है <math>a_1, a_2,\ldots, a_n \in H</math> ऐसा है कि <math>F(a_1, a_2,\ldots, a_n) \ne 1</math>.
-यदि कोई तर्क के उल्लेख से बचना चाहता है, तो व्यवहार में यह आवश्यक हो जाता है कि हेयटिंग बीजगणित के लिए वैध कटौती प्रमेय का संस्करण लेम्मा के रूप में सिद्ध हो: हेटिंग बीजगणित एच के किसी भी तत्व ए, बी और सी के लिए, हमारे पास है <math>(a \land b) \to c = a \to (b \to c)</math>.
+यदि कोई तर्क के उल्लेख से बचना चाहता है, तो व्यवहार में यह आवश्यक हो जाता है कि हेयटिंग बीजगणित के लिए वैध कटौती प्रमेय का संस्करण लेम्मा के रूप में सिद्ध हो: हेटिंग बीजगणित H के किसी भी तत्व A, B और C के लिए, <math>(a \land b) \to c = a \to (b \to c)</math>हमारे पास है.
 मेटानिहितार्थ 2 ⇒ 1 के बारे में अधिक जानकारी के लिए, नीचे या सार्वभौमिक निर्माण अनुभाग देखें।
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 # H में प्रत्येक x पूरक है।<ref>Rutherford (1965), Th.26.1 p.78.</ref>
 इस स्थितियों में, तत्व {{nowrap|1=''a''→''b''}} के बराबर है {{nowrap|1=¬''a'' ∨ ''b''.}}
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 : हेटिंग बीजगणित के किसी भी रूपवाद को देखते हुए {{nowrap|1=''f'' : ''H'' → ''H′''}} संतुष्टि देने वाला {{nowrap|1=''f''(''y'') = 1}} हरएक के लिए {{nowrap|1=''y'' ∈ ''S'',}} f कारक विहित अनुमान के माध्यम से विशिष्ट रूप से {{nowrap|1=''p''<sub>''F''</sub> : ''H'' → ''H''/''F''.}} अर्थात अनोखा रूपवाद है {{nowrap|1=''f′'' : ''H''/''F'' → ''H′''}} संतुष्टि देने वाला {{nowrap|1=''f′p''<sub>''F''</sub> = ''f''.}} आकृतिवाद f′ को f से प्रेरित कहा जाता है।
-होने देना {{nowrap|1=''f'' : ''H''<sub>1</sub> → ''H''<sub>2</sub>}} हेटिंग बीजगणित का रूपवाद हो। ''F'' का कर्नेल, ker ''f'' लिखा हुआ, समुच्चय है {{nowrap|1=''f''<sup>−1</sup>[{1}].}} यह एच पर फिल्टर है<sub>1</sub>. (देखभाल की जानी चाहिए क्योंकि यह परिभाषा, यदि बूलियन बीजगणित के आकारिकी पर प्रयुक्त होती है, तो दोहरी होती है, जिसे अंगूठियों के आकारिकी के रूप में देखे जाने वाले आकृतिवाद का कर्नेल कहा जाएगा।) पूर्वगामी द्वारा, f आकारिकी को प्रेरित करता है। {{nowrap|1=''f′'' : ''H''<sub>1</sub>/(ker ''f'') → ''H''<sub>2</sub>.}} यह का समरूपता है {{nowrap|1=''H''<sub>1</sub>/(ker ''f'')}} उपबीजगणित f[H<sub>1</sub>] H<sub>2</sub>.
+होने देना {{nowrap|1=''f'' : ''H''<sub>1</sub> → ''H''<sub>2</sub>}} हेटिंग बीजगणित का रूपवाद हो। ''F'' का कर्नेल,लिखित ker ''f'', समुच्चय {{nowrap|1=''f''<sup>−1</sup>[{1}].}}है| यह H पर छनन है<sub>1</sub>. (देखभाल की जानी चाहिए क्योंकि यह परिभाषा, यदि बूलियन बीजगणित के आकारिकी पर प्रयुक्त होती है, तो दोहरी होती है, जिसे अंगूठियों के आकारिकी के रूप में देखे जाने वाले आकृतिवाद का कर्नेल कहा जाएगा।) पूर्वगामी द्वारा, f आकारिकी को प्रेरित करता है। {{nowrap|1=''f′'' : ''H''<sub>1</sub>/(ker ''f'') → ''H''<sub>2</sub>.}} यह का समरूपता है {{nowrap|1=''H''<sub>1</sub>/(ker ''f'')}} उपबीजगणित f[H<sub>1</sub>] H<sub>2</sub>.
 == सार्वभौमिक निर्माण ==
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 === जेनरेटर === के इच्छानुसार सेट पर मुफ्त हेटिंग बीजगणित
 <li>
-<li>वास्तव में, पूर्ववर्ती निर्माण चर के किसी भी सेट के लिए किया जा सकता है {ए<sub>''i''</sub> : i∈I} (संभवतः अनंत)। इस तरह से चर {A पर मुफ्त हेटिंग बीजगणित प्राप्त करता है<sub>''i''</sub>}, जिसे हम फिर से H से निरूपित करेंगे<sub>0</sub>. यह इस अर्थ में मुक्त है कि किसी भी हेटिंग बीजगणित H को उसके तत्वों के परिवार के साथ दिया गया है 〈a<sub>''i''</sub>: i∈I 〉, अद्वितीय आकारिकी f:H है<sub>0</sub>→ एच संतोषजनक एफ ([ए<sub>''i''</sub>])=ए<sub>''i''</sub>. एफ की विशिष्टता को देखना कठिनाई नहीं है, और इसके अस्तित्व का परिणाम अनिवार्य रूप से मेटानिहितार्थ से होता है {{nowrap|1 ⇒ 2}} ऊपर दिए गए खंड या प्रामाणिक पहचान, इसके परिणाम के रूप में कि जब भी F और G सिद्ध रूप से समतुल्य सूत्र हैं, F(〈a<sub>''i''</sub>〉) = जी (〈ए<sub>''i''</sub>〉) तत्वों के किसी भी परिवार के लिए 〈ए<sub>''i''</sub>>एच में।
+<li>वास्तव में, पूर्ववर्ती निर्माण चर के किसी भी सेट के लिए किया जा सकता है {a<sub>''i''</sub> : i∈I} (संभवतः अनंत)। इस तरह से चर {A पर मुफ्त हेटिंग बीजगणित प्राप्त करता है<sub>''i''</sub>}, जिसे हम फिर से H से निरूपित करेंगे<sub>0</sub>. यह इस अर्थ में मुक्त है कि किसी भी हेटिंग बीजगणित H को उसके तत्वों के परिवार के साथ दिया गया है 〈a<sub>''i''</sub>: i∈I 〉, अद्वितीय आकारिकी f:H है<sub>0</sub>→ एच संतोषजनक एफ ([a<sub>''i''</sub>])=a<sub>''i''</sub>. एफ की विशिष्टता को देखना कठिनाई नहीं है, और इसके अस्तित्व का परिणाम अनिवार्य रूप से मेटानिहितार्थ से होता है {{nowrap|1 ⇒ 2}} ऊपर दिए गए खंड या प्रामाणिक पहचान, इसके परिणाम के रूप में कि जब भी F और G सिद्ध रूप से समतुल्य सूत्र हैं, F(〈a<sub>''i''</sub>〉) = जी (〈ए<sub>''i''</sub>〉) तत्वों के किसी भी परिवार के लिए 〈ए<sub>''i''</sub>>एच में।
 ===हेटिंग बीजगणित सूत्रों का सिद्धांत T=== के संबंध में समतुल्य है
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 <li>चर {ए में सूत्रों टी के सेट को देखते हुए<sub>''i''</sub>}, अभिगृहीत के रूप में देखे जाने पर, वही निर्माण L पर परिभाषित संबंध F≼G के संबंध में किया जा सकता था, जिसका अर्थ है कि G, F और अभिगृहीतों के समुच्चय T का सिद्ध परिणाम है। आइए हम H द्वारा निरूपित करें<sub>''T''</sub> हेटिंग बीजगणित तो प्राप्त किया। तब H<sub>''T''</sub> H के समान सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है<sub>0</sub> ऊपर, किन्तु हेटिंग बीजगणित एच और तत्वों के परिवारों के संबंध में 〈A<sub>''i''</sub>〉 उस संपत्ति को संतुष्ट करना जो J(〈a<sub>''i''</sub>〉)=1 किसी भी स्वयंसिद्ध J(〈A<sub>''i''</sub>〉) t में। (आइए ध्यान दें कि एच<sub>''T''</sub>, इसके तत्वों के परिवार के साथ लिया गया 〈[a]〉, स्वयं इस संपत्ति को संतुष्ट करता है।) रूपवाद का अस्तित्व और विशिष्टता उसी तरह सिद्ध होती है जैसे एच के लिए<sub>0</sub>, सिवाय इसके कि किसी को मेटानिहितार्थ को संशोधित करना होगा {{nowrap|1 ⇒ 2}} या साध्य पहचान में जिससे 1 टी से सिद्ध रूप से सत्य को पढ़े, और 2 किसी भी तत्व को पढ़े<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,..., a<sub>''n''</sub> एच में टी के सूत्रों को संतुष्ट करना।
-हेटिंग बीजगणित h<sub>''T''</sub> जिसे हमने अभी परिभाषित किया है, मुक्त हेटिंग बीजगणित H के भागफल के रूप में देखा जा सकता है<sub>0</sub> चरों के समान समुच्चय पर, H के सार्वत्रिक गुण को प्रयुक्त करके<sub>0</sub> एच के संबंध में<sub>''T''</sub>, और इसके तत्वों का परिवार 〈[ए<sub>''i''</sub>]〉.
+<li>
+<li>हेटिंग बीजगणित ''H<sub>T</sub>'' जिसे हमने अभी परिभाषित किया है, मुक्त हेटिंग बीजगणित H के भागफल के रूप में देखा जा सकता है<sub>0</sub> चरों के समान समुच्चय पर, H के सार्वत्रिक गुण को प्रयुक्त करके<sub>0</sub> एच के संबंध में<sub>''T''</sub>, और इसके तत्वों का परिवार 〈[a<sub>''i''</sub>]〉.
-हर हेटिंग बीजगणित फॉर्म H के लिए आइसोमोर्फिक है<sub>''T''</sub>. इसे देखने के लिए, H को कोई भी हेटिंग बीजगणित होने दें, और 〈a<sub>''i''</sub>: i∈I〉 एच उत्पन्न करने वाले तत्वों का परिवार हो (उदाहरण के लिए, कोई विशेषण परिवार)। अब सूत्रों के सेट टी पर विचार करें जे (〈ए<sub>''i''</sub>〉) चर में 〈ए<sub>''i''</sub>: i∈I〉 ऐसा है कि J(〈a<sub>''i''</sub>〉)=1. तब हमें आकारिकी f:H प्राप्त होती है<sub>''T''</sub>→h h की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा<sub>''T''</sub>, जो स्पष्ट रूप से विशेषण है। यह दर्शाना कठिन नहीं है कि f एकैकी है।
+<li>
+<li>हर हेटिंग बीजगणित फॉर्म H के लिए आइसोमोर्फिक है<sub>''T''</sub>. इसे देखने के लिए, H को कोई भी हेटिंग बीजगणित होने दें, और 〈a<sub>''i''</sub>: i∈I〉 एच उत्पन्न करने वाले तत्वों का परिवार हो (उदाहरण के लिए, कोई विशेषण परिवार)। अब सूत्रों के सेट टी पर विचार करें जे (〈a<sub>''i''</sub>〉) चर में 〈a<sub>''i''</sub>: i∈I〉 ऐसा है कि J(〈a<sub>''i''</sub>〉)=1. तब हमें आकारिकी f:H प्राप्त होती है<sub>''T''</sub>→h h की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा<sub>''T''</sub>, जो स्पष्ट रूप से विशेषण है। यह दर्शाना कठिन नहीं है कि f एकैकी है।
 ===लिंडेनबाम बीजगणित से तुलना===
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 यदि कोई हेटिंग बीजगणित की शर्तों के रूप में अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावपरक तर्क के स्वयंसिद्धों की व्याख्या करता है, तो वे सूत्र के चर के मूल्यों के किसी भी असाइनमेंट के अनुसार किसी भी हेटिंग बीजगणित में सबसे बड़े तत्व, 1 का मूल्यांकन करेंगे। उदाहरण के लिए, (P∧Q)→P छद्म-पूरक की परिभाषा के अनुसार, सबसे बड़ा तत्व x ऐसा है कि <math>P \land Q \land x \le P</math>. यह असमिका किसी भी x के लिए संतुष्ट है, इसलिए सबसे बड़ा x 1 है।
-इसके अतिरिक्त, मॉडस पोनेन्स का नियम हमें फॉर्मूला क्यू को सूत्र पी और पी → क्यू से प्राप्त करने की अनुमति देता है। किन्तु किसी भी हेटिंग बीजगणित में, यदि P का मान 1 है, और P→Q का मान 1 है, तो इसका कारण है कि <math>P \land 1 \le Q</math>, इसलिए <math>1 \land 1 \le Q</math>; यह केवल यह हो सकता है कि Q का मान 1 हो।
+इसके अतिरिक्त, मॉडस पोनेन्स का नियम हमें फॉर्मूला Q को सूत्र P और P→Q से प्राप्त करने की अनुमति देता है। किन्तु किसी भी हेटिंग बीजगणित में, यदि P का मान 1 है, और P→Q का मान 1 है, तो इसका कारण है कि <math>P \land 1 \le Q</math>, इसलिए <math>1 \land 1 \le Q</math>; यह केवल यह हो सकता है कि Q का मान 1 हो।
 इसका अर्थ यह है कि यदि सूत्र अंतर्ज्ञानवादी तर्क के नियमों से घटाया जा सकता है, जो मोडस पोनेन्स के नियम के माध्यम से अपने सिद्धांतों से प्राप्त किया जा रहा है, तो सूत्र के चर के मूल्यों के किसी भी कार्यभार के अनुसार सभी हेटिंग बीजगणित में इसका मान सदैव 1 होगा। . चूंकि कोई हेटिंग बीजगणित का निर्माण कर सकता है जिसमें पियर्स के नियम का मान सदैव 1 नहीं होता है। 3-तत्व बीजगणित पर विचार करें {0,{{sfrac|1|2}},1} जैसा कि ऊपर दिया गया है। यदि हम आवंटित करते हैं {{sfrac|1|2}} पी और 0 से क्यू, तो पियर्स के नियम का मूल्य ((P→Q)→P)→P है {{sfrac|1|2}}. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि पियर्स के नियम को सहज रूप से व्युत्पन्न नहीं किया जा सकता है। [[प्रकार सिद्धांत]] में इसका क्या अर्थ है, इसके सामान्य संदर्भ के लिए करी-हावर्ड समरूपतावाद देखें।
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 == निर्णय समस्याएं ==
-में शाऊल क्रिपके द्वारा प्रत्येक हेटिंग बीजगणित में दिए गए समीकरण की समस्या को निर्णायक होना दिखाया गया था।<ref name="Kripke63" />समस्या का स्पष्ट [[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत]] 1979 में [[रिचर्ड स्टेटमैन]] द्वारा स्थापित किया गया था, जिन्होंने दिखाया कि यह पीस्पेस-पूर्ण था<ref>{{cite journal | last1 = Statman | first1 = R. | year = 1979 | title = Intuitionistic propositional logic is polynomial-space complete | journal = Theoretical Comput. Sci. | volume = 9 | pages = 67–72 | doi=10.1016/0304-3975(79)90006-9| hdl = 2027.42/23534 | hdl-access = free }}</ref> और इसलिए कम से कम [[बूलियन संतुष्टि समस्या]] जितनी कठिन ([[स्टीफन कुक]] द्वारा 1971 में coNP-पूर्ण दिखाया गया)<ref name="Cook71">{{Cite conference|last = Cook  | first = S.A. | author-link = Stephen A. Cook  | title = The complexity of theorem proving procedures
+में शाऊल क्रिपके द्वारा प्रत्येक हेटिंग बीजगणित में दिए गए समीकरण की समस्या को निर्णायक होना दिखाया गया था।<ref name="Kripke63" /> समस्या का स्पष्ट [[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत]] 1979 में [[रिचर्ड स्टेटमैन]] द्वारा स्थापित किया गया था, जिन्होंने दिखाया कि यह पीस्पेस-पूर्ण था<ref>{{cite journal | last1 = Statman | first1 = R. | year = 1979 | title = Intuitionistic propositional logic is polynomial-space complete | journal = Theoretical Comput. Sci. | volume = 9 | pages = 67–72 | doi=10.1016/0304-3975(79)90006-9| hdl = 2027.42/23534 | hdl-access = free }}</ref> और इसलिए कम से कम [[बूलियन संतुष्टि समस्या]] जितनी कठिन ([[स्टीफन कुक]] द्वारा 1971 में coNP-पूर्ण दिखाया गया)<ref name="Cook71">{{Cite conference|last = Cook  | first = S.A. | author-link = Stephen A. Cook  | title = The complexity of theorem proving procedures
   | book-title = Proceedings, Third Annual ACM Symposium on the Theory of Computing, ACM, New York | year = 1971 | pages = 151–158 | doi = 10.1145/800157.805047| doi-access = free}}</ref> और अधिक कठिन होने का अनुमान लगाया। हेटिंग बीजगणित का प्राथमिक या प्रथम-क्रम सिद्धांत अनिर्णीत है।<ref>{{cite journal | last1 = Grzegorczyk | first1 = Andrzej | author-link = Andrzej Grzegorczyk | year = 1951 | title = Undecidability of some topological theories | url =https://www.impan.pl/shop/publication/transaction/download/product/93826?download.pdf | journal = Fundamenta Mathematicae | volume = 38 | pages = 137–52 | doi = 10.4064/fm-38-1-137-152 }}</ref> यह खुला रहता है कि क्या हेटिंग बीजगणित का सार्वभौमिक हॉर्न सिद्धांत, या [[शब्द समस्या (गणित)]], निर्णायक है।<ref>Peter T. Johnstone, ''Stone Spaces'', (1982) Cambridge University Press, Cambridge, {{ISBN|0-521-23893-5}}. ''(See paragraph 4.11)''</ref> À शब्द समस्या का प्रस्ताव यह ज्ञात है कि बूलियन बीजगणित के विपरीत हेटिंग बीजगणित स्थानीय रूप से सीमित नहीं हैं (कोई हेटिंग बीजगणित सीमित गैर-खाली सेट सीमित नहीं है), जो स्थानीय रूप से सीमित हैं और जिनकी शब्द समस्या निर्णायक है। यह अज्ञात है कि जनरेटर के स्थितियों को छोड़कर मुक्त पूर्ण हेटिंग बीजगणित उपस्थित है या नहीं, जहां जनरेटर पर मुफ्त हेटिंग बीजगणित नए शीर्ष से सटे हुए तुच्छ रूप से पूर्ण है।
 == सामयिक प्रतिनिधित्व और द्वैत सिद्धांत ==
-हर हेटिंग बीजगणित {{math|''H''}} परिबद्ध उपजालटी के लिए स्वाभाविक रूप से समरूपीहै {{math|''L''}} टोपोलॉजिकल स्पेस के खुले सेट {{math|''X''}}, जहां निहितार्थ <math>U\to V</math> का {{math|''L''}} के आंतरिक भाग द्वारा दिया गया है <math>(X\setminus U)\cup V</math>.
+हर हेटिंग बीजगणित {{math|''H''}} परिबद्ध उदात्तीकरण के लिए स्वाभाविक रूप से समरूपी है {{math|''L''}} टोपोलॉजिकल स्पेस के खुले सेट {{math|''X''}}, जहां निहितार्थ <math>U\to V</math> का {{math|''L''}} के आंतरिक भाग द्वारा दिया गया है <math>(X\setminus U)\cup V</math>.
-ज्यादा ठीक, {{math|''X''}} बंधी हुई जाली के प्रमुख [[आदर्श (आदेश सिद्धांत)]] का [[वर्णक्रमीय स्थान]] है {{math|''H''}} और {{math|''L''}} के खुले और अर्ध-कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की जाली है {{math|''X''}}.
+<li>
+<li>ज्यादा ठीक से, {{math|''X''}} बंधी हुई जाली {{math|''H''}} के प्रमुख [[आदर्श (आदेश सिद्धांत)]] का [[वर्णक्रमीय स्थान]] है और {{math|''L''}}, {{math|''X''}} के खुले और अर्ध-कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की जाली है .
 अधिक सामान्यतः, हेटिंग बीजगणित की श्रेणी
@@ Line 358: / Line 368: @@
 <li>हेटिंग स्पेस की श्रेणी के बराबर है।<ref>see section 8.3 in * {{cite book | last1=Dickmann | first1=Max | last2=Schwartz | first2= Niels | last3=Tressl | first3= Marcus | title=Spectral Spaces| doi=10.1017/9781316543870 | year=2019 | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=New Mathematical Monographs | volume=35 | location=Cambridge | isbn=9781107146723 | s2cid=201542298 }} </ref> इस द्वैत को हेयटिंग बीजगणित के (गैर-पूर्ण) उपश्रेणी के लिए बाध्य वितरणात्मक लैटिस के मौलिक स्टोन द्वैत के प्रतिबंध के रूप में देखा जा सकता है।
-वैकल्पिक रूप से, हेटिंग बीजगणित की श्रेणी एसाकिया रिक्त स्थान की श्रेणी के बराबर है। इसे [[एसकिया द्वैत]] कहते हैं।
+<li>
+<li>वैकल्पिक रूप से, हेटिंग बीजगणित की श्रेणी एसाकिया रिक्त स्थान की श्रेणी के बराबर है। इसे [[एसकिया द्वैत]] कहते हैं।
 ==टिप्पणियाँ==

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