हेटिंग बीजगणित

गणित में, हेयटिंग बीजगणित (छद्म-बूलियन बीजगणित के रूप में भी जाना जाता है) लैटिस (ऑर्डर) या बाउंडेड जाली है (जॉइन और मीट ऑपरेशंस लिखित ∨ और ∧ के साथ और कम से कम तत्व 0 और सबसे बड़ा तत्व 1 के साथ) बाइनरी ऑपरेशन a → b से लैस है, जैसे कि (c ∧ a) ≤ b है सी ≤ (ए → बी) के बराबर। तार्किक दृष्टिकोण से, ए → बी इस परिभाषा के अनुसार सबसे कमजोर तर्कवाक्य है जिसके लिए मूड सेट करना, अनुमान नियम ए → बी, ए ⊢ बी, ध्वनि है। बूलियन बीजगणित (संरचना) की तरह, हेयटिंग बीजगणित विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाते हैं जो बहुत से समीकरणों के साथ स्वयंसिद्ध है। हेटिंग अलजेब्रा की प्रारंभिक किसके द्वारा की गई थी अरेंड हेटिंग (1930) अंतर्ज्ञानवादी तर्क को औपचारिक रूप देना।

जाली के रूप में, हेटिंग बीजगणित वितरित जाली हैं। प्रत्येक बूलियन बीजगणित हेटिंग बीजगणित है जब a → b को ¬a ∨ b के रूप में परिभाषित किया जाता है, जैसा कि प्रत्येक पूर्णता (आदेश सिद्धांत) वितरणात्मक जाली है जो एक तरफा वितरण (आदेश सिद्धांत) को संतुष्ट करती है या पूर्ण जाली के लिए वितरण नियम जब a → b है सभी c के समुच्चय का सर्वोच्च माना जाता है जिसके लिए c ∧ a ≤ b। सीमित स्थितियों में, प्रत्येक गैर-खाली वितरण जाली, विशेष रूप से प्रत्येक गैर-खाली सीमित कुल आदेशया चेन्स, स्वचालित रूप से पूर्ण और पूरी तरह से वितरण योग्य है, और इसलिए विषम बीजगणित है।

यह परिभाषा से अनुसरण करता है कि 1 ≤ 0 → ए, अंतर्ज्ञान के अनुरूप है कि कोई भी प्रस्ताव विरोधाभास 0 से निहित है। चूंकि नकारात्मक ऑपरेशन ¬a परिभाषा का हिस्सा नहीं है, यह → 0 के रूप में परिभाषित है। सहज ज्ञान युक्त ¬a की सामग्री वह प्रस्ताव है जो मान लेने से विरोधाभास हो जाएगा। परिभाषा का तात्पर्य है कि ∧ ¬a = 0. आगे यह दिखाया जा सकता है कि ≤ ¬¬a, चूंकि इसका विलोम, ¬¬a ≤ a, सामान्य रूप से सत्य नहीं है, अर्थात, दोहरा निषेध उन्मूलन सामान्य रूप से मान्य नहीं है हेटिंग बीजगणित में।

हेटिंग बीजगणित बूलियन बीजगणित का सामान्यीकरण इस अर्थ में करते हैं कि बूलियन बीजगणित निश्चित रूप से हेटिंग बीजगणित हैं जो ∨ ¬a = 1 (मध्य को छोड़कर), समकक्ष ¬¬a = a को संतुष्ट करते हैं। हेटिंग बीजगणित एच के फॉर्म ¬ए के वे तत्व बूलियन जाली सम्मिलित करते हैं, किन्तु सामान्यतः यह एच का उपबीजगणित नहीं है (देखें या नियमित और पूरक तत्व)।

हेटिंग बीजगणित उसी तरह से प्रस्तावपरक अंतर्ज्ञानवादी तर्क के बीजगणितीय मॉडल के रूप में काम करते हैं जैसे बूलियन बीजगणित मॉडल प्रस्तावपरक मौलिक तर्क। प्राथमिक टोपोस का आंतरिक तर्क टर्मिनल वस्तु 1 के उप-वस्तु के हेटिंग बीजगणित पर आधारित होता है, जो समावेशन द्वारा आदेशित होता है, समकक्ष रूप से 1 से उपवस्तु वर्गीकरणकर्ता Ω तक।

किसी भी संस्थानिक स्पेस के खुले सेट पूर्ण हेटिंग बीजगणित बनाते हैं। पूर्ण हेटिंग बीजगणित इस प्रकार व्यर्थ टोपोलॉजी में अध्ययन का केंद्रीय उद्देश्य बन जाता है।

प्रत्येक हेटिंग बीजगणित जिसके गैर-महानतम तत्वों के सेट में सबसे बड़ा तत्व होता है (और और हेटिंग बीजगणित बनाता है) उप-प्रत्यक्ष रूप से अलघुकरणीय बीजगणित होता है, जहां से प्रत्येक हेटिंग बीजगणित को नए महानतम तत्व से जोड़कर उप-प्रत्यक्ष रूप से अलघुकरणीय बनाया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि सीमित हेटिंग बीजगणितों में भी असीम रूप से कई ऐसे उपस्थित हैं जो उप-प्रत्यक्ष रूप से अलघुकरणीय हैं, जिनमें से दो में समान समीकरण सिद्धांत नहीं है। इसलिए सीमित हेटिंग बीजगणित का कोई सीमित समुच्चय हेटिंग बीजगणित के गैर-नियमों के लिए सभी प्रतिउदाहरणों की आपूर्ति नहीं कर सकता है। यह बूलियन बीजगणित के बिल्कुल विपरीत है, जिसका एकमात्र उप-प्रत्यक्ष रूप से अप्रासंगिक दो-तत्व वाला है, जो अपने दम पर बूलियन बीजगणित के गैर-नियमों के लिए सभी प्रति-उदाहरणों के लिए पर्याप्त है, जो सरल सत्य तालिका निर्णय पद्धति का आधार है। फिर भी, यह निर्णायकता (तर्क) है कि क्या समीकरण सभी हेटिंग बीजगणितों को धारण करता है।

हेयटिंग बीजगणित को अधिकांशतः छद्म-बूलियन बीजगणित कहा जाता है, या यहां तक ​​कि ब्रोवर जाली, चूंकि बाद वाला शब्द दोहरी परिभाषा को निरूपित कर सकता है, या थोड़ा और सामान्य अर्थ है।

औपचारिक परिभाषा

हेटिंग बीजगणित एच जाली (आदेश) या आंशिक रूप से आदेशित सेट के रूप में है कि एच में सभी ए और बी के लिए एच का सबसे बड़ा तत्व एक्स है जैसे कि

$a\wedge x\leq b.$

यह तत्व बी के संबंध में ए का सापेक्ष छद्म-पूरक है, और इसे ए→बी के रूप में दर्शाया गया है। हम क्रमशः H के सबसे बड़े और सबसे छोटे अवयव के लिए 1 और 0 लिखते हैं।

किसी भी हेटिंग बीजगणित में, कोई व्यक्ति ¬a = (a→0) सेट करके किसी भी तत्व a के छद्म-पूरक ¬a को परिभाषित करता है। परिभाषा से, $a\wedge \lnot a=0$, और ¬a इस गुण वाला सबसे बड़ा तत्व है। चूँकि, यह सामान्य रूप से सच नहीं है $a\vee \lnot a=1$, इस प्रकार ¬ केवल छद्म पूरक है, वास्तविक पूरक (सेट सिद्धांत) नहीं है, जैसा कि बूलियन बीजगणित में होता है।

पूर्ण हेटिंग बीजगणित हेटिंग बीजगणित है जो पूर्ण जाली है।

एक हेटिंग बीजगणित H का उपलजगणित उपसमुच्चय H है₁ H का जिसमें 0 और 1 है और संचालन ∧, ∨ और → के अनुसार बंद है। यह इस प्रकार है कि यह भी ¬ के अनुसार बंद है। प्रेरित संक्रियाओं द्वारा उपबीजगणित को हेयटिंग बीजगणित में बनाया जाता है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषा

हेटिंग बीजगणित $H$ बंधी हुई जाली है जिसमें सभी घातीय वस्तुएँ हैं।

जाली $H$ श्रेणी (गणित) के रूप में माना जाता है जहाँ

मिलना, $\wedge$, उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) है। घातीय स्थिति का अर्थ है कि किसी भी वस्तु के लिए $Y$ और $Z$ में $H$ घातीय $Z^{Y}$ विशिष्ट रूप से वस्तु के रूप में उपस्थित है $H$.

हेटिंग निहितार्थ (अधिकांशतः उपयोग करके लिखा जाता है $\Rightarrow$ या $\multimap$ उपयोग जैसे भ्रम से बचने के लिए $\to$ ऑपरेटर को इंगित करने के लिए) केवल घातीय है: $Y\Rightarrow Z$ के लिए वैकल्पिक संकेतन है $Z^{Y}$. घातीयों की परिभाषा से हमारे पास वह निहितार्थ है ($\Rightarrow :H\times H\to H$) मिलने के लिए दायाँ सन्निकट है ($\wedge :H\times H\to H$). इस संयोजन को इस प्रकार लिखा जा सकता है $(-\wedge Y)\dashv (Y\Rightarrow -)$ या अधिक पूरी तरह से:

$$(-\wedge Y):H{\stackrel {\longrightarrow }{\underset {\longleftarrow }{\top }}}H:(Y\Rightarrow -)$$

जाली-सैद्धांतिक परिभाषाएँ

मानचित्रण पर विचार करके हेटिंग बीजगणित की समकक्ष परिभाषा दी जा सकती है:

${\begin{cases}f_{a}\colon H\to H\\f_{a}(x)=a\wedge x\end{cases}}$

एच में कुछ निश्चित के लिए। बंधी हुई जाली h हेटिंग बीजगणित है यदि और केवल यदि हर मानचित्रण f_a एक लय गाल्वा कनेक्शन का निचला भाग है। इस स्थितियों में संबंधित ऊपरी संलग्न जी_aजी द्वारा दिया जाता है_a(x) = a→x, जहाँ → ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है।

फिर भी और परिभाषा अवशिष्ट जाली के रूप में है जिसका मोनोइड ऑपरेशन ∧ है। मोनॉइड इकाई तब शीर्ष तत्व 1 होना चाहिए। इस मोनॉइड की क्रमविनिमेयता का अर्थ है कि दो अवशेष → बी के रूप में मेल खाते हैं।

एक निहितार्थ ऑपरेशन के साथ घिरा जाली

सबसे बड़े और सबसे छोटे तत्वों 1 और 0, और बाइनरी ऑपरेशन → के साथ बंधी हुई जाली ए को देखते हुए, ये साथ हेटिंग बीजगणित बनाते हैं यदि और केवल यदि निम्नलिखित हो:

1. $a\to a=1$
2. $a\wedge (a\to b)=a\wedge b$
3. $b\wedge (a\to b)=b$
4. $a\to (b\wedge c)=(a\to b)\wedge (a\to c)$

जहाँ समीकरण 4 → के लिए वितरण नियम है।

===अंतर्ज्ञानवादी तर्क === के स्वयंसिद्धों का उपयोग करके लक्षण वर्णन

हेटिंग बीजगणित का यह लक्षण वर्णन अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावपरक कलन और हेटिंग बीजगणित के बीच के संबंध से संबंधित मूलभूत तथ्यों का प्रमाण तत्काल बनाता है। (इन तथ्यों के लिए, अनुभाग देखें या प्रामाणिक पहचान और या सार्वभौमिक निर्माण।) तत्व के बारे में सोचना चाहिए $\top$ अर्थ के रूप में, सहज रूप से, सिद्ध रूप से सत्य। अंतर्ज्ञानवादी तर्कया अक्षीयकरण पर सिद्धांतों के साथ तुलना करें)।

सेट ए को तीन बाइनरी ऑपरेशंस →, ∧ और ∨, और दो विशिष्ट तत्वों के साथ दिया गया है $\bot$ और