गति: Difference between revisions

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{{Short description|Conserved physical quantity related to the motion of a body}}
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{{about-distinguish|linear momentum|angular momentum|moment (physics)}}
 
{{About|momentum in physics}}
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{{Use American English|date=August 2016}}
{{Infobox physical quantity
{{Infobox physical quantity
| name = Momentum
| name = Momentum
| image = [[File:Billard.JPG|frameless|A pool break-off shot]]
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| caption = Momentum of a [[Pool (cue sports)|pool]] cue ball is transferred to the racked balls after collision.
| caption = एक [[पूल (क्यू स्पोर्ट्स)|पूल]] क्यू बॉल का संवेग टकराने के बाद रैक की गई गेंदों में स्थानांतरित हो जाता है।
| unit = kg⋅m/s
| unit = kg⋅m/s
| dimension = MLT<sup>−1</sup>
| dimension = MLT<sup>−1</sup>
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{{Classical mechanics |fundamental concepts |width=20.55em}}
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न्यूटोनियन यांत्रिकी में, रैखिक गति, अनुवाद संबंधी गति, या बस गति किसी वस्तु के [[ द्रव्यमान |द्रव्यमान]] और [[ वेग |वेग]] का गुणनफल है। यह एक [[ यूक्लिडियन वेक्टर |यूक्लिडियन सदिश]] मात्रा है, जिसमें परिमाण और दिशा होती है। यदि {{math|''m''}} एक वस्तु का द्रव्यमान है और {{math|'''v'''}} उसका वेग है (एक सदिश राशि भी), तो वस्तु का संवेग {{math|'''p'''}} है : <math>\mathbf{p} = m \mathbf{v}.</math>
न्यूटोनियन यांत्रिकी में, रैखिक गति, अनुवाद संबंधी गति, या बस गति किसी वस्तु के [[ द्रव्यमान |द्रव्यमान]] और [[ वेग |वेग]] का गुणनफल है। यह एक [[ यूक्लिडियन वेक्टर |यूक्लिडियन सदिश]] मात्रा है, जिसमें परिमाण और दिशा होती है। यदि {{math|''m''}} एक वस्तु का द्रव्यमान है और {{math|'''v'''}} उसका वेग है (एक सदिश राशि भी), तो वस्तु का संवेग {{math|'''p'''}} है : <math>\mathbf{p} = m \mathbf{v}.</math>


[[ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली | इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली]] (SI) में, संवेग के मापन की इकाई [[ किलोग्राम |किलोग्राम]] [[ मीटर प्रति सेकंड |मीटर प्रति सेकंड]] (kg⋅m/s) है, जो [[ न्यूटन-सेकंड |न्यूटन-सेकंड]] के बराबर है।  
[[ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली |इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली]] (SI) में, संवेग के मापन की इकाई [[ किलोग्राम |किलोग्राम]] [[ मीटर प्रति सेकंड |मीटर प्रति सेकंड]] (kg⋅m/s) है, जो [[ न्यूटन-सेकंड |न्यूटन-सेकंड]] के बराबर है।  


न्यूटन के गति के नियम संवेग संदर्भ के ढांचे पर निर्भर करता है, लेकिन किसी भी जड़त्वीय ढांचे में यह एक संरक्षित मात्रा है, जिसका अर्थ है कि यदि एक [[ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली |बंद प्रणाली]] बाहरी बलों से प्रभावित नहीं होती है, तो इसकी कुल रैखिक गति नहीं बदलती है। संवेग भी [[ विशेष सापेक्षता |विशेष सापेक्षता]] (एक संशोधित सूत्र के साथ) और, एक संशोधित रूप में, [[ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली |बिजली का गतिविज्ञान]], [[ क्वांटम यांत्रिकी |परिमाण यांत्रिकी]] , [[ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत |परिमाण क्षेत्र सिद्धांत]] और [[ सामान्य सापेक्षता |सामान्य सापेक्षता]] में संरक्षित है। यह स्थान और समय की मूलभूत समरूपताओं में से एक की अभिव्यक्ति है: [[ अनुवाद संबंधी समरूपता |अनुवाद संबंधी समरूपता]]।   
न्यूटन के गति के नियम संवेग संदर्भ के ढांचे पर निर्भर करता है, लेकिन किसी भी जड़त्वीय ढांचे में यह एक संरक्षित मात्रा है, जिसका अर्थ है कि यदि एक [[ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली |बंद प्रणाली]] बाहरी बलों से प्रभावित नहीं होती है, तो इसकी कुल रैखिक गति नहीं बदलती है। संवेग भी [[ विशेष सापेक्षता |विशेष सापेक्षता]] (एक संशोधित सूत्र के साथ) और, एक संशोधित रूप में, [[ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली |बिजली का गतिविज्ञान]], [[ क्वांटम यांत्रिकी |परिमाण यांत्रिकी]], [[ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत |परिमाण क्षेत्र सिद्धांत]] और [[ सामान्य सापेक्षता |सामान्य सापेक्षता]] में संरक्षित है। यह स्थान और समय की मूलभूत समरूपताओं में से एक की अभिव्यक्ति है: [[ अनुवाद संबंधी समरूपता |अनुवाद संबंधी समरूपता]]।   


उत्कृष्ट यांत्रिकी, लैग्रेंजियन यांत्रिकी और [[ हैमिल्टनियन यांत्रिकी |हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] के उन्नत सूत्रीकरण , किसी को समन्वय प्रणाली चुनने की अनुमति देते हैं जो समरूपता और बाधाओं को सम्मिलित करते हैं। इन प्रणालियों में संरक्षित मात्रा 'सामान्यीकृत गति' है, और सामान्यत: यह ऊपर परिभाषित 'गतिज' गति से अलग है। सामान्यीकृत गति की अवधारणा को [[ क्वांटम यांत्रिकी |परिमाण यांत्रिकी]] में ले जाया जाता है, जहां यह एक तरंग कार्य पर एक प्रचालक बन जाता है। संवेग और स्थिति संचालक [[ हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत |हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत]] से संबंधित हैं।  
उत्कृष्ट यांत्रिकी, लैग्रेंजियन यांत्रिकी और [[ हैमिल्टनियन यांत्रिकी |हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] के उन्नत सूत्रीकरण, किसी को समन्वय प्रणाली चुनने की अनुमति देते हैं जो समरूपता और बाधाओं को सम्मिलित करते हैं। इन प्रणालियों में संरक्षित मात्रा 'सामान्यीकृत गति' है, और सामान्यत: यह ऊपर परिभाषित 'गतिज' गति से अलग है। सामान्यीकृत गति की अवधारणा को [[ क्वांटम यांत्रिकी |परिमाण यांत्रिकी]] में ले जाया जाता है, जहां यह एक तरंग कार्य पर एक प्रचालक बन जाता है। संवेग और स्थिति संचालक [[ हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत |हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत]] से संबंधित हैं।  


निरंतर प्रणालियों जैसे [[ विद्युत चुम्बकीय |विद्युत चुम्बकीय]] क्षेत्र, द्रव गतिकी और विकृत निकायों में, एक गति घनत्व को परिभाषित किया जा सकता है, और गति के संरक्षण का एक निरंतर संस्करण समीकरणों की ओर जाता है जैसे तरल पदार्थ के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरण या विकृत ठोस के लिए [[ कॉची गति समीकरण |कॉची गति समीकरण]] या तरल पदार्थ समीकरण है।  
निरंतर प्रणालियों जैसे [[ विद्युत चुम्बकीय |विद्युत चुम्बकीय]] क्षेत्र, द्रव गतिकी और विकृत निकायों में, एक गति घनत्व को परिभाषित किया जा सकता है, और गति के संरक्षण का एक निरंतर संस्करण समीकरणों की ओर जाता है जैसे तरल पदार्थ के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरण या विकृत ठोस के लिए [[ कॉची गति समीकरण |कॉची गति समीकरण]] या तरल पदार्थ समीकरण है।  
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== न्यूटोनियन ==
== न्यूटोनियन ==


संवेग एक सदिश राशि है: इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। चूँकि संवेग की एक दिशा होती है, इसका उपयोग वस्तुओं के टकराने के बाद परिणामी दिशा और गति की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है। नीचे, संवेग के मूल गुणों को एक आयाम में वर्णित किया गया है। सदिश समीकरण लगभग अदिश समीकरणों के समान होते हैं (मोमेंटम और बहुआयामी देखें)।  
संवेग एक सदिश राशि है: इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। चूँकि संवेग की एक दिशा होती है, इसका उपयोग वस्तुओं के टकराने के बाद परिणामी दिशा और गति की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है। नीचे, संवेग के मूल गुणों को एक आयाम में वर्णित किया गया है। सदिश समीकरण लगभग अदिश समीकरणों के समान होते हैं (मोमेंटम और बहुआयामी देखें)।  


===एकल कण ===
===एकल कण ===
एक कण की गति को पारंपरिक रूप से अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है {{math|''p''}}. यह दो मात्राओं का गुणनफल है, कण का द्रव्यमान (अक्षर द्वारा निरूपित) {{math|''m''}}) और इसका वेग ({{math|''v''}}):<ref name=FeynmanCh9>[https://feynmanlectures.caltech.edu/I_09.html The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 9: Newton’s Laws of Dynamics]</ref>
एक कण की गति को पारंपरिक रूप से अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है {{math|''p''}}. यह दो मात्राओं का गुणनफल है, कण का द्रव्यमान (अक्षर द्वारा निरूपित) {{math|''m''}}) और इसका वेग ({{math|''v''}}):<ref name=FeynmanCh9>[https://feynmanlectures.caltech.edu/I_09.html The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 9: Newton’s Laws of Dynamics]</ref>
:<math qid=Q41273>p = m v. </math>
:<math qid=Q41273>p = m v. </math>
संवेग की इकाई द्रव्यमान और वेग की इकाइयों का गुणनफल है। SI इकाइयों में, यदि द्रव्यमान किलोग्राम में है और वेग मीटर प्रति सेकंड में है तो गति किलोग्राम मीटर प्रति सेकंड (kg⋅m/s) में है। सेंटीमीटर-ग्राम-सेकंड प्रणाली में, यदि द्रव्यमान ग्राम में है और वेग सेंटीमीटर प्रति सेकंड में है, तो गति ग्राम सेंटीमीटर प्रति सेकंड (g⋅cm/s) में है।  
संवेग की इकाई द्रव्यमान और वेग की इकाइयों का गुणनफल है। SI इकाइयों में, यदि द्रव्यमान किलोग्राम में है और वेग मीटर प्रति सेकंड में है तो गति किलोग्राम मीटर प्रति सेकंड (kg⋅m/s) में है। सेंटीमीटर-ग्राम-सेकंड प्रणाली में, यदि द्रव्यमान ग्राम में है और वेग सेंटीमीटर प्रति सेकंड में है, तो गति ग्राम सेंटीमीटर प्रति सेकंड (g⋅cm/s) में है।  


सदिश होने के कारण संवेग का परिमाण और दिशा होती है। उदाहरण के लिए, 1 किलो प्रतिरूप का हवाई जहाज, सीधी और समतल उड़ान में उत्तर की ओर 1 मीटर/सेकेंड की गति से यात्रा कर रहा है, इसकी गति जमीन के संदर्भ में मापी गई उत्तर की ओर 1 किलो मीटर/सेकेंड है।  
सदिश होने के कारण संवेग का परिमाण और दिशा होती है। उदाहरण के लिए, 1 किलो प्रतिरूप का हवाई जहाज, सीधी और समतल उड़ान में उत्तर की ओर 1 मीटर/सेकेंड की गति से यात्रा कर रहा है, इसकी गति जमीन के संदर्भ में मापी गई उत्तर की ओर 1 किलो मीटर/सेकेंड है।  


===कई कण ===
===कई कण ===
कणों के एक निकाय का संवेग उनके संवेग का सदिश योग होता है। यदि दो कणों का द्रव्यमान क्रमशः है {{math|''m''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''m''<sub>2</sub>}}, और वेग {{math|''v''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''v''<sub>2</sub>}}, कुल गति है
कणों के एक निकाय का संवेग उनके संवेग का सदिश योग होता है। यदि दो कणों का द्रव्यमान क्रमशः है {{math|''m''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''m''<sub>2</sub>}}, और वेग {{math|''v''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''v''<sub>2</sub>}}, कुल गति है
:<math> \begin{align}
:<math> \begin{align}
p &= p_1 + p_2 \\
p &= p_1 + p_2 \\
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कणों की एक प्रणाली में द्रव्यमान का केंद्र होता है, जो उनकी स्थिति के भारित योग द्वारा निर्धारित होता है:
कणों की एक प्रणाली में द्रव्यमान का केंद्र होता है, जो उनकी स्थिति के भारित योग द्वारा निर्धारित होता है:
:<math> r_\text{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2 + \cdots}{m_1 + m_2 + \cdots} = \frac{\sum_{i}m_ir_i}{\sum_{i}m_i}.</math>
:<math> r_\text{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2 + \cdots}{m_1 + m_2 + \cdots} = \frac{\sum_{i}m_ir_i}{\sum_{i}m_i}.</math>
यदि एक या अधिक कण गतिमान हैं, तो निकाय के द्रव्यमान का केंद्र सामान्यत: भी गतिमान रहेगा (जब तक कि निकाय इसके चारों ओर शुद्ध घूर्णन में न हो)। यदि कणों का कुल द्रव्यमान है <math>m</math>, और द्रव्यमान का केंद्र वेग से घूम रहा है {{math|''v''<sub>cm</sub>}}, प्रणाली की गति है:
यदि एक या अधिक कण गतिमान हैं, तो निकाय के द्रव्यमान का केंद्र सामान्यत: भी गतिमान रहेगा (जब तक कि निकाय इसके चारों ओर शुद्ध घूर्णन में न हो)। यदि कणों का कुल द्रव्यमान है <math>m</math>, और द्रव्यमान का केंद्र वेग से घूम रहा है {{math|''v''<sub>cm</sub>}}, प्रणाली की गति है:
:<math>p= mv_\text{cm}.</math>
:<math>p= mv_\text{cm}.</math>
इसे यूलर के गति के नियम के रूप में जाना जाता है| यूलर का पहला नियम। <ref name="BookRags">{{cite book
इसे यूलर के गति के नियम के रूप में जाना जाता है| यूलर का पहला नियम। <ref name="BookRags">{{cite book
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इसलिए शुद्ध बल कण के द्रव्यमान के गुणा के [[ त्वरण |त्वरण]] के बराबर होता है। <ref name=FeynmanCh9/>
इसलिए शुद्ध बल कण के द्रव्यमान के गुणा के [[ त्वरण |त्वरण]] के बराबर होता है। <ref name=FeynmanCh9/>


उदाहरण: 1 किलो द्रव्यमान का एक प्रतिरूप हवाई जहाज 2 सेकंड में आराम से 6 मीटर/सेकेंड के वेग से उत्तर की ओर गति करता है। इस [[ त्वरण |त्वरण]] को उत्पन्न करने के लिए आवश्यक कुल बल उत्तर की ओर 3 [[ न्यूटन (इकाई) |न्यूटन (इकाई)]] है। उत्तर की ओर गति में परिवर्तन 6 किलोm/s है। संवेग परिवर्तन की दर उत्तर की ओर 3 (kg⋅m/s)/s है जो संख्यात्मक रूप से 3 न्यूटन के बराबर है।  
उदाहरण: 1 किलो द्रव्यमान का एक प्रतिरूप हवाई जहाज 2 सेकंड में आराम से 6 मीटर/सेकेंड के वेग से उत्तर की ओर गति करता है। इस [[ त्वरण |त्वरण]] को उत्पन्न करने के लिए आवश्यक कुल बल उत्तर की ओर 3 [[ न्यूटन (इकाई) |न्यूटन (इकाई)]] है। उत्तर की ओर गति में परिवर्तन 6 किलोm/s है। संवेग परिवर्तन की दर उत्तर की ओर 3 (kg⋅m/s)/s है जो संख्यात्मक रूप से 3 न्यूटन के बराबर है।  


===संरक्षण ===
===संरक्षण ===
एक [[ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली |बंद प्रणाली]] में (जो अपने परिवेश के साथ किसी भी पदार्थ का आदान-प्रदान नहीं करता है और बाहरी बलों द्वारा कार्य नहीं किया जाता है) कुल गति स्थिर रहती है। यह तथ्य, जिसे संवेग के संरक्षण के नियम के रूप में जाना जाता है, [[ न्यूटन (इकाई) |न्यूटन]] के गति के नियमों द्वारा निहित है। <ref name=FeynmanCh10>[https://feynmanlectures.caltech.edu/I_10.html The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 10: Conservation of Momentum]</ref><ref>{{cite book |title=Invitation to Contemporary Physics |url=https://archive.org/details/invitationtocont00hoki |url-access=registration |edition=illustrated |first1=Quang |last1=Ho-Kim |first2=Narendra |last2=Kumar |first3=Harry C.S. |last3= Lam |publisher=World Scientific |year=2004 |isbn=978-981-238-303-7 |page=[https://archive.org/details/invitationtocont00hoki/page/19 19] }}</ref> मान लीजिए, उदाहरण के लिए, कि दो कण परस्पर क्रिया करते हैं। जैसा कि तीसरे नियम द्वारा समझाया गया है, उनके बीच बल परिमाण में समान हैं लेकिन दिशा में विपरीत हैं। यदि कणों की संख्या 1 और 2 है, तो दूसरा नियम कहता है कि {{math|''F''<sub>1</sub> {{=}} {{sfrac|''dp''<sub>1</sub>|''dt''}}}} तथा {{math|''F''<sub>2</sub> {{=}} {{sfrac|''dp''<sub>2</sub>|''dt''}}}}. इसलिए,
एक [[ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली |बंद प्रणाली]] में (जो अपने परिवेश के साथ किसी भी पदार्थ का आदान-प्रदान नहीं करता है और बाहरी बलों द्वारा कार्य नहीं किया जाता है) कुल गति स्थिर रहती है। यह तथ्य, जिसे संवेग के संरक्षण के नियम के रूप में जाना जाता है, [[ न्यूटन (इकाई) |न्यूटन]] के गति के नियमों द्वारा निहित है। <ref name=FeynmanCh10>[https://feynmanlectures.caltech.edu/I_10.html The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 10: Conservation of Momentum]</ref><ref>{{cite book |title=Invitation to Contemporary Physics |url=https://archive.org/details/invitationtocont00hoki |url-access=registration |edition=illustrated |first1=Quang |last1=Ho-Kim |first2=Narendra |last2=Kumar |first3=Harry C.S. |last3= Lam |publisher=World Scientific |year=2004 |isbn=978-981-238-303-7 |page=[https://archive.org/details/invitationtocont00hoki/page/19 19] }}</ref> मान लीजिए, उदाहरण के लिए, कि दो कण परस्पर क्रिया करते हैं। जैसा कि तीसरे नियम द्वारा समझाया गया है, उनके बीच बल परिमाण में समान हैं लेकिन दिशा में विपरीत हैं। यदि कणों की संख्या 1 और 2 है, तो दूसरा नियम कहता है कि {{math|''F''<sub>1</sub> {{=}} {{sfrac|''dp''<sub>1</sub>|''dt''}}}} तथा {{math|''F''<sub>2</sub> {{=}} {{sfrac|''dp''<sub>2</sub>|''dt''}}}}. इसलिए,
:<math> \frac{d p_1}{d t} = - \frac{d p_2}{d t}, </math>
:<math> \frac{d p_1}{d t} = - \frac{d p_2}{d t}, </math>
नकारात्मक संकेत के साथ यह दर्शाता है कि बल विरोध करते हैं। समान रूप से,
नकारात्मक संकेत के साथ यह दर्शाता है कि बल विरोध करते हैं। समान रूप से,
:<math> \frac{d}{d t} \left(p_1+ p_2\right)= 0. </math>
:<math> \frac{d}{d t} \left(p_1+ p_2\right)= 0. </math>
यदि कणों के वेग हैं {{math|''u''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''u''<sub>2</sub>}} बातचीत से पहले, और बाद में वे हैं {{math|''v''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''v''<sub>2</sub>}}, फिर
यदि कणों के वेग हैं {{math|''u''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''u''<sub>2</sub>}} बातचीत से पहले, और बाद में वे हैं {{math|''v''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''v''<sub>2</sub>}}, फिर
:<math qid=Q2305665>m_1 u_{1} + m_2 u_{2} = m_1 v_{1} + m_2 v_{2}.</math>
:<math qid=Q2305665>m_1 u_{1} + m_2 u_{2} = m_1 v_{1} + m_2 v_{2}.</math>
यह नियम मानता है कि कणों के बीच बल कितना भी जटिल क्यों न हो। इसी तरह, यदि कई कण हैं, तो कणों के प्रत्येक जोड़े के बीच आदान-प्रदान का संवेग शून्य हो जाता है, इसलिए संवेग में कुल परिवर्तन शून्य होता है। यह संरक्षण नियम सभी परस्पर क्रिया पर लागू होता है, जिसमें विस्फोटक बलों के कारण टकराव और अलगाव सम्मिलित हैं। <ref name=FeynmanCh10/>इसे उन स्थितियों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां [[ न्यूटन (इकाई) |न्यूटन]] के नियम लागू नहीं होते हैं, उदाहरण के लिए सापेक्षता के सिद्धांत और [[ शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व |शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व]] में। <ref name=Goldstein54/>
यह नियम मानता है कि कणों के बीच बल कितना भी जटिल क्यों न हो। इसी तरह, यदि कई कण हैं, तो कणों के प्रत्येक जोड़े के बीच आदान-प्रदान का संवेग शून्य हो जाता है, इसलिए संवेग में कुल परिवर्तन शून्य होता है। यह संरक्षण नियम सभी परस्पर क्रिया पर लागू होता है, जिसमें विस्फोटक बलों के कारण टकराव और अलगाव सम्मिलित हैं। <ref name=FeynmanCh10/>इसे उन स्थितियों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां [[ न्यूटन (इकाई) |न्यूटन]] के नियम लागू नहीं होते हैं, उदाहरण के लिए सापेक्षता के सिद्धांत और [[ शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व |शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व]] में। <ref name=Goldstein54/>




=== संदर्भ ढांचे पर निर्भरता ===
=== संदर्भ ढांचे पर निर्भरता ===
गति एक मापने योग्य मात्रा है, और माप संदर्भ के ढांचे पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए: यदि 1000 किलो वजन का एक विमान 50 मीटर/सेकेंड की गति से हवा में उड़ रहा है, तो इसकी गति 50,000 किलोग्राम मीटर/सेकेंड की गणना की जा सकती है। अगर विमान 5 मीटर/सेकेंड की विपरीत परिस्थितियों में उड़ रहा है तो पृथ्वी की सतह के सापेक्ष इसकी गति केवल 45 मीटर/सेकेंड है और इसकी गति की गणना 45,000 किलो मीटर/सेकेंड की जा सकती है। दोनों गणना समान रूप से सही हैं। संदर्भ के दोनों ढांचों में, संवेग में कोई भी परिवर्तन भौतिकी के प्रासंगिक नियमों के अनुरूप पाया जाएगा।  
गति एक मापने योग्य मात्रा है, और माप संदर्भ के ढांचे पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए: यदि 1000 किलो वजन का एक विमान 50 मीटर/सेकेंड की गति से हवा में उड़ रहा है, तो इसकी गति 50,000 किलोग्राम मीटर/सेकेंड की गणना की जा सकती है। अगर विमान 5 मीटर/सेकेंड की विपरीत परिस्थितियों में उड़ रहा है तो पृथ्वी की सतह के सापेक्ष इसकी गति केवल 45 मीटर/सेकेंड है और इसकी गति की गणना 45,000 किलो मीटर/सेकेंड की जा सकती है। दोनों गणना समान रूप से सही हैं। संदर्भ के दोनों ढांचों में, संवेग में कोई भी परिवर्तन भौतिकी के प्रासंगिक नियमों के अनुरूप पाया जाएगा।  


मान लीजिए {{math|''x''}} संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे में एक स्थिति है। संदर्भ के दूसरे ढांचे के दृष्टिकोण से, एक स्थिर गति से आगे बढ़ रहा है {{math|''u''}} दूसरे के सापेक्ष, स्थिति (एक प्राइमेड समकक्ष द्वारा दर्शाई गई) समय के साथ बदलती है:
मान लीजिए {{math|''x''}} संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे में एक स्थिति है। संदर्भ के दूसरे ढांचे के दृष्टिकोण से, एक स्थिर गति से आगे बढ़ रहा है {{math|''u''}} दूसरे के सापेक्ष, स्थिति (एक प्राइमेड समकक्ष द्वारा दर्शाई गई) समय के साथ बदलती है:
:<math> x' = x - ut\,.</math>
:<math> x' = x - ut\,.</math>
इसे [[ गैलीलियन परिवर्तन |गैलीलियन परिवर्तन]] कहा जाता है।  
इसे [[ गैलीलियन परिवर्तन |गैलीलियन परिवर्तन]] कहा जाता है।  
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तब {{math|''u''}} नहीं बदलता है, दूसरा संदर्भ ढांचे भी एक जड़त्वीय ढांचे है और [[ त्वरण |त्वरण]] समान हैं:
तब {{math|''u''}} नहीं बदलता है, दूसरा संदर्भ ढांचे भी एक जड़त्वीय ढांचे है और [[ त्वरण |त्वरण]] समान हैं:
:<math> a' = \frac{dv'}{dt} = a\,.</math>
:<math> a' = \frac{dv'}{dt} = a\,.</math>
इस प्रकार, दोनों संदर्भ ढांचों में संवेग संरक्षित है। इसके अतिरिक्त, जब तक बल का एक ही रूप है, दोनों ढांचे में, न्यूटन का दूसरा नियम अपरिवर्तित रहता है। न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण जैसे बल, जो केवल वस्तुओं के बीच अदिश दूरी पर निर्भर करते हैं, इस मानदंड को पूरा करते हैं। संदर्भ ढांचे की इस स्वतंत्रता को न्यूटनियन सापेक्षता या [[ गैलीलियन इनवेरिएंस |गैलीलियन इनवेरिएंस]] कहा जाता है। <ref>{{harvnb|Goldstein|1980|p=276}}</ref>
इस प्रकार, दोनों संदर्भ ढांचों में संवेग संरक्षित है। इसके अतिरिक्त, जब तक बल का एक ही रूप है, दोनों ढांचे में, न्यूटन का दूसरा नियम अपरिवर्तित रहता है। न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण जैसे बल, जो केवल वस्तुओं के बीच अदिश दूरी पर निर्भर करते हैं, इस मानदंड को पूरा करते हैं। संदर्भ ढांचे की इस स्वतंत्रता को न्यूटनियन सापेक्षता या [[ गैलीलियन इनवेरिएंस |गैलीलियन इनवेरिएंस]] कहा जाता है। <ref>{{harvnb|Goldstein|1980|p=276}}</ref>


संदर्भ ढांचे में परिवर्तन, प्राय:, गति की गणना को सरल बना सकता है। उदाहरण के लिए, दो कणों की टक्कर में, एक संदर्भ ढांचा चुना जा सकता है, जहां, एक कण सरलता से प्रारंभ होता है। एक और, सामान्यत: उपयोग किया जाने वाला संदर्भ ढांचे , [[ मास फ्रेम का केंद्र |मास ढांचे का केंद्र]] है - वह जो द्रव्यमान के केंद्र के साथ आगे बढ़ रहा है। इस ढांचे में कुल गति शून्य है।  
संदर्भ ढांचे में परिवर्तन, प्राय:, गति की गणना को सरल बना सकता है। उदाहरण के लिए, दो कणों की टक्कर में, एक संदर्भ ढांचा चुना जा सकता है, जहां, एक कण सरलता से प्रारंभ होता है। एक और, सामान्यत: उपयोग किया जाने वाला संदर्भ ढांचे, [[ मास फ्रेम का केंद्र |मास ढांचे का केंद्र]] है - वह जो द्रव्यमान के केंद्र के साथ आगे बढ़ रहा है। इस ढांचे में कुल गति शून्य है।  


=== टकराव के लिए आवेदन ===
=== टकराव के लिए आवेदन ===
यदि दो कण, प्रत्येक ज्ञात संवेग, आपस में टकराते हैं और आपस में मिलते हैं, तो संवेग के संरक्षण के नियम का उपयोग संवेग के संवेग को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। यदि टक्कर का परिणाम यह है कि दो कण अलग हो जाते हैं, तो प्रत्येक कण की गति को निर्धारित करने के लिए नियम पर्याप्त नहीं है। यदि टक्कर के बाद एक कण का संवेग ज्ञात हो, तो दूसरे कण का संवेग ज्ञात करने के लिए नियम का प्रयोग किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से यदि टक्कर के बाद संयुक्त [[ गतिज ऊर्जा |गतिज ऊर्जा]] ज्ञात हो, तो टक्कर के बाद प्रत्येक कण की गति को निर्धारित करने के लिए नियम का उपयोग किया जा सकता है। <ref>Resnick and Halliday (1966), ''Physics'', Section 10-3. Wiley Toppan, Library of Congress 66-11527</ref> गतिज ऊर्जा सामान्यत: संरक्षित नहीं होती है। यदि इसे संरक्षित किया जाता है, तो टकराव को लोचदार टक्कर कहा जाता है; यदि नहीं, तो यह एक [[ बेलोचदार टक्कर |बेलोचदार टक्कर]] है।  
यदि दो कण, प्रत्येक ज्ञात संवेग, आपस में टकराते हैं और आपस में मिलते हैं, तो संवेग के संरक्षण के नियम का उपयोग संवेग के संवेग को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। यदि टक्कर का परिणाम यह है कि दो कण अलग हो जाते हैं, तो प्रत्येक कण की गति को निर्धारित करने के लिए नियम पर्याप्त नहीं है। यदि टक्कर के बाद एक कण का संवेग ज्ञात हो, तो दूसरे कण का संवेग ज्ञात करने के लिए नियम का प्रयोग किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से यदि टक्कर के बाद संयुक्त [[ गतिज ऊर्जा |गतिज ऊर्जा]] ज्ञात हो, तो टक्कर के बाद प्रत्येक कण की गति को निर्धारित करने के लिए नियम का उपयोग किया जा सकता है। <ref>Resnick and Halliday (1966), ''Physics'', Section 10-3. Wiley Toppan, Library of Congress 66-11527</ref> गतिज ऊर्जा सामान्यत: संरक्षित नहीं होती है। यदि इसे संरक्षित किया जाता है, तो टकराव को लोचदार टक्कर कहा जाता है; यदि नहीं, तो यह एक [[ बेलोचदार टक्कर |बेलोचदार टक्कर]] है।  


====लोचदार टकराव ====
====लोचदार टकराव ====
{{Main|Elastic collision}}
{{Main|मामूली टक्कर}}
[[File:Elastischer stoß.gif|thumb|right|समान द्रव्यमान की लोचदार टक्कर]]
[[File:Elastischer stoß.gif|thumb|right|समान द्रव्यमान की लोचदार टक्कर]]
[[File:Elastischer stoß3.gif|thumb|right|असमान द्रव्यमानों की लोचदार टक्कर]]
[[File:Elastischer stoß3.gif|thumb|right|असमान द्रव्यमानों की लोचदार टक्कर]]
लोचदार टक्कर वह है जिसमें कोई गतिज ऊर्जा ऊष्मा या ऊर्जा के किसी अन्य रूप में परिवर्तित नहीं होती है। पूरी तरह से लोचदार टकराव तब हो सकता है जब वस्तुएं एक-दूसरे को स्पर्श नहीं करती हैं, उदाहरण के लिए परमाणु या परमाणु बिखरने में जहां विद्युत प्रतिकर्षण वस्तुओं को अलग रखता है। एक ग्रह के चारों ओर एक उपग्रह की [[ गुरुत्वाकर्षण सहायता |गुरुत्वाकर्षण सहायता]] को पूरी तरह से लोचदार टक्कर के रूप में भी देखा जा सकता है। दो [[ पूल बिलियर्ड्स |पूल बिलियर्ड्स]] गेंदों के बीच टकराव उनकी उच्च [[ कठोरता |कठोरता]] के कारण लगभग पूरी तरह से लोचदार टकराव का एक अच्छा उदाहरण है, लेकिन जब शरीर संपर्क में आते हैं तो हमेशा कुछ [[ अपव्यय |अपव्यय]] होता है। <ref>{{cite web |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/elacol.html |title=Elastic and inelastic collisions |work=Hyperphysics |author=Carl Nave |date=2010 |access-date=2 August 2012 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120818114930/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/elacol.html |archive-date=18 August 2012 }}</ref>
लोचदार टक्कर वह है जिसमें कोई गतिज ऊर्जा ऊष्मा या ऊर्जा के किसी अन्य रूप में परिवर्तित नहीं होती है। पूरी तरह से लोचदार टकराव तब हो सकता है जब वस्तुएं एक-दूसरे को स्पर्श नहीं करती हैं, उदाहरण के लिए परमाणु या परमाणु बिखरने में जहां विद्युत प्रतिकर्षण वस्तुओं को अलग रखता है। एक ग्रह के चारों ओर एक उपग्रह की [[ गुरुत्वाकर्षण सहायता |गुरुत्वाकर्षण सहायता]] को पूरी तरह से लोचदार टक्कर के रूप में भी देखा जा सकता है। दो [[ पूल बिलियर्ड्स |पूल बिलियर्ड्स]] गेंदों के बीच टकराव उनकी उच्च [[ कठोरता |कठोरता]] के कारण लगभग पूरी तरह से लोचदार टकराव का एक अच्छा उदाहरण है, लेकिन जब शरीर संपर्क में आते हैं तो हमेशा कुछ [[ अपव्यय |अपव्यय]] होता है। <ref>{{cite web |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/elacol.html |title=Elastic and inelastic collisions |work=Hyperphysics |author=Carl Nave |date=2010 |access-date=2 August 2012 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120818114930/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/elacol.html |archive-date=18 August 2012 }}</ref>


दो निकायों के बीच एक सिर पर लोचदार टकराव को एक आयाम में वेगों द्वारा, निकायों से गुजरने वाली रेखा के साथ दर्शाया जा सकता है। यदि वेग हैं {{math|''u''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''u''<sub>2</sub>}} टक्कर से पहले और {{math|''v''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''v''<sub>2</sub>}} इसके बाद, संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण को व्यक्त करने वाले समीकरण हैं:
दो निकायों के बीच एक सिर पर लोचदार टकराव को एक आयाम में वेगों द्वारा, निकायों से गुजरने वाली रेखा के साथ दर्शाया जा सकता है। यदि वेग हैं {{math|''u''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''u''<sub>2</sub>}} टक्कर से पहले और {{math|''v''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''v''<sub>2</sub>}} इसके बाद, संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण को व्यक्त करने वाले समीकरण हैं:
:<math>\begin{align} m_1 u_1 + m_2 u_2 &= m_1 v_1 + m_2 v_2\\
:<math>\begin{align} m_1 u_1 + m_2 u_2 &= m_1 v_1 + m_2 v_2\\
\tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2 &= \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2\,.\end{align}</math>
\tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2 &= \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2\,.\end{align}</math>
संदर्भ ढांचे का परिवर्तन टकराव के विश्लेषण को सरल बना सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि समान द्रव्यमान वाले दो पिंड हैं {{math|''m''}}, एक स्थिर और एक गति से दूसरे के पास आ रहा है {{math|''v''}} (जैसा कि चित्र में है)। द्रव्यमान का केंद्र गति से घूम रहा है {{math|{{sfrac|''v''|2}}}} और दोनों पिंड गति से उसकी ओर बढ़ रहे हैं {{math|{{sfrac|''v''|2}}}}. समरूपता के कारण, टक्कर के बाद दोनों को समान गति से द्रव्यमान के केंद्र से दूर जाना चाहिए। द्रव्यमान के केंद्र की गति को दोनों में जोड़ने पर, हम पाते हैं कि जो शरीर चल रहा था वह अब रुक गया है और दूसरा गति से दूर जा रहा है {{math|''v''}}. निकायों ने अपने वेगों का आदान-प्रदान किया है। पिंडों के वेग के बावजूद, द्रव्यमान ढांचे के केंद्र में अदल-बदली करने से हम उसी निष्कर्ष पर पहुंच जाते हैं। इसलिए, अंतिम वेग द्वारा दिए गए हैं<ref name="FeynmanCh10" />:<math>\begin{align}  v_1 &= u_2\\
संदर्भ ढांचे का परिवर्तन टकराव के विश्लेषण को सरल बना सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि समान द्रव्यमान वाले दो पिंड हैं {{math|''m''}}, एक स्थिर और एक गति से दूसरे के पास आ रहा है {{math|''v''}} (जैसा कि चित्र में है)। द्रव्यमान का केंद्र गति से घूम रहा है {{math|{{sfrac|''v''|2}}}} और दोनों पिंड गति से उसकी ओर बढ़ रहे हैं {{math|{{sfrac|''v''|2}}}}. समरूपता के कारण, टक्कर के बाद दोनों को समान गति से द्रव्यमान के केंद्र से दूर जाना चाहिए। द्रव्यमान के केंद्र की गति को दोनों में जोड़ने पर, हम पाते हैं कि जो शरीर चल रहा था वह अब रुक गया है और दूसरा गति से दूर जा रहा है {{math|''v''}}. निकायों ने अपने वेगों का आदान-प्रदान किया है। पिंडों के वेग के बावजूद, द्रव्यमान ढांचे के केंद्र में अदल-बदली करने से हम उसी निष्कर्ष पर पहुंच जाते हैं। इसलिए, अंतिम वेग द्वारा दिए गए हैं<ref name="FeynmanCh10" />:<math>\begin{align}  v_1 &= u_2\\
v_2 &= u_1\,. \end{align}</math>
v_2 &= u_1\,. \end{align}</math>


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==== अकुशल टकराव ====
==== अकुशल टकराव ====
{{Main|Inelastic collision}}
{{Main|बेलोचदार टक्कर}}


[[File:Inelastischer stoß.gif|thumb|right|समान द्रव्यमान के बीच पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर]]
[[File:Inelastischer stoß.gif|thumb|right|समान द्रव्यमान के बीच पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर]]
एक बेलोचदार टक्कर में, टकराने वाले पिंडों की कुछ गतिज ऊर्जा ऊर्जा के अन्य रूपों (जैसे [[ गर्मी |गर्मी]] या [[ ध्वनि |ध्वनि]] ) में परिवर्तित हो जाती है। उदाहरणों में सम्मिलित हैं [[ यातायात टकराव |परिवाहन टकराव]] ,<ref>{{cite web |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/carcr.html#cc1 |title=Forces in car crashes |work=Hyperphysics |author=Carl Nave |date=2010 |access-date=2 August 2012 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20120822034313/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/carcr.html#cc1 |archive-date=22 August 2012 }}</ref> जिसमें वाहनों को हुए नुकसान में गतिज ऊर्जा के नुकसान का प्रभाव देखा जा सकता है; इलेक्ट्रॉन अपनी कुछ ऊर्जा परमाणुओं में खो देते हैं (जैसा कि फ्रेंक-हर्ट्ज प्रयोग में);<ref>{{cite web |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/FrHz.html |title=The Franck-Hertz Experiment |work=Hyperphysics |author=Carl Nave |date=2010 |access-date=2 August 2012 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20120716180316/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/FrHz.html |archive-date=16 July 2012 }}</ref> और [[ कण त्वरक |कण त्वरक]] जिसमें गतिज ऊर्जा नए कणों के रूप में द्रव्यमान में परिवर्तित हो जाती है।  
एक बेलोचदार टक्कर में, टकराने वाले पिंडों की कुछ गतिज ऊर्जा ऊर्जा के अन्य रूपों (जैसे [[ गर्मी |गर्मी]] या [[ ध्वनि |ध्वनि]] ) में परिवर्तित हो जाती है। उदाहरणों में सम्मिलित हैं [[ यातायात टकराव |परिवाहन टकराव]],<ref>{{cite web |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/carcr.html#cc1 |title=Forces in car crashes |work=Hyperphysics |author=Carl Nave |date=2010 |access-date=2 August 2012 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20120822034313/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/carcr.html#cc1 |archive-date=22 August 2012 }}</ref> जिसमें वाहनों को हुए नुकसान में गतिज ऊर्जा के नुकसान का प्रभाव देखा जा सकता है; इलेक्ट्रॉन अपनी कुछ ऊर्जा परमाणुओं में खो देते हैं (जैसा कि फ्रेंक-हर्ट्ज प्रयोग में);<ref>{{cite web |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/FrHz.html |title=The Franck-Hertz Experiment |work=Hyperphysics |author=Carl Nave |date=2010 |access-date=2 August 2012 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20120716180316/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/FrHz.html |archive-date=16 July 2012 }}</ref> और [[ कण त्वरक |कण त्वरक]] जिसमें गतिज ऊर्जा नए कणों के रूप में द्रव्यमान में परिवर्तित हो जाती है।  


पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर में (जैसे कि विपरीत परिस्थितियों से टकराने वाला बग), बाद में दोनों पिंडों की गति समान होती है। दो पिंडों के बीच एक सिर पर बेलोचदार टकराव को एक आयाम में वेगों द्वारा, पिंडों से गुजरने वाली रेखा के साथ दर्शाया जा सकता है। यदि वेग हैं {{math|''u''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''u''<sub>2</sub>}} टक्कर से पहले पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर में दोनों पिंड वेग से यात्रा करेंगे {{math|''v''}} टक्कर के बाद। संवेग के संरक्षण को व्यक्त करने वाला समीकरण है:
पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर में (जैसे कि विपरीत परिस्थितियों से टकराने वाला बग), बाद में दोनों पिंडों की गति समान होती है। दो पिंडों के बीच एक सिर पर बेलोचदार टकराव को एक आयाम में वेगों द्वारा, पिंडों से गुजरने वाली रेखा के साथ दर्शाया जा सकता है। यदि वेग हैं {{math|''u''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''u''<sub>2</sub>}} टक्कर से पहले पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर में दोनों पिंड वेग से यात्रा करेंगे {{math|''v''}} टक्कर के बाद। संवेग के संरक्षण को व्यक्त करने वाला समीकरण है:
:<math>\begin{align} m_1 u_1 + m_2 u_2 &= \left( m_1 + m_2 \right) v\,.\end{align}</math>
:<math>\begin{align} m_1 u_1 + m_2 u_2 &= \left( m_1 + m_2 \right) v\,.\end{align}</math>
यदि एक शरीर प्रारंभ करने के लिए गतिहीन है (उदा। <math> u_2 = 0 </math>), संवेग के संरक्षण के लिए समीकरण है
यदि एक शरीर प्रारंभ करने के लिए गतिहीन है (उदा। <math> u_2 = 0 </math>), संवेग के संरक्षण के लिए समीकरण है
:<math>m_1 u_1 = \left( m_1 + m_2 \right) v\,,</math>
:<math>m_1 u_1 = \left( m_1 + m_2 \right) v\,,</math>
इसलिए
इसलिए
:<math> v = \frac{m_1}{m_1+m_2} u_1\,.</math>
:<math> v = \frac{m_1}{m_1+m_2} u_1\,.</math>
एक अलग स्थिति में, यदि संदर्भ का ढांचे अंतिम वेग से इस तरह आगे बढ़ रहा है कि <math> v = 0 </math>, वस्तुओं को पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर से आराम करने के लिए लाया जाएगा और गतिज ऊर्जा का 100% ऊर्जा के अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाता है। इस उदाहरण में निकायों के प्रारंभिक वेग शून्य नहीं होंगे, या निकायों को द्रव्यमान रहित होना होगा।  
एक अलग स्थिति में, यदि संदर्भ का ढांचे अंतिम वेग से इस तरह आगे बढ़ रहा है कि <math> v = 0 </math>, वस्तुओं को पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर से आराम करने के लिए लाया जाएगा और गतिज ऊर्जा का 100% ऊर्जा के अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाता है। इस उदाहरण में निकायों के प्रारंभिक वेग शून्य नहीं होंगे, या निकायों को द्रव्यमान रहित होना होगा।  


टक्कर की अयोग्यता का एक उपाय [[ बहाली का गुणांक |बहाली का गुणांक]] है {{math|''C''<sub>R</sub>}}, दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग के पृथक्करण के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। एक ठोस सतह से उछलती हुई गेंद पर इस उपाय को लागू करने में, इसे निम्न सूत्र का उपयोग करके सरलता से मापा जा सकता है:<ref>{{cite book|last=McGinnis|first=Peter M.|title=Biomechanics of sport and exercise|date=2005|publisher=Human Kinetics|location=Champaign, IL [u.a.]|isbn=9780736051019|page=85|edition=2nd|url=https://books.google.com/books?id=PrOKEcZXJ58C&q=coefficient+of+restitution+bounciness&pg=PA85|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20160819020542/https://books.google.com/books?id=PrOKEcZXJ58C&pg=PA85&lpg=PA85&dq=coefficient+of+restitution+bounciness|archive-date=2016-08-19}}</ref>
टक्कर की अयोग्यता का एक उपाय [[ बहाली का गुणांक |बहाली का गुणांक]] है {{math|''C''<sub>R</sub>}}, दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग के पृथक्करण के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। एक ठोस सतह से उछलती हुई गेंद पर इस उपाय को लागू करने में, इसे निम्न सूत्र का उपयोग करके सरलता से मापा जा सकता है:<ref>{{cite book|last=McGinnis|first=Peter M.|title=Biomechanics of sport and exercise|date=2005|publisher=Human Kinetics|location=Champaign, IL [u.a.]|isbn=9780736051019|page=85|edition=2nd|url=https://books.google.com/books?id=PrOKEcZXJ58C&q=coefficient+of+restitution+bounciness&pg=PA85|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20160819020542/https://books.google.com/books?id=PrOKEcZXJ58C&pg=PA85&lpg=PA85&dq=coefficient+of+restitution+bounciness|archive-date=2016-08-19}}</ref>
:<math>C_\text{R} = \sqrt{\frac{\text{bounce height}}{\text{drop height}}}\,.</math>
:<math>C_\text{R} = \sqrt{\frac{\text{bounce height}}{\text{drop height}}}\,.</math>
गति और ऊर्जा समीकरण उन वस्तुओं की गति पर भी लागू होते हैं जो एक साथ प्रारंभ होती हैं और फिर अलग हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक [[ विस्फोट |विस्फोट]] एक श्रृंखला प्रतिक्रिया का परिणाम है जो रासायनिक, यांत्रिक या परमाणु रूप में संग्रहीत संभावित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा, ध्वनिक ऊर्जा और विद्युत चुम्बकीय विकिरण में बदल देता है। [[ राकेट |राकेट]] भी संवेग के संरक्षण का उपयोग करते हैं: प्रणोदक को बाहर की ओर धकेला जाता है, गति प्राप्त कर रहा है, और रॉकेट को एक समान और विपरीत गति प्रदान की जाती है। <ref>{{Citation | last = Sutton | first = George | title = Rocket Propulsion Elements |edition=7th |chapter-url=https://books.google.com/books?id=LQbDOxg3XZcC | publisher = John Wiley & Sons | location = Chichester | date = 2001 | isbn = 978-0-471-32642-7 |chapter=1}}</ref>
गति और ऊर्जा समीकरण उन वस्तुओं की गति पर भी लागू होते हैं जो एक साथ प्रारंभ होती हैं और फिर अलग हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक [[ विस्फोट |विस्फोट]] एक श्रृंखला प्रतिक्रिया का परिणाम है जो रासायनिक, यांत्रिक या परमाणु रूप में संग्रहीत संभावित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा, ध्वनिक ऊर्जा और विद्युत चुम्बकीय विकिरण में बदल देता है। [[ राकेट |राकेट]] भी संवेग के संरक्षण का उपयोग करते हैं: प्रणोदक को बाहर की ओर धकेला जाता है, गति प्राप्त कर रहा है, और रॉकेट को एक समान और विपरीत गति प्रदान की जाती है। <ref>{{Citation | last = Sutton | first = George | title = Rocket Propulsion Elements |edition=7th |chapter-url=https://books.google.com/books?id=LQbDOxg3XZcC | publisher = John Wiley & Sons | location = Chichester | date = 2001 | isbn = 978-0-471-32642-7 |chapter=1}}</ref>




===एकाधिक आयाम===
===एकाधिक आयाम===
[[File:Elastischer stoß 2D.gif|thumb|right|दो आयामी लोचदार टक्कर। छवि के लिए कोई गति लंबवत नहीं है, इसलिए वेग और गति का प्रतिनिधित्व