Z-परिवर्तन

For सांख्यिकी में मानक जेड-स्कोर के लिए, see मानक स्कोर को देखते है और. For फिशर जेड-आँकड़ों में परिवर्तन के लिए, see फिशर परिवर्तन को देखते है.

गणित और संकेत संसाधन में, जेड ट्रांसफॉर्म , वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं के अनुक्रम को एक असतत समय संकेत को परिवर्तित करता है, जो कि एक जटिल आवृत्ति-डोमेन जेड या जेड समतल प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करता है।

लिन, पॉल ए. (1986). "लाप्लास रूपांतरण और जेड-रूपांतरण के लिए". इलेक्ट्रॉनिक सिग्नल और सिस्टम. लंडन: मैकमिलन शिक्षा यूके. pp. 225–272. doi:10.1007/978-1-349-18461-3_6. ISBN 978-0-333-39164-8. लाप्लास ट्रांसफॉर्म और जेड-ट्रांसफॉर्म फूरियर ट्रांसफॉर्म से निकटता से संबंधित हैं। जेड-ट्रांसफॉर्म असतत संकेतों और प्रणालियों से निपटने के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है। यह असतत-समय फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट और सुविधाजनक संकेतन प्रदान करता है।

जेड-ट्रांसफॉर्म लाप्लास ट्रांसफॉर्म का असतत प्रतिरूप है। जेड-ट्रांसफॉर्म असतत समय प्रणालियों के अंतर समीकरणों को बीजगणितीय समीकरणों में परिवर्तित करता है, जो असतत समय प्रणाली विश्लेषण को सरल करता है। लाप्लास ट्रांसफॉर्म और जेड-ट्रांसफॉर्म आमरूप में होते है सिवाय इसके कि लाप्लास ट्रांसफॉर्म लगातार समय के संकेतों और प्रणालियों से संबंधित होते है। समय-पैमाने की गणना के सिद्धांत में इस समानता की खोज की गई है।

जबकि लैपलेस एस-डोमेन की काल्पनिक रेखा पर निरंतर-समय के फूरियर ट्रांसफॉर्म का मूल्यांकन किया जाता है, असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म का मूल्यांकन जेड-डोमेन के यूनिट वृत्त पर किया जाता है। जो लगभग एस-डोमेन के बाएँ आधा समतल के रूप में है, जो अब जटिल इकाई वृत्त के अंदर है; यूनिट वृत्त के बाहर जेड-डोमेन क्या है, जो लगभग एस डोमेन के दाहिने आधे समतल से मेल खाती है।

.डिजिटल फिल्टर डिजाइन करने का एक साधन एनालॉग डिजाइन को उनको एक बिलिनियर ट्रांसफॉर्म पर ले जाना है, जो उन्हें एस डोमेन से जेड डोमेन के मानचित्र में भेजता है और फिर निरीक्षण प्रकलन या संख्यात्मक सन्निकटन द्वारा डिजीटल फिल्टर का उत्पादन करता है। इस तरह की विधियां जटिल एकता के आसपास के क्षेत्र में यथार्थ नहीं होते हैं, अर्थात कम आवृत्तियों को छोड़कर सटीक रूप में नहीं होती हैं।

इतिहास

इस परीक्षण का मूल विचार जो अब जेड-ट्रांसफ़ॉर्मेशन तथा लैपलेस के नाम से भी जाना जाता था और इसे 1947 में डब्ल्यू. ह्यूरविक्ज़ द्वारा फिर से प्रस्तुत किया गया था। और अन्य लोगों ने रडार के साथ प्रयोग में लाये जाने वाले सैंपल-डेटा कंट्रोल प्रणाली के उपचार के विधियों के रूप में पुनः आरंभ किया। यह रैखिक, स्थिर-गुणांक अंतर समीकरणों को हल करने का एक आसान विधि प्रदान करता है। इसे बाद में, 1952 में कोलंबिया विश्वविद्यालय में सैंपल्ड-डेटा कंट्रोल ग्रुप में जॉन आर. रागाजिनी और लोत्फी ए. ज़ादेह द्वारा इस नाम का ट्रांसफॉर्म किया गया।

संशोधित या उन्नत जेड- ट्रांसफॉर्म बाद में ई.आई. जूरी द्वारा विकसित और लोकप्रिय किया गया था

जेड- ट्रांसफॉर्म के भीतर निहित विचार को गणितीय साहित्य में कार्यों को उत्पन्न करने की विधि के रूप में भी जाना जाता है जिसे 1730 के आरंभ में पता लगाया जा सकता है जब इसे अब्राहम डी मोइवरे द्वारा संभाव्यता सिद्धांत के संयोजन के साथ प्रस्तुत किया गया था। गणितीय दृष्टि से जेड- ट्रांसफॉर्म को लॉरेंट श्रृंखला के रूप में भी देखा जा सकता है जहां एक विश्लेषणात्मक कार्य के (लॉरेंट) विस्तार के रूप में विचाराधीन संख्याओं के अनुक्रम को देखता है।

परिभाषा

जेड -ट्रांसफ़ॉर्म को या तो एक तरफा या दो तरफा रूपान्तरण के रूप में परिभाषित किया जाता है। जैसे हम एक तरफा लैपलेस ट्रांसफॉर्मेशन और दो तरफा लैपलेस ट्रांसफॉर्मेशन करते है। जैक्सन, लेलैंड बी. (1996). "जेड ट्रांसफॉर्म". डिजिटल फिल्टर और सिग्नल प्रोसेसिंग. बोस्टन, एमए: स्प्रिंगर यू.एस. pp. 29–54. doi:10.1007/978-1-4757-2458-5_3. ISBN 978-1-4419-5153-3. जेड रूपांतरण डिस्क्रीट-टाइम प्रणाली के रुप में होता है, जो लाप्लास रूपांतरण निरंतर-टाइम प्रणाली के लिए होता है। जेड एक जटिल चर के रुप में होता है। इसे कभी-कभी दो तरफा जेड परिवर्तन के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसमें एक तरफा जेड परिवर्तन n = 0 से अनंत तक के योग को छोड़कर समान होता है। एक तरफा परिवर्तन का प्राथमिक उपयोग कारण अनुक्रमों के लिए होता है, जिस स्थिति में दो परिवर्तन वैसे भी समान रुप में होता है। इसलिए, हम यह भेद नहीं कर सकते है और x(n) को केवल जेड रूपांतरण के रूप में संदर्भित करते है।

द्विपक्षीय जेड- ट्रांसफॉर्म

असतत-समय संकेत $x[n]$ का द्विपक्षीय या दो तरफा जेड- ट्रांसफॉर्म औपचारिक शक्ति श्रृंखला $X(z)$ के रूप में परिभाषित होती है।

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

(Eq.1)

जहाँ $n$ एक पूर्णांक है और $z$ सामान्यतः, एक सम्मिश्र संख्या के रुप में है।

$z=Ae^{j\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+j\sin {\phi })$

जहाँ $A$, $z$ का परिमाण है और $j$ काल्पनिक इकाई के रुप में है और $\phi$ कांति में जटिल तर्क के रुप में है जिसे रेडियंस में कोण या चरण भी कहा जाता है।

एकतरफा जेड-ट्रांसफॉर्म

वैकल्पिक रूप से, ऐसे स्थिति में जहां $x[n]$ केवल $n\geq 0$ के लिए ही परिभाषित किया गया है एकतरफा या एकपक्षीय जेड-ट्रांसफॉर्म को इस रूप में परिभाषित किया जाता है।

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.$

(Eq.2)

सिग्नल प्रोसेसिंग में, इस परिभाषा का उपयोग परिमित आवेग प्रतिक्रिया असतत-समय कारण प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया के जेड - परिवर्तन का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है।

एकतरफा जेड-ट्रांसफॉर्म का एक महत्वपूर्ण उदाहरण प्रायिकता उत्पन्न करने वाला कार्य होता है, जहां घटक $x[n]$ की संभावना होती है कि एक असतत यादृच्छिक चर मान $n$ लेता है और फलन $X(z)$ को सामान्यतः $X(s)$ के रूप में लिखा जाता है। $s=z^{-1}$.के अनुसार संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में नीचे दिए गए जेड-ट्रांसफॉर्म के गुणों की उपयोगी व्याख्या दी गई है।

इनवर्स जेड-ट्रांसफॉर्म

प्रतिलोम जेड -ट्रांसफॉर्म को इस प्रकार दर्शाया गया है

$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz$

(Eq.3)

जहाँ सी एक वामावर्त बंद पथ के रुप में होता है, जो मूल को घेरता है और पूरी तरह से अभिसरण की त्रिज्या (आरओसी) के क्षेत्र में होती है। ऐसे स्थितियों में जहां आरओसी कारणात्मक रुप में होते है जैसे उदाहरण 2 दिखाया गया है, इसका मतलब है कि पथ सी $X(z)$.के सभी ध्रुवों को घेरना चाहिए।

इस परिरेखा समाकलन का एक विशेष स्थिति तब होता है जब सी इकाई वृत्त के रुप में होता है। इस समोच्च का उपयोग तब किया जा सकता है जब आरओसी में यूनिट वृत्त के रुप में सम्मलित होता है, जिसकी सदैव गारंटी होती है $X(z)$ स्थिर रुप में होता है अर्थात जब सभी ध्रुव इकाई वृत्त के अंदर होते है। इस समोच्च के साथ, व्युत्क्रम जेड - ट्रांसफॉर्म इकाई चक्र के चारों ओर जेड-ट्रांसफॉर्म के आवधिक मूल्यों के व्युत्क्रम असतत-समय फूरियर रूपांतरण, या फूरियर श्रृंखला को सरल करता है।

$x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .$

(Eq.4)

एन की एक परिमित सीमा के साथ जेड- ट्रांसफॉर्म और समान दूरी वाले जेड मानों की एक सीमित संख्या को ब्लूस्टीन के एफएफटी कलन विधि के माध्यम से कुशलतापूर्वक गणना की जाती है। असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म डीटीएफटी और असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म डीएफटी के साथ अस्पष्ट नहीं होता है इस प्रकार के जेड-ट्रांसफॉर्म का एक विशेष स्थिति होती है, जो जेड को यूनिट वृत्त पर लाई बोलने के लिए प्रतिबंधित करता है।

अभिसरण का क्षेत्र

अभिसरण क्षेत्र (आरओसी) जटिल तल में बिंदुओं का एक समूह होता है, जिसके लिए जेड ट्रांसफॉर्म समीकरण परिवर्तित करता है।

$\mathrm {ROC} =\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}$

उदाहरण 1 (कोई आरओसी नहीं)

माना $x[n]=0.5^{n}\$. अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह इस रुप में बन जाता है

$x[n]=\left\{\dots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\dots \right\}.$

इन राशियो का योग इस प्रकार दिखाया गया है

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .$

इसलिए, जेड का कोई मान नहीं है जो इस शर्त को पूरा करता हो।

उदाहरण 2 (कारण आरओसी)

के रूप में दिखाया गया है = 0.5 को धराशायी काले घेरे के रूप में दिखाया गया है

माना $x[n]=0.5^{n}u[n]\$ जहाँ u हैवीसाइड स्टेप फलन के रुप में होता है। अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह इस रुप में बन जाता है

$x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\dots \right\}.$

इन राशियो का योग इस प्रकार दिखाया गया है

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.$

अंतिम समानता अनंत ज्यामितीय श्रृंखला से उत्पन्न होती है और समानता केवल तभी होती है जब |0.5z⁻¹| <1, जिसे जेड के पदों में |z|> 0.5। के रूप में फिर से लिखा जा सकता है इस प्रकार, आरओसी |z|> 0.5 के रुप में है। इस स्थितियों में आरओसी एक जटिल तल है, जिसकी त्रिज्या 0.5 की एक डिस्क के साथ छिद्रित होती है।

उदाहरण 3 (कारण विरोधी आरओसी)

के रूप में दिखाया गया है = 0.5 को धराशायी काले घेरे के रूप में दिखाया गया है

माना $x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\$ जहाँ u हीविसाइड स्टेप फलन के रुप में होता है। अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह इस रुप में बन जाता है

$x[n]=\left\{\dots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.$

इन राशियो का योग इस प्रकार दिखाया गया है

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=-{\frac {0.5^{-1}z}{1-0.5^{-1}z}}=-{\frac {1}{0.5z^{-1}-1}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.$

अनंत ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग करते हुए, समानता केवल तभी होती है जब |0.5⁻¹z| <1 जिसे जेड के पदों में |z| <0.5 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस प्रकार, आरओसी है |z| <0.5 के रुप में होती है। इस स्थितियों में आरओसी मूल बिंदु पर केंद्रित और 0.5 त्रिज्या की एक डिस्क के रुप में होती है।

जो पिछले उदाहरण से इस उदाहरण को अलग करता है वह केवल आरओसी है। यह प्रदर्शित करने के लिए जानबूझकर है कि केवल ट्रांसफॉर्म परिणाम अपर्याप्त रुप में होते है।

उदाहरण निष्कर्ष

उदाहरण 2 और 3 स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि एक्स [एन] का जेड-ट्रांसफॉर्म एक्स (जेड) अद्वितीय है जब और केवल आरओसी निर्दिष्ट करते समय होता है। कार्य कारण और प्रतिकार-विरोधी स्थितियों के लिए ध्रुव-शून्य प्लॉट बनाने से पता चलता है कि किसी भी स्थितियों के लिए आरओसी में वह ध्रुव के रुप में सम्मलित नहीं है, जो 0.5 पर स्थित होता है। यह कई ध्रुवों वाले स्थितियो तक फैला हुआ है तथा आरओसी में कभी भी पोल नहीं होंते है

उदाहरण 2 में, प्रणाली एक आरओसी उत्पन्न करती है, जिसमें |z| = ∞ के रुप में सम्मलित होती है, जबकि उदाहरण 3 में एंटीकॉज़ल प्रणाली एक आरओसी उत्पन्न करता है, जिसमें |z| = 0 के रुप में सम्मलित होती है

के रूप में दिखाया गया है <0.75

कई ध्रुवों वाले प्रणाली में एक आरओसी होना संभव होता है, जिसमें कोई |z| = ∞ न ही |z| = 0.के रुप में सम्मलित न हो आरओसी एक गोलाकार बैंड बनाता है। उदाहरण को इस प्रकार दिखाया गया है

$x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]$

0.5 और 0.75 पर पोल हैं। आरओसी 0.5 < |z| < 0.75 के रुप में होता है, जिसमें न तो मूल और न ही अनंत सम्मलित होता है। इस प्रकार की प्रणाली को मिश्रित कारणात्मक प्रणाली कहा जाता है क्योंकि इसमें एक कारक शब्द (0.5)nu[n] और एक कारण-विरोधी शब्द -(0.75)nu[−n−1] होता है।

नियंत्रण सिद्धांत अकेले आरओसी को जानकर प्रणाली की स्थिरता भी निर्धारित की जाती है। यदि आरओसी में यूनिट वृत्त है अर्थात, |z| = 1 तो प्रणाली स्थिर रुप में होती है। उपरोक्त प्रणालियों में कारण प्रणाली उदाहरण 2 में स्थिर है क्योंकि |z| > 0.5 में यूनिट वृत्त के रुप में होते है।

आइए मान लें कि हमें आरओसी के बिना एक प्रणाली का जेड- ट्रांसफॉर्म प्रदान किया गया है अर्थात, एक अस्पष्ट एक्स [एन]) के रुप में होता है। हम एक अद्वितीय एक्स [एन] निर्धारित कर सकते हैं बशर्ते हम निम्नलिखित प्रकार चाहते हैं

• स्थिरता
• कारणता

स्थिरता के लिए आरओसी में यूनिट वृत्त होना चाहिए। यदि हमें एक कारण प्रणाली की आवश्यकता है, तो आरओसी में अनंत होना चाहिए और प्रणाली फलन दाएं तरफा अनुक्रम होगा। यदि हमें एक एंटीकॉज़ल प्रणाली की आवश्यकता है तो आरओसी में मूल होना चाहिए और प्रणाली फलन बाएं तरफा अनुक्रम रुप में होता है। यदि हमें स्थिरता और कार्य-कारण दोनों की आवश्यकता है, तो प्रणाली फलन के सभी ध्रुवों को यूनिट वृत्त के अंदर होना चाहिए।

अद्वितीय x [n] तब पाया जा सकता है।

गुण

Properties of the जेड -transform

	Time domain	जेड -domain	Proof	ROC
Notation	$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}$	$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}$		$r_{2}<|z|<r_{1}$
Linearity	$a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]$	$a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)$	${\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}$	Contains ROC1 ∩ ROC2
Time expansion	$x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=Kr\\0,&n\notin K\mathbb {Z} \end{cases}}$ with $K\mathbb {Z} :=\{Kr:r\in \mathbb {Z} \}$	$X(z^{K})$	${\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}$	$R^{\frac {1}{K}}$
Decimation	$x[Kn]$	${\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)$	ohio-state.edu  or  ee.ic.ac.uk
Time delay	$x[n-k]$ with $k>0$ and $x:x[n]=0\ \forall n<0$	$z^{-k}X(z)$	${\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}$	ROC, except जेड = 0 if k > 0 and जेड = ∞ if k < 0
Time advance	$x[n+k]$ with $k>0$	Bilateral जेड -transform: $$z^{k}X(z)$$ Unilateral जेड -transform: $$z^{k}X(z)-z^{k}\sum _{n=0}^{k-1}x[n]z^{-n}$$
First difference backward	$x[n]-x[n-1]$ with x[n] = 0 for n < 0	$(1-z^{-1})X(z)$		Contains the intersection of आरओसी of X1(जेड ) and जेड ≠ 0
First difference forward	$x[n+1]-x[n]$	$(z-1)X(z)-zx[0]$
Time reversal	$x[-n]$	$X(z^{-1})$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}$	${\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}$
Scaling in the जेड -domain	$a^{n}x[n]$	$X(a^{-1}z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}$	$|a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}$
Complex conjugation	$x^{*}[n]$	$X^{*}(z^{*})$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}$
Real part	$\operatorname {Re} \{x[n]\}$	${\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]$
Imaginary part	$\operatorname {Im} \{x[n]\}$	${\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]$
Differentiation	$nx[n]$	$-z{\frac {dX(z)}{dz}}$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}$	ROC, if $X(z)$ is rational; आरओसी possibly excluding the boundary, if $X(z)$ is irrational
Convolution	$x_{1}[n]*x_{2}[n]$	$X_{1}(z)X_{2}(z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}$	Contains ROC1 ∩ ROC2
Cross-correlation	$r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]$	$R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)$		Contains the intersection of आरओसी of $X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})$ and $X_{2}(z)$
Accumulation	$\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)$	${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X(z)\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X(z)\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X(z){\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}$
Multiplication	$x_{1}[n]x_{2}[n]$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v$		-

पारसेवल की प्रमेय

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v$

प्रारंभिक मूल्य प्रमेय: यदि x[n] कारण है, तो

$x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).$

अंतिम मूल्य प्रमेय: यदि (जेड − 1)X(जेड ) के ध्रुव इकाई वृत्त के अंदर हैं, तो

$x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).$

सामान्य जेड-ट्रांसफॉर्म जोड़े की तालिका

यहाँ:

$u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}$

यूनिट या हीविसाइड स्टेप फलन के रुप में है और

$\delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$

क्रोनकर डेल्टा डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग डिस्क्रीट-टाइम यूनिट इम्पल्स फलन सीएफ डिराक डेल्टा फलन है, जो एक सतत-समय संस्करण के रुप में है। दो कार्यों को एक साथ चुना जाता है जिससे कि यूनिट स्टेप फलन यूनिट इंपल्स फलन का संचय रनिंग टोटल हो।

	Signal, $x[n]$	जेड -transform, $X(z)$	ROC
1	$\delta [n]$	1	all जेड
2	$\delta [n-n_{0}]$	$z^{-n_{0}}$	$z\neq 0$
3	$u[n]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|>1$
4	$-u[-n-1]$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|<1$
5	$nu[n]$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|>1$
6	$-nu[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|<1$
7	$n^{2}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|>1\,$
8	$-n^{2}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|<1\,$
9	$n^{3}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|>1\,$
10	$-n^{3}u[-n-1]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|<1\,$
11	$a^{n}u[n]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|>|a|$
12	$-a^{n}u[-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|<|a|$
13	$na^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|>|a|$
14	$-na^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|<|a|$
15	$n^{2}a^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|>|a|$
16	$-n^{2}a^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|<|a|$
17	$\left({\begin{array}{c}n+m-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[n]$	${\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}$, for positive integer $m$	$|z|>|a|$
18	$(-1)^{m}\left({\begin{array}{c}-n-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[-n-m]$	${\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}$, for positive integer $m$	$|z|<|a|$
19	$\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
20	$\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
21	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$
22	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$

फूरियर श्रृंखला और फूरियर ट्रांसफॉर्म से संबंध

Further information: असतत-समय फूरियर & रिलेशनशिप को जेड-ट्रांसफॉर्म में बदल देता है

के मूल्यों के लिए $z$ क्षेत्र में $|z|=1$ होता है, जिसे यूनिट वृत्त के रूप में जाना जाता है, हम परिवर्तन को परिभाषित करके एकल, वास्तविक चर, ω के कार्य के रूप में व्यक्त कर सकते हैं $z=e^{j\omega }$. और द्वि-पार्श्व परिवर्तन फूरियर श्रृंखला में कम हो जाता है

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n},$

(Eq.4)

जिसे असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म डीटीएफटी के रूप में जाना जाता है $x[n]$ अनुक्रम के रुप में होता है। यह 2π-पीरियॉडिक फलन एक निरंतर फूरियर ट्रांसफॉर्म का आवधिक योग होता है, जो इसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला विश्लेषण उपकरण बनाता है। इसे समझने के लिए आइए $X(f)$ किसी भी फलन का फूरियर ट्रांसफॉर्म $x(t)$ के रुप में होता है, जिनके नमूने कुछ अंतराल पर, टी, एक्स [एन] अनुक्रम के बराबर होते है। तब x [n] अनुक्रम का डीटीएफटी निम्नानुसार लिखा जा सकता है।

$\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).$

(Eq.5)

जब T के पास सेकंड की इकाई होती है, तो $\scriptstyle f$ के पास हर्ट्ज़ की इकाई होती है। दोनों श्रृंखलाओं की तुलना से पता चलता है $\omega =2\pi fT$ एक सामान्यीकृत आवृत्ति डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग प्रति नमूना रेडियन की इकाई के साथ वैकल्पिक सामान्यीकरण रुप में होता है। मान ω = 2π से मेल खाती है ${\textstyle f={\frac {1}{T}}}$. और अब, प्रतिस्थापन के साथ${\textstyle f={\frac {\omega }{2\pi T}},}$ Eq.4 फूरियर ट्रांसफॉर्म, X(•) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.$

(Eq.6)

जैसे ही पैरामीटर T बदलता है, Eq.5 की अलग-अलग शर्तें f-अक्ष के साथ-साथ दूर या एक साथ आगे बढ़ती हैं। चूँकि Eq.6 में, केंद्र 2π अलग रहते हैं, इसके अतिरिक्त, जबकि उनकी चौड़ाई फैलती या सिकुड़ती है। जब अनुक्रम x(nT) एक एलटीआई प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है, तो इन कार्यों को इसकी आवृत्ति प्रतिक्रिया के रूप में भी जाना जाता है। जब $x(nT)$ अनुक्रम आवधिक रुप में होता है, तो इसका डीटीएफटी एक या अधिक हार्मोनिक आवृत्तियों पर भिन्न होता है और अन्य सभी आवृत्तियों पर शून्य होता है। यह अधिकांशतः हार्मोनिक आवृत्तियों पर आयाम-भिन्न डिराक डेल्टा कार्यों के उपयोग द्वारा दर्शाया जाता है। आवधिकता के कारण, अद्वितीय आयामों की केवल एक सीमित संख्या होती है, जो बहुत सरल असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीएफटी) द्वारा आसानी से गणना की जाती है। असतत-समय फूरियर रूपांतरण § आवधिक डेटा.को इस प्रकार देखते है,

लेपलेस ट्रांसफॉर्म से संबंध

Further information: लाप्लास ट्रांसफॉर्म & जेड-ट्रांसफॉर्म

बिलिनियर ट्रांसफॉर्म

Main article: बिलिनियर ट्रांसफॉर्म

द्विरेखीय परिवर्तन का उपयोग निरंतर-समय के फिल्टर लाप्लास डोमेन में प्रतिनिधित्व को असतत-समय के फिल्टर जेड-डोमेन में प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करने के लिए किया जाता है और इसके विपरीत निम्नलिखित प्रतिस्थापन का प्रयोग किया जाता है

$s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}$

कुछ कार्यों को परिवर्तित करने के लिए $H(s)$ लाप्लास डोमेन में एक फलन के लिए $H(z)$ जेड-डोमेन बिलिनियर ट्रांसफॉर्म में इस प्रकार दिखाते है या

$z=e^{sT}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}$

जेड-डोमेन से लेपलेस डोमेन तक होते है। द्विरेखीय परिवर्तन के माध्यम से, लाप्लास परिवर्तन के जटिल एस-प्लेन को जेड-ट्रांसफॉर्म के जटिल जेड-प्लेन में मैप किया जाता है। जबकि यह मैपिंग आवश्यकरूप से गैर-रैखिक होती है, यह उपयोगी है कि यह एस-समतल के पूरे $j\omega$ अक्ष को जेड-समतल में यूनिट वृत्त पर मैप करता है। इस प्रकार, फूरियर ट्रांसफॉर्म, जो लाप्लास ट्रांसफॉर्म के रुप में होता है जिसका मूल्यांकन कियाजाता है $j\omega$ अक्ष असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म बन जाता है। यह मानता है कि फूरियर ट्रांसफॉर्म उपस्थित है; अर्थात कि $j\omega$ अक्ष लाप्लास परिवर्तन के अभिसरण के क्षेत्र में होता है।

तारांकित ट्रांसफॉर्म

Main article: तारांकित ट्रांसफॉर्म

एक समय-नमूना फलन के एक तरफा जेड- ट्रांसफॉर्म, एक्स (जेड) को देखते हुए, संबंधित 'तारांकित परिवर्तन' एक लाप्लास परिवर्तन उत्पन्न करता है और नमूना पैरामीटर टी पर निर्भरता को पुनर्स्थापित करता है,

${\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}$

व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन एक गणितीय अमूर्तता है, जिसे एक आवेग-नमूना फलन के रूप में जाना जाता है।

रैखिक निरंतर-गुणांक अंतर समीकरण

रैखिक स्थिर-गुणांक अंतर (एलसीसीडी ) समीकरण ऑटोरेग्रेसिव मूविंग-एवरेज समीकरण पर आधारित एक रैखिक प्रणाली के लिए एक प्रतिनिधित्व के रुप में होते है।

$\sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}$

उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को α₀ द्वारा विभाजित किया जा सकता है, यदि यह शून्य नहीं है, तो α₀ = 1 को सामान्य करना और एलसीसीडी समीकरण के रुप में लिखा जा सकता है

$y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.$

एलसीसीडी समीकरण का यह रूप इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए अनुकूल बनाता है, कि वर्तमान आउटपुट y[n] पिछले आउटपुट y[n - p], वर्तमान इनपुट x[n] और पिछले इनपुट x[n - q] का एक कार्य है। .

स्थानांतरण फलन

रैखिकता और समय परिवर्तन नियमो का उपयोग करके उपरोक्त समीकरण के Z-ट्रांसफॉर्म को प्राप्त होता है।

$Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}$

और परिणामों को पुनर्व्यवस्थित करते है

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.$

शून्य और ध्रुव

बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अंश में एक फलन का एम मूल होता है, एच के शून्य के अनुरूप और हर में N मूल ध्रुवों के अनुरूप होता है। स्थानांतरण प्रकार्य को शून्य और ध्रुवों के संदर्भ में फिर से लिखते है

$H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}},$

जहां क्यू_के के वें शून्य है और पी_के केवां ध्रुव है। शून्य और ध्रुव सामान्यतः जटिल होते हैं और जब जटिल समतल जेड-प्लेन पर प्लॉट किया जाता है तो इसे ध्रुव-शून्य प्लॉट कहा जाता है।

इसके अतिरिक्त, जेड = 0 और जेड = ∞ पर शून्य और ध्रुव भी उपस्थित हो सकते हैं। यदि हम इन ध्रुवों और शून्यों के साथ-साथ बहु-क्रम शून्यों और ध्रुवों को ध्यान में रखते हैं, तो शून्य और ध्रुवों की संख्या हमेशा बराबर होती है।

विभाजक को विभाजित करके, आंशिक अंश अपघटन का उपयोग किया जा सकता है, जिसके पश्चात समय डोमेन में परिवर्तित किया जा सकता है। ऐसा करने से आवेग प्रतिक्रिया और प्रणाली के रैखिक निरंतर गुणांक अंतर समीकरण का परिणाम के रुप में होता है।

आउटपुट प्रतिक्रिया

यदि ऐसी प्रणाली एच (जेड) सिग्नल एक्स (जेड) द्वारा संचालित होती है तो आउटपुट वाई (जेड) = एच (जेड) एक्स (जेड) होता है। वाई(जेड ) पर आंशिक अंश अपघटन करके और फिर व्युत्क्रम जेड - ट्रांसफॉर्म करके आउटपुट y[n] पाया जाता है। व्यवहार में, यह अधिकांशतः आंशिक रूप से विघटित करने के लिए उपयोगी होता है $\textstyle {\frac {Y(z)}{z}}$ उस मात्रा को जेड से गुणा करने से पहले वाई (जेड) का एक रूप उत्पन्न करता है जिसमें आसानी से गणना योग्य व्युत्क्रम जेड- ट्रांसफॉर्म के साथ शब्द होते हैं।

यह भी देखें

• उन्नत जेड- ट्रांसफॉर्म
• बिलिनियर परिवर्तन
• अंतर समीकरण (पुनरावृत्ति संबंध)
• असतत कनवल्शन
• असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म
• परिमित आवेग प्रतिक्रिया
• औपचारिक शक्ति श्रृंखला
• जनरेटिंग फलन
• फलन परिवर्तन उत्पन्न करना
• लाप्लास परिवर्तन
• लॉरेंट श्रृंखला
• कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
• संभावना उत्पन्न करने वाला कार्य
• तारा परिवर्तन
• ज़क परिवर्तन
• जीटा फलन नियमितीकरण

अग्रिम पठन

• Refaat El Attar, Lecture notes on जेड -Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 1-4116-1979-X.
• Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 0-13-034281-5.
• Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 0-13-754920-2.

बाहरी संबंध

• "Z-transform", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Numerical inversion of the जेड -transform
• जेड -Transform table of some common Laplace transforms
• Mathworld's entry on the जेड -transform
• जेड -Transform threads in Comp.DSP
• A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to जेड -plane of the जेड transform
• A video-based explanation of the जेड -Transform for engineers
• What is the जेड -Transform?