ऑपेराड: Difference between revisions

Revision as of 10:42, 8 March 2023

गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) ऑपरेशन (गणित) होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा O दिया गया है $O$ इस समूह पर कंक्रीट ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप ऑपरेशन की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ओपेरा L जैसे L के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में L संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है।ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए समूह (गणित) के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।

इतिहास

ऑपरेशंस बीजगणितीय टोपोलॉजी में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट^[1]^[2] और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत लिया गया था।^[3] ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।^[4] 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब मैक्सिम कोंटेसेविच, विक्टर गिन्ज़बर्ग और मिखाइल कापरानोव की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद (गणित) घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।^[5]^[6] इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे जहर कई गुना के विरूपण परिमाणीकरण में, डेलिग्ने अनुमान,^[7] या मैक्सिम कोंटसेविच और थॉमस विलवाकर के कार्य में ग्राफ (असतत गणित) होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।

अंतर्ज्ञान

माना X एक समूह है और

n\in \mathbb {N}

को परिभाषित करता है

और

P(n):=\{f:X^{n}\to X\}

,

कार्टेशियन प्रोडक्ट से सभी फलन का समूह $n$ की प्रतिरूप $X$ को $X$ है।

हम इन कार्यों की रचना कर सकते हैं: दिया गया $f\in P(n)$ , $f_{1}\in P(k_{1}),\ldots ,f_{n}\in P(k_{n})$ , फलन

f\circ (f_{1},\ldots ,f_{n})\in P(k_{1}+\cdots +k_{n})

निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया $k_{1}+\cdots +k_{n}$ से तर्क $X$ , हम उन्हें विभाजित करते हैं $n$ ब्लॉक, पहले वाला $k_{1}$ तर्क, दूसरा $k_{2}$ तर्क, इत्यादि, और फिर क्रियान्वित करें $f_{1}$ पहले ब्लॉक के लिए, $f_{2}$ दूसरे ब्लॉक इत्यादि के लिए है। फिर हम मान X से प्राप्त n मानों की सूचि में f को इस प्रकार क्रियान्वित करते हैं |

हम तर्कों को भी अनुमति दे सकते हैं, अर्थात हमारे पास समूह क्रिया है $*$ सममित समूह का $S_{n}$ पर $P(n)$ , द्वारा परिभाषित

(f*s)(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{s^{-1}(1)},\ldots ,x_{s^{-1}(n)})

के लिए $f\in P(n)$ , $s\in S_{n}$ और $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ .

नीचे दी गई सममित ऑपेराड की परिभाषा इन दो आपरेशनों के आवश्यक गुणों को पकड़ती है $\circ$ और $*$ .

परिभाषा

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[2]

[3]

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 === साहचर्य स्वयंसिद्ध ===
-  साहचर्य का अर्थ है कि संक्रियाओं का संयोजन साहचर्य है
-(कार्यक्रम <math>\circ</math> साहचर्य है), श्रेणी सिद्धांत में स्वयंसिद्ध के अनुरूप है <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h</math>; इसका अर्थ यह नहीं है कि संक्रियाएँ स्वयं संक्रियाओं के रूप में साहचर्य हैं।
+साहचर्य का अर्थ है कि ऑपेराड का संयोजन साहचर्य है (कार्यक्रम <math>\circ</math> साहचर्य है), श्रेणी सिद्धांत में स्वयंसिद्ध के अनुरूप है <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h</math>; इसका अर्थ यह नहीं है कि ऑपेराड स्वयं ऑपेराड के रूप में साहचर्य हैं। नीचे साहचर्य ऑपेराड के साथ तुलना करें।
-नीचे #एसोसिएटिव ओपेरा के साथ तुलना करें।
-ऑपेराड सिद्धांत में सहयोगीता का मतलब है कि [[अभिव्यक्ति (गणित)]] को छोड़े गए रचनाओं से अस्पष्टता के बिना संचालन शामिल किया जा सकता है, जैसे संचालन के लिए सहयोगीता उत्पादों को छोड़े गए कोष्ठकों से अस्पष्टता के बिना लिखे जाने की अनुमति देती है।
+ऑपेराड सिद्धांत में सहयोगीता का अर्थ है कि व्यंजक [[अभिव्यक्ति (गणित)|(गणित)]] को छोड़े गए रचनाओं से अस्पष्टता के बिना संचालन सम्मिलित किया जा सकता है, जैसे संचालन के लिए सहयोगीता प्रोडक्ट्स को छोड़े गए कोष्ठकों से अस्पष्टता के बिना लिखे जाने की अनुमति देती है।
-उदाहरण के लिए, अगर <math>\theta</math> एक बाइनरी ऑपरेशन है, जिसे लिखा जाता है <math>\theta(a,b)</math> या <math>(ab)</math>. ताकि <math>\theta</math> सहयोगी हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।
+उदाहरण के लिए, यदि <math>\theta</math> बाइनरी ऑपरेशन है, जिसे लिखा जाता है <math>\theta(a,b)</math> या <math>(ab)</math>. जिससे <math>\theta</math> सहयोगी हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।
-फिर जो आमतौर पर लिखा जाता है <math>((ab)c)</math> के रूप में स्पष्ट रूप से लिखा गया है <math>\theta \circ (\theta,1)</math> . यह भेजता है <math>(a,b,c)</math> को <math>(ab,c)</math> (आवेदन करना <math>\theta</math> पहले दो पर, और तीसरे पर पहचान), और फिर <math>\theta</math> बाईं ओर गुणा करता है <math>ab</math> द्वारा <math>c</math>.
+फिर जो सामान्य तौर पर लिखा जाता है <math>((ab)c)</math> स्पष्ट प्रकार से <math>\theta \circ (\theta,1)</math> के रूप में  लिखा जाता है। यह भेजता है <math>(a,b,c)</math> को <math>(ab,c)</math> (आवेदन करना <math>\theta</math> पहले दो पर, और तीसरे पर पहचान), और फिर <math>\theta</math> बाईं ओर गुणा करता है <math>ab</math> द्वारा <math>c</math>. पेड़ के रूप में चित्रित करने पर यह स्पष्ट हो जाता है:
-एक पेड़ के रूप में चित्रित करने पर यह स्पष्ट हो जाता है:
 [[File:OperadTreeCompose1.svg|रचना से पहले पेड़]]जो एक 3-एरी ऑपरेशन देता है:
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 {{Clear}}
-हालाँकि, अभिव्यक्ति <math>(((ab)c)d)</math> एक प्राथमिक अस्पष्ट है:
+चूँकि, व्यंजक, <math>(((ab)c)d)</math> प्राथमिक अस्पष्ट है: इसका यदि अर्थ हो सकता है <math>\theta \circ ((\theta,1) \circ ((\theta,1),1))</math>, यदि आंतरिक रचनाएँ पहले की जाती हैं, या इसका    अर्थ हो सकता है <math>(\theta \circ (\theta,1)) \circ ((\theta,1),1)</math>, यदि बाहरी रचनाएँ पहले की जाती हैं (संचालन दाएं से बाएं पढ़े जाते हैं)। लिखना <math>x=\theta, y=(\theta,1), z=((\theta,1),1)</math>, यह है <math>x \circ (y \circ z)</math> बनाम <math>(x \circ y) \circ z</math>. यही है, पेड़ में लंबवत कोष्ठक अनुपस्थित हैं:
-इसका मतलब हो सकता है <math>\theta \circ ((\theta,1) \circ ((\theta,1),1))</math>, अगर आंतरिक रचनाएँ पहले की जाती हैं, या इसका मतलब हो सकता है <math>(\theta \circ (\theta,1)) \circ ((\theta,1),1)</math>,
-यदि बाहरी रचनाएँ पहले की जाती हैं (संचालन दाएं से बाएं पढ़े जाते हैं)।
-लिखना <math>x=\theta, y=(\theta,1), z=((\theta,1),1)</math>, यह है <math>x \circ (y \circ z)</math> बनाम <math>(x \circ y) \circ z</math>. यही है, पेड़ में लंबवत कोष्ठक गायब हैं:
 [[File:OperadTreeCompose3.svg|रचना से पहले पेड़]]यदि संचालन की शीर्ष दो पंक्तियों को पहले बनाया जाता है (पर ऊपर की ओर कोष्ठक लगाता है <math>(ab)c\ \ d</math> पंक्ति; आंतरिक रचना पहले करता है), निम्नलिखित परिणाम:
-[[File:OperadTreeCompose4.svg|बीच का पेड़]]जो तब 4-एरी ऑपरेशन के लिए स्पष्ट रूप से मूल्यांकन करता है।
+[[File:OperadTreeCompose4.svg|बीच का पेड़]]जो तब 4-एरी ऑपरेशन के लिए स्पष्ट प्रकार से मूल्यांकन करता है। एनोटेटेड व्यंजक के रूप में:
-एक एनोटेटेड अभिव्यक्ति के रूप में:
 :<math>\theta_{(ab)c\cdot d} \circ ((\theta_{ab \cdot c},1_d) \circ ((\theta_{a\cdot b},1_c),1_d))</math>
-[[File:OperadTreeCompose5.svg|रचना के बाद वृक्ष]]यदि संचालन की निचली दो पंक्तियों को पहले बनाया जाता है (नीचे की ओर एक कोष्ठक डालता है <math>ab\quad c\ \ d</math> पंक्ति; पहले बाहरी रचना करता है), निम्नलिखित परिणाम:
+[[File:OperadTreeCompose5.svg|रचना के बाद वृक्ष]]यदि संचालन की निचली दो पंक्तियों को पहले बनाया जाता है (नीचे की ओर कोष्ठक डालता है <math>ab\quad c\ \ d</math> पंक्ति; पहले बाहरी रचना करता है), निम्नलिखित परिणाम:
-[[File:OperadTreeCompose6.svg|बीच का पेड़]]जो तब 4-एरी ऑपरेशन उत्पन्न करने के लिए स्पष्ट रूप से मूल्यांकन करता है:
+[[File:OperadTreeCompose6.svg|बीच का पेड़]]जो तब 4-एरी ऑपरेशन उत्पन्न करने के लिए स्पष्ट प्रकार से मूल्यांकन करता है:
-[[File:OperadTreeCompose5.svg|रचना के बाद वृक्ष]]साहचर्य का संक्रियात्मक अभिगृहीत यह है कि ये एक ही परिणाम देते हैं, और इस प्रकार यह अभिव्यक्ति <math>(((ab)c)d)</math> असंदिग्ध है।
+[[File:OperadTreeCompose5.svg|रचना के बाद वृक्ष]]साहचर्य का   यह है कि ये एक ही परिणाम देते हैं, और इस प्रकार यह अभिव्यक्ति <math>(((ab)c)d)</math> असंदिग्ध है।
 === पहचान स्वयंसिद्ध ===

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