ऑपेराड: Difference between revisions

Revision as of 09:13, 7 March 2023

गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) ऑपरेशन (गणित) होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा O दिया गया है $O$ इस सेट पर कंक्रीट ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप ऑपरेशन की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ओपेरा L जैसे L के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में L संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है।ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए समूह (गणित) के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।

इतिहास

ऑपरेशंस बीजगणितीय टोपोलॉजी में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट^[1]^[2] और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत लिया गया था।^[3] ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।^[4] 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि काफी सीमा तक नवीनीकृत हो गई थी, जब मैक्सिम कोंटेसेविच, विक्टर गिन्ज़बर्ग और मिखाइल कापरानोव की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद (गणित) घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।^[5]^[6] इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे जहर कई गुना के विरूपण परिमाणीकरण में, डेलिग्ने अनुमान,^[7] या मैक्सिम कोंटसेविच और थॉमस विलवाकर के कार्य में ग्राफ (असतत गणित) होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।

अंतर्ज्ञान

माना X एक समूह है और

n\in \mathbb {N}

को परिभाषित करता है

और

P(n):=\{f:X^{n}\to X\}

,

कार्टेशियन प्रोडक्ट से सभी कार्यों का समूह $n$ की प्रतिरूप $X$ को $X$ है।

हम इन कार्यों की रचना कर सकते हैं: दिया गया $f\in P(n)$ , $f_{1}\in P(k_{1}),\ldots ,f_{n}\in P(k_{n})$ , फंक्शन

f\circ (f_{1},\ldots ,f_{n})\in P(k_{1}+\cdots +k_{n})

निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया $k_{1}+\cdots +k_{n}$ से तर्क $X$ , हम उन्हें विभाजित करते हैं $n$ ब्लॉक, पहले वाला $k_{1}$ तर्क, दूसरा $k_{2}$ तर्क, इत्यादि , और फिर क्रियान्वित करें $f_{1}$ पहले ब्लॉक के लिए, $f_{2}$ दूसरे ब्लॉक इत्यादि के लिए है। फिर हम मान X से प्राप्त n मानों की सूचि में f को इस प्रकार क्रियान्वित करते हैं |

हम तर्कों को भी अनुमति दे सकते हैं, अर्थात हमारे पास समूह क्रिया है $*$ सीमेट्रिक समूह का $S_{n}$ पर

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 {{Short description|Generalization of associativity properties}}
-गणित में, ओपेरा एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) [[ऑपरेशन (गणित)]] होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा '''''O''''' दिया गया है <math>O</math>इस सेट पर कंक्रीट ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप [[ऑपरेशन (गणित)|ऑपरेशन]] की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ओपेरा '''''L''''' जैसे '''''L''''' के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में '''''L''''' संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है। ओपेरा अपने बीजगणित के लिए [[समूह (गणित)]] के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।
+गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) [[ऑपरेशन (गणित)]] होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा '''''O''''' दिया गया है <math>O</math>इस सेट पर कंक्रीट ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप [[ऑपरेशन (गणित)|ऑपरेशन]] की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ओपेरा '''''L''''' जैसे '''''L''''' के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में '''''L''''' संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है।ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए [[समूह (गणित)]] के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।
 == इतिहास ==
-ऑपरेशंस [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में उत्पन्न होते हैं ओपेअर्डस; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट<ref>{{Cite journal|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1 November 1968|title=होमोटॉपी-सब कुछ $H$-स्पेस|url=https://www.ams.org/journals/bull/1968-74-06/S0002-9904-1968-12070-1/home.html|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|language=en-US|volume=74|issue=6|pages=1117–1123|doi=10.1090/S0002-9904-1968-12070-1|issn=0002-9904|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite book|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1973|title=टोपोलॉजिकल स्पेस पर होमोटॉपी इनवेरिएंट बीजगणितीय संरचनाएं|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=347|doi=10.1007/bfb0068547|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-06479-4}}</ref> और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत लिया गया था।<ref>{{Cite book|last=May|first=J. P.|author-link=J. Peter May|date=1972|title=पुनरावृत्त लूप रिक्त स्थान की ज्यामिति|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=271|doi=10.1007/bfb0067491|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-05904-2|citeseerx=10.1.1.146.3172}}</ref> ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।<ref>{{Cite web|url=https://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/mayi.pdf|title=संचालन, बीजगणित और मॉड्यूल|last=May|first=J. Peter|author-link=J. Peter May|website=math.uchicago.edu|page=2|access-date=28 September 2018}}</ref> 90 के दशक की प्रारम्भ में ओपेअर्डस में रुचि काफी सीमा तक नवीनीकृत हो गई थी, जब [[मैक्सिम कोंटेसेविच]], [[विक्टर गिन्ज़बर्ग]] और [[मिखाइल कापरानोव]] की  प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद [[द्वैत (गणित)|(गणित)]] घटनाओं को ओपेअर्डस के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Ginzburg|first1=Victor|author-link=Victor Ginzburg|last2=Kapranov|first2=Mikhail|date=1994|title=ओपेरा के लिए द्वंद्व शर्ट|url=https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286744|journal=Duke Mathematical Journal|language=en|volume=76|issue=1|pages=203–272|doi=10.1215/S0012-7094-94-07608-4|issn=0012-7094|mr=1301191|zbl=0855.18006|s2cid=115166937|via=[[Project Euclid]]}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.numdam.org/item/SB_1994-1995__37__47_0|title=La renaissance des opérades|last=Loday|first=Jean-Louis|author-link=Jean-Louis Loday|year=1996|website=www.numdam.org|series=[[Séminaire Nicolas Bourbaki]]|language=en|mr=1423619|zbl=0866.18007|access-date=27 September 2018}}</ref> इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे [[जहर कई गुना]] के [[विरूपण परिमाणीकरण]] में, डेलिग्ने अनुमान,<ref name="Deligne">{{cite arXiv|last1=Kontsevich|first1=Maxim|last2=Soibelman|first2=Yan|date=26 January 2000|title=ऑपरेड्स और डेलिग्ने के अनुमान पर बीजगणित की विकृति|eprint=math/0001151}}</ref> या मैक्सिम कोंटसेविच और [[ थॉमस विलवाकर |थॉमस विलवाकर]] के कार्य में [[ग्राफ (असतत गणित)]] होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।
+ऑपरेशंस [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट<ref>{{Cite journal|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1 November 1968|title=होमोटॉपी-सब कुछ $H$-स्पेस|url=https://www.ams.org/journals/bull/1968-74-06/S0002-9904-1968-12070-1/home.html|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|language=en-US|volume=74|issue=6|pages=1117–1123|doi=10.1090/S0002-9904-1968-12070-1|issn=0002-9904|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite book|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1973|title=टोपोलॉजिकल स्पेस पर होमोटॉपी इनवेरिएंट बीजगणितीय संरचनाएं|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=347|doi=10.1007/bfb0068547|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-06479-4}}</ref> और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत लिया गया था।<ref>{{Cite book|last=May|first=J. P.|author-link=J. Peter May|date=1972|title=पुनरावृत्त लूप रिक्त स्थान की ज्यामिति|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=271|doi=10.1007/bfb0067491|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-05904-2|citeseerx=10.1.1.146.3172}}</ref> ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।<ref>{{Cite web|url=https://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/mayi.pdf|title=संचालन, बीजगणित और मॉड्यूल|last=May|first=J. Peter|author-link=J. Peter May|website=math.uchicago.edu|page=2|access-date=28 September 2018}}</ref> 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि काफी सीमा तक नवीनीकृत हो गई थी, जब [[मैक्सिम कोंटेसेविच]], [[विक्टर गिन्ज़बर्ग]] और [[मिखाइल कापरानोव]] की  प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद [[द्वैत (गणित)|(गणित)]] घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Ginzburg|first1=Victor|author-link=Victor Ginzburg|last2=Kapranov|first2=Mikhail|date=1994|title=ओपेरा के लिए द्वंद्व शर्ट|url=https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286744|journal=Duke Mathematical Journal|language=en|volume=76|issue=1|pages=203–272|doi=10.1215/S0012-7094-94-07608-4|issn=0012-7094|mr=1301191|zbl=0855.18006|s2cid=115166937|via=[[Project Euclid]]}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.numdam.org/item/SB_1994-1995__37__47_0|title=La renaissance des opérades|last=Loday|first=Jean-Louis|author-link=Jean-Louis Loday|year=1996|website=www.numdam.org|series=[[Séminaire Nicolas Bourbaki]]|language=en|mr=1423619|zbl=0866.18007|access-date=27 September 2018}}</ref> इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे [[जहर कई गुना]] के [[विरूपण परिमाणीकरण]] में, डेलिग्ने अनुमान,<ref name="Deligne">{{cite arXiv|last1=Kontsevich|first1=Maxim|last2=Soibelman|first2=Yan|date=26 January 2000|title=ऑपरेड्स और डेलिग्ने के अनुमान पर बीजगणित की विकृति|eprint=math/0001151}}</ref> या मैक्सिम कोंटसेविच और [[ थॉमस विलवाकर |थॉमस विलवाकर]] के कार्य में [[ग्राफ (असतत गणित)]] होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।
 == अंतर्ज्ञान ==
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 === गैर-सममित संक्रिया ===
-एक गैर-सीमेट्रिक ऑपेराड (कभी-कभी क्रमपरिवर्तन के बिना ऑपेराड   कहा जाता है, या गैर-<math>\Sigma</math>या प्लेन ऑपरैड) में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:
+एक गैर-सीमेट्रिक ऑपेराड (कभी-कभी क्रमपरिवर्तन के बिना ऑपेराड   कहा जाता है, या गैर-<math>\Sigma</math>या प्लेन ऑपेराड) में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:
 * क्रम <math>(P(n))_{n\in\mathbb{N}}</math> समूह के, जिनके तत्व कहलाते हैं<math>n</math>-एरी ऑपरेशन ,
 * तत्व <math>1</math> में <math>P(1)</math> पहचान कहते हैं,
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 === सममित ऑपरैड ===
-सीमेट्रिक ऑपरैड (अधिकांशतः ऑपरैड कहा जाता है) गैर-सीमेट्रिक ऑपरैड है <math>P</math> ऊपर के रूप में, एक साथ सीमेट्रिक समूह <math>S_n</math>पर <math>P(n)</math> के एक समान क्रिया के लिए <math>n\in\N</math>, द्वारा चिह्नित <math>*</math> और संतुष्ट करना है
+सीमेट्रिक ऑपेराड (अधिकांशतः ऑपरैड कहा जाता है) गैर-सीमेट्रिक ऑपेराड है <math>P</math> ऊपर के रूप में, एक साथ सीमेट्रिक समूह <math>S_n</math>पर <math>P(n)</math> के एक समान क्रिया के लिए <math>n\in\N</math>, द्वारा चिह्नित <math>*</math> और संतुष्ट करना है
 *समतुल्यता: क्रमचय दिया गया <math>t\in S_n</math>,
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 </math>
 * क्रमचय क्रियाओं को संरक्षित करता है: <math>f(x*s)=f(x)*s</math>.
+*ऑपेराड इसलिए एक [[श्रेणी (गणित)]] बनाते हैं जिसे निरूपित किया जाता है <math>\mathsf{Oper}</math>.
-ऑपेरड्स इसलिए एक [[श्रेणी (गणित)]] बनाते हैं जिसे निरूपित किया जाता है <math>\mathsf{Oper}</math>.
 === अन्य श्रेणियों में ===
-अब तक ऑपरेड्स को केवल सेट के [[श्रेणी सिद्धांत]] में ही माना जाता है। अधिक सामान्यतः, किसी भी [[सममित मोनोइडल श्रेणी]] सी में ओपेरा को परिभाषित करना संभव है। ऐसे में प्रत्येक <math>P(n)</math> सी की एक वस्तु है, रचना <math>\circ</math> एक रूपवाद है <math>P(n)\otimes P(k_1)\otimes\cdots\otimes P(k_n) \to P(k_1+\cdots+k_n)</math> सी में (जहां <math>\otimes</math> मोनोइडल श्रेणी के टेंसर उत्पाद को दर्शाता है), और सममित समूह तत्वों की क्रियाएं सी में आइसोमोर्फिज्म द्वारा दी जाती हैं।
+अब तक ऑपेराड को केवल सेट के [[श्रेणी सिद्धांत]] में ही माना जाता है। अधिक सामान्यतः, किसी भी [[सममित मोनोइडल श्रेणी]] सी में ऑपेराड को परिभाषित करना संभव है। ऐसे में प्रत्येक <math>P(n)</math> सी की एक वस्तु है, रचना <math>\circ</math> एक रूपवाद है <math>P(n)\otimes P(k_1)\otimes\cdots\otimes P(k_n) \to P(k_1+\cdots+k_n)</math> सी में (जहां <math>\otimes</math> मोनोइडल श्रेणी के टेंसर उत्पाद को दर्शाता है), और सममित समूह तत्वों की क्रियाएं सी में आइसोमोर्फिज्म द्वारा दी जाती हैं।
-कार्टेशियन उत्पाद द्वारा दिए गए मोनोइडल उत्पाद के साथ एक सामान्य उदाहरण [[टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान]] और निरंतर मानचित्र की श्रेणी है। इस मामले में, एक टोपोलॉजिकल ऑपरैड ''रिक्त स्थान'' (सेट के बजाय) के अनुक्रम द्वारा दिया जाता है <math>\{ P(n) \}_{n \ge 0}</math>. ओपेरा के संरचना मानचित्र (सममित समूहों की रचना और क्रियाएं) को तब निरंतर माना जाता है। परिणाम को एक टोपोलॉजिकल ओपेरा कहा जाता है। इसी तरह, ऑपरैड्स के आकारिकी की परिभाषा में, यह मान लेना आवश्यक होगा कि इसमें शामिल मानचित्र निरंतर हैं।
+कार्टेशियन उत्पाद द्वारा दिए गए मोनोइडल उत्पाद के साथ एक सामान्य उदाहरण [[टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान]] और निरंतर मानचित्र की श्रेणी है। इस मामले में, एक टोपोलॉजिकल ऑपेराड ''रिक्त स्थान'' (सेट के बजाय) के अनुक्रम द्वारा दिया जाता है <math>\{ P(n) \}_{n \ge 0}</math>. ऑपेराड के संरचना मानचित्र (सममित समूहों की रचना और क्रियाएं) को तब निरंतर माना जाता है। परिणाम को एक टोपोलॉजिकल ऑपेराड कहा जाता है। इसी तरह,ऑपेराड के आकारिकी की परिभाषा में, यह मान लेना आवश्यक होगा कि इसमें शामिल मानचित्र निरंतर हैं।
-ऑपरैड्स को परिभाषित करने के लिए अन्य सामान्य सेटिंग्स में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, एक [[ क्रमविनिमेय अंगूठी ]], [[चेन कॉम्प्लेक्स]], ग्रुपोइड्स (या यहां तक कि श्रेणियों की श्रेणी), [[कोलजेब्रा]], आदि पर [[मॉड्यूल (गणित)]]।
+ऑपेराड को परिभाषित करने के लिए अन्य सामान्य सेटिंग्स में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, एक [[ क्रमविनिमेय अंगूठी ]], [[चेन कॉम्प्लेक्स]], ग्रुपोइड्स (या यहां तक कि श्रेणियों की श्रेणी), [[कोलजेब्रा]], आदि पर [[मॉड्यूल (गणित)]]।
 === बीजगणित की परिभाषा ===
-क्रमविनिमेय वलय R को देखते हुए हम श्रेणी पर विचार करते हैं <math>R\text{-}\mathsf{Mod}</math> आर पर मॉड्यूल का। आर पर एक ऑपरैड को एक [[ मोनॉइड वस्तु ]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>(T, \gamma, \eta)</math> [[एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी]] में <math>R\text{-}\mathsf{Mod}</math> (यह एक मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) है) कुछ परिमित स्थिति को संतुष्ट करता है।<ref group="note">”finiteness" refers to the fact that only a finite number of inputs are allowed in the definition of an operad. For example, the condition is satisfied if one can write
+क्रमविनिमेय वलय R को देखते हुए हम श्रेणी पर विचार करते हैं <math>R\text{-}\mathsf{Mod}</math> आर पर मॉड्यूल का। आर पर एक ऑपेराड को एक [[ मोनॉइड वस्तु ]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>(T, \gamma, \eta)</math> [[एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी]] में <math>R\text{-}\mathsf{Mod}</math> (यह एक मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) है) कुछ परिमित स्थिति को संतुष्ट करता है।<ref group="note">”finiteness" refers to the fact that only a finite number of inputs are allowed in the definition of an operad. For example, the condition is satisfied if one can write
 :<math>T(V) = \bigoplus_{n=1}^{\infty} T_n \otimes V^{\otimes n}</math>,
 :<math>\gamma(V): T_n \otimes T_{i_1} \otimes \cdots \otimes T_{i_n} \to T_{i_1 + \dots + i_n}</math>.</ref>
-उदाहरण के लिए, बहुपद एंडोफंक्टर्स की श्रेणी में एक मोनोइड वस्तु <math>R\text{-}\mathsf{Mod}</math> एक ओपेरा है।<ref name=Deligne />इसी तरह, एक सममित ऑपरैड को एस-ऑब्जेक्ट की श्रेणी में एक मोनोइड ऑब्जेक्ट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है<math>\mathbb{S}</math>-ऑब्जेक्ट्स, जहां <math>\mathbb{S}</math> मतलब एक सममित समूह।<ref>{{cite arXiv|last1=Jones|first1=J. D. S.|last2=Getzler|first2=Ezra|date=8 March 1994|title=डबल लूप स्पेस के लिए ऑपरेड्स, होमोटॉपी बीजगणित और पुनरावृत्त इंटीग्रल|eprint=hep-th/9403055|language=en}}</ref> संयोजी प्रजातियों की श्रेणी में एक मोनोइड वस्तु परिमित सेटों में एक ओपेरा है।
+उदाहरण के लिए, बहुपद एंडोफंक्टर्स की श्रेणी में एक मोनोइड वस्तु <math>R\text{-}\mathsf{Mod}</math> एकऑपेराड है।<ref name=Deligne />इसी तरह, एक सममित ऑपेराड को एस-ऑब्जेक्ट की श्रेणी में एक मोनोइड ऑब्जेक्ट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है<math>\mathbb{S}</math>-ऑब्जेक्ट्स, जहां <math>\mathbb{S}</math> मतलब एक सममित समूह।<ref>{{cite arXiv|last1=Jones|first1=J. D. S.|last2=Getzler|first2=Ezra|date=8 March 1994|title=डबल लूप स्पेस के लिए ऑपरेड्स, होमोटॉपी बीजगणित और पुनरावृत्त इंटीग्रल|eprint=hep-th/9403055|language=en}}</ref> संयोजी प्रजातियों की श्रेणी में एक मोनोइड वस्तु परिमित सेटों में एक ऑपेराड है।
-उपरोक्त अर्थ में एक ओपेरा को कभी-कभी सामान्यीकृत रिंग के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, निकोलाई ड्यूरोव अपने सामान्यीकृत रिंगों को एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित करता है। <math>\textbf{Set}</math> जो फ़िल्टर्ड कोलिमिट्स के साथ यात्रा करता है।<ref>N. Durov, New approach to Arakelov geometry, University of Bonn, PhD thesis, 2007; [http://www.arxiv.org/abs/0704.2030 arXiv:0704.2030].</ref> यह एक वलय का सामान्यीकरण है क्योंकि प्रत्येक साधारण वलय R एक सन्यासी को परिभाषित करता है <math>\Sigma_R: \textbf{Set} \to \textbf{Set}</math> जो फ्री मॉड्यूल | फ्री आर-मॉड्यूल के अंतर्निहित सेट को एक सेट एक्स भेजता है <math>R^{(X)}</math>X द्वारा उत्पन्न।
+उपरोक्त अर्थ में एक ऑपेराड को कभी-कभी सामान्यीकृत रिंग के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, निकोलाई ड्यूरोव अपने सामान्यीकृत रिंगों को एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित करता है। <math>\textbf{Set}</math> जो फ़िल्टर्ड कोलिमिट्स के साथ यात्रा करता है।<ref>N. Durov, New approach to Arakelov geometry, University of Bonn, PhD thesis, 2007; [http://www.arxiv.org/abs/0704.2030 arXiv:0704.2030].</ref> यह एक वलय का सामान्यीकरण है क्योंकि प्रत्येक साधारण वलय R एक सन्यासी को परिभाषित करता है <math>\Sigma_R: \textbf{Set} \to \textbf{Set}</math> जो फ्री मॉड्यूल | फ्री आर-मॉड्यूल के अंतर्निहित सेट को एक सेट एक्स भेजता है <math>R^{(X)}</math>X द्वारा उत्पन्न।
 == स्वयंसिद्धों को समझना ==
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 नीचे #एसोसिएटिव ओपेरा के साथ तुलना करें।
-ओपेरा सिद्धांत में सहयोगीता का मतलब है कि [[अभिव्यक्ति (गणित)]] को छोड़े गए रचनाओं से अस्पष्टता के बिना संचालन शामिल किया जा सकता है, जैसे संचालन के लिए सहयोगीता उत्पादों को छोड़े गए कोष्ठकों से अस्पष्टता के बिना लिखे जाने की अनुमति देती है।
+ऑपेराड सिद्धांत में सहयोगीता का मतलब है कि [[अभिव्यक्ति (गणित)]] को छोड़े गए रचनाओं से अस्पष्टता के बिना संचालन शामिल किया जा सकता है, जैसे संचालन के लिए सहयोगीता उत्पादों को छोड़े गए कोष्ठकों से अस्पष्टता के बिना लिखे जाने की अनुमति देती है।
 उदाहरण के लिए, अगर <math>\theta</math> एक बाइनरी ऑपरेशन है, जिसे लिखा जाता है <math>\theta(a,b)</math> या <math>(ab)</math>. ताकि <math>\theta</math> सहयोगी हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।

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