गुणा: Difference between revisions

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[[File:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|upright=1.25|ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।]]सम्मिश्र गुणन का ज्यामितीय अर्थ समझा जा सकता है ध्रुवीय निर्देशांक में सम्मिश्र संख्याओं को फिर से लिखना:
[[File:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|upright=1.25|ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।]]सम्मिश्र गुणन का ज्यामितीय अर्थ समझा जा सकता है तथा ध्रुवीय निर्देशांक में सम्मिश्र संख्याओं को पुनः लिखना:


:<math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) +  i \sin(\varphi) ) = r \cdot  e ^{ i \varphi} </math>
:<math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) +  i \sin(\varphi) ) = r \cdot  e ^{ i \varphi} </math>
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जिससे प्राप्त होता है
जिससे प्राप्त होता है
:<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math>
:<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math>
ज्यामितीय का अर्थ यह है,कि गुणा का विस्तार किया जाता है और युक्ति जोड़े जाते हैं।
ज्यामितीय का अर्थ है,कि गुणा का विस्तार और कथन जोड़े जाते हैं।


=== दो चतुर्भुजों का गुणनफल ===
=== दो चतुर्भुजों का गुणनफल ===
दो [[ quaternion |चतुर्भुजों]] के गुणन [[ quaternions |चतुष्कोणों]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस मामले में, कि  <math>  a\cdot\quad b  </math> और <math>  b \cdot\quad a </math> सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।
दो [[ quaternion |चतुर्भुजों]] के गुणन [[ quaternions |चतुष्कोणों]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस विषय में, कि  <math>  a\cdot\quad b  </math> और <math>  b \cdot\quad a </math> सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।


== संगणना ==
== संगणना ==
{{Main|गुणन एल्गोरिथ्म}}
{{Main|गुणन एल्गोरिथ्म}}
[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य तरीके बहुत हैं ,  परंतु छोटी संख्याओं सामान्यतः 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित गुणन की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। यद्यपि , यह विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम, नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम ,प्राथमिक विद्यालय गुणन दिखाता है:
[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य विधिया बहुत हैं ,  परंतु छोटी संख्याओं सामान्यतः 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित गुणन की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। यद्यपि , यह विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम से नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम ,प्राथमिक विद्यालय गुणन प्रदर्शित करता है:


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   139676498390 (= 139,676,498,390)
   139676498390 (= 139,676,498,390)
[[ जर्मनी ]] जैसे कुछ देशों में,गुणन को समान उपरोक्त रूप से दर्शाया गया है, लेकिन मूल उत्पाद को क्षैतिज रखा गया है और गणना गुणक के पहले अंक से शुरू होती है:
[[ जर्मनी ]] जैसे कुछ देशों में,गुणन को समान रूप से दर्शाया गया है, परंतु मूल उत्पाद को क्षैतिज रखा गया है और गणना गुणक के पहले अंक से प्रारंभ होती है:
  23958233 · 5830                                                                                            ————————————————
  23958233 · 5830                                                                                            ————————————————
     119791165
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संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक जोड़ से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए [[ सामान्य लघुगणक ]] का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के बराबर है। [[ स्लाइड नियम ]] ने संख्याओं को सटीकता के लगभग तीन स्थानों पर त्वरित रूप से गुणा करने की अनुमति दी। 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, यांत्रिक [[ कैलकुलेटर |गणक]], जैसे कि [[ मर्चेंट कैलकुलेटर | मर्चेंट गणक]]  , 10 अंकों की संख्या का स्वचालित गुणन है। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक संगणक और [[ कैलकुलेटर |गणक]] ने हाथ से गुणा करने की आवश्यकता को बहुत कम कर दी है।
संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक जोड़ से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए [[ सामान्य लघुगणक ]] का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के समान है। [[ स्लाइड नियम ]] ने संख्याओं को सटीकता के लगभग तीन स्थानों पर त्वरित रूप से गुणा करने की अनुमति दी हैं। 20 वीं शताब्दी की प्रारंभ में, यांत्रिक [[ कैलकुलेटर |गणक]], जैसे कि [[ मर्चेंट कैलकुलेटर | मर्चेंट गणक]]  , 10 अंकों की संख्या का स्वचालित गुणन है। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक संगणक और [[ कैलकुलेटर |गणक]] ने हाथ से गुणा करने की आवश्यकता को न्यूनतम कर दी है।


=== ऐतिहासिक एल्गोरिदम ===
=== ऐतिहासिक एल्गोरिदम ===
गुणन के तरीके [[ प्राचीन मिस्र ]]  {{Citation needed span|text=Greek, Indian,|date=December 2021|reason=This claim is not sourced in the subsections below.}} और चीन का इतिहास प्राचीन  चीन की सभ्यताएं लेखन में प्रलेखित थे,।
गुणन के विधि[[ प्राचीन मिस्र ]]  {{Citation needed span|text=Greek, Indian,|date=December 2021|reason=This claim is not sourced in the subsections below.}} और चीन का इतिहास प्राचीन  चीन की सभ्यताएं लेखन में प्रलेखित थे,।


लगभग 18,000 से 20,000 ईसा पूर्व ईशांगो की हड्डी [[ मध्य अफ्रीका ]] में ऊपरी पुरापाषाण युग में गुणन के ज्ञान का संकेत दे दिया था, लेकिन यह काल्पनिक है।{{Verification needed|date=December 2021}}
लगभग 18,000 से 20,000 ईसा पूर्व ईशांगो की हड्डी [[ मध्य अफ्रीका ]] में प्रारंभिक पुरापाषाण काल में गुणन ज्ञान का संकेत दिया था, परंतु यह काल्पनिक है।{{Verification needed|date=December 2021}}




==== मिस्रवासी ====
==== मिस्रवासी ====
{{Main|प्राचीन मिस्र का गुणन}}
{{Main|प्राचीन मिस्र का गुणन}}
पूर्णांकों और भिन्नों के गुणन की मिस्र विधि है, जो कि [[ रिहंद गणितीय पेपिरस ]] में  उत्तरोत्तर जोड़ और दोहरीकरण प्रलेखित है,। उदाहरण के लिए, 13 और 21 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए व्यक्ति को 21 को तीन बार दुगुना करके प्राप्त करना होता है {{nowrap|1=2 × 21 = 42}}, {{nowrap|1=4 × 21 = 2 × 42 = 84}}, {{nowrap|1=8 × 21 =  2 × 84 = 168}}. पूर्ण गुणन तथा दोहरीकरण अनुक्रम में पाए जाने वाले उपयुक्त  संबंध को जोड़कर पाया जा सकता है:
पूर्णांकों और भिन्नों के गुणन की मिस्र विधि है, जो कि [[ रिहंद गणितीय पेपिरस ]] में  उत्तरोत्तर जोड़ और दोहरीकरण प्रलेखित है,। उदाहरण के लिए, 13 और 21 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए व्यक्ति को 21 को तीन बार दुगुना करके प्राप्त किया जाता है {{nowrap|1=2 × 21 = 42}}, {{nowrap|1=4 × 21 = 2 × 42 = 84}}, {{nowrap|1=8 × 21 =  2 × 84 = 168}}. पूर्ण गुणन तथा दोहरीकरण अनुक्रम में पाए जाने वाले उपयुक्त  संबंध को जोड़कर पाया जा सकता है:
:13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.
:13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.


==== [[ बेबीलोन ]] ====
==== [[ बेबीलोन ]] ====
बेबीलोनियों ने आधुनिक समय के [[ दशमलव विस्तार ]] के अनुरूप एक [[ साठवाँ |षाष्टिक]] [[ स्थितीय संख्या प्रणाली ]] का उपयोग किया है। इस प्रकार, बेबीलोनियाई गुणन आधुनिक दशमलव गुणन के समान था। याद रखने की कठिनाई के कारण {{nowrap|60 × 60}} विभिन्न उत्पादों, बेबीलोनियन गणितज्ञों ने गुणन सारणी का उपयोग किया है। इन तालिकाओं में एक निश्चित प्रमुख संख्या n: n, 2n, ..., 20n के पहले बीस गुणकों की सूची शामिल है | इसके बाद 10n: 30n 40n, और 50n के गुणक आते हैं,फिर किसी भी [[ साठवाँ |षाष्टिक]] गुणन की गणना करने के लिए, 53 n के लिए कहें गए,  की गई 50 n और 3 n को जोड़ने के लिए तालिका से केवल अभिकलन करने की आवश्यकता है।{{Citation needed|date=December 2021}}
बेबीलोनियों ने आधुनिक समय के [[ दशमलव विस्तार ]] के अनुरूप एक [[ साठवाँ |षाष्टिक]] [[ स्थितीय संख्या प्रणाली ]] का उपयोग किया है। इस प्रकार, बेबीलोनियाई गुणन आधुनिक दशमलव गुणन के समान था। स्मरण रखने की कठिनाई के कारण {{nowrap|60 × 60}} विभिन्न उत्पादों, बेबीलोनियन गणितज्ञों ने गुणन सारणी का उपयोग किया है। इन तालिकाओं में एक निश्चित प्रमुख संख्या n: n, 2n, ..., 20n के पहले बीस गुणकों की सूची सम्मिलित है | इसके बाद 10n: 30n 40n, और 50n के गुणक आते हैं,पुनः किसी भी [[ साठवाँ |षाष्टिक]] गुणन की गणना करने के लिए, 53 n के लिए केवल 50 n और 3 n को जोड़ने के लिए तालिका से अभिकलन करने की आवश्यकता है।{{Citation needed|date=December 2021}}




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==== चीनी ====
==== चीनी ====
{{see also|चीनी गुणा तालिका}}
{{see also|चीनी गुणा तालिका}}
[[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,यद्यपि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मूल्य वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को शामिल करते हुए [[ रॉड कैलकुलस | रॉड  गणना]] को नियोजित किया था। [[ युद्धरत राज्य ]] की अवधि के अंत तक चीनी पहले से ही एक चीनी गुणन तालिका का उपयोग कर रहे थे।
[[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,यद्यपि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मूल्य वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को सम्मिलित करते हुए [[ रॉड कैलकुलस | रॉड  गणना]] को नियोजित किया था। [[ युद्धरत राज्य ]] की अवधि के अंत तक चीनी पहले से ही एक चीनी गुणन तालिका का उपयोग कर रहे थे।




=== आधुनिक तरीके ===
=== आधुनिक तरीके ===
[[Image:Gelosia multiplication 45 256.png|right|250px|thumb|45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है {{nowrap|1=45 × 256 = 11520}}. यह [[ जाली गुणन ]] का एक रूप है।]]हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम [[ ब्रह्मगुप्त ]] ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। [[ प्रिंसटन विश्वविद्यालय ]] में गणित के तत्कालीन प्रोफेसर [[ हेनरी बर्चर्ड फाइन ]] ने निम्नलिखित लिखा :
[[Image:Gelosia multiplication 45 256.png|right|250px|thumb|45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है {{nowrap|1=45 × 256 = 11520}}. यह [[ जाली गुणन ]] का एक रूप है।]]हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम [[ ब्रह्मगुप्त ]] ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। [[ प्रिंसटन विश्वविद्यालय ]]में गणित के तत्कालीन प्रवक्ता  [[ हेनरी बर्चर्ड फाइन |हेनरी बर्चर्ड फाइन]] ने निम्नलिखित कथन लिखा :
:भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में शामिल अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है | वे बहुत प्रकार से गुणा करते थे, उन में हमारा भी,परन्तु विभाजन उन्होंने बड़ी चतुराई से किया जाता है |  
:भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि इस प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में सम्मिलित अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है | वे गुणा अत्यधिक प्रकार से करते थे, परन्तु विभाजन वे एक ही प्रकार से करते थे |
ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय एल्गोरिदम 9वीं शताब्दी की शुरुआत में [[ अलखावरिज़मी ]] द्वारा अरब देशों में प्रस्तुत किया गया था,और 13 वीं शताब्दी में [[ फिबोनैकी ]] द्वारा पश्चिमी दुनिया में लोकप्रिय हो गया था।
ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय एल्गोरिदम 9वीं शताब्दी की प्रारंभ में [[ अलखावरिज़मी ]] द्वारा अरब देशों में प्रस्तुत किया गया था,और 13 वीं शताब्दी में [[ फिबोनैकी ]] द्वारा पश्चिमी संसार में लोकप्रिय हो गया था।




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इस मामले में, घंटे की मापन की इकाई रद्द हो जाती हैं, उत्पाद को केवल किलोमीटर मापन की इकाई के साथ रहने दिया जाता है।
इस मामले में, घंटे की मापन की इकाई रद्द हो जाती हैं, उत्पाद को केवल किलोमीटर मापन की इकाई के साथ रहने दिया जाता है।


मापन इकाइयों से जुड़े गुणन के अन्य उदाहरणों में शामिल हैं:
मापन इकाइयों से जुड़े गुणन के अन्य उदाहरणों में सम्मिलित हैं:
: 2.5 मीटर × 4.5 मीटर = 11.25 वर्ग मीटर
: 2.5 मीटर × 4.5 मीटर = 11.25 वर्ग मीटर
: 11 मीटर/सेकंड × 9 सेकंड = 99 मीटर
: 11 मीटर/सेकंड × 9 सेकंड = 99 मीटर
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जिसके परिणामस्वरूप
जिसके परिणामस्वरूप
:<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = 120.</math>
:<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = 120.</math>
ऐसे अंकन में, चर गणित  {{mvar|i}} एक भिन्न [[ पूर्णांक ]] का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान  {{math|1}} से चलता है तथा ऊपरी मूल्य के लिए {{math|4}} संकेत दिया गया है सुपरस्क्रिप्ट सबस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया है।  गुणन ऑपरेटर के द्वारा निचले और ऊपरी मूल्यों में  शामिल सीमा के बीच एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है।
ऐसे अंकन में, चर गणित  {{mvar|i}} एक भिन्न [[ पूर्णांक ]] का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान  {{math|1}} से चलता है तथा ऊपरी मूल्य के लिए {{math|4}} संकेत दिया गया है सुपरस्क्रिप्ट सबस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया है।  गुणन ऑपरेटर के द्वारा निचले और ऊपरी मूल्यों में  सम्मिलित सीमा के बीच एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है।


सामान्यतः सामान्यतः अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है
सामान्यतः सामान्यतः अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है
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== गुण ==
== गुण ==
[[Image:Multiplication chart.svg|thumb|right|संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = गुणन।<br>अन्य चतुर्थांशों में इस पैटर्न का विस्तार कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या का गुणा एक ऋणात्मक संख्या के साथ एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है।<br>ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे वापस नहीं लाया जा सकता है।]]वास्तविक संख्या और  सम्मिश्र संख्या संख्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ गुण होते हैं:
[[Image:Multiplication chart.svg|thumb|right|संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = गुणन।<br>अन्य चतुर्थांशों में इस पैटर्न का विस्तार कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या का गुणा एक ऋणात्मक संख्या के साथ एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है।<br>ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे वापस नहीं लाया जा सकता है।]]वास्तविक संख्या और  सम्मिश्र संख्या संख्याओं में सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ गुण होते हैं:


;क्रमचयी गुणधर्म
;क्रमचयी गुणधर्म
Line 283: Line 283:


;[[ संबंधी संपत्ति ]]
;[[ संबंधी संपत्ति ]]
: गुणन या जोड़ को शामिल करने वाले  व्यंजक संचालन के क्रम के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं:
: गुणन या जोड़ को सम्मिलित करने वाले  व्यंजक संचालन के क्रम के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं:
::<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math>
::<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math>


Line 311: Line 311:
::के लिये {{nowrap|''a'' < 0}}, यदि {{nowrap|''b'' > ''c''}} फिर {{nowrap|''ab'' < ''ac''}}.
::के लिये {{nowrap|''a'' < 0}}, यदि {{nowrap|''b'' > ''c''}} फिर {{nowrap|''ab'' < ''ac''}}.
: सम्मिश्र संख्याओं में ऐसा क्रम नहीं होता है जो जोड़ और गुणा दोनों के अनुकूल हो।
: सम्मिश्र संख्याओं में ऐसा क्रम नहीं होता है जो जोड़ और गुणा दोनों के अनुकूल हो।
अन्य गणितीय प्रणालियाँ जिनमें गुणन संक्रिया शामिल है या हो सकता है कि उनमें ये सभी गुण न हों। उदाहरण के लिए, गुणन सामान्य रूप से, मैट्रिक्स गणित और चतुष्कोणों के लिए क्रमविनिमेय नहीं है।
अन्य गणितीय प्रणालियाँ जिनमें गुणन संक्रिया सम्मिलित है या हो सकता है कि उनमें ये सभी गुण न हों। उदाहरण के लिए, गुणन सामान्य रूप से, मैट्रिक्स गणित और चतुष्कोणों के लिए क्रमविनिमेय नहीं है।




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एक साधारण उदाहरण ये है की शून्येतर[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्याओं]] का समुच्चय है। यहां हमारे पास सर्वसमिका 1 है, इसके अतिरिक्त समूहों के विपरीत सर्वसमिका सामान्यतः 0 है।परिमेय और शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि, गुणन के तहत, इसका व्युत्क्रम नहीं होता है: ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करके 1 प्राप्त किया जा सके। इस उदाहरण में, हमारे पास एक [[ एबेलियन समूह ]] है| लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है ,की हमारे पास हमेशा एक एबेलियन समूह हो।
एक साधारण उदाहरण ये है की शून्येतर[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्याओं]] का समुच्चय है। यहां हमारे पास सर्वसमिका 1 है, इसके अतिरिक्त समूहों के विपरीत सर्वसमिका सामान्यतः 0 है।परिमेय और शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि, गुणन के तहत, इसका व्युत्क्रम नहीं होता है: ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करके 1 प्राप्त किया जा सके। इस उदाहरण में, हमारे पास एक [[ एबेलियन समूह ]] है| लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है ,की हमारे पास हमेशा एक एबेलियन समूह हो।


इसे देखने के लिए, किसी दिए गए [[ क्षेत्र (गणित) ]] पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार किया जाता है। यहां, समापन, साहचर्य, और सर्वसमिका, [[ पहचान मैट्रिक्स |सर्वसमिका मैट्रिक्स]] और व्युत्क्रमों को शामिल करने या सत्यापित करने का सीधा मार्ग है। यद्यपि , मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, जो यह दर्शाता है कि यह समूह गैर-अबेलियन है।
इसे देखने के लिए, किसी दिए गए [[ क्षेत्र (गणित) ]] पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार किया जाता है। यहां, समापन, साहचर्य, और सर्वसमिका, [[ पहचान मैट्रिक्स |सर्वसमिका मैट्रिक्स]] और व्युत्क्रमों को सम्मिलित करने या सत्यापित करने का सीधा मार्ग है। यद्यपि , मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, जो यह दर्शाता है कि यह समूह गैर-अबेलियन है।


ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अतिरिक्त अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता को आसानी से देखा जा सकता है।
ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अतिरिक्त अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता को आसानी से देखा जा सकता है।
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आगे सामान्यीकरण
आगे सामान्यीकरण
: ऊपर समूह सिद्धांत में गुणा देखें, और [[ गुणक समूह ]], जिसमें उदाहरण के लिए मैट्रिक्स गुणन शामिल है। एक बहुत ही सामान्य, और अमूर्त, गुणन की अवधारणा एक वलय गणित में गुणात्मक रूप से निरूपित दूसरा बाइनरी संक्रिया के रूप में है। वलय का एक उदाहरण जो उपरोक्त संख्या प्रणालियों में से कोई नहीं है, एक बहुपद वलय है आप बहुपदों को जोड़ और गुणा कर सकते हैं, लेकिन बहुपद किसी भी सामान्य अर्थ में संख्या नहीं हैं।
: ऊपर समूह सिद्धांत में गुणा देखें, और [[ गुणक समूह ]], जिसमें उदाहरण के लिए मैट्रिक्स गुणन सम्मिलित है। एक बहुत ही सामान्य, और अमूर्त, गुणन की अवधारणा एक वलय गणित में गुणात्मक रूप से निरूपित दूसरा बाइनरी संक्रिया के रूप में है। वलय का एक उदाहरण जो उपरोक्त संख्या प्रणालियों में से कोई नहीं है, एक बहुपद वलय है आप बहुपदों को जोड़ और गुणा कर सकते हैं, लेकिन बहुपद किसी भी सामान्य अर्थ में संख्या नहीं हैं।


;विभाजन
;विभाजन

Revision as of 20:46, 8 March 2023

This article is about गणितीय कार्य विधि. For other uses, see गुणा (disambiguation).
File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg
3 मार्बल्स के 4 बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।
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गुणन को पैमाने के कारक भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।
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गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।
File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg
4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।
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एक कपड़े का क्षेत्रफल 4.5m × 2.5m = 11.25m2; 41/2 × 21/2 = 111/4

गुणन (प्रायः क्रॉस प्रतीक × द्वारा चिह्नित, मध्य-रेखा डॉट संक्रिया ⋅ द्वारा, जक्सटैप द्वारा, या, कंप्यूटर पर, एक तारक द्वारा *) अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक है, जिनमे अन्य संक्रियाए जोड़, घटाव, और विभाजन हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्या के गुणन को पुनरावर्ती जोड़ के रूप में संदर्भित किया जा स है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के समान है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे प्रायः इस रूप में लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:

यहाँ, 3 (गुणक) और 4 (गुण्य) गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।

गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रम विनिमय गुण है, जो इस परिप्रेक्ष्य में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से और 3 की 4 प्रतियां जोड़ने से समान परिणाम मिलता है:

इस प्रकार गुणक और गुण्य का पदनाम, गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण, पूर्णांकों के ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।

गुणन को एक आयत (पूर्ण संख्याओं के लिए) में व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के रूप में देखा जा सकता है, जिसकी भुजाओं में कुछ दी गई लंबाई होती है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस भुजा को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है।

दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणन विमितीय विश्लेषण का विषय है।

गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या का सामान संख्या से विभाजन करने पर 1 प्राप्त होता है।

गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि सम्मिश्र संख्याएँ, और अधिक अमूर्त निर्माणों जैसे मैट्रिक्स गणित आदि। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मुख्य है की किस क्रम में संकार्य को एक साथ गुणा किया जाए। गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन में दी गई है।