गुणा: Difference between revisions
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[[File:Three by Four.svg|thumb|3 बटा 4 12 है]]एक आयताकार प्रतिरुप में कई पत्थरों को | [[File:Three by Four.svg|thumb|3 बटा 4 12 है]]एक आयताकार प्रतिरुप में कई पत्थरों को <math>r</math> पंक्तियाँ और <math>s</math> स्तम्भ मे रखने पर | ||
:<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{ times}}= \sum_{j=1}^r s = \underbrace{ s+s+\cdots+s }_{r\text{ times}} </math> | :<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{ times}}= \sum_{j=1}^r s = \underbrace{ s+s+\cdots+s }_{r\text{ times}} </math> | ||
पत्थर प्राप्त होतें है। | |||
=== दो पूर्णांकों का गुणनफल === | === दो पूर्णांकों का गुणनफल === | ||
पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति देता हैं। उनका गुणन उनकी सकारात्मक मात्रा के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो निम्नलिखित नियम से प्राप्त | पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति देता हैं। उनका गुणन उनकी सकारात्मक मात्रा के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो निम्नलिखित नियम से प्राप्त चिन्ह के साथ संयुक्त होता है: | ||
:<math>\begin{array}{|c|c c|} | :<math>\begin{array}{|c|c c|} | ||
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यह नियम जोड़ पर गुणन की विशेषताये की मांग का एक आवश्यक परिणाम है, और इसके अतिरिक्त्त कोई नियम नहीं है। | यह नियम जोड़ पर गुणन की विशेषताये की मांग का एक आवश्यक परिणाम है, और इसके अतिरिक्त्त कोई नियम नहीं है। | ||
शब्दों में, | शब्दों में, हम इन्हे निम्नलिखित विधियों से दर्शाया जा सकता है। : | ||
* ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, | * ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, | ||
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===दो भिन्नों का गुणनफल=== | ===दो भिन्नों का गुणनफल=== | ||
दो भिन्नों | दो भिन्नों का गुणनफल उनके अंश और हर को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है: | ||
:<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math> | :<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math> | ||
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=== दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल === | === दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल === | ||
दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक भाग है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|a}} एक | दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक भाग है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|a}} एक समुच्चय {{mvar|A}} हैं[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्या]] {{mvar|a}} के तत्वों की न्यूनतम उच्च सीमा {{mvar|A}} है : | ||
:<math>a=\sup_{x\in A} x.</math> | :<math>a=\sup_{x\in A} x.</math> | ||
यदि {{mvar|b}} एक और वास्तविक संख्या है | यदि {{mvar|b}} एक और वास्तविक संख्या है जिसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा {{mvar|B}} हैं गुणन <math>a\cdot b</math> की तरह परिभाषित किया जाता है | ||
:<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math> | :<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math> | ||
यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी कम से कम ऊपरी सीमा को बदले बिना बदल जाते हैं, तो कम से कम ऊपरी सीमा परिभाषित होती है <math>a\cdot b</math> नहीं बदलता है। | यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी कम से कम ऊपरी सीमा को बदले बिना बदल जाते हैं, तो कम से कम ऊपरी सीमा परिभाषित होती है <math>a\cdot b</math> नहीं बदलता है। | ||
Revision as of 15:31, 3 March 2023
गुणन (प्रायः क्रॉस प्रतीक × द्वारा चिह्नित, मध्य-रेखा डॉट संक्रिया ⋅ द्वारा, जक्सटैप द्वारा, या, कंप्यूटर पर, एक तारक द्वारा *) अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक है, जिनमे अन्य संक्रियाए जोड़, घटाव, और विभाजन हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल कहा जाता है।
प्राकृतिक संख्या के गुणन को पुनरावर्ती जोड़ के रूप में संदर्भित किया जा स है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के समान है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे प्रायः इस रूप में लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:
यहाँ, 3 (गुणक) और 4 (गुण्य) गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।
गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रम विनिमय गुण है, जो इस परिप्रेक्ष्य में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से और 3 की 4 प्रतियां जोड़ने से समान परिणाम मिलता है:
इस प्रकार गुणक और गुण्य का पदनाम, गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण, पूर्णांकों के ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।
गुणन को एक आयत (पूर्ण संख्याओं के लिए) में व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के रूप में देखा जा सकता है, जिसकी भुजाओं में कुछ दी गई लंबाई होती है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस भुजा को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है।
दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणन विमितीय विश्लेषण का विषय है।
गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या का सामान संख्या से विभाजन करने पर 1 प्राप्त होता है।
गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि सम्मिश्र संख्याएँ, और अधिक अमूर्त निर्माणों जैसे मैट्रिक्स गणित आदि। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मुख्य है की किस क्रम में संकार्य को एक साथ गुणा किया जाए। गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन में दी गई है।
संकेतन और शब्दावली
| × ⋅ | |
|---|---|
गुणन चिन्ह | |
| In Unicode | U+00D7 × गुणन चिन्ह (×) U+22C5 ⋅ बिन्दु संकार्य (⋅) |
| Different from | |
| Different from | U+00B7 · MIDDLE DOT U+002E . FULL STOP |
अंकगणित में, गुणन को प्रायः गुणन चिह्न ( × या ) को सबंधों के मध्य अर्थात,इन्फिक्स नोटेशन में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए,
गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:
- गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए x गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है, सामान्यतः एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु किंचित ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-
- या
- मध्य बिंदु संकेतन जिन्हे यूनिकोड में U+22C5 ⋅ बिंदु संक्रिया के रूप मे एन्कोड किया गया है, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है। जहां एक समय इसका उपयोग दशमलव विभाजक के रूप में संदर्भित किया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु ऑपरेटर चिह्न पहुंच योग्य नहीं होता है, तो इंटरपंक (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में अल्पविराम का उपयोग करते हैं वही गुणा के लिए ,या तो गुणा चिह्न या मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग किया जाता है।
- ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। यद्यपि , चूंकि प्रौद्योगिकी मंत्रालय ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का निर्णय लिया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से प्रयोग में है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे 'द लांसेट' में पाया जाता है।
- बीजगणित में, चर से जुड़े गुणन को प्रायः एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, के लिये बार या पाँच बार के लिए , जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, , या पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है।
- सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के बीच अंतर करना है। रेखित गुणन सामान्यतः दो सदिश राशियों के क्रॉस गुणन करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश राशि उत्पन्न होती है, जबकि बिंदु दो सदिश के बिंदु गुणन को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अदिश राशि की प्राप्ति होती है।[citation needed]
संगणक प्रोग्रामिंग में, तारांकन चिह्न जैसा कि 5*2 अभी भी सबसे साधारण अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश संगणक ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण समुच्चय जैसे ASCII और EBCDIC तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि ⋅ या ×सम्मिलित है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग फोरट्रान प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।
गुणा की जाने वाली संख्याओं को सामान्यतः गुणन खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। सामान्यतः, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,यद्यपि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुण्य होता है। इसके अतिरिक्त, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुण्य के मध्य का अंतर केवल प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन विधिकलन में उपयोगी होता है, जैसे कि दीर्घ गुणन, इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या व्यंजक का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में को गुणांक कहा जाता है।
गुणन के परिणाम को गुणनफल कहा जाता है,और जब गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो एक गुणनफल दूसरे का गुणनफल होता है। इस प्रकार का एक बहुगुणज π ऐसा है की . पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 3 और 5 का गुणनफल 15 है, और दोनों 3 के गुणज और 5 के गुणज है।
परिभाषाएँ
दो संख्याओं के गुणन या दो संख्याओं के बीच गुणनफल को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।
दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल
एक आयताकार प्रतिरुप में कई पत्थरों को