गुणा: Difference between revisions
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{{See also|गुणक (भाषाविज्ञान)}} | {{See also|गुणक (भाषाविज्ञान)}} | ||
अंकगणित में, गुणन को | अंकगणित में, गुणन को प्रायः गुणन चिह्न ( {{char|×}} या {{char|<math>\times</math> }} ) को सबंधों के मध्य अर्थात,[[ इन्फिक्स नोटेशन ]]में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, | ||
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गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं: | गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं: | ||
* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''',''' | * गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''',''' सामान्यतः एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु किंचित ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :- | ||
:<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math> | :<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math> | ||
: मध्य बिंदु संकेतन | : मध्य बिंदु संकेतन जिन्हे यूनिकोड में {{unichar|22C5|बिंदु संक्रिया}} के रूप मे एन्कोड किया गया है, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है। जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक |दशमलव विभाजक]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु ऑपरेटर चिह्न पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) |अल्पविराम]] का उपयोग करते हैं वही गुणा के लिए ,या तो गुणा चिह्न या मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग किया जाता है। | ||
:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और | :ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। यद्यपि , चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का निर्णय लिया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से प्रयोग में है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे 'द लांसेट' में पाया जाता है। | ||
* [[ बीजगणित ]] में, [[ चर (गणित) ]] से जुड़े गुणन को | * [[ बीजगणित ]] में, [[ चर (गणित) ]] से जुड़े गुणन को प्रायः एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है।।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
* सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के बीच अंतर करना है। [[ पार उत्पाद | रेखित गुणन]] आम तौर पर दो [[ वेक्टर (गणित) | सदिश]] के क्रॉस गुणन को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश उत्पन्न होता है, जबकि बिंदु दो सदिश के [[ डॉट उत्पाद | बिंदु गुणन]] को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अदिश गणित होता है।{{Citation needed|date=December 2021}} | * सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के बीच अंतर करना है। [[ पार उत्पाद | रेखित गुणन]] आम तौर पर दो [[ वेक्टर (गणित) | सदिश]] के क्रॉस गुणन को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश उत्पन्न होता है, जबकि बिंदु दो सदिश के [[ डॉट उत्पाद | बिंदु गुणन]] को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अदिश गणित होता है।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
[[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग | संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे आम अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक]] ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण सेट जैसे [[ ASCII ]] और [[ EBCDIC ]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>शमिल है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान ]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।{{Citation needed|date=December 2021}} | [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग | संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे आम अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक]] ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण सेट जैसे [[ ASCII ]] और [[ EBCDIC ]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>शमिल है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान ]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
गुणा की जाने वाली संख्याओं को आम तौर पर [[ गुणन ]]खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। | गुणा की जाने वाली संख्याओं को आम तौर पर [[ गुणन ]]खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। सामान्यतः, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,हालांकि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुणक होता है। इसके अतिरिक्त, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुणक के बीच का अंतर केवल एक बहुत ही प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन एल्गोरिदम में उपयोगी होता है, जैसे कि [[ लंबा गुणन ]], इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या व्यंजक का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में <math>3xy^2</math> को गुणांक कहा जाता है। | ||
गुणन के परिणाम को गुणन गणित कहा जाता है,और जब एक गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो एक गुणनफल दूसरे का गुणनफल होता है या अन्य का गुणनफल होता है। इस प्रकार <math>2\times \pi</math> का एक बहुगुणज है {{pi}}, ऐसा है <math>5133 \times 486 \times \pi</math>. पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 3 और 5 का गुणनफल 15 है, और दोनों 3 के गुणज और 5 के गुणज है।{{Citation needed|date=December 2021}} | गुणन के परिणाम को गुणन गणित कहा जाता है,और जब एक गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो एक गुणनफल दूसरे का गुणनफल होता है या अन्य का गुणनफल होता है। इस प्रकार <math>2\times \pi</math> का एक बहुगुणज है {{pi}}, ऐसा है <math>5133 \times 486 \times \pi</math>. पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 3 और 5 का गुणनफल 15 है, और दोनों 3 के गुणज और 5 के गुणज है।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
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== संगणना == | == संगणना == | ||
{{Main|गुणन एल्गोरिथ्म}} | {{Main|गुणन एल्गोरिथ्म}} | ||
[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य तरीके बहुत हैं , परंतु छोटी संख्याओं | [[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य तरीके बहुत हैं , परंतु छोटी संख्याओं सामान्यतः 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित गुणन की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। यद्यपि , यह विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम, नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम ,प्राथमिक विद्यालय गुणन दिखाता है: | ||
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यहाँ S(y) y के परवर्ती क्रमांक का प्रतिनिधित्व करता है, साहचर्य जैसे विभिन्न गुणों को इनसे और पियानो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है, विभिन्न गुणों को इन और गणितीय प्रेरण सहित पीनो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, S(0), जिसे 1 से निरूपित किया जाता है, एक गुणनात्मक सर्वसमिका है क्योंकि | यहाँ S(y) y के परवर्ती क्रमांक का प्रतिनिधित्व करता है, साहचर्य जैसे विभिन्न गुणों को इनसे और पियानो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है, विभिन्न गुणों को इन और गणितीय प्रेरण सहित पीनो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, S(0), जिसे 1 से निरूपित किया जाता है, एक गुणनात्मक सर्वसमिका है क्योंकि | ||
:<math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x.</math> | :<math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x.</math> | ||
पूर्णांकों के अभिगृहीत | पूर्णांकों के अभिगृहीत सामान्यतः उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित करते हैं। मॉडल (x, y) को x - y के समतुल्य मानने पर आधारित है जब x और y को पूर्णांक के रूप में माना जाता है। इस प्रकार (0,1) और (1,2) दोनों -1 के बराबर हैं। पूर्णांकों के लिए गुणन अभिगृहीत को इस प्रकार परिभाषित किया गया है | ||
:<math>(x_p,\, x_m) \times (y_p,\, y_m) = (x_p \times y_p + x_m \times y_m,\; x_p \times y_m + x_m \times y_p).</math> | :<math>(x_p,\, x_m) \times (y_p,\, y_m) = (x_p \times y_p + x_m \times y_m,\; x_p \times y_m + x_m \times y_p).</math> | ||
वह नियम जिससे −1 × −1 = 1 निकाला जा सकता है | वह नियम जिससे −1 × −1 = 1 निकाला जा सकता है | ||
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एक साधारण उदाहरण ये है की शून्येतर[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्याओं]] का समुच्चय है। यहां हमारे पास सर्वसमिका 1 है, इसके अतिरिक्त समूहों के विपरीत सर्वसमिका आम तौर पर 0 है।परिमेय और शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि, गुणन के तहत, इसका व्युत्क्रम नहीं होता है: ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करके 1 प्राप्त किया जा सके। इस उदाहरण में, हमारे पास एक [[ एबेलियन समूह ]] है| लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है ,की हमारे पास हमेशा एक एबेलियन समूह हो। | एक साधारण उदाहरण ये है की शून्येतर[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्याओं]] का समुच्चय है। यहां हमारे पास सर्वसमिका 1 है, इसके अतिरिक्त समूहों के विपरीत सर्वसमिका आम तौर पर 0 है।परिमेय और शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि, गुणन के तहत, इसका व्युत्क्रम नहीं होता है: ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करके 1 प्राप्त किया जा सके। इस उदाहरण में, हमारे पास एक [[ एबेलियन समूह ]] है| लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है ,की हमारे पास हमेशा एक एबेलियन समूह हो। | ||
इसे देखने के लिए, किसी दिए गए [[ क्षेत्र (गणित) ]] पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार किया जाता है। यहां, समापन, साहचर्य, और सर्वसमिका, [[ पहचान मैट्रिक्स |सर्वसमिका मैट्रिक्स]] और व्युत्क्रमों को शामिल करने या सत्यापित करने का सीधा मार्ग है। | इसे देखने के लिए, किसी दिए गए [[ क्षेत्र (गणित) ]] पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार किया जाता है। यहां, समापन, साहचर्य, और सर्वसमिका, [[ पहचान मैट्रिक्स |सर्वसमिका मैट्रिक्स]] और व्युत्क्रमों को शामिल करने या सत्यापित करने का सीधा मार्ग है। यद्यपि , मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, जो यह दर्शाता है कि यह समूह गैर-अबेलियन है। | ||
ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अतिरिक्त अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता को आसानी से देखा जा सकता है। | ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अतिरिक्त अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता को आसानी से देखा जा सकता है। | ||
समूह सिद्धांत में गुणन को | समूह सिद्धांत में गुणन को सामान्यतः या तो बिन्दु द्वारा या जक्सटैपिशन(तत्वों के बीच एक संक्रिया प्रतीक की लोप) द्वारा टिप्पणी किया जाता है। इसलिए तत्व a को तत्व b से गुणा करने पर a <math>\cdot</math> b या ab के रूप में टिप्पणी किया जा सकता है । समुच्चय और संक्रिया के संकेत के माध्यम से एक समूह का निर्देशीत करते समय, बिन्दु का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, हमारा पहला उदाहरण इनके द्वारा <math>\left( \mathbb{Q}/ \{ 0 \} ,\, \cdot \right)</math> दर्शाया जा सकता है | ||
Revision as of 14:42, 3 March 2023
File:Multiply scaling.svg
गुणन को पैमाने के कारक भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।
File:Multiplication as scaling integers.gif
गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।
File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg
4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।
File:Multiply field fract.svg
एक कपड़े का क्षेत्रफल 4.5m × 2.5m = 11.25m2; 41/2 × 21/2 = 111/4
गुणन (प्रायः क्रॉस प्रतीक × द्वारा चिह्नित, मध्य-रेखा डॉट संक्रिया ⋅ द्वारा, जक्सटैप द्वारा, या, कंप्यूटर पर, एक तारक द्वारा *) अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक है, जिनमे अन्य संक्रियाए जोड़, घटाव, और विभाजन हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल कहा जाता है।
प्राकृतिक संख्या के गुणन को पुनरावर्ती जोड़ के रूप में संदर्भित किया जा स है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के समान है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे प्रायः इस रूप में लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:
यहाँ, 3 (गुणक) और 4 (गुण्य) गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।
गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रम विनिमय गुण है, जो इस परिप्रेक्ष्य में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से और 3 की 4 प्रतियां जोड़ने से समान परिणाम मिलता है:
इस प्रकार गुणक और गुण्य का पदनाम, गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण, पूर्णांकों के ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।
गुणन को एक आयत (पूर्ण संख्याओं के लिए) में व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के रूप में देखा जा सकता है, जिसकी भुजाओं में कुछ दी गई लंबाई होती है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस भुजा को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है।
दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणन विमितीय विश्लेषण का विषय है।
गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या का सामान संख्या से विभाजन करने पर 1 प्राप्त होता है।
गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि सम्मिश्र संख्याएँ, और अधिक अमूर्त निर्माणों जैसे मैट्रिक्स गणित आदि। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मुख्य है की किस क्रम में संकार्य को एक साथ गुणा किया जाए। गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन में दी गई है।
संकेतन और शब्दावली
| × ⋅ | |
|---|---|
Multiplication signs | |
| In Unicode | U+00D7 × MULTIPLICATION SIGN (×) U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR (⋅) |
| Different from | |
| Different from | U+00B7 · MIDDLE DOT U+002E . FULL STOP |
अंकगणित में, गुणन को प्रायः गुणन चिह्न ( × या ) को सबंधों के मध्य अर्थात,इन्फिक्स नोटेशन में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए,
गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:
- गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए x गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है, सामान्यतः एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु किंचित ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-
- या