गुणा: Difference between revisions

× ⋅
× ⋅
Multiplication signs
In Unicode	U+00D7 × MULTIPLICATION SIGN (×); U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR (⋅)
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<डिव क्लास = राइट>

File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg

3 मार्बल्स के साथ 4 बैग/बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।

File:Multiply scaling.svg

गुणन को पैमाने के कारक भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।

File:Multiplication as scaling integers.gif

गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।

File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg

4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।

File:Multiply field fract.svg

एक कपड़े का क्षेत्रफल 4.5m × 2.5m = 11.25m²; 412 × 212 = 1114

गुणन अक्सर × गुणन चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है| मध्य-पंक्ति संकेत और शब्दावली द्वारा ⋅, तुलना द्वारा, या, संगणक पर, तारक द्वारा * अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय कार्य विधि में से एक है, अन्य जोड़, घटाव और भाग गणित हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल गणित कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्या के गुणन को गुणन और बार-बार जोड़ के रूप में जाना जाता है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के बराबर है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}

उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे अक्सर इस रूप में $3\times 4$ लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:

3\times 4=4+4+4=12

यहाँ, 3 गुणक और 4 गुणक गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।

गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रमचयी गुणधर्म है, जो इस स्थिति में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से 3 की 4 प्रतियां जोड़ने के समान परिणाम मिलता है:

4\times 3=3+3+3+3=12

इस प्रकार गुणक और गुणक का पदनाम गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण पूर्णांकों ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।

गुणन के एक आयत में पूर्ण संख्याओं के लिए व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या आयत के क्षेत्रफल को खोज के रूप में देखा जा सकता है, जिनके पक्षों में कुछ दी गई लंबाई है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस पक्ष को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है।

दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणनआयामी विश्लेषण का विषय है।

गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अलावा किसी अन्य संख्या का सामान संख्या से विभाजन करने पर 1 प्राप्त होता है।

गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि सम्मिश्र संख्याएँ , और अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए मैट्रिक्स गणित हैं। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मायने रखता है जिस क्रम में ऑपरेंड को एक साथ गुणा किया जाय ।गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन गणित में दी गई है।^{[verification needed]}

संकेतन और शब्दावली

अंकगणित में, गुणन को अक्सर गुणन चिह्न को या तो × या $\times$ शर्तों के बीच यानी, इन्फिक्स नोटेशन में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए,

2\times 3=6

3\times 4=12

2\times 3\times 5=6\times 5=30

2\times 2\times 2\times 2\times 2=32

गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:

गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए $x$ गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है,आमतौर पर एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु शायद ही कदाचित् समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-

5\cdot 2

या

5\,.\,3

मध्य बिंदु संकेतन, यूनिकोड में एन्कोड किया गया है U+22C5 ⋅ बिंदु ऑपरेटर, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है जहां एक समय इसका उपयोग दशमलव विभाजक के रूप में लिया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु ऑपरेटर वर्ण पहुंच योग्य नहीं होता है, तो इंटरपंक (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में अल्पविराम (विराम चिह्न) का उपयोग करते हैं, गुणा के लिए या तो गुणा या मध्य बिंदु का उपयोग किया जाता है।^{[citation needed]}

ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और अवधि/पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। हालाँकि, चूंकि प्रौद्योगिकी मंत्रालय ने 1968 में इस अवधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का फैसला किया था,^[1]और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से अपनाया गया है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे द लांसेट में पाया जाता है।^[2]

बीजगणित में, चर (गणित) से जुड़े गुणन को अक्सर एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, $xy$ के लिये $x$ बार $y$ या $5x$ पाँच बार के लिए $x$ , जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, $5(2)$ , $left parenthesis 5 right parenthesis 2$

[1]

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 {{short description|Arithmetical operation}}
 {{about|  गणितीय कार्य विधि }}
-{{more citations needed|date=April 2012}}
+{{more citations needed|date=April 2012}}<डिव क्लास = राइट>
-<डिव क्लास = राइट>{{Arithmetic operations}}
 [[File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|thumb|right|3 मार्बल्स के साथ 4 बैग/बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।]]
 [[File:Multiply scaling.svg|thumb|right|गुणन को [[ पैमाने के कारक ]] भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।]]
 [[File:Multiplication as scaling integers.gif|thumb|गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।]]
 [[File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg|thumb|right|4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।]]
-[[File:Multiply field fract.svg|thumb|right|एक कपड़े का क्षेत्रफल {{nowrap|1=4.5m × 2.5m = 11.25m<sup>2</sup>}}; {{nowrap|1=4{{sfrac|1|2}} × 2{{sfrac|1|2}} = 11{{sfrac|1|4}}}}]]गुणन अक्सर गुणन चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है {{char|'''×'''}}, मध्य-पंक्ति संकेत और शब्दावली द्वारा {{char|'''⋅'''}}, तुलना द्वारा, या, [[ संगणक ]] पर, तारक द्वारा {{char|'''*'''}} [[ अंकगणित ]] के चार [[Index.php?title=प्राथमिक अंकगणितीय|प्राथमिक अंकगणितीय]] [[Index.php?title=ऑपरेशन गणित|कार्य विधि]]  में से एक है, अन्य जोड़, [[ घटाव ]] और भाग गणित हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को [[Index.php?title= उत्पाद(गणित)|गुणनफल गणित]]  कहा जाता है।
+[[File:Multiply field fract.svg|thumb|right|एक कपड़े का क्षेत्रफल {{nowrap|1=4.5m × 2.5m = 11.25m<sup>2</sup>}}; {{nowrap|1=4{{sfrac|1|2}} × 2{{sfrac|1|2}} = 11{{sfrac|1|4}}}}]]गुणन अक्सर  {{char|'''×'''}} गुणन चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है| मध्य-पंक्ति संकेत और शब्दावली द्वारा {{char|'''⋅'''}}, तुलना द्वारा, या, [[ संगणक ]] पर, तारक द्वारा {{char|'''*'''}} [[ अंकगणित ]] के चार [[Index.php?title=प्राथमिक अंकगणितीय|प्राथमिक अंकगणितीय]] [[Index.php?title=ऑपरेशन गणित|कार्य विधि]]  में से एक है, अन्य जोड़, [[ घटाव ]] और भाग गणित हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को [[Index.php?title= उत्पाद(गणित)|गुणनफल गणित]]  कहा जाता है।
 [[ प्राकृतिक संख्या ]] के गुणन को गुणन और बार-बार जोड़ के रूप में जाना जाता है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के बराबर है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
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 दो मापों का  गुणन एक नए प्रकार का  मापन  है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणन[[ आयामी विश्लेषण ]] का विषय है।
-गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए,  4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अलावा किसी अन्य संख्या का विभाजन 1 के बराबर होता है।
+गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए,  4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अलावा किसी अन्य संख्या का सामान संख्या से विभाजन करने पर 1 प्राप्त होता है।
 गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि [[ जटिल संख्या | सम्मिश्र संख्याएँ]] , और अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए [[ मैट्रिक्स (गणित) | मैट्रिक्स गणित]] हैं। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मायने रखता है जिस क्रम में ऑपरेंड को एक साथ गुणा किया जाय ।गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन गणित में दी गई है।{{Verify source|date=December 2021|reason=please check whether this is sourced in the body}}
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 :<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math>
 गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:
-* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}}, गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है,आमतौर पर एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु शायद ही कदाचित् समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-
+* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''',आमतौर पर एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु शायद ही कदाचित् समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-'''
 :<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math>
-: मध्य बिंदु संकेतन, यूनिकोड में एन्कोड किया गया है {{unichar|22C5|बिंदु ऑपरेटर}}, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक ]] के रूप में लिया जाता है। जब बिंदु ऑपरेटर वर्ण पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) ]] का उपयोग करते हैं, गुणा के लिए या तो समय या मध्य बिंदु का उपयोग किया जाता है।{{citation needed|date=August 2011}}
+: मध्य बिंदु संकेतन, यूनिकोड में एन्कोड किया गया है {{unichar|22C5|बिंदु ऑपरेटर}}, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक ]] के रूप में लिया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु ऑपरेटर वर्ण पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) ]] का उपयोग करते हैं, गुणा के लिए या तो गुणा या मध्य बिंदु का उपयोग किया जाता है।{{citation needed|date=August 2011}}
 :ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और अवधि/पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। हालाँकि, चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस अवधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का फैसला किया था,<ref>{{Cite journal |doi=10.1038/218111c0 |title=अंकों पर विजय|journal=Nature |volume=218 |issue = 5137 |page=111 |year=1968 |bibcode=1968Natur.218S.111. |doi-access=free}}</ref>और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से अपनाया गया है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे द लांसेट में पाया जाता है।<ref>{{cite web |title=द लैंसेट - पाण्डुलिपियों के इलेक्ट्रॉनिक प्रस्तुतीकरण के लिए प्रारूपण दिशानिर्देश|url=http://download.thelancet.com/pb/assets/raw/Lancet/authors/artwork-guidelines.pdf |access-date=2017-04-25}}</ref>
 * [[ बीजगणित ]] में, [[ चर (गणित) ]] से जुड़े गुणन को अक्सर एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फ़ंक्शन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में।{{Citation needed|date=December 2021}}

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