गुणा: Difference between revisions
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== विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन ==<!--linked from above--> | == विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन ==<!--linked from above--> | ||
संख्याएं 3 सेब, क्रम तीसरा सेब, या माप 3.5 फ़ुट ऊंचा गिन सकती हैं; जैसे-जैसे गणित का इतिहास हमारी उंगलियों पर गिनने से लेकर क्वांटम यांत्रिकी | संख्याएं (3 सेब), क्रम( तीसरा सेब), या माप (3.5 फ़ुट ऊंचा) गिन सकती हैं; जैसे-जैसे गणित का इतिहास हमारी उंगलियों पर गिनने से लेकर प्रतिरूपण क्वांटम यांत्रिकी को लेके आगे बढ़ा है, गुणा को अधिक जटिल और अमूर्त प्रकार की संख्याओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है, और उन चीजों के लिए जो संख्याएं नहीं हैं जैसे मैट्रिक्स गणित या संख्याओं की तरह नहीं दिखती हैं ( जैसे चतुष्कोण)। | ||
; पूर्णांक | ; पूर्णांक | ||
:<math>N\times M</math> M | :<math>N\times M</math> M और N प्रतियों का योग है, जबकी N और M धनात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं। यह n चौड़ाई और m ऊंचाई एरे( शृंखला समूह) में वस्तु की संख्या देता है। ऋणात्मक संख्याओं का सामान्यीकरण सामान्यीकरण द्वारा किया जा सकता है | ||
:<math>N\times (-M) = (-N)\times M = - (N\times M)</math> तथा | :<math>N\times (-M) = (-N)\times M = - (N\times M)</math> तथा | ||
:<math>(-N)\times (-M) = N\times M</math> | :<math>(-N)\times (-M) = N\times M</math> | ||
: | :परिमेय और वास्तविक संख्याओं पर समान चिह्न नियम लागू होते हैं।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
;परिमेय संख्या | ;परिमेय संख्या | ||
: अंशों के लिए | : अंशों के सामान्यीकरण के लिए <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D}</math> अंशों और हरों का क्रमशः गुणा करते है: <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D} = \frac{(A\times C)}{(B\times D)}</math>. यह एक आयत का क्षेत्रफल है <math>\frac{A}{B}</math> ऊंचाई और <math>\frac{C}{D}</math> चौड़ाई है,एक और सारणी में परिमेय संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ होती हैं तथा चीजों की संख्या के समान होती है| | ||
;वास्तविक संख्या | ;वास्तविक संख्या | ||
: वास्तविक | : वास्तविक संख्याओं और उनके गुणनफलों को परिमेय संख्याओं के अनुक्रमों के रूप में परिभाषित किया जाता है। | ||
;जटिल आंकड़े | ;जटिल आंकड़े | ||
:जटिल संख्याओं को ध्यान में रखते हुए <math>z_1</math> तथा <math>z_2</math> वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में <math>(a_1, b_1)</math> तथा <math>(a_2, b_2)</math>, उत्पाद <math>z_1\times z_2</math> है <math>(a_1\times a_2 - b_1\times b_2, a_1\times b_2 + a_2\times b_1)</math>. यह | :जटिल संख्याओं को ध्यान में रखते हुए <math>z_1</math> तथा <math>z_2</math> वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में <math>(a_1, b_1)</math> तथा <math>(a_2, b_2)</math>, उत्पाद <math>z_1\times z_2</math> है <math>(a_1\times a_2 - b_1\times b_2, a_1\times b_2 + a_2\times b_1)</math>. यह तत्त्व के समान ही है <math>a_1\times a_2</math> जब काल्पनिक भाग <math>b_1</math> तथा <math>b_2</math> शून्य हैं।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
: समतुल्य, निरूपित करना <math>\sqrt{-1}</math> जैसा <math>i</math>, अपने पास <math>z_1 \times z_2 = (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1 \times a_2)+(a_1\times b_2i)+(b_1\times a_2i)+(b_1\times b_2i^2)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i.</math> | : समतुल्य, निरूपित करना <math>\sqrt{-1}</math> जैसा <math>i</math>, अपने पास <math>z_1 \times z_2 = (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1 \times a_2)+(a_1\times b_2i)+(b_1\times a_2i)+(b_1\times b_2i^2)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i.</math>वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय रूप में, यदि <math>z_1 = r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1), z_2 = r_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)</math>, फिर<math display="inline">z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)).</math> | ||
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<डिव क्लास = राइट>
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गुणन अक्सर गुणन चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है ×, मध्य-पंक्ति संकेत और शब्दावली द्वारा ⋅, तुलना द्वारा, या, संगणक पर, तारक द्वारा * अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय कार्य विधि में से एक है, अन्य जोड़, घटाव और भाग गणित हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल गणित कहा जाता है।
प्राकृतिक संख्या के गुणन को गुणन और बार-बार जोड़ के रूप में जाना जाता है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के बराबर है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:
यहाँ, 3 गुणक और 4 गुणक गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।
गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रमचयी गुणधर्म है, जो इस स्थिति में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से 3 की 4 प्रतियां जोड़ने के समान परिणाम मिलता है:
इस प्रकार गुणक और गुणक का पदनाम गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण पूर्णांकों ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।
गुणन के एक आयत में पूर्ण संख्याओं के लिए व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या आयत के क्षेत्रफल को खोज के रूप में देखा जा सकता है, जिनके पक्षों में कुछ दी गई लंबाई है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस पक्ष को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है।
दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणनआयामी विश्लेषण का विषय है।
गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अलावा किसी अन्य संख्या का विभाजन 1 के बराबर होता है।
गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि सम्मिश्र संख्याएँ , और अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए मैट्रिक्स गणित हैं। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मायने रखता है जिस क्रम में ऑपरेंड को एक साथ गुणा किया जाय ।गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन गणित में दी गई है।[verification needed]